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2.5
逆命题和逆定理
学案
课题
2.5
逆命题和逆定理
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级上册
学习目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，并能把一个命题改写为逆命题；2.掌握线段垂直平分线的判定．
重点
逆命题和逆定理的概念．
难点
写逆命题以及证明逆命题为真的表述均有难度，是本节教学的难点．
教学过程
导入新课
【引入思考】
什么叫做命题？__________________________________________________________________命题的结构：命题由__________两部分组成。它的一般形式是“如果…，那么…”。命题有真有假，正确的命题是_________，错误的命题是_________。仔细阅读下表中的四个命题，填写下表。.思考:命题(1)和命题(2)，命题(3)和命题(4)的条件和结论有什么关系？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________例如，上表中，命题(1)与命题(2)，命题(3)与命题(4)都是_____________________.思考：每个命题都有逆命题吗？一个命题的逆命题是真命题还是假命题？
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________做一做：说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假。(1)长方形有两条对称轴(2)磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
新知讲解
提炼概念典例精讲
例1
说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题。________________________________________________________________你能证明这个逆命题是真命题吗？已知:AB是一条线段，P是一点，且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.【总结归纳】线段垂直平分线的性质定理：
____________________________________________________________线段垂直平分线性质定理的逆定理：
____________________________________________________________例2
说出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题，判断这个逆命题的真假，并说明理由。【总结归纳】________________________________________________________________________________________________________________________________________________
课堂练习
定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是______，这个命题正确吗？若正确，请你证明这个命题，若不正确请说明理由．巩固训练1.下列说法错误的是（ ）A．任何命题都有逆命题B．任何定理都有逆定理C．真命题的逆命题不一定为真D．任何命题都是由条件和结论构成的2．能证明命题“若a＞0，b＞0，则a＋b＞0”的逆命题是假命题的反例是( )A．a＝1，b＝1
B．a＝3，b＝4C．a＝－3，b＝4
D．a＝－5，b＝23.写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理(1)相等的角是内错角；(2)角平分线上的点到角的两边的距离相等．4.说出命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题，并判断逆命题的真假．若逆命题是真命题，请加以证明；若逆命题是假命题，请举出反例．答案引入思考的条件是（2）的结论，（2）的结论是（1）的条件；
（3）的条件是（4）的结论，（4）的结论是（3）的条件在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。上表中，命题（1）与命题（2），命题（3）与命题（4）都是互逆命题每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题是否一定为真命题？不一定如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫互逆定理。
提炼概念典例精讲
例1
证明（1）当点P在线段ＡＢ上，结论显然成立；（2）当点P不在
线段AB上时，作PC⊥AB于点O。
∵PA=PB，PO⊥AB，∴OA=OB（根据什么？）∴PC是AB的垂直平分线。∴点P在线段AB的垂直平行线上可见，线段垂直平分线性质定理的逆定理是真命题。线段垂直平分线性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．例2
解 逆命题是
“
如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等”这个逆命题是假命题。举反例如下：如图，在△ABC和△ABE中，CD，EF分别是△ABC和△ABE的AB边上的高线，且CD=EF，则△ABC和△ABE的面积相等，但显然它们不全等。所以这个逆命题是假命题。逆命题是“三角形一边上的中线是这边的一半的话，那么这个三角形是直角三角形”
这个命题是正确的．
已知：△ABC中，D是AC的中点，BD=AD，BD=DC．
求证：△ABC是直角三角形．证明：∵BD=AD，
∴∠A=∠ABD，
∵BD=DC，
∴∠C=∠DBC，
∵∠A+∠C+∠ABD+∠DBC=180°，
∴2（∠A+∠C）=180°，
解得∠A+∠C=90°，
∴∠ABC=90°．
即△ABC是直角三角形．巩固训练1.B2.C3.（1）解：逆命题为“内错角相等”，原命题与逆命题都是假命题，不是互逆定理；（2）解：逆命题为“到一个角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上”，原命题和逆命题是互逆定理．
课堂小结
1．互逆命题
两个命题中，如果第一个命题的_______是第二个命题的________，而第一个命题的_______是第二个命题的________，那么这两个命题叫做互逆命题．
原命题：如果其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．2．互逆定理
如果一个定理的逆命题能证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理．3．线段的垂直平分线性质定理的逆定理．
定理：到线段________________的点在线段的垂直平分线上．
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2.5
逆命题和逆定理
浙教版
八年级上
新知导入
情境引入
什么是命题?它有什么特点？
1、可以判断正确或错误的句子叫做命题．
2、命题的结构：命题由题设、结论组成
3、命题有真有假
4、正确的命题是真命题，错误的命题是假命题
合作学习
仔细阅读下表中的四个命题，填写下表。
命题
条件
结论
(1)两直线平行，同位角相等
(2)同位角相等，两直线平行
(3)如果a＝b，那么a2＝b2
(4)如果a2＝b2，那么a＝b
a＝b
a2＝b2
a2＝b2
a＝b
两直线平行
同位角相等
同位角相等
两直线平行
提炼概念
思考:命题(1)和命题(2)，命题(3)和命题(4)的条件和结论有什么关系？
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
例如，上表中，命题(1)与命题(2)，命题(3)与命题(4)都是互逆命题.
