(共21张PPT)
2.7探索勾股定理
（2）
浙教版
八年级上
新知导入
情境引入
（1）直角三角形的内角有什么特点？
（2）怎样判定一个三角形是是直角三形？
反过来，有两个锐角互余的三角形是直角三角形。
直角三角形有一个内角是直角,另外两个锐角互余。
合作学习
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
你能说出勾股定理的逆命题吗？
这个命题成立吗？试试看,下面我们一起来探索这个逆命题.
(1)作三个三角形，使其边长分别为3cm,
4cm,
5cm;
1.5
cm,2
cm,2.5
cm;
5cm,
12
cm,
13
cm.
3cm
4cm
5cm
5cm
12cm
13cm
2.5cm
1.5cm
2cm
(2)算一算较短两条边的平方和与最长一条边的平方是否相等.
3cm,
4cm,
5cm;
1.5
cm,2
cm,2.5
cm;
5cm,
12
cm,
13
cm.
32＋42＝52
1.52＋22＝2.52
52＋122＝132
(3)量一量所作每一个三角形最大边所对角的度数.
可以用量角器测量，所画的四个三角形都是直角三角形。
由此你得到怎样的猜想？用命题的形式表述你的猜想.
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2
,那么这个三角形是直角三角形。
你能证明你的猜想吗？
证明：作Rt△DEF，使∠E=90°，DE=b
,EF=a
在Rt△DEF中，DF2=ED2+EF2=a2+b2
∵c2
=a2
+
b2
，∴DF
=c
∴DF=AB，DE=AC
，EF=BC
∴Rt△DFE≌Rt△ABC
(SSS)
∴∠C=∠E=90°
已知：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a
,若c2
=a2+b2
求证：∠C=90°
E
F
D
提炼概念
即如果三角形的三边长a，b，c有关系
那么这个三角形是直角三角形.
由此你得到怎样的结论?
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
（勾股定理的逆定理）
a2＋b2＝c2
典例精讲
新知讲解
例3
根据下列条件,分别判断以a,b,c为边的三角形是不是直角三角形.
(1)
a=7,
b=24,
c=25；
(2)
,b=1,
解
(1)∵
72+242=252，∴以7,24,25
为边的三角形是直角三角形.
(2)
也就是较小两边的平方和不等于较大边的平方，∴a，b，c中任何两边的平方和都不等于第三边的平方，
∴以
为边的三角形不是直角三角形.
归纳概念
利用边的关系判定直角三角形的步骤：
(1)比较三边长a，b，c的大小，找出最长边．
(2)计算两短边的平方和，看它是否与最长边的平方相等；若相等，则是直角三角形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则此三角形不是直角三角形．
例4
已知△ABC的三条边长分别为a,b,c,且
a=m2-n2,b=2mn,
c=m2+n2（m＞n,m，n
是正整数).△ABC是直角三角形吗?请证明你的判断.
解
△ABC是直角三角形.证明如下:
∵a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2（m＞n,m，n
是正整数)
∴a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2
=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2=c2.
∴△ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理).
满足
a2+b2=c2
的三个整数,称为勾股数。
常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13；8，15，17；
7，24，25；9，40，41；….
【勾股数】
课堂练习
1.已知a，b，c为△ABC的三边，若满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
D
2. 根据下列条件，分别判断以a，b，c为边的三角形能否构成直角三角形．
(1)a＝4，b＝5，c＝6；
(3)a＝7，b＝24，c＝25.
解：(1)∵a2＋b2＝42＋52＝41，c2＝62＝36，
∴a2＋b2≠c2，
∴不能构成直角三角形．
∵a2＋b2＝10k2，c2＝10k2，
∴a2＋b2＝c2，
∴能构成直角三角形．
(3)∵a2＋b2＝72＋242＝625，c2＝252＝625，
∴a2＋b2＝c2，
∴能构成直角三角形．
120
4.
课堂总结
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
a
c
b
A
B
C
(1)
如果三角形两边的平方和等于第三边平方,
那么这个三角形是直角三角形.
直角三角形的判定方法之一：
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2.7探索勾股定理（2）
学案
课题
2.7探索勾股定理（2）
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级上册
学习目标
理解勾股定理的逆定理；2.会运用勾股定理及其逆定理解决实际问题．
重点
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，
那么这个三角形是直角三角形.
难点
例4
有一定的运算量，是本节教学的难点.
