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2.6直角三角形
（1）
浙教版
八年级上
新知导入
情境引入
什么样的三角形叫做直角三角形？
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
表示：
“Rt△”
如图的三角形可以记为Rt△ABC
斜边
直
角
边
直角边
合作学习
已知：在△ABC中，∠C=90°
求证：∠A+∠B=90°
证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形三个内角的和等于180°）
∠C=90°（已知）
∴∠A+∠B=180°-∠C=90°
则∠A+∠B=90°
提炼概念
直角三角形的两个锐角互余
直角三角形的性质定理：
在Rt△ABC中，∠C=90°
则∠A+∠B=__________
90°
如图，CD是Rt△ABC斜边上的高。
（1）图中有几个直角三角形？
（2）图中有几对互余的角？
（3）图中有几对相等的角？
Rt△ABC、
Rt△ACD、
Rt△BCD
∠A与∠B、∠A与∠1、∠B与∠2、∠1与∠2
∠1=∠B、∠2=∠A
C
A
D
B
1
2
【做一做】已知直角三角形两个锐角的度数之比为3:2，求这两个锐角的度数.
解：设这两个锐角的度数为3x，2x
则3x+2x=90°
解得x=18°
∴这两个锐角的度数为54°，36°。
任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利用圆规比较中线与斜边的一半的长短，你发现了什么？
再画几个直角三角形试一试，你的发现相同吗？
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
B
A
C
D
直角三角形的性质2：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
用数学语言表述为：
在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AD＝BD＝1/2
AB
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.
B
A
C
D
典例精讲
新知讲解
例1
如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑行至B.已知AB＝200m，问这名滑雪运动员的高度下降了多少米？
解：如图，作Rt△ABC的斜边上的中线CD，
则CD=AD=0.5AB=0.5×200=100（m）（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.
∵∠B=30?，
∴∠A=90?－∠B=90?－30?=60?
(直角三角形的两个锐角互余)
.
A
B
C
D
∴△ADC是等边三角形
(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).
∴
AC=AD=100(m).
答:这名滑雪运动员的高度下降了100m.
A
B
C
D
归纳概念
从例1的结果，你能得到什么结论？
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
Ｂ
Ａ
Ｃ
直角三角形性质定理：
课堂练习
1.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2
km，则M，C两点间的距离为( )
A．0.5
km
B．0.6
km
C．0.9
km
D．1.2
km
D
2.如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，
∠A＝30°.
若CD＝6，则BC的长度为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
C
3.如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D.
(1)求证：∠ACD＝∠B；
证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B.
证明：在Rt△AFC中，∠CFA＝90°－∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED＝90°－∠DAE.
又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE，∴∠AED＝∠CFE，
又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE.
3.如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D.
(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于E，F，求证：∠CEF＝∠CFE.
4.在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点，猜一猜MN与BD的位置关系，再证明你的结论．
解：MN与BD的位置关系是MN垂
直且平分BD，
证明：连结BM，DM，如答图，
∵∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，
M为AC中点，
∴BM＝DM，
∵N为BD中点，
∴MN⊥BD，BN＝DN，
即MN与BD的位置关系是MN垂直且平分BD.
课堂总结
直角三角形的性质：
1、直角三角形的两个锐角互余
2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
3、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
4.等腰直角三角形的两个锐角都是45°
本节课你学到了什么？
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2.6
直角三角形（1）
教案
课题
2.6直角三角形（1）
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
理解直角三角形的概念；2.掌握直角三角形的性质，并能运用．
重点
直角三角形的两个锐角互余的性质及其应用.
难点
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的推导以及在例1中的应用，思路都不易形成，是本节教学的难点.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题有一个角是直角的三角形叫做直角三角形表示：“Rt△”如图的三角形可以记为Rt△ABC已知：在△ABC中，∠C=90°求证：∠A+∠B=90°证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形三个内角的和等于180°）∠C=90°（已知）∴∠A+∠B=180°-∠C=90°则∠A+∠B=90°直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余在Rt△ABC中，∠C=90°则∠A+∠B=90°如图，CD是Rt△ABC斜边上的高。（1）图中有几个直角三角形？Rt△ABC、
Rt△ACD、
Rt△BCD（2）图中有几对互余的角？∠A与∠B、∠A与∠1、∠B与∠2、∠1与∠2（3）图中有几对相等的角？∠1=∠B、∠2=∠A思考：已知直角三角形两个锐角的度数之比为3：2，求这两个锐角的度数。解：∵三角形内角和是180°，直角三角形中有一个角是90°
∴直角三角形的两个锐角度数的和是90°，
又3+2=5，
∴这两个锐角分别为：90°×=54°；
90°×=36°，
答：这个三角形两个锐角的度数分别是
54°，36°．已知：如图，D是Rt△ABC斜边AB上的一点，BD=CD，求证：AD=CD证明：∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,∠ACD+∠BCD=90°,
∵BD=CD,∴∠B=∠BCD,
∴∠A=∠ACD(等角的余角相等),
∴AD=CD.从本题中，你发现直角三角形斜边上的中线有什么性质？斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形还有以下性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
数学语言表述为：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的中线∴CD=AD=BD=AB
思考自议
“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”在直角三角形的计算中常常用到．
讲授新课
提炼概念直角三角形还有以下性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
三、典例精讲例1
如图,一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑行至B。已知AB=200m,问这名滑雪运动员的高度下降了多少米?解：作Rt△ABC的斜边上的中线CD，则CD=AD=AB=×200=100（m）（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）∵∠B=30°∴∠A=90°-∠B=60°（直角三角形的两个锐角互余）∴△ADC是等边三角形（为什么？）∴AC=AD=100（m）答：这名滑雪运动员的高度下降了100m从例1的结果，你能得到什么结论？直角三角形性质定理：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即在Rt△ABC
中，如果
∠ACB
＝
９0°
∠A＝
30
°
那么
BC＝
利用直角三角形两个锐角互余建立方程求解是解决此类问题的常用方法．
要说明两个三角形全等，首先要看三角形中已有的条件，然后寻找缺少的条件，再根据题目中提供的条件进行分析综合求出，从而达到解题的目的．
课堂检测
四、巩固训练1.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2
km，则M，C两点间的距离为( )A．0.5
km
B．0.6
kmC．0.9
km
D．1.2
km
1.D2.如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，∠A＝30°.
