第1章 二次函数单元训练卷（Word版 含解析）-2021-2022学年度浙教版九年级数学上册

第1章
二次函数单元训练卷-2021-2022学年度浙教版九年级数学上册
一、选择题
1.抛物线
经过点
、
，且与y轴交于点
，则当
时，y的值为（???
）
A.-5
B.-3
C.-1
D.5
2.已知抛物线
上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
-1
m
3
…
以下结论正确的是（???
）
A.?抛物线
的开口向下
B.?当
时，y随x增大而增大
C.?方程
的根为0和2
D.?当
时，x的取值范围是
3.在平面直角坐标系中，将二次函数
的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（??
）
A.???????????B.????????????C.?????????????D.?
4.如图，已如抛物线
开口向上，与
轴的一个交点为
，对称轴为直线
.下列结论错误的是（??
）
A.??????????????????????B.???????????C.?????????????????D.?
5.已知
，且
，其中
，
，则
的取值范围（??
）
A.?????????????????B.?????????????C.???????????D.?
6.如图，矩形
中，
，
，抛物线
的顶点
在矩形
内部或其边上，则
的取值范围是（
??）
A.??????????B.???????????????C.?????????D.?
7.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为（???
）人
A.?56??????????????????????????????B.?55?????????????????????????????C.?54???????????????????????????D.?53
8.小明在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数
，则小明此次成绩为（??
）
A.?8米???????????????????????B.?10米?????????????????????????C.?12米????????????????????????D.?14米
9.如图是二次函数
和一次函数
的图象.则下列结论正确的是（?
）
A.?若点
在二次函数图像上，则
B.?当
或
时，
C.?
D.?当
（
为实数）时，
10.如图，二次函数
的图象经过点
，
，与y轴交于点C
．
下列结论：
①
；②当
时，y随x的增大而增大；③
；④
．
其中正确的个数有（???
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题
11.二次函数y＝x2﹣2x＋m的最小值为2，则m的值为________．
12.抛物线
的顶点坐标是________．
13.某商场经营一种小商品，已知购进时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为280件．而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，当月销售利润最大时，销售单价为________元．
14.已知函数y＝（a﹣1）x2﹣2ax+a﹣3的图象与两坐标轴共有两个交点，则a的值为________．
15.抛物线
经过点
，
两点，则不等式
的解集是________.
16.如图，矩形
中AB＝2，AD＝5，动点P从点A出发，以1
cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）.连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则
面积最小值为________.
三、解答题
17.二次函数图像的顶点坐标是（-2，3），并经过点（1，2），求这个二次函数的函数关系式．
18.如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），求当矩形ABCD的面积最大时AB的长．
19.某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/t
，
加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（t）之间的关系为m＝50＋0.2x
，
销售价y（万元/t）与原料的质量x（t）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设销售收入为P（万元），求P与x之间的函数关系式；
（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）．
20.甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片.如图①，甲秀楼的桥拱截面
可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽
，桥拱顶点
到水面的距离是
.
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为
的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距
点
时，桥下水位刚好在
处.有一名身高
的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线
，该抛物线在
轴下方部分与桥拱
在平静水面中的倒影组成一个新函数图象.将新函数图象向右平移
个单位长度，平移后的函数图象在
时，
的值随
值的增大而减小，结合函数图象，求
的取值范围.
21.如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）和点B（﹣5，m）与x轴的正半轴交于点C.
（1）求a，m的值和点C的坐标；
（2）若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当
时，求点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由.
22.已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）.
（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；
（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；
（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1
，
求实数m的最小值.
23.在平面直角坐标系中，抛物线
的顶点为A
．
（1）求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）；
（2）若点
，
在抛物线上，且
，则m的取值范围是________；（直接写出结果即可）
（3）当
时，函数y的最小值等于6，求m的值．
24.在平面直角坐标系中，抛物线
交x轴于点
，
，过点B的直线
交抛物线于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B
，
C重合），求
面积的最大值；
（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON
，
是否存在点M
，
使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
一、选择题
1.解：∵抛物线
经过点
、
，且与y轴交于点
，
∴
，
解方程组得
，
∴抛物线解析式为
，
当
时，
．
故答案为：择A．
2.解：将
代入抛物线的解析式得；
，
解得：
，
所以抛物线的解析式为：
，
A、
，抛物线开口向上，不符合题意，不符合题；
B、抛物线的对称轴为直线
，在
时，y随x增大而增大，不符合题意，不符合题意；
C、方程
的根为0和2，符合题意，符合题意；
D、当
时，x的取值范围是
或
，不符合题意，不符合题意；
故答案为：C．
3.解：∵
的顶点坐标为（0，0）
∴将二次函数
的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1），
∴所得抛物线对应的函数表达式为
，
故答案为：B
4.解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线
，
∴a＞0，b＜0；由图象知c＜0，
∴abc＞0，故A不符合题意；
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点是（-1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）；
∴
即
故B不符合题意；
当x=2时，
，即
，故C符合题意；
∵抛物线对称轴为直线
∴
，即
，故D不符合题意，
故答案为：C.