教学过程
导入新课
【引入思考】
（1）直角三角形的内角有什么特点？（2）怎样判定一个三角形是是直角三形？直角三角形有一个内角是直角,另外两个锐角互余。反过来，有两个锐角互余的三角形是直角三角形。你能说出勾股定理的逆命题吗？__________________________________________________这个命题成立吗？试试看下面我们一起来探索这个逆命题.已知：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a
,若c2
=a2+
b2
求证：∠C
=
90°
由此你得到怎样的结论?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
新知讲解
提炼概念典例精讲
例3
根据下列条件,分别判断以a,b,c为边的三角形是不是直角三角形.(1)
a=7,
b=24,
c=25；
(2),b=1,【拓展提高】利用边的关系判定直角三角形的步骤：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________例4
已知△ABC的三条边长分别为a,b,c,且
a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2（m＞n,m，n
是正整数).△ABC是直角三角形吗?请证明你的判断.【勾股数】______________________________________________________________________________________________________________判断勾股数的方法：
______________________________________________________________________________________________________________
课堂练习
巩固训练1.已知a，b，c为△ABC的三边，若满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是( )A．等边三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形2. 根据下列条件，分别判断以a，b，c为边的三角形能否构成直角三角形．
(1)a＝4，b＝5，c＝6；
(3)a＝7，b＝24，c＝25.3.在△ABC中，CD是边AB上的高线，BC＝2，CD＝，AC＝2，请判断△ABC的形状．4.答案引入思考
勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.符号语言：在△ABC中，∵a2+b2=c2（已知）
∴△ABC是Rt△,且∠C=Rt∠
提炼概念典例精讲
例3解：（1）∵7?+24?=25?，∴以7,24,25为边的三角形是直角三角形。（2）∵（）?+
（）?=
≠1?也就是较小两边的平方和不等于较大边的平方，∴a,b,c中任何两边的平方和都不等于第三边的平方，∴以，1，为边的三角形不是直角三角形例4
解：∵
a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整数）∴a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2=c2∴△ABC是直角三角形。巩固训练B2.解：(1)∵a2＋b2＝42＋52＝41，c2＝62＝36，
∴a2＋b2≠c2，
∴不能构成直角三角形．
∵a2＋b2＝10k2，c2＝10k2，
∴a2＋b2＝c2，
∴能构成直角三角形．
(3)∵a2＋b2＝72＋242＝625，c2＝252＝625，
∴a2＋b2＝c2，
∴能构成直角三角形．3.解：∵CD是边AB上的高，在Rt△CDB中，BD＝＝1，在Rt△ACD中，AD＝＝3，∴AB＝BD＋AD＝4，∵AC2＝(2)2＝12，BC2＝22＝4，AB2＝42＝16，又∵12＋4＝16，即AC2＋BC2＝AB2∴△ABC是直角三角形． 4.
课堂小结
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
（勾股定理的逆定理）
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2.7探索勾股定理（2）
教案
课题
2.7探索勾股定理（2）
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
理解勾股定理的逆定理；2.会运用勾股定理及其逆定理解决实际问题．
重点
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，
那么这个三角形是直角三角形.
难点
例4
有一定的运算量，是本节教学的难点.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题（1）直角三角形的内角有什么特点？（2）怎样判定一个三角形是是直角三形？直角三角形有一个内角是直角,另外两个锐角互余。反过来，有两个锐角互余的三角形是直角三角形。你能说出勾股定理的逆命题吗？__________________________________________________这个命题成立吗？试试看下面我们一起来探索这个逆命题.由此你得到怎样的结论?用命题的形式表述你的猜想。如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
思考自议
讲授新课
提炼概念勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.符号语言：在△ABC中，∵a2+b2=c2（已知）
∴△ABC是Rt△,且∠C=Rt∠
三、典例精讲例3
根据下列条件，分别判断以a,b,c为边的三角形是不是直角三角形（1）a＝7，b＝24，c＝25（2）a＝
，b＝1，c＝解：（1）∵7?+24?=25?，∴以7,24,25为边的三角形是直角三角形。（2）∵（）?+
（）?=
≠1?也就是较小两边的平方和不等于较大边的平方，∴a,b,c中任何两边的平方和都不等于第三边的平方∴以，1，为边的三角形不是直角三角形，例4.已知△ABC三条边长分别为a,b,c,且a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2(m>n，m,n是正整数)。△ABC是直角三角形吗？请证明你的判断。解：∵
a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整数）∴a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2=c2∴△ABC是直角三角形。
判断三条线段能否组成直角三角形的方法是：(1)找出最长边；(2)计算较小两边的平方和以及最长边的平方；(3)比较较小两边的平方和是否等于最长边的平方，若相等，则能组成直角三角形，若不相等，则不能组成直角三角形．
课堂检测
四、巩固训练1.已知a，b，c为△ABC的三边，若满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是( )A．等边三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形1.B2. 根据下列条件，分别判断以a，b，c为边的三角形能否构成直角三角形．
(1)a＝4，b＝5，c＝6；
(3)a＝7，b＝24，c＝25.解：(1)∵a2＋b2＝42＋52＝41，c2＝62＝36，
∴a2＋b2≠c2，
∴不能构成直角三角形．
∵a2＋b2＝10k2，c2＝10k2，
∴a2＋b2＝c2，
∴能构成直角三角形．
(3)∵a2＋b2＝72＋242＝625，c2＝252＝625，
∴a2＋b2＝c2，
∴能构成直角三角形．3.在△ABC中，CD是边AB上的高线，BC＝2，CD＝，AC＝2，请判断△ABC的形状．解：∵CD是边AB上的高，在Rt△CDB中，BD＝＝1，在Rt△ACD中，AD＝＝3，∴AB＝BD＋AD＝4，∵AC2＝(2)2＝12，BC2＝22＝4，AB2＝42＝16，又∵12＋4＝16，即AC2＋BC2＝AB2∴△ABC是直角三角形．
课堂小结
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
（勾股定理的逆定理）
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