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2.5
有理数的乘方
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一
有理数幂的概念理解
典例1．对于(－2)4与－24，下列说法正确的是(???
)
A．它们的意义相同
B．它的结果相等
C．它的意义不同，结果相等
D．它的意义不同，结果不等
变式1-1．（﹣2）6表示（ ）
A．6个﹣2相乘的积
B．﹣2与6相乘的积
C．2个6相乘的积的相反数
D．6与2相乘的积
变式1-2．下列各组数中，不是互为相反数的是（
）
A．与
B．与
C．与
D．与
变式1-3．可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-4．对于叙述正确的是（
）
A．个相加
B．16个相加
C．个16相乘
D．个16相加
考查题型二
有理数的乘方运算
典例2．在、
、、
、
中，负数的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
变式2-1．下列算式中，计算结果是负数的是
A．
B．
C．
D．
变式2-2．下列各组数中，数值相等的是（
）
A．﹣22和（﹣2）2
B．23和
32
C．﹣33和（﹣3）3
D．（﹣3×2）2和﹣32×22
变式2-3．若，则的值是（
）
A．-1
B．1
C．0
D．2018
变式2-4．观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64…，则22018的末位数是(
)
A．2
B．4
C．6
D．8
考查题型三
有理数的乘方的逆用
典例3．如果(a3)2＝64，则a等于（ ）
A．2
B．－2
C．±2
D．以上都不对
变式3-1．若，，且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
变式3-2．已知，，且＜0，则的值是（
）
A．±9
B．±1或±9
C．±1
D．－1或－9
考查题型四
乘方运算的符号规律
典例4．计算（-2）11+（-2）10的值是（ ）
A．-2
B．（-2）21
C．0
D．-210
变式4-1．对于与，下列说法正确的是( ).
A．底数不同，结果不同
B．底数不同，结果相同
C．底数相同，结果不同
D．底数相同，结果相同
变式4-2．(-2)2011×22012的计算结果是（
）
A．0
B．-24023
C．24023
D．-44023
考查题型五
乘方的应用
典例5．
一根1m长的绳子，第1次剪去一半，第2次剪去剩下绳子的一半．如此剪下去，剪第8次后剩下的绳子的长度是（ ）
A．m
B．m
C．m
D．m
变式5-1．小珊按如图所示设计树形图，设计规则如下：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段均成120°的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法，在每一条线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作到第10层．则树形图第10层的最高点到水平线的距离为（
）
A．
B．
C．
D．2
变式5-2．下面是一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第2020个数应是（
）
A．
B．
C．
D．以上答案均不对
变式5-3．某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），若这种细菌由1个分裂为64个，则这个过程要经过（ ）
A．1小时
B．2小时
C．3小时
D．4小时
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2.5
有理数的乘方
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一
有理数幂的概念理解
典例1．对于(－2)4与－24，下列说法正确的是(???
)
A．它们的意义相同
B．它的结果相等
C．它的意义不同，结果相等
D．它的意义不同，结果不等
【答案】D
【解析】的底数是﹣2，指数是4，结果是16；的底数是2，指数是4，它的意思是2的四次方的相反数，结果是﹣16．故选D．
变式1-1．（﹣2）6表示（ ）
A．6个﹣2相乘的积
B．﹣2与6相乘的积
C．2个6相乘的积的相反数
D．6与2相乘的积
【答案】A
【详解】根据乘方的意义知：（-2）6表示6个-2相乘，故选A．
变式1-2．下列各组数中，不是互为相反数的是（
）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】D
【详解】
A.
=3，=-3，互为相反数，不符合题意；
B.
=-9，=9，互为相反数，不符合题意；
C.
=-3，=3，互为相反数，不符合题意；
D.
=27，=27，不互为相反数，符合题意，
故选D.
变式1-3．可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】．故选D．
变式1-4．对于叙述正确的是（
）
A．个相加
B．16个相加
C．个16相乘
D．个16相加
【答案】A
【详解】选项A可表示为；选项B可表示为；选项C可表示为选项D可表示为；故选A．
考查题型二
有理数的乘方运算
典例2．在、
、、
、
中，负数的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【详解】因为=-9，=-2.5，=，=-9，=-27，所以负数的个数是4个,故选D.
