2020-2021学年浙教新版九年级上册数学《第4章 相似三角形》单元测试卷（word版、含解析）

2020-2021学年浙教新版九年级上册数学《第4章
相似三角形》单元测试卷
一．选择题
1．若a：b＝3：2，且b2＝ac，则b：c＝（　　）
A．4：3
B．3：2
C．2：3
D．3：4
2．若，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝8cm，d＝12cm，则a＝（　　）
A．2cm
B．4cm
C．6cm
D．8cm
4．如图，直线a∥b∥c，AB＝BC，若DF＝9，则EF的长度为（　　）
A．9
B．5
C．4
D．3
5．如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．已知2x＝3y，那么下列结论中不正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（　　）
A．1：2
B．2：1
C．1：4
D．4：1
8．如图，AB⊥BD，PD⊥BD，垂足分别为点B，D，点C是线段BD上的动点，点E是射线DP上的动点，增加下列条件，不能得到△ABC与△CDE相似的是（　　）
A．∠A＝∠ECD
B．＝
C．＝
D．＝
9．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H．则下列矩形是黄金矩形的是（　　）
A．矩形ABFE
B．矩形EFCD
C．矩形EFGH
D．矩形DCGH
10．如图，点A、B、C、D、E、F、G、H、K都是7×8方格纸中的格点，如果△DEM与△ABC相似（点D和A对应，点E和B对应），那么点M应是F、G、H、K四点中的（　　）
A．F
B．G
C．H
D．K
二．填空题
11．如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝3，DE＝2，BC＝6，则EF＝　
　．
12．△ABC与△DEF相似，其面积比为1：4，则它们的相似比为　
　．
13．已知＝，则的值是　
　．
14．已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝2
cm，b＝4
cm，那么c＝　
　cm．
15．如图，△ABC中，D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若AD：AB＝1：2，则AE：AC＝　
　．
16．如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站到舞台的黄金分割点P处，且AP＜BP，那么报幕员应走　
　米报幕．
17．如图所示的5×5的方格纸中，如果想作格点△ABC与△OAB相似（相似比不能为1），则C点坐标为　
　．
18．若＝＝≠0，则＝　
　．
19．设k＝＝＝，则k的值为　
　．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP交边BC于点D，若△DAC∽△ABC，则∠B＝　
　度．
三．解答题
21．已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c＝36，＝＝，求△ABC三边的长．
22．已知a：b：c＝2：3：4，且2a+3b﹣2c＝10，求a，b，c的值．
23．已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：6，且a+2b+c＝26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
24．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长．
25．如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F；AC与DF交于点O．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4．
（1）求AC的长；
（2）若BE：CF＝1：3，求OB：AB．
26．已知，求下列算式的值．
（1）；
（2）．
27．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．
（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵b2＝ac，
∴b：a＝c：b，
∵a：b＝3：2，
∴b：c＝a：b＝3：2．
故选：B．
2．解：因为，
所以b＝，
把b＝代入则＝，
故选：B．
3．解：∵四条线段a、b、c、d成比例，
∴＝，
∵b＝3cm，c＝8cm，d＝12cm，
∴＝，
解得：a＝2cm．
故选：A．
4．解：∵直线a∥b∥c，
∴＝，
∴DE＝?EF＝EF．
∵DF＝DE+EF＝EF+EF＝9，
∴EF＝5．
故选：B．
5．解：∵DE∥AB，
∴＝＝，
故选：A．
6．解：A、∵＝，∴2x＝3y，故本选项正确；
B、∵＝，∴2x＝3y，故本选项正确；
C、∵＝，∴3x＝2y，故本选项错误；
D、∵＝，∴2（x+y）＝5y，解得2x＝3y，故本选项正确．
故选：C．
7．解：∵两个相似三角形的面积之比为1：4，
∴它们的相似比为1：2，
∴它们的周长之比为1：2．
故选：A．
8．解：∵AB⊥BD，PD⊥BD，
