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1.6尺规作图
学案
课题
1.6
尺规作图
单元
第一单元
学科
数学
年级
八年级上册
学习目标
会作一个角等于已知角；在给定边的条件下，会求作三角形；3.能作线段的垂直平分线，并能解决实际问题．
重点
尺规作图给定边角条件下的三角形。
难点
作一个角等于已知角、作角平分线与作线段的垂直平分线的作法分析过程。
教学过程
导入新课
【引入思考】
【想一想】你知道什么是尺规作图吗？尺规的基本作用分别是什么？
新知讲解
提炼概念常用的作图语言（1）过点×、×作线段或射线、直线；（2）连结两点×、×；（3）在线段或射线×上截取××=××；（4）以点×为圆心，以××的长为半径作圆（或画弧），交××于点×；（5）分别以点×，点×为圆心，以××，××的长为半径作弧，两弧相交于点×；（6）延长××到点×，使××=××．注：写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了．如：作线段××=××；作∠×××=∠×××；作线段××的垂直平分线××等。典例精讲
例1
利用尺规，作一个角等于已知角．已知：∠AOB（如图）．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB．作法与示范
1._________________________________________________________2._________________________________________________3._________________________________________________4._________________________________________________事实上，如图1和图2，连结CD，C'D'.在△OCD与△O'C'D’中，∵
OC=O'C'，
OD=O'D'，
CD=C'D'，
∴△OCD≌△O'C'D'(SSS).∴∠A'O'B'=∠AOB.例2
已知线段AB，用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线.分析
要作线段AB的垂直平分线，只需找出线段AB的垂直平分线上的两个点，这由线段垂直平分线上的点的性质不难找出.1._________________________________________________________2._________________________________________________你能说明为什么所作的直线就是已知线段的垂直平分线吗?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________例3.已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形.
已知：∠α，∠β，线段a(如图).用直尺和圆规作△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝a.请按照给出的作法作出相应的图形.作法与示范
1._________________________________________________________2._________________________________________________3._________________________________________________
课堂练习
巩固训练1、利用尺规不可作的直角三角形是
（
）A、已知斜边及一条直角边
B、已知两条直角边C、已知两锐角
D、已知一锐角及一直角边2.如图，下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线．对应选项中作法错误的是( )A．①
B．②
C．③
D．④3.下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高的是( )4．已知△ABC(AC＜BC)，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是
( )5.如图，已知线段a，c，∠α.求作△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α.答案引入思考提炼概念典例精讲
例1
作法：1.以点O
为圆心，以适当长为半径画弧，分别交OA
于C
，交OB
于D
；（图1）2.作一条射线O′A′；以点O′为圆心，以OC
长为半径画弧l，交O′
A′于C′.
（图2）3.以点C′为圆心，以CD
长为半径画弧，交弧l于D′.4.经过点O′,D’画射线O′
B′，则∠A′
O′
B′就是所求作的角.
你能证明上题作图的正确性吗?如图1和图2，连结CD，C’D’。在△OCD与△O’C’D’中，∵
OC=O’C’（作法）
OD=O’D’（作法）
CD=C’D’
（作法）∴△OCD≌△O’C’D’（SSS）∴∠A’O’B’=∠AOB例2
分析
要作线段AB的垂直平分线，只需找出线段AB的垂直平分线上的两个点，这由线段垂直平分线上的点的性质不难找出。作法：（1）
分别以A、B
两点为圆心，以大于AB
线段一半的长为半径画弧，两弧交于C、D
两点；（2）过点C、D
作直线CD，直线CD即为所求作线段AB
的垂直平分线.你能根据作法证明直线CD就是线段AB的垂直平分线吗？已知：如图，连接AC、BC、AD、BD，AC=AD=BC=BD．?
求证：CD⊥AB，CD平分AB．证明：设CD与AB交于点E．
∵在△ACD和△BCD中，
AC＝BC
AD＝BD
CD＝CD
∴△ACD≌△BCD（SSS）．?
∴∠1=∠2．??
∵AC=BC，
∴△ACB是等腰三角形．
∴CE⊥AB，AE=BE．
即?CD⊥AB，CD平分AB．
例3
1.作一条线段AB=a2.分别以A,B为顶点，在AB的同侧作∠DAB=∠α，∠EBA=∠β，DA与EB交于点C。△ABC就是所求作的三角形巩固训练C
2.C
3.B4.D5.解：
(1)作∠MBN＝∠α.(2)在射线BM上截取BA＝c，在射线BN上截取BC＝a.(3)连结AC，则△ABC即为所求作的三角形(如图)．
课堂小结
本节课你学到了什么？先画一条射线,再作三次弧.其中前两次弧半径相同,而第三次以原角的两边与弧的交点之间的距离为半径.