每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题.例如，上表中，命题(3)是真命题，而它的逆命题(4)是假命题.如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.
思考：每个命题都有逆命题吗？一个命题的逆命题是真命题还是假命题？
做一做：说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假。
(1)长方形有两条对称轴
(2)磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具
（2）高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列车。
假命题
（1）有两条对称轴的图形是长方形。
假命题
典例精讲
新知讲解
例1
说出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题。
解: 这个定理的逆命题是:
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
已知：AB是一条线段，Ｐ是一点，且PA＝PB
求证：点Ｐ在线段AB的垂直平分线上
证明（1）当点P在线段ＡＢ上，结论显然成立；
∵PA=PB，PO⊥AB，
∴OA=OB（等腰三角形三线合一）
P
A
B
O
C
（2）当点P不在
线段AB上时，作PC⊥AB于点O。
(这是一个真命题)
线段垂直平分线的性质定理：
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等.
线段垂直平分线性质定理的逆定理：
【总结归纳】
归纳概念
例2 写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题，判断这个命题的真假，并给出证明。
解 逆命题是
“
如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等”
这个逆命题是假命题。举反例如下：
如图，在△ABC和△ABE中，CD，EF分别是△ABC和△ABE的AB边上的高线，且CD=EF，则△ABC和△ABE的面积相等，但显然它们不全等。所以这个逆命题是假命题。
定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是______，这个命题正确吗？若正确，请你证明这个命题，若不正确请说明理由．
逆命题是“三角形一边上的中线是这边的一半的话，那么这个三角形是直角三角形”
这个命题是正确的．
已知：△ABC中，D是AC的中点，BD=AD，BD=DC．
求证：△ABC是直角三角形．
证明：∵BD=AD，
∴∠A=∠ABD，
∵BD=DC，
∴∠C=∠DBC，
∵∠A+∠C+∠ABD+∠DBC=180°，
∴2（∠A+∠C）=180°，
解得∠A+∠C=90°，
∴∠ABC=90°．
即△ABC是直角三角形．
课堂练习
A．任何命题都有逆命题
B．任何定理都有逆定理
C．真命题的逆命题不一定为真
D．任何命题都是由条件和结论构成的
A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项错误；
B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项正确；
C、真命题的逆命题不一定为真，正确，故本选项错误；
D、任何命题都是由条件和结论构成的，正确，故本选项错误．
故选B．
1、下列说法错误的是（ ）
B
2．能证明命题“若a＞0，b＞0，则a＋b＞0”的逆命题是假命题的反例是( )
A．a＝1，b＝1
B．a＝3，b＝4
C．a＝－3，b＝4
D．a＝－5，b＝2
C
3.写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理
(1)相等的角是内错角；
解：逆命题为“内错角相等”，原命题与逆命题都是假命题，不是互逆定理；
(2)角平分线上的点到角的两边的距离相等．
解：逆命题为“到一个角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上”，原命题和逆命题是互逆定理．
4.说出命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题，并判断逆命题的真假．若逆命题是真命题，请加以证明；若逆命题是假命题，请举出反例．
课堂总结
1．互逆命题
两个命题中，如果第一个命题的_______是第二个命题的________，而第一个命题的_______是第二个命题的________，那么这两个命题叫做互逆命题．
原命题：如果其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．
条件
结论
条件
结论
2．互逆定理
如果一个定理的逆命题能证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理．
3．线段的垂直平分线性质定理的逆定理．
定理：到线段________________的点在线段的垂直平分线上．
两端距离相等
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2.5
逆命题和逆定理
教案
课题
2.5
逆命题和逆定理