∴∠ABC＝∠CDE＝90°，
A、∵∠A＝∠ECD，∠ABC＝∠CDE，
∴△ABC∽△EDC，
故A选项不合题意，
B、∵，
∴△ACB∽△ECD，
故B选项不合题意，
C、∵，∠ABC＝∠CDE，
∴△ABC∽△CDE，
故C选项不合题意，
若，不能判定△ABC与△CDE相似，
故选：D．
9．解：设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1
在直角三角形DCF中，DF＝，
∴FG＝，
∴CG＝﹣1
∴，
∴矩形DCGH为黄金矩形
故选：D．
10．解：根据题意，
△DEM∽△ABC，AB＝4，AC＝6
DE＝2，
∴DE：AB＝DM：AC，
∴DM＝3，
∴M应是H，
故选：C．
二．填空题
11．解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
又AB＝3，DE＝2，BC＝6，
∴EF＝4，
故答案为：4．
12．解：∵△ABC与△DEF相似，面积比为1：4，
∴它们的相似比为1：2，
故答案为：1：2．
13．解：∵＝，
∴a＝2b，
∴＝＝5．
故答案为：5．
14．解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，
所以b2＝ac，即42＝2c，c＝8．
故答案为：8．
15．解：∵DE∥BC，
∴AE：AC＝AD：AB＝1：2，
故答案为：1：2．
16．解：∵点P为AB的黄金分割点，AP＜BP，
∴PB＝AB＝×10＝5﹣5（米），
∴AP＝AB﹣PB＝10﹣（5﹣5）＝15﹣5（米），
故答案为（15﹣5）．
17．解：根据题意得：OA＝1，OB＝2，AB＝，
∴当AB与AC对应时，有或者，
∴AC＝或AC＝5，
∵C在格点上，
∴AC＝（不合题意），则AC＝5，
∴C点坐标为（4，4），
同理当AB与BC对应时，可求得BC＝或者BC＝5，也是只有后者符合题意，此时C点坐标为（5，2）
∴C点坐标为（5，2）或（4，4）．
故答案为：（4，4）或（5，2）．
18．解：设＝＝＝k≠0，
则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
所以＝＝．
故答案是：．
19．解：当a+b+c≠0时，∵＝＝，
∴＝＝＝＝k＝＝1
当a+b+c＝0时，即a+b＝﹣c，所以k＝＝＝﹣2
所以k的值为1或﹣2．
20．解：由作图可知，AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵△DAC∽△ABC，
∴∠CAD＝∠B，
∴∠CAB＝2∠B，
∵∠CAB+∠B＝90°，
∴3∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
故答案为30．
三．解答题
21．解：＝＝，得
a＝c，b＝c，
把a＝c，b＝c代入且a+b+c＝36，得
c+c+c＝36，
解得c＝15，
a＝c＝9，
b＝c＝12，
△ABC三边的长：a＝9，b＝12，c＝15．
22．解：设a＝2k，b＝3k，c＝4k，
又∵2a+3b﹣2c＝10，
∴4k+9k﹣8k＝10，
5k＝10，
解得k＝2．
∴a＝4，b＝6，c＝8．
23．解：（1）∵a：b：c＝3：2：6，
∴设a＝3k，b＝2k，c＝6k，
又∵a+2b+c＝26，
∴3k+2×2k+6k＝26，解得k＝2，
∴a＝6，b＝4，c＝12；
（2）∵x是a、b的比例中项，
∴x2＝ab，
∴x2＝4×6，
∴x＝2或x＝﹣2（舍去），
即x的值为．
24．解：∵AB∥CH∥CD，
∴△CGH∽△ABC，△BGH∽△BCD，
∴，，
∴+＝+＝1，
∵AB＝2，CD＝3，
∴＝1，
∴GH＝．
25．解：（1）∵l1∥l2∥l3，
∴，
即，
解得：AC＝12；
（2）∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB＝4，AC＝12，
∴BC＝8，
∴OB＝2，
∴．
26．解：（1）∵，
∴＝；
（2）∵，
∴设a＝3k，则b＝2k，
∴＝＝＝．
27．解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：
设△ABC的边AB上的高为h．
则，，，
∴，．
又∵点D为边AB的黄金分割点，
∴，
∴．
故直线CD是△ABC的黄金分割线．
（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
∴，即，
故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．
（3）∵DF∥CE，
∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，
∴S△DFC＝S△DFE，
∴S△ADC＝S△ADF+S△DFC＝S△ADF+S△DFE＝S△AEF，S△BDC＝S四边形BEFC．
又∵，
∴．
因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．（7分）
（4）画法不唯一，现提供两种画法；
画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．
画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．
（9分）