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2.7探索勾股定理（1）
教案
课题
2.7探索勾股定理（1）
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
了解拼图验证勾股定理的方法；掌握勾股定理，会利用两边边长求直角三角形的另一边长；3.会利用勾股定理解决实际问题．
重点
探索并掌握勾股定理。
难点
运用勾股定理解决简单的问题。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题如图是在北京召开的第24届国际数学家大会(ICM—2002)
的会标.它的设计思路可追溯到3世纪中国数学家赵爽所使用的弦图.用弦图证明勾股定理在数学史上有着重要的地位.（1）剪四个全等的直角三角形纸片（如图1），把它们按图2放入一个边长为c的正方形中。这样我们就拼成了一个形如图2的图形.（2）设剪出的直角三角形纸片的两条直角边的长a，b和斜边长c，分别计算图中的阴影部分的面积与大、小正方形的面积。（3）比较图中阴影部分和大、小正方形的面积，你发现了什么？大正方形的面积:c?小正方形面积:（b-a）?阴影部分面积:4×ab它们之间的关系是：化简得：
a2+b2=c2直角三角形三边有下面的关系：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理：直角形三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.（揭示直角三角形三边之间的关系）几何语言表示：在Rt△ABC中∵
∠C=90°∴
a2+b2=c2(AC2+BC2=AB2)
思考自议
讲授新课
提炼概念三、典例精讲例1：已知ΔABC中，∠C=Rt∠，BC=a，
AC=b，AB=c。(1)若a=1,
b=2,
求c;(2)若a=15,c=17,求b;解：（1）根据勾股定理，得c?=a?+b?=1?+2?=5∵c>0，∴c=（2）根据勾股定理，得b?=c?-a?=17?-5?=64∵b>0，∴b=8例2
如图所示是一个长方形零件的平面图,尺寸如图所示,
求两孔中心A,
B之间的距离.(单位:毫米)解：过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则∠ACB=90°，AC=90-40=50（mm）BC=160-40=120（mm）由勾股定理，得AB?=AC?+BC?=50?+120?=16900（mm?）∵AB>0,∴AB=130（mm）答：两孔中心A,B之间的距离为130mm
在直角三角形中，已知任何两边，利用勾股定理都可以求出第三边，要注意的是斜边等于两直角边平方和的算术平方根，直角边等于斜边与另一条直角边的平方差的算术平方根．
课堂检测
四、巩固训练1.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝17，BD＝15，DC＝6，则AC的长为( )A．11
B．10
C．9
D．8
1.B
2.在直角三角形中，已知其中两边分别为3和4，则第三边等于__________．
3.已知∠C=90°，BC=3cm，BD=12cm，
AD=13cm。△ABC的面积是6cm2。?
（1）求AB的长度；
（2）求△ABD的面积。4.长方形纸片ABCD中，AD＝4
cm，AB＝10
cm，按如图所示方式折叠，使点B与D重合，折痕为EF，求DE的长．
课堂小结
1.勾股定理的由来.2.勾股定理的探索方法:测量法和数格子法.3.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.
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2.7探索勾股定理（1）
学案
课题
2.7探索勾股定理（1）
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级上册
学习目标
了解拼图验证勾股定理的方法；掌握勾股定理，会利用两边边长求直角三角形的另一边长；3.会利用勾股定理解决实际问题．
重点
探索并掌握勾股定理。
难点
运用勾股定理解决简单的问题。
教学过程
导入新课
【引入思考】
观看下面几幅图片
希腊为纪念一个重要数学定理而发行的邮票华罗庚教授建议向外太空发射与外星人联系的图案如图是在北京召开的第24届国际教学家大会(ICM-2002)的会标，它的设计思路可追溯到3世纪中国教学家赵爽所使用的图。用弦图证明勾股定理在数学史上有着重要的地位。【合作学习】（1）剪四个全等的直角三角形纸片(图2-34)，把它们按图2-35放入一个边长为c的正方形中.这样我们就拼成了一个形如图2-35的图形.（2）设剪出的直角三角形纸片的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c.分别计算图2-35中的阴影部分的面积和大、小两个正方形的面积.___________________________________________________________________________________________________________________________（3）比较图2-35中阴影部分和大、小两个正方形的面积，你发现了什么？_________________________________________________________________________________________________________________________【思考】通过上面的活动，你发现了什么？____________________________________________________________________________________如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，则______________.【拓展延伸】我国早在三千多年前就知道直角三角形的这个性质.古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦，因此这一性质也称为勾股定理.【想一想】公式a2+b2=c2有哪些变形公式?
新知讲解
提炼概念典例精讲
例1
已知在△ABC中,
∠C=Rt∠,BC=a,AC=b,AB=c（1）若
a=1,
b=2,
求c；（2）若
a=15,
c=17,
求b.【总结提升】利用勾股定理求直角三角形的边长的方法：_________________________________________________________________________________________________________________________例2
如图，是一个长方形零件图,根据所给的尺寸（单位：mm）,求两孔中心A，B之间的距离.思考
长为的线段能是直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗？思考
根据上面问题你能在数轴上画出表示的点吗？
课堂练习
巩固训练1.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝17，BD＝15，DC＝6，则AC的长为( )A．11
B．10
C．9
D．82.在直角三角形中，已知其中两边分别为3和4，则第三边等于__________．3.已知∠C=90°，BC=3cm，BD=12cm，
AD=13cm。△ABC的面积是6cm2。?