若CD＝6，则BC的长度为( )A．2
B．4
C．6
D．82.C3.如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D.(1)求证：∠ACD＝∠B；(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于E，F，求证：∠CEF＝∠CFE.证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B.证明：在Rt△AFC中，∠CFA＝90°－∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED＝90°－∠DAE.又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE，∴∠AED＝∠CFE，又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE.
4.在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点，猜一猜MN与BD的位置关系，再证明你的结论．解：MN与BD的位置关系是MN垂
直且平分BD，
证明：连结BM，DM，如答图，
∵∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，
M为AC中点，
∴BM＝DM，
∵N为BD中点，
∴MN⊥BD，BN＝DN，
即MN与BD的位置关系是MN垂直且平分BD.
课堂小结
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2.6直角三角形（1）
学案
课题
2.6直角三角形（1）
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级上册
学习目标
理解直角三角形的概念；2.掌握直角三角形的性质，并能运用．
重点
直角三角形的两个锐角互余的性质及其应用.
难点
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的推导以及在例1中的应用，思路都不易形成，是本节教学的难点.
教学过程
导入新课
【引入思考】
什么样的三角形叫做直角三角形？日常生活中常见的直角三角形有哪些?直角三角形的表示方法。直角三角形可以用符号“Rt△”表示。如图三角形可记为Rt△ABC.它的各部分名称分别是什么？______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思考：1.直角三角形的内角有什么特点?2.直角三角形的两个锐角之间有什么关系?____________________________________________________________________________________________________________________________________________你能证明这个猜想吗？已知：在△ABC中，∠C＝
90°.
求证：∠A＋∠B＝90°.【总结归纳】______________________________________________________________________________________________________________________________________________________【做一做】已知直角三角形两个锐角的度数之比为3:2，求这两个锐角的度数.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利用圆规比较中线与斜边的一半的长短，你发现了什么？再画几个直角三角形试一试，你的发现相同吗？猜想：_______________________________________________________已知：如图，D是Rt△ABC斜边AB上的一点，BD=CD.求证：AD=CD.证明：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________直角三角形的性质2：______________________________________________________________用数学语言表述为：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
新知讲解
提炼概念典例精讲
例1
如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑行至B.已知AB＝200m，问这名滑雪运动员的高度下降了多少米？解：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
课堂练习
巩固训练1.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2
km，则M，C两点间的距离为( )A．0.5
km
B．0.6
kmC．0.9
km
D．1.2
km
2.如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，∠A＝30°.
若CD＝6，则BC的长度为( )A．2
B．4
C．6
D．83.如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D.(1)求证：∠ACD＝∠B；(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于E，F，求证：∠CEF＝∠CFE.4.在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点，猜一猜MN与BD的位置关系，再证明你的结论．答案引入思考
证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形三个内角的和等于180°）∠C=90°（已知）∴∠A+∠B=180°-∠C=90°则∠A+∠B=90°直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余在Rt△ABC中，∠C=90°则∠A+∠B=90°解：∵三角形内角和是180°，直角三角形中有一个角是90°
∴直角三角形的两个锐角度数的和是90°，
又3+2=5，
∴这两个锐角分别为：90°×=54°；
90°×=36°，
答：这个三角形两个锐角的度数分别是
54°，36°．已知：如图，D是Rt△ABC斜边AB上的一点，BD=CD，求证：AD=CD证明：∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,∠ACD+∠BCD=90°,
∵BD=CD,∴∠B=∠BCD,
∴∠A=∠ACD(等角的余角相等),
∴AD=CD.从本题中，你发现直角三角形斜边上的中线有什么性质？斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形还有以下性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
数学语言表述为：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的中线∴CD=AD=BD=AB提炼概念典例精讲
例1
解：作Rt△ABC的斜边上的中线CD，则CD=AD=AB=×200=100（m）（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）∵∠B=30°∴∠A=90°-∠B=60°（直角三角形的两个锐角互余）∴△ADC是等边三角形（为什么？）∴AC=AD=100（m）答：这名滑雪运动员的高度下降了100m从例1的结果，你能得到什么结论？直角三角形性质定理：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即在Rt△ABC
中，如果
∠ACB
＝
９0°
∠A＝
30
°
那么
BC＝巩固训练1.D2.C3.证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B.证明：在Rt△AFC中，∠CFA＝90°－∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED＝90°－∠DAE.又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE，∴∠AED＝∠CFE，又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE.4.解：MN与BD的位置关系是MN垂
直且平分BD，
证明：连结BM，DM，如答图，
∵∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，
M为AC中点，
∴BM＝DM，
∵N为BD中点，
∴MN⊥BD，BN＝DN，
即MN与BD的位置关系是MN垂直且平分BD.
课堂小结
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精品试卷·第
2
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