5.解：由
可得：
，
∵m≤3，n≥-3，
∴
，
即-2≤x≤2，
∵y=2x2-4x+1，
对称轴为直线x=
=1且a=2＞0，开口向上，
∴当x=1时，y有最小值，最小值为y=2×12-4×1+1=-1，
当x=-2时，y有最大值，最大值为y=2×（-2）2-4×（-2）+1=17，
∴-1≤y≤17，
故答案为：A.
6.解：抛物线
的顶点坐标M为（m
，
-m＋1），
∵
，
，
∴
，
∴-1≤m≤0，
故答案为：D
．
7.解：设旅行团人数为x人，此时的营业额为y元，则
，
由题意得：
，
由二次函数的性质可知，在
内，当
时，y取得最大值，
即若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为55人，
故答案为：B．
8.解：当
时，
，即
.
解得：
（舍），
.
则小明此次成绩时10米.
故答案为：B.
9.解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1，且|-2-1|＞|2-1|＞
，
∴d1＜d3＜d2
，
故A错误；
无法求得两个函数图象的交点坐标，故B错误；
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴
，
∴2a+b=0，故C错误；
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴点（0，c）与点（2，c）关于对称轴对称，
∴当x=k2+2（k为实数）时，y1≤c，故D正确.
故答案为：D.
10.∵二次函数的图象经过点A(—1，0)，B(3，
0)
∴对称轴
∴b
=-2a
，
c
=
-3a
∵二次函数的图象开口向下
∴a
<
0
∴2a+b+c
=
-3a
>0，∴ac＜0故①不符合题意；
∵二次函数的图象开口向下，对称轴
，
∴当x
>1时，y随x的增大而减小；故②不符合题意；
∵c
=
-3a
∴3a+c=0，故③符合题意；
由题意可知二次函数的顶点坐标为(1，-4a)
∵当x=1时，y最大=a+b+c
，
当x=m时，y=
∴
故④符合题意；
故答案为：B
二、填空题
11.解：y＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2+m﹣1，
∵a＝1＞0，
∴当x＝1时，y有最小值为m﹣1，
∴m﹣1＝2，
∴m＝3．
故答案为：3．
12.解：∵抛物线y=a（x-h）2+k的顶点坐标是（h，k），
∴抛物线
的顶点坐标是（2，3），
故答案为：（2，3）．
13.解：设销售单价为x元时，销售利润最大，
单价利润为（x-20）元，
销售数量为280-（x-30）?10，
∴利润总额为y=（x-20）?[280-（x-30）?10]，
化简得：y=-10x2+780x-11600，
配方得：y=-10(x-39)2+3610，
当单价为39元时，有最大利润3610元，
故答案为：39．
14.解：当a﹣1＝0时，即a＝1时，函数为y＝﹣2x﹣2，此一次函数与坐标轴共有两个交点；
当a﹣1≠0，此函数为二次函数，
?若a﹣3＝0，抛物线解析式为y＝2x2﹣6x
，
抛物线经过原点且抛物线与x轴有两个交点；
?若△＝0，抛物线的顶点在x轴上，即△＝（﹣2a）2﹣4（a﹣1）（a﹣3）＝0，
?解得：a＝
，
?抛物线解析式为y＝﹣
x2﹣
x﹣
＝﹣
（x+3）2
，
抛物线的顶点为（﹣3，0），则抛物?
线与x轴和y轴各一个交点，则与坐标轴共有两个交点．
综上所述，a的值为1或3或
．
故答案为：1或3或
15.解：∵
∴
由
的向左平移3个单位得到，
∵抛物线
经过点
，
两点
∴
的经过点（-4，t），（2，t），
∵
∴
开口向上
∴当
或
时
即
的解集为
或
故答案：
或
16.解：由题意得：AP=t，PD=5-t，
∴
，
∵四边形PCEF是正方形，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴当t=4时，△DEF的面积最小，最小值为
.
故答案为：
.
三、解答题
17.
解：设二次函数解析式为y＝a（x＋2）2＋3，
把（1，2）代入得9a＋3＝2，解得a＝
，
所以二次函数解析式为：y＝
（x+2）2+3．
18.
解：设AB＝xm，矩形ABCD的面积设为y（平方米），
则AB＋EF＋CD＝3x，
∴AD＝BC＝
．
∴y＝
＝
．
由于二次项系数小于0，所以y有最大值，
∴当AB=x＝
＝
＝150时，函数y取得最大值．
当AB=150m，矩形ABCD的面积最大
19.
（1）解：设y与x之间的函数关系式为
，
将（20，15），（30，12.5）代入，
可得：
，
解得：
，
∴y与x之间的函数关系式为
；
（2）解：设销售收入为P（万元），
∴
，
∴P与x之间的函数关系式为
；
（3）解：设销售总利润为W，
∴
，
整理，可得：
，
∵﹣
＜0，
∴当
时，W有最大值为
，
∴原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是
万元．
20.