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1.6尺规作图
教案
课题
1.6
尺规作图
单元
第一单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
会作一个角等于已知角；在给定边的条件下，会求作三角形；3.能作线段的垂直平分线，并能解决实际问题．
重点
尺规作图给定边角条件下的三角形。
难点
作一个角等于已知角、作角平分线与作线段的垂直平分线的作法分析过程。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题【想一想】你知道什么是尺规作图吗？尺规的基本作用分别是什么？只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图．尺规作图的工具只能是直尺和圆规,其中直尺用来作直线、线段、射线或延长线段等；圆规用来作圆或圆孤等．值得注意的是直尺是没有刻度的或不考虑刻度的存在.我们已经学习过用直尺和圆规作一条线段等于已知线段及作一个角的平分线.
本节我们将继续学习用直尺和圆规作一个角等于已知角、作一条线段的垂直平分线等基本尺规作图，以及用基本尺规作图作三角形。
思考自议体验数学作图，动手实践的乐趣，能够利用数学作图解决实际问题。
讲授新课
提炼概念
常用的作图语言（1）过点×、×作线段或射线、直线；（2）连结两点×、×；（3）在线段或射线×上截取××=××；（4）以点×为圆心，以××的长为半径作圆（或画弧），交××于点×；（5）分别以点×，点×为圆心，以××，××的长为半径作弧，两弧相交于点×；（6）延长××到点×，使××=××．注：写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了．如：作线段××=××；作∠×××=∠×××；作线段××的垂直平分线××等。三、典例精讲思考：怎么做一个角等于已知角？例1如图，已知∠AOB
，求作∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB.
作法：1.以点O
为圆心，以适当长为半径画弧，分别交OA
于C
，交OB
于D
；（图1）2.作一条射线O′A′；以点O′为圆心，以OC
长为半径画弧l，交O′
A′于C′.
（图2）3.以点C′为圆心，以CD
长为半径画弧，交弧l于D′.4.经过点O′,D’画射线O′
B′，则∠A′
O′
B′就是所求作的角.
你能证明上题作图的正确性吗?如图1和图2，连结CD，C’D’。在△OCD与△O’C’D’中，∵
OC=O’C’（作法）
OD=O’D’（作法）
CD=C’D’
（作法）∴△OCD≌△O’C’D’（SSS）∴∠A’O’B’=∠AOB例2已知：线段AB
，用直尺和圆规画出线段AB的垂直平分线.
分析
要作线段AB的垂直平分线，只需找出线段AB的垂直平分线上的两个点，这由线段垂直平分线上的点的性质不难找出。作法：（1）
分别以A、B
两点为圆心，以大于AB
线段一半的长为半径画弧，两弧交于C、D
两点；（2）过点C、D
作直线CD，直线CD即为所求作线段AB
的垂直平分线.你能根据作法证明直线CD就是线段AB的垂直平分线吗？已知：如图，连接AC、BC、AD、BD，AC=AD=BC=BD．?
求证：CD⊥AB，CD平分AB．证明：设CD与AB交于点E．
∵在△ACD和△BCD中，
AC＝BC
AD＝BD
CD＝CD
∴△ACD≌△BCD（SSS）．?
∴∠1=∠2．??
∵AC=BC，
∴△ACB是等腰三角形．
∴CE⊥AB，AE=BE．
即?CD⊥AB，CD平分AB．
例3
已知:∠α,∠β,线段a，用直尺和圆规作△ABC,使∠A＝∠α,∠Ｂ＝∠β，AB=a.1.作一条线段AB=a2.分别以A,B为顶点，在AB的同侧作∠DAB=∠α，∠EBA=∠β，DA与EB交于点C。△ABC就是所求作的三角形
讲解尺规作图的含义和做一个角等于已知角的作图方法
课堂检测
四、巩固训练1、利用尺规不可作的直角三角形是
（
）A、已知斜边及一条直角边
B、已知两条直角边C、已知两锐角
D、已知一锐角及一直角边1.C
2.如图，下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线．对应选项中作法错误的是( )A．①
B．②
C．③
D．④2.C3.下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高的是( )B4．已知△ABC(AC＜BC)，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是
( )D5.如图，已知线段a，c，∠α.求作△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α.解：
(1)作∠MBN＝∠α.(2)在射线BM上截取BA＝c，在射线BN上截取BC＝a.(3)连结AC，则△ABC即为所求作的三角形(如图)．
课堂小结
本节课你学到了什么？作一个角等于已知角可以归纳为“一线三弧”先画一条射线,再作三次弧.其中前两次弧半径相同,而第三次以原角的两边与弧的交点之间的距离为半径.
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1.6尺规作图
浙教版
七年级上
（3）在射线AC
上截取AB
＝a
，则线段
AB
就是所要画的线段.
（1）先画射线AC；
（2）用圆规量出线段a的长；
作法：
A
C
B
已知：线段a，求作一条线段等于a.
a
已知：∠AOB
，求作∠AOB
的平分线.
（1）以O
为圆心，以适当长为半径画弧，交OA
于C
点，交OB
于D
点；
（3）过O、P
作射线OP
，
则OP即为所求作的角平分线.