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，并能把一个命题改写为逆命题；2.掌握线段垂直平分线的判定．
重点
逆命题和逆定理的概念．
难点
写逆命题以及证明逆命题为真的表述均有难度，是本节教学的难点．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题命题的概念：对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。命题的结构：条件和结论，它的一般形式是“如果……，那么……”填表并思考：命题（1）和命题（2），命题（3）和命题（4）的条件和结论有什么关系？·（1）的条件是（2）的结论，（2）的结论是（1）的条件；
（3）的条件是（4）的结论，（4）的结论是（3）的条件
思考自议
讲授新课
提炼概念在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。上表中，命题（1）与命题（2），命题（3）与命题（4）都是互逆命题每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题是否一定为真命题？不一定如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫互逆定理。三、典例精讲例1
说出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题。解: 这个定理的逆命题是:
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．已知：如图，ＡＢ是一条线段，Ｐ是一点，且ＰＡ＝ＰＢ求证：点Ｐ在线段AB的垂直平分线上证明（1）当点P在线段ＡＢ上，结论显然成立；（2）当点P不在
线段AB上时，作PC⊥AB于点O。
∵PA=PB，PO⊥AB，∴OA=OB（根据什么？）∴PC是AB的垂直平分线。∴点P在线段AB的垂直平行线上可见，线段垂直平分线性质定理的逆定理是真命题。线段垂直平分线性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．例2 写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题，判断这个命题的真假，并给出证明。解 逆命题是
“
如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等”这个逆命题是假命题。举反例如下：如图，在△ABC和△ABE中，CD，EF分别是△ABC和△ABE的AB边上的高线，且CD=EF，则△ABC和△ABE的面积相等，但显然它们不全等。所以这个逆命题是假命题。定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是______，这个命题正确吗？若正确，请你证明这个命题，若不正确请说明理由．逆命题是“三角形一边上的中线是这边的一半的话，那么这个三角形是直角三角形”
这个命题是正确的．
已知：△ABC中，D是AC的中点，BD=AD，BD=DC．
求证：△ABC是直角三角形．证明：∵BD=AD，
∴∠A=∠ABD，
∵BD=DC，
∴∠C=∠DBC，
∵∠A+∠C+∠ABD+∠DBC=180°，
∴2（∠A+∠C）=180°，
解得∠A+∠C=90°，
∴∠ABC=90°．
即△ABC是直角三角形．
课堂检测
四、巩固训练
1.下列说法错误的是（ ）A．任何命题都有逆命题B．任何定理都有逆定理C．真命题的逆命题不一定为真D．任何命题都是由条件和结论构成的1.B2．能证明命题“若a＞0，b＞0，则a＋b＞0”的逆命题是假命题的反例是( )A．a＝1，b＝1
B．a＝3，b＝4C．a＝－3，b＝4
D．a＝－5，b＝22.C3.写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理(1)相等的角是内错角；(2)角平分线上的点到角的两边的距离相等．（1）解：逆命题为“内错角相等”，原命题与逆命题都是假命题，不是互逆定理；（2）解：逆命题为“到一个角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上”，原命题和逆命题是互逆定理．4.说出命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题，并判断逆命题的真假．若逆命题是真命题，请加以证明；若逆命题是假命题，请举出反例．
课堂小结
1．互逆命题
两个命题中，如果第一个命题的_______是第二个命题的________，而第一个命题的_______是第二个命题的________，那么这两个命题叫做互逆命题．
原命题：如果其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．2．互逆定理
如果一个定理的逆命题能证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理．3．线段的垂直平分线性质定理的逆定理．
定理：到线段________________的点在线段的垂直平分线上．
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精品试卷·第
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