（1）求AB的长度；
（2）求△ABD的面积。4.长方形纸片ABCD中，AD＝4
cm，AB＝10
cm，按如图所示方式折叠，使点B与D重合，折痕为EF，求DE的长．答案引入思考大正方形的面积:c?小正方形面积:（b-a）?阴影部分面积:4×ab它们之间的关系是：化简得：
a2+b2=c2直角三角形三边有下面的关系：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理：直角形三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.（揭示直角三角形三边之间的关系）几何语言表示：在Rt△ABC中∵
∠C=90°∴
a2+b2=c2(AC2+BC2=AB2)提炼概念典例精讲
例1
解：（1）根据勾股定理，得c?=a?+b?=1?+2?=5∵c>0，∴c=（2）根据勾股定理，得b?=c?-a?=17?-5?=64∵b>0，∴b=8例2
解：过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则∠ACB=90°，AC=90-40=50（mm）BC=160-40=120（mm）由勾股定理，得AB?=AC?+BC?=50?+120?=16900（mm?）∵AB>0,∴AB=130（mm）答：两孔中心A,B之间的距离为130mm巩固训练1.B2.3.
4.
课堂小结
1.勾股定理的由来.2.勾股定理的探索方法:测量法和数格子法.3.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.
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2.7探索勾股定理
（1）
浙教版
八年级上
新知导入
情境引入
观看下面几幅图片
希腊为纪念一个重要数学定理而发行的邮票
观看下面几幅图片
C
B
A
华罗庚教授建议向外太空发射与外星人联系的图案
合作学习
你知道这三个正方形的面积分别是多少吗
？
三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？
SA+SB=SC
A的面积
(单位面积)
B的面积
(单位面积)
C的面积
(单位面积)
图1
32=9
32=9
18
观看下面几幅图片
如图是在北京召开的第24届国际教学家大会(ICM-2002)的会标，它的设计思路可追溯到3世纪中国教学家赵爽所使用的图。用弦图证明勾股定理在数学史上有着重要的地位。
（1）剪四个全等的直角三角形纸片(图2-34)，把它们按图2-35放入一个边长为c的正方形中.
这样我们就拼成了一个形如图2-35的图形.
【合作学习】
（2）设剪出的直角三角形纸片的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c.分别计算图2-35中的阴影部分的面积和大、小两个正方形的面积.
S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
【合作学习】
S阴影＝
（3）比较图2-35中阴影部分和大、小两个正方形的面积，你发现了什么？
【合作学习】
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
提炼概念
【思考】通过上面的活动，你发现了什么？
一般地，直角三角形的三条边长有下面的关系:
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，则
a2+b2=c2.
我国早在三千多年前就知道直角三角形的这个性质.古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦，因此这一性质也称为勾股定理.
【拓展延伸】
典例精讲
新知讲解
例1
已知在△ABC中,
∠C=Rt∠,BC=a,AC=b,AB=c
（1）若
a=1,
b=2,
求c；
（2）若
a=15,
c=17,
求b.
c2=a2+b2=12
+22
=5
∵c>0,
解:(1)根据勾股定理，得
∴c=
(2)根据勾股定理，得
∵b>0
,
∴b=8.
=172
-152
=64.
=(17＋15)(17－15)
b2
=
c2
-a2
归纳概念
利用勾股定理求直角三角形的边长的方法：
一般都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”，即
一分：分清哪条边是斜边，哪些是直角边；
二代：将已知边长及两边之间的关系式代入a2＋b2＝c2（假设c是斜边）；
三化简．
【总结提升】
例2
如图，是一个长方形零件图,根据所给的尺寸（单位：mm）,求两孔中心A，B之间的距离.
解:过A作铅垂线,过B作水平线,两线交于点C,则∠C
=90。
AC=90-40=50(mm),
BC=160-40=120(mm).
由勾股定理，得
AB2=AC2+BC2
=502+1202=16900（mm2）
A
B
C
40
90
160
40
答:两孔中心A,B之间的距离为130mm.
∵AB>0
∴AB=130(mm).
A
B
C
40
90
160
40
课堂练习
1.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝17，BD＝15，DC＝6，则AC的长为( )
A．11
B．10
C．9
D．8
B
2.在直角三角形中，已知其中两边分别为3和4，则第三边等于__________．
3.已知∠C=90°，BC=3cm，BD=12cm，
AD=13cm。△ABC的面积是6cm2。?
（1）求AB的长度；
（2）求△ABD的面积。
4．长方形纸片ABCD中，AD＝4
cm，AB＝10
cm，按如图所示方式折叠，使点B与D重合，折痕为EF，求DE的长．
课堂总结
1.勾股定理的由来.
2.勾股定理的探索方法:测量法和数格子法.
3.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.
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