（2）分别以C、D
两点圆心，以大于
CD
长为半
径画弧，两弧相交于P
点；
作法：
O
B
A
P
C
D
新知导入
情境引入
【想一想】你知道什么是尺规作图吗？尺规的基本作用分别是什么？
只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图．
尺规作图的工具只能是直尺和圆规,其中直尺用来作直线、线段、射线或延长线段等；圆规用来作圆或圆孤等．
值得注意的是直尺是没有刻度的或不考虑刻度的存在.
据传为了显示谁的逻辑思维能力更强，古希腊人限制了几何作图的工具，结果一些普通的画图题让数学家苦苦思索了两千多年.尺规作图特有的魅力，使无数人沉湎其中。
我们已经学习过用直尺和圆规作一条线段等于已知线段及作一个角的平分线.
本节我们将继续学习用直尺和圆规作一个角等于已知角、作一条线段的垂直平分线等基本尺规作图，以及用基本尺规作图作三角形。
合作学习
怎么做一个角等于已知角？
如图，已知∠AOB
，求作∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB.
O
A
B
思考：
典例精讲
2.作一条射线O′A′；以点O′为圆心，以OC
长为半径画弧l，交O′
A′于C′.
（图2）
1.以点O
为圆心，以适当长为半径画弧，分别交OA
于C
，交OB
于D
；（图1）
作法：
3.以点C′为圆心，以CD
长为半径画弧，交弧l于D′.
4.经过点O′,D’画射线O′
B′，则∠A′
O′
B′就是所求作的角.
B
′
D′
O
′
A
′
图2
C
′
l
C
D
O
A
B
图1
你能证明上题作图的正确性吗?
如图1和图2，连结CD，C’D’
在△OCD与△O’C’D’中，
∵
OC=O’C’（作法）
OD=O’D’（作法）
CD=C’D’
（作法）
∴△OCD≌△O’C’D’（SSS）
∴∠A’O’B’=∠AOB
O
′
A
′
B
′
C
′
D′
图2
C
D
O
A
B
图1
例2
已知线段AB，用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线.
A
B
分析
要作线段AB的垂直平分线，只需找出线段AB的垂直平分线上的两个点，这由线段垂直平分线上的点的性质不难找出.
（1）
分别以A、B
两点为圆心，以大于AB
线段一
半的长为半径画弧，两弧交于C、D
两点；
（2）过点C、D
作直线CD，直线CD即为所求作线段
AB
的垂直平分线.
作法：
A
B
C
D
你能根据作法证明直线CD就是线段AB的垂直平分线吗？
已知：如图，连接AC、BC、AD、BD，AC=AD=BC=BD．?
求证：CD⊥AB，CD平分AB．
证明：设CD与AB交于点E．
∵在△ACD和△BCD中，
AC＝BC
AD＝BD
CD＝CD
∴△ACD≌△BCD（SSS）．?
∴∠1=∠2．??
∵AC=BC，
∴△ACB是等腰三角形．
∴CE⊥AB，AE=BE．
即?CD⊥AB，CD平分AB．
A
B
C
D
1
2
例3.已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形.
已知：∠α，∠β，线段a(如图).
用直尺和圆规作△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝a.
请按照给出的作法作出相应的图形.
a
(1)作一条线段AB=a；
(2)分别以A，B为顶点，在AB的同侧作作∠DAB=∠α，∠EBA=∠β，DA与EB相交于点C。
△ABC就是求所作的三角形。
作法：
A
B
D
E
C
归纳概念
常用的作图语言
（1）过点×、×作线段或射线、直线；
（2）连结两点×、×；
（3）在线段或射线×上截取××=××；
（4）以点×为圆心，以××的长为半径作圆（或画弧），交××于点×；
（5）分别以点×，点×为圆心，以××，××的长为半径作弧，两弧相交于点×；
（6）延长××到点×，使××=××．
注：写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了．如：作线段××=××；作∠×××=∠×××；作线段××的垂直平分线××等。
课堂练习
1、利用尺规不可作的直角三角形是
（
）
A、已知斜边及一条直角边
B、已知两条直角边
C、已知两锐角
D、已知一锐角及一直角边
C
2.如图，下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线．对应选项中作法错误的是( )
A．①
B．②
C．③
D．④
C
3.下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高的是( )
B
4．已知△ABC(AC＜BC)，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是
( )
D
5.如图，已知线段a，c，∠α.
求作△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α.
解：
(1)作∠MBN＝∠α.
(2)在射线BM上截取BA＝c，在射线BN上截取BC＝a.
(3)连结AC，则△ABC即为所求作的三角形(如图)．
课堂总结
先画一条射线,再作三次弧.
其中前两次弧半径相同,而第三次以原角的两边与弧的交点之间的距离为半径.
作一个角等于已知角可以归纳为“一线三弧”
本节课你学到了什么？
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