初中数学浙教版九年级上册3.1 圆同步练习
一、单选题
1．（2021·桥东模拟）下列由实线组成的图形中，为半圆的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021九上·原州期末） 的半径为 点P到圆心O的距离为 则点P与 的位置关系是（ ）
A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．不确定
3．（2021九上·建德期末）数轴上有两个点A和B，点B表示实数6，点A表示实数a， 半径为4.若点A在 内，则（ ）
A． 或 B．
C． D．
4．（2021九上·西林期末）经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无数
5．（2020九上·长沙月考）下列条件能确定圆的是（ ）
A．以O为圆心的圆
B．以2 cm为半径的圆
C．经过已知点A的圆
D．以点O为圆心，以1 cm为半径的圆
6．（2021·周村模拟）在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（ ）
A． 的外心 B． 的内心
C． 的外心 D． 的内心
7．（2020九上·槐荫期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020九上·厦门期末）为准备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为 的正方形演出区域，并在该区域画出4×4的网格以便演员定位（如图所示），其中 为中心， ， ， ， 是某节目中演员的四个定位点．为增强演出效果，总策划决定在该节目演出过程中增开人工喷泉．喷头位于演出区域东侧，且在中轴线 上与点 相距 处．该喷泉喷出的水流落地半径最大为 ，为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2020九上·河西期末）下列说法错误的是（ ）
A．已知圆心和半径可以作一个圆
B．经过一个已知点A的圆能做无数个
C．经过两个已知点A，B的圆能做两个
D．经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆
10．（2021九上·丽水期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若以点A为圆心，8为半径作⊙A，则下列各点在⊙A外的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
二、填空题
11．（2020九上·南京期中）已知圆中最长的弦为6，则这个圆的半径为 .
12．（2020八上·松江期末）经过定点P，且半径等于2cm的圆的圆心的轨迹 ．
13．（2020八上·浦东期末）经过 、 两点的圆的圆心的轨迹是 ．
14．（2020九上·宜春期中）若圆 的半径是 ，圆心的坐标是 ，点 的坐标是 ，则点 与 的位置关系是 （选填“在圆上”、“在圆外”或“在圆内”）
15．（2020九上·海安期中）已知O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，则△ABC是 三角形.（填“锐角”或“直角”或“钝角”）.
16．（2020九上·泗阳期中）直角三角形的两直角边长分别为6和8，它的外接圆的半径是 .
三、解答题
17．在一个圆中任意画四条半径，可以把这个圆分成几个扇形 请你画图说明．
18．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，求线段OM的最小值．
19．以矩形ABCD的顶点A为圆心画⊙A，使得B、C、D中至少有一点在⊙A内，且至少有一点在⊙A外，若BC=12，CD=5.求⊙A的半径r的取值范围。
20．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
四、综合题
21．（2021七下·吉林期中）公元前5世纪，古希腊哲学家阿那克萨哥拉因“亵渎神灵罪”而被投人监狱，在狱中他对方铁窗和圆月亮产生了兴趣．他不断变换观察的位置，一会儿看见圆比正方形大，一会儿看见正方形比圆大，于是伟大的古希腊尺规作图几何三大问题之--的化圆为方问题诞生了：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积
（1）设有一个半径为 的圆，则这个圆的周长为 ，面积为 ，作化圆为方得到的正方形的边长为 (计算结果保留π)
（2）由于对尺规作图的限制(只能有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图)，包括化圆为方在内的几何三大问题都已被证明是不可能的．但若不受标尺的限制，化圆为方并非难事。达·芬奇(1452--1519)提出用已知圆为底，圆半径的 为高的圆柱，在平面上滚动一周，所得的长方形，其面积恰为圆的面积，然后再将长方形化为等面积的正方形即可设已知圆半径为R，请证明达·芬奇的作法可以完成化圆为方
22．（2020·通州模拟）在平面直角坐标系xOy中，点P，Q（两点可以重合）在x轴上，点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，若平面内的点M的坐标为（n，|m﹣n|），则称点M为P，Q的跟随点．
（1）若m＝0，
①当n＝3时，P，Q的跟随点的坐标为多少；
②写出P，Q的跟随点的坐标；（用含n的式子表示）；
③记函数y＝kx﹣1（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G，若图形G上不存在P，Q的跟随点，求k的取值范围；
（2）⊙A的圆心为A（0，2），半径为1，若⊙A上存在P，Q的跟随点，直接写出m的取值范围．
23．（2020·北京模拟）在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．
（1）当⊙O的半径为2时，
①在点P1（ ，0），P2（ ， ），P3（ ，0）中，⊙O的关联点是 ．
②点P在直线y＝﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y＝﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．
24．（2019·东阳模拟）如图，已知矩形ABCD是一空旷场地上的小屋示意图，其中AB：AD＝2：1．拴住小狗的绳子一端固定在点A处，请根据下面条件分别画出小狗在小屋外最大活动区域．（小狗的大小不计）
图1 图2
（1）若拴小狗的绳子长度与AD边长相等，在图1中画出小狗在屋外活动的最大区域；
（2）若拴小狗的绳子长度与AB边长相等，在图2中画出小狗在屋外活动的最大区域．
25．
如图，已知△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.