（1）解：根据题意得：A(8，0)，B(4，4)，
设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，
把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：
，
∴二次函数的解析式为：y=
(x-8)x=
x2+2x（0≤x≤8）
（2）解：由题意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=
x2+2x，得y=
×12+2×1=
＞1.68，
答：他的头顶不会触碰到桥拱
（3）解：由题意得：当0≤x≤8时，新函数表达式为：y=
x2-2x，
当x＜0或x＞8时，新函数表达式为：y=-
x2+2x，
∴新函数表达式为：
，
∵将新函数图象向右平移
个单位长度，
∴
（m，0），
（m+8，0），
（m+4，-4），如图所示，
根据图象可知：当m+4≥9且m≤8时，即：5≤m≤8时，平移后的函数图象在
时，
的值随
值的增大而减小.
21
（1）解：把
代入函数解析式得：
?
?
把
代入
?
令
?
?
结合题意可得：
（2）解：如图，设
而
?
则
?
?
?
?
?
（3）解：存在，理由如下：
如图，连接
过
作
交抛物线于
则
到直线
的距离相等，
设直线
为
?得：
?直线
为
由
设
为
，而
?则直线
为
?
解得：
或
?
如图，当
过
的中点
时，则
到
的距离相等，
?则
同理可得：
的解析式为：
?
解得：
或
?
综上：
或
22.
（1）解：∵二次函数的图象经过点（0，4），
∴c＝4；
∵对称轴为直线：x＝﹣
＝1，
∴b＝﹣2，
∴此二次函数的表达式为：y1＝x2﹣2x+4
（2）解：当b2﹣c＝0时，b2＝c，此时函数的表达式为：y1＝x2+bx+b2
，
根据题意可知，需要分三种情况：
①当b＜﹣
，即b＜0时，二次函数的最小值在x＝b处取到；
∴b2+b2+b2＝21，解得b＝
，b＝﹣
舍去；
②b﹣3＞﹣
，即b＞2时，二次函数的最小值在x＝b﹣3处取到；
∴（b﹣3）2+b（b﹣3）+b2＝21，解得b＝4，b＝﹣1（舍去）；
③b﹣3≤﹣
≤b，即0≤b≤2时，二次函数的最小值在x＝﹣
处取到；
∴（﹣
）2+b?（﹣
）+b2＝21，解得b＝±2
（舍去）.
综上，b的取值为
或4.
（3）解：由（1）知，二次函数的表达式为：y1＝x2﹣2x+4，
对称轴为直线：x＝1，
∵1＞0，
∴当0≤x≤1时，y随x的增大而减小，且最大值为4；
∵二次函数y2＝2x2+x+m的对称轴为直线：x＝﹣
，且2＞0，
∴当0≤x≤1时，y随x的增大而增大，且最小值为m，
∵当0≤x≤1时，总有y2≥y1
，
∴m≥4，即m的最小值为4.
23.
（1）解：由题意可知：
抛物线
，
∴顶点A的坐标为
（2）
（3）解：二次函数的开口向上，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，二次函数的对称轴为
，
分类讨论：
①当
，即
时，
时二次函数取得最小值为
，
又已知二次函数最小值为6，
∴
，解得
或
，
又
，故
符合题意；
②当
，即
时，
时二次函数取得最小值为
，
又已知二次函数最小值为6，
∴
，解得
或
，
又
，故
或
都不符合题意；
③当
，即
时，
时二次函数取得最小值为
，
又已知二次函数最小值为6，
∴
，解得
或
，
又
，故
符合题意；
综上所述，
或
解：(2)将
代入
中，
?得到
，
将
代入
中，
得到
，
由已知条件知：
，
∴
，
整理得到：
，
解得：
，
故m的取值范围是：
；
24.
（1）解：将点
，
代入
中，得：
解得
∴该抛物线表达式为
（2）解：过点P作
轴，交x轴于点D，交BC于点E，作
于点F，连接PB，PC，如图．
设点
，则点
．
∵点P、E均位于直线
的下方
∴P、E两点的纵坐标均为负
∴
，
∴
∵点C的坐标为方程组
的一个解
∴解这个方程组，得
，
∵点B坐标为
∴点C的横坐标为
∴
∴
．（其中
）
∵
∴这个二次函数有最大值，且当
时，
的最大值为
（3）解：存在
设M(p,q)，其中
，且p≠0，
则直线OM的解析式为：
由于ON⊥OM，则直线ON的解析式为：
解方程组
，得
，
即点N的坐标为
∴
∵
，且OM=ON
∴
∴
即
或
把
代入两式中并整理，得：
或
解方程得：
?，
，
，
(舍去)
当
时，
；当
时，
；当
时，
故点M的坐标分别为：
或
或
当p=0时，则q=－3，即M(0,－3)，而
，且OM⊥OB
即此时点M也满足题意
综上所述，满足题意的点M的坐标为
或
或
或
?