变式2-1．下列算式中，计算结果是负数的是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：，故选项A符合题意，，故选项B不符合题意，，故选项C不符合题意，，故选项D不符合题意，故选：．
变式2-2．下列各组数中，数值相等的是（
）
A．﹣22和（﹣2）2
B．23和
32
C．﹣33和（﹣3）3
D．（﹣3×2）2和﹣32×22
【答案】C
【详解】解：A、-22=-4，（-2）2=4，不相等，故A错误；
B、23=8，32=9，不相等，故B错误；
C、-33=（-3）3=-27，相等，故C正确；
D、（-3×2）2=36，-32×22=-36，不相等，故D错误．
故选C
变式2-3．若，则的值是（
）
A．-1
B．1
C．0
D．2018
【答案】B
【详解】解：由题意得：a-1=0，b-2=0；解得：a=1，b=2所以=
变式2-4．观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64…，则22018的末位数是(
)
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【详解】解：以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循环的，
∵2018÷4=504…2，
∴22018的个位数字是4．
故选B．
考查题型三
有理数的乘方的逆用
典例3．如果(a3)2＝64，则a等于（ ）
A．2
B．－2
C．±2
D．以上都不对
【答案】C
【详解】故选：C
变式3-1．若，，且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】∵，∴，，
∵，∴与异号，当，时，，当，时，，
故选C．
变式3-2．已知，，且＜0，则的值是（
）
A．±9
B．±1或±9
C．±1
D．－1或－9
【答案】C
【详解】
解：∵|b|=5，∴b=±5，∵a2=16，∴a=±4，∵ab＜0∴a=4，b=-5或a=-4，b=5，∴a+b=4-5=-1，或a+b=-4+5=1．故选：C．
考查题型四
乘方运算的符号规律
典例4．计算（-2）11+（-2）10的值是（ ）
A．-2
B．（-2）21
C．0
D．-210
【答案】D
【详解】解：∵（-2）11+（-2）10=-211+210∴-2×210+210=210×（-2+1）=-210故选D．
变式4-1．对于与，下列说法正确的是( ).
A．底数不同，结果不同
B．底数不同，结果相同
C．底数相同，结果不同
D．底数相同，结果相同
【答案】A
【详解】解：的底数为3，的底数为－3，，，
故与底数不同，结果不同，故选A.
变式4-2．(-2)2011×22012的计算结果是（
）
A．0
B．-24023
C．24023
D．-44023
【答案】B
【详解】解：，故选．
考查题型五
乘方的应用
典例5．
一根1m长的绳子，第1次剪去一半，第2次剪去剩下绳子的一半．如此剪下去，剪第8次后剩下的绳子的长度是（ ）
A．m
B．m
C．m
D．m
【答案】C
【详解】解：第一次剪去全长的，剩下全长的，
第二次剪去剩下的，剩下全长的＝，
第三次再剪去剩下的，剩下全长的×＝，
如此剪下去，第8次后剩下的绳子的长为×1＝＝（m）．故选：C．
变式5-1．小珊按如图所示设计树形图，设计规则如下：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段均成120°的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法，在每一条线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作到第10层．则树形图第10层的最高点到水平线的距离为（
）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【解析】解：设树形图第
层增加的高度为
则树形图第
层最高点到水平线的距离为：
故选C.
变式5-2．下面是一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第2020个数应是（
）
A．
B．
C．
D．以上答案均不对
【答案】A
【详解】解：第1个数为1=20；
第2个数为2=21；
第3个数为4=22；
第4个数8=23；
第5个数为16=24；
……
第2020个数为22019.
故选：A.
变式5-3．某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），若这种细菌由1个分裂为64个，则这个过程要经过（ ）
A．1小时
B．2小时
C．3小时
D．4小时
【答案】C
【详解】解:根据已知可知：一个细胞第一次分裂成21个，
第二次分裂成22个，第三次分裂成23个，由上述规律可知，第n次时细胞分裂的个数为2n个，设第x次分裂成64个，由题意得2x=64，解得x=6，即第6次分裂细菌分裂成64个，答:由每半小时分裂一次，此细菌由1个分裂成64个，共花费了3个小时.故答案选C.
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