（1）当r取什么值时，点A、B在⊙C外
（2）当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外.
26．（2018·隆化模拟）阅读理解：数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合，树形转化的方法解决一些数学问题，小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2= ，他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y），P的坐标公式：x= ，y= ．
启发应用：
如图3：在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），C（1，7），⊙M经过原点O及点A，B，
（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；
（2）判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由；
（3）若∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，分别求出OE的表达式y1，过点M的反比例函数的表达式y2，并根据图象，当y2＞y1＞0时，请直接写出x的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】半圆是直径所对的弧，但是不含直径，
故答案为：B．
【分析】根据半圆是直径所对的弧，但是不含直径，对每个选项一一判断求解即可。
2．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵ 的半径为5cm，点P到圆心O的距离为7cm，
∴OP＞ 的半径，
∴点P在 外；
故答案为：C.
【分析】设⊙O的半径为r，点到圆心O的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上，当d＞r时，点在圆外，据此判断即可.
3．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点A在 内，
∴AB=∣a﹣6∣＜4，即﹣4＜a﹣6＜4，
解得：2＜a＜10，
故答案为：B.
【分析】由点在圆内，点到圆心的距离d＜r可得结果.
4．【答案】A
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】经过不在同一直线的三个点可以确定一个三角形，一个三角形只能有一个外接圆，所以经过不在同一直线上的三个点可以做一个且只能做一个圆.
故答案为：A.
【分析】根据圆的形成条件和圆的性质可知经过不在同一直线上的三个点可以做一个且只能做一个圆.
5．【答案】D
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：由圆的概念可知，确定一个圆有两个要素：圆心和半径，两者缺一不可，由此可得：
A.只有圆心，不符合题意；
B.只有半径，不符合题意；
C.经过已知点A的圆，圆心和半径都不确定，不符合题意；
D.确定了圆心和半径，符合题意．
故答案为：D ．
【分析】根据圆心和半径即可确定圆，据此逐项进行判断.
6．【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由勾股定理可知：
，
所以点O是 的外心，
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理求出 ，再求解即可。
7．【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：外心在BC的垂直平分线上，则外心纵坐标为-1.
故答案为：C.
【分析】作出线段AB，BC的垂直平分线的交点即是外心，根据平面直角坐标系直接写出答案即可。
8．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】设喷头在点P，则A（6，0），B（3，0）；C（3，3）；D（4.5；1.5）；P（14，0）
则AP=14-6=8m<10m，故A需调整；
BP=14-3=11m>10m，故B不需调整；
CP= >10m，不需调整；
DP= <10m，故D需调整；
故答案为：B
【分析】利用线段的和差和勾股定理分别求出AP、BP、CP及DP的长，然后与10cm相比较，若大于10cm不需调整，若小于10cm需调整，据此解答即可.
9．【答案】C
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：A. 已知圆心和半径可以作一个圆，不符合题意；
B. 经过一个已知点A的圆能做无数个，不符合题意；
C. 经过两个已知点A，B的圆能做无数个，符合题意；
D. 经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据确定圆的条件依次判断即可．
10．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵矩形ABCD,AB=6,AD=8,
∴,
∵的半径为8，A为圆心，在圆内，
∴AB=6<8,故点B在圆内，
∴AD=8,故点D在圆上，
∴AC=10>8,故点C在圆外，
故答案为：C.
【分析】因为A为圆心，半径为8，所以分别求出AB,AC,AD的长度，再和半径进行比较，长度大于半径的点即在圆外.
11．【答案】3
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：∵圆中最长的弦为6，
∴⊙O的直径为6，
∴圆的半径为3.
故答案为：3.
【分析】根据圆的基本性质，最长的弦为直径可得结果.
12．【答案】以P点为圆心，2cm为半径的圆
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：所求圆心的轨迹，就是到P点的距离等于2厘米的点的集合，
因此应该是一个以点P为圆心，2cm为半径的圆；
故答案为：以点P为圆心，2cm为半径的圆．
【分析】根据圆的定义求解即可。
13．【答案】线段 的垂直平分线
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
∴经过A、B两点的圆的圆心的轨迹是线段 的垂直平分线，
故答案为线段AB的垂直平分线
【分析】根据圆的轴对称性可知：圆心在线段 的垂直平分线上。
14．【答案】在圆上
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵点P的坐标是（ 4，3），
∴OP＝ ＝5，
∵OP等于圆O的半径，
∴点P在圆O上．
故填：点P在圆O上．
【分析】先利用两点间的距离公式计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系判断点P与⊙O的位置关系．
15．【答案】钝角
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】∵锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部，
又∵O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，
∴△ABC是钝角三角形；
故答案是钝角三角形.
【分析】角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部，据此判断即可.
16．【答案】5
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两直角边长分别为6和8，
∴斜边长为 ，
∴该直角三角形的外接圆的直径是10，
∴外接圆的半径是5，
故答案为：5.
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边长为10，再根据圆周角定理得到答案.
17．【答案】解：
如图所示，一共可以分成12个扇形，分别为：扇形OAB、扇形OABC、扇形OABD、扇形OBC、扇形OBCD、扇形OBCA、扇形OCD、扇形OCDA、扇形OCDB、扇形ODA、扇形ODAB、扇形ODAC.
【知识点】圆的认识
【解析】【分析】由两条半径，和连接两条半径的一段弧组成的图形叫做扇形，图中有四条半径，以其中一条半径为始边，可以找到3个扇形，所以可以把这个图分成4×3=12个扇形．
18．【答案】解：设OP与O交于点N，连结MN，OQ，如图，
∵OP=4，ON=2，
∴N是OP的中点，
∵M为PQ的中点，
∴MN为△POQ的中位线，
∴MN= OQ= ×2=1，
∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，
当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，
∴线段OM的最小值为1.
【知识点】点与圆的位置关系；确定圆的条件
【解析】【分析】根据题意，易知MN为△POQ的中位线，可根据中位线定理求得MN的长，可知点M在以N为圆心，MN为半径的圆上， 当点M在ON上时，OM最小，求得此时OM的值即可。
19．【答案】解：根据题意画图如下，
因为BC=12，CD=5，所以。若想使得B、C、D中至少有一点在⊙A内，且至少有一点在⊙A外，则第一种情况为：B点在圆内，C、D点在圆外；第二种情况：B、D点在圆内，C点在圆外。综合两种情况来看，。
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】判断点与圆的位置关系，最主要的是抓住半径与这些线段的大小关系。
20．【答案】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF=EF=BF=CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心， BC为半径的圆上．
【知识点】确定圆的条件
【解析】【分析】求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明F到BC得中点的距离等于BC的一半就可以．
21．【答案】（1）2π；3π；
（2）解：设圆柱的高为R，圆柱底面的周长为2πR
∴圆柱滚一周的长方形的面积为R×2πR=πR2
圆的面积为πR2
∴达·芬奇的做法可以化圆为方
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：（1）圆的周长=2π×=2π；圆的面积=π×（）2=3π
∵圆的面积为3π，∴正方形的边长为
【分析】（1）根据圆的周长以及面积公式，计算得到答案即可；
（2）根据题意，计算得到圆柱滚动一周的面积，并与圆的面积作比较，计算得到答案即可。
22．【答案】（1）①（3，3）
把m＝0代入P，Q的跟随点的坐标（n，|m﹣n|），
当n＞0时，（n，n）；
当n＜0时，（n，﹣n）．
所以P，Q的跟随点的坐标为（n，n）或（n，﹣n）；
③由②可知，当m＝0时，P，Q的跟随点在函数y＝x（x≥0）或 y＝﹣x（x≤0）的图象上，且
函数y＝x（x≥0）或 y＝﹣x（x≤0）的图象上的每一个点都是P，Q的跟随点．
令x＝1，则y＝1，图形G经过点（1，1）时，k＝2；
令x＝﹣1，则y＝1，图形G经过点（﹣1，1）时，k＝﹣2；
由图可知，k的取值范围是﹣2＜k＜0或0＜k＜2．
（2）m的取值范围为：﹣2﹣ ≤m≤ ﹣2或2﹣ ≤m≤2+ ．
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：（1）①把m＝0，n＝3代入点P，Q的跟随点的坐标（n，|m﹣n|）＝（3，|0﹣3|）＝（3，3）．
故答案为：（3，3）；（2）因为⊙A的圆心为A（0，2），半径为1，若⊙A上存在P，Q的跟随点，
∴m的取值范围为：﹣2﹣ ≤m≤ ﹣2或2﹣ ≤m≤2+ ．
【分析】（1）①把m＝0，n＝3代入解答即可；②根据题意得出跟随点的坐标即可③根据跟随点的概念和一次函数的解析式解答即可；（2）根据圆的有关概念和跟随点的概念解答即可．
23．【答案】（1）解：①P2，P3 ②根据定义分析，可得当最小y＝﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意， ∴设P（x，﹣x），当OP＝1时， 由距离公式得，OP＝ ＝1， ∴x＝ ， 当OP＝3时，OP＝ ＝3， 解得：x＝± ； ∴点P的横坐标的取值范围为：﹣ ≤x≤﹣ ，或 ≤x≤
（2）圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤xC≤1﹣ 或2≤xC≤2
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】（1）①∵点P1（ ，0），P2（ ， ），P3（ ，0），
∴OP1＝ ，OP2＝1，OP3＝ ，
∴P1与⊙O的最小距离为 ，P2与⊙O的最小距离为1，OP3与⊙O的最小距离为 ，
∴⊙O，⊙O的关联点是P2，P3；
故答案为：P2，P3；（2）∵直线y＝﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B，
∴A（1，0），B（0，1），
如图1，
当圆过点A时，此时，CA＝3，
∴C（﹣2，0），
如图2，
当直线AB与小圆相切时，切点为D，
∴CD＝1，
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
∴直线AB与x轴的夹角＝45°，
∴AC＝ ，
∴C（1﹣ ，0），
∴圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤xC≤1﹣ ；
如图3，
当圆过点O，则AC＝1，∴C（2，0），
如图4，
当圆过点B，连接BC，此时，BC＝3，
∴OC＝ ＝2 ，
∴C（2 ，0）．
∴圆心C的横坐标的取值范围为：2≤xC≤2 ；
综上所述；圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤xC≤1﹣ 或2≤xC≤2 .
【分析】（1）①根据已知点的坐标求得OP1、OP2、OP3即可得到结论；②根据定义分析，可得当最小y=-x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，设P（x，-x），根据两点间的距离公式即可得到结论.
（2）根据已知条件得到A、B两点的坐标，如图1，当圆过点A时，得到C（-2，0），如图2，当直线AB与小圆相切时切点为D，得到C点坐标即可得到结论，如图3，当圆过点O，则AC=1，得到C（2，0），如图4，当圆过点B，连接BC，根据勾股定理得到C（2，0），即可得到结论.
24．【答案】（1）解：在图1中画出小狗在屋外活动的最大区域如图阴影部分所示，
（2）解： 在图2中画出小狗在屋外活动的最大区域如图阴影部分所示，
【知识点】圆的认识
【解析】【分析】(1)以A为圆心，AD为半径画弧即可。
(2)分别以A，D为圆心，AB，AD为半径画弧即可。
25．【答案】（1）解：当0＜r＜3时，点A、B在⊙C外
（2）解：当3＜r＜4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】点和圆的位置关系：①点到圆心的距离小于半径，点在圆内；②点到圆心的距离等于半径，点在圆上；③点到圆心的距离大于半径，点在圆外。
（1）根据点和圆的位置关系和AC、BC的长度可知，当 0＜r＜3时，点A、B在⊙C外 ；
（2）根据点和圆的位置关系和AC、BC的长度可知， 当3＜r＜4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外 。
26．【答案】（1）解：∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙M的直径，
∵A（8，0），B（0，6），
∴AB= =10，
∴⊙M的半径为5，
由线段中点坐标公式x=，y= ，得x=4，y=3，
∴M（4，3）
（2）解：点C在⊙M上，
理由：∵C（1，7），M（4，3），
∴CM= =5，
∴点C在⊙M上
（3）解：由题意知，y1=x，
设反比例函数的解析式为y2= （k≠0），
∵M（4，3）在反比例函数图象上，
∴k=3×4=12，
∴反比例函数的解析式为y2= ，
当y1=y2时，x= ，
∴x=±2 ，
∴由图象知，当y2＞y1＞0时，0＜x＜2
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】∠AOB=90°，AB是⊙M的直径，利用勾股定理可以求出AB的长，由线段中点坐标公式可以求出M的坐标.判断点C与⊙M的位置关系，只需要比较CM与半径的长度大小即可.设反比例函数的解析式将M（4，3）代入，当y1=y2时求出x值，对照图像写出x的取值范围.
1 / 1初中数学浙教版九年级上册3.1 圆同步练习
一、单选题
1．（2021·桥东模拟）下列由实线组成的图形中，为半圆的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】半圆是直径所对的弧，但是不含直径，
故答案为：B．
【分析】根据半圆是直径所对的弧，但是不含直径，对每个选项一一判断求解即可。
2．（2021九上·原州期末） 的半径为 点P到圆心O的距离为 则点P与 的位置关系是（ ）
A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．不确定
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵ 的半径为5cm，点P到圆心O的距离为7cm，
∴OP＞ 的半径，
∴点P在 外；
故答案为：C.
【分析】设⊙O的半径为r，点到圆心O的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上，当d＞r时，点在圆外，据此判断即可.
3．（2021九上·建德期末）数轴上有两个点A和B，点B表示实数6，点A表示实数a， 半径为4.若点A在 内，则（ ）
A． 或 B．
C． D．
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点A在 内，
∴AB=∣a﹣6∣＜4，即﹣4＜a﹣6＜4，
解得：2＜a＜10，
故答案为：B.
【分析】由点在圆内，点到圆心的距离d＜r可得结果.
4．（2021九上·西林期末）经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无数
【答案】A
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】经过不在同一直线的三个点可以确定一个三角形，一个三角形只能有一个外接圆，所以经过不在同一直线上的三个点可以做一个且只能做一个圆.
故答案为：A.
【分析】根据圆的形成条件和圆的性质可知经过不在同一直线上的三个点可以做一个且只能做一个圆.
5．（2020九上·长沙月考）下列条件能确定圆的是（ ）
A．以O为圆心的圆
B．以2 cm为半径的圆
C．经过已知点A的圆
D．以点O为圆心，以1 cm为半径的圆
【答案】D
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：由圆的概念可知，确定一个圆有两个要素：圆心和半径，两者缺一不可，由此可得：
A.只有圆心，不符合题意；
B.只有半径，不符合题意；
C.经过已知点A的圆，圆心和半径都不确定，不符合题意；
D.确定了圆心和半径，符合题意．
故答案为：D ．
【分析】根据圆心和半径即可确定圆，据此逐项进行判断.
6．（2021·周村模拟）在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（ ）
A． 的外心 B． 的内心
C． 的外心 D． 的内心
【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由勾股定理可知：
，
所以点O是 的外心，
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理求出 ，再求解即可。
7．（2020九上·槐荫期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：外心在BC的垂直平分线上，则外心纵坐标为-1.
故答案为：C.
【分析】作出线段AB，BC的垂直平分线的交点即是外心，根据平面直角坐标系直接写出答案即可。
8．（2020九上·厦门期末）为准备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为 的正方形演出区域，并在该区域画出4×4的网格以便演员定位（如图所示），其中 为中心， ， ， ， 是某节目中演员的四个定位点．为增强演出效果，总策划决定在该节目演出过程中增开人工喷泉．喷头位于演出区域东侧，且在中轴线 上与点 相距 处．该喷泉喷出的水流落地半径最大为 ，为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】设喷头在点P，则A（6，0），B（3，0）；C（3，3）；D（4.5；1.5）；P（14，0）
则AP=14-6=8m<10m，故A需调整；
BP=14-3=11m>10m，故B不需调整；
CP= >10m，不需调整；
DP= <10m，故D需调整；
故答案为：B
【分析】利用线段的和差和勾股定理分别求出AP、BP、CP及DP的长，然后与10cm相比较，若大于10cm不需调整，若小于10cm需调整，据此解答即可.
9．（2020九上·河西期末）下列说法错误的是（ ）
A．已知圆心和半径可以作一个圆
B．经过一个已知点A的圆能做无数个
C．经过两个已知点A，B的圆能做两个
D．经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆
【答案】C
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：A. 已知圆心和半径可以作一个圆，不符合题意；
B. 经过一个已知点A的圆能做无数个，不符合题意；
C. 经过两个已知点A，B的圆能做无数个，符合题意；
D. 经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据确定圆的条件依次判断即可．
10．（2021九上·丽水期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若以点A为圆心，8为半径作⊙A，则下列各点在⊙A外的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵矩形ABCD,AB=6,AD=8,
∴,
∵的半径为8，A为圆心，在圆内，
∴AB=6<8,故点B在圆内，
∴AD=8,故点D在圆上，
∴AC=10>8,故点C在圆外，
故答案为：C.
【分析】因为A为圆心，半径为8，所以分别求出AB,AC,AD的长度，再和半径进行比较，长度大于半径的点即在圆外.
二、填空题
11．（2020九上·南京期中）已知圆中最长的弦为6，则这个圆的半径为 .
【答案】3
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：∵圆中最长的弦为6，
∴⊙O的直径为6，
∴圆的半径为3.
故答案为：3.
【分析】根据圆的基本性质，最长的弦为直径可得结果.
12．（2020八上·松江期末）经过定点P，且半径等于2cm的圆的圆心的轨迹 ．
【答案】以P点为圆心，2cm为半径的圆
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：所求圆心的轨迹，就是到P点的距离等于2厘米的点的集合，
因此应该是一个以点P为圆心，2cm为半径的圆；
故答案为：以点P为圆心，2cm为半径的圆．
【分析】根据圆的定义求解即可。
13．（2020八上·浦东期末）经过 、 两点的圆的圆心的轨迹是 ．
【答案】线段 的垂直平分线
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
∴经过A、B两点的圆的圆心的轨迹是线段 的垂直平分线，
故答案为线段AB的垂直平分线
【分析】根据圆的轴对称性可知：圆心在线段 的垂直平分线上。
14．（2020九上·宜春期中）若圆 的半径是 ，圆心的坐标是 ，点 的坐标是 ，则点 与 的位置关系是 （选填“在圆上”、“在圆外”或“在圆内”）
【答案】在圆上
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵点P的坐标是（ 4，3），
∴OP＝ ＝5，
∵OP等于圆O的半径，
∴点P在圆O上．
故填：点P在圆O上．
【分析】先利用两点间的距离公式计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系判断点P与⊙O的位置关系．
15．（2020九上·海安期中）已知O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，则△ABC是 三角形.（填“锐角”或“直角”或“钝角”）.
【答案】钝角
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】∵锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部，
又∵O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，
∴△ABC是钝角三角形；
故答案是钝角三角形.
【分析】角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部，据此判断即可.
16．（2020九上·泗阳期中）直角三角形的两直角边长分别为6和8，它的外接圆的半径是 .
【答案】5
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两直角边长分别为6和8，
∴斜边长为 ，
∴该直角三角形的外接圆的直径是10，
∴外接圆的半径是5，
故答案为：5.
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边长为10，再根据圆周角定理得到答案.
三、解答题
17．在一个圆中任意画四条半径，可以把这个圆分成几个扇形 请你画图说明．
【答案】解：
如图所示，一共可以分成12个扇形，分别为：扇形OAB、扇形OABC、扇形OABD、扇形OBC、扇形OBCD、扇形OBCA、扇形OCD、扇形OCDA、扇形OCDB、扇形ODA、扇形ODAB、扇形ODAC.
【知识点】圆的认识
【解析】【分析】由两条半径，和连接两条半径的一段弧组成的图形叫做扇形，图中有四条半径，以其中一条半径为始边，可以找到3个扇形，所以可以把这个图分成4×3=12个扇形．
18．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，求线段OM的最小值．
【答案】解：设OP与O交于点N，连结MN，OQ，如图，
∵OP=4，ON=2，
∴N是OP的中点，
∵M为PQ的中点，
∴MN为△POQ的中位线，
∴MN= OQ= ×2=1，
∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，
当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，
∴线段OM的最小值为1.
【知识点】点与圆的位置关系；确定圆的条件
【解析】【分析】根据题意，易知MN为△POQ的中位线，可根据中位线定理求得MN的长，可知点M在以N为圆心，MN为半径的圆上， 当点M在ON上时，OM最小，求得此时OM的值即可。
19．以矩形ABCD的顶点A为圆心画⊙A，使得B、C、D中至少有一点在⊙A内，且至少有一点在⊙A外，若BC=12，CD=5.求⊙A的半径r的取值范围。
【答案】解：根据题意画图如下，
因为BC=12，CD=5，所以。若想使得B、C、D中至少有一点在⊙A内，且至少有一点在⊙A外，则第一种情况为：B点在圆内，C、D点在圆外；第二种情况：B、D点在圆内，C点在圆外。综合两种情况来看，。
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】判断点与圆的位置关系，最主要的是抓住半径与这些线段的大小关系。
20．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
【答案】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF=EF=BF=CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心， BC为半径的圆上．
【知识点】确定圆的条件
【解析】【分析】求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明F到BC得中点的距离等于BC的一半就可以．
四、综合题
21．（2021七下·吉林期中）公元前5世纪，古希腊哲学家阿那克萨哥拉因“亵渎神灵罪”而被投人监狱，在狱中他对方铁窗和圆月亮产生了兴趣．他不断变换观察的位置，一会儿看见圆比正方形大，一会儿看见正方形比圆大，于是伟大的古希腊尺规作图几何三大问题之--的化圆为方问题诞生了：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积
（1）设有一个半径为 的圆，则这个圆的周长为 ，面积为 ，作化圆为方得到的正方形的边长为 (计算结果保留π)
（2）由于对尺规作图的限制(只能有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图)，包括化圆为方在内的几何三大问题都已被证明是不可能的．但若不受标尺的限制，化圆为方并非难事。达·芬奇(1452--1519)提出用已知圆为底，圆半径的 为高的圆柱，在平面上滚动一周，所得的长方形，其面积恰为圆的面积，然后再将长方形化为等面积的正方形即可设已知圆半径为R，请证明达·芬奇的作法可以完成化圆为方
【答案】（1）2π；3π；
（2）解：设圆柱的高为R，圆柱底面的周长为2πR
∴圆柱滚一周的长方形的面积为R×2πR=πR2
圆的面积为πR2
∴达·芬奇的做法可以化圆为方
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：（1）圆的周长=2π×=2π；圆的面积=π×（）2=3π
∵圆的面积为3π，∴正方形的边长为
【分析】（1）根据圆的周长以及面积公式，计算得到答案即可；
（2）根据题意，计算得到圆柱滚动一周的面积，并与圆的面积作比较，计算得到答案即可。
22．（2020·通州模拟）在平面直角坐标系xOy中，点P，Q（两点可以重合）在x轴上，点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，若平面内的点M的坐标为（n，|m﹣n|），则称点M为P，Q的跟随点．
（1）若m＝0，
①当n＝3时，P，Q的跟随点的坐标为多少；
②写出P，Q的跟随点的坐标；（用含n的式子表示）；
③记函数y＝kx﹣1（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G，若图形G上不存在P，Q的跟随点，求k的取值范围；
（2）⊙A的圆心为A（0，2），半径为1，若⊙A上存在P，Q的跟随点，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）①（3，3）
把m＝0代入P，Q的跟随点的坐标（n，|m﹣n|），
当n＞0时，（n，n）；
当n＜0时，（n，﹣n）．
所以P，Q的跟随点的坐标为（n，n）或（n，﹣n）；
③由②可知，当m＝0时，P，Q的跟随点在函数y＝x（x≥0）或 y＝﹣x（x≤0）的图象上，且
函数y＝x（x≥0）或 y＝﹣x（x≤0）的图象上的每一个点都是P，Q的跟随点．
令x＝1，则y＝1，图形G经过点（1，1）时，k＝2；
令x＝﹣1，则y＝1，图形G经过点（﹣1，1）时，k＝﹣2；
由图可知，k的取值范围是﹣2＜k＜0或0＜k＜2．
（2）m的取值范围为：﹣2﹣ ≤m≤ ﹣2或2﹣ ≤m≤2+ ．
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：（1）①把m＝0，n＝3代入点P，Q的跟随点的坐标（n，|m﹣n|）＝（3，|0﹣3|）＝（3，3）．
故答案为：（3，3）；（2）因为⊙A的圆心为A（0，2），半径为1，若⊙A上存在P，Q的跟随点，
∴m的取值范围为：﹣2﹣ ≤m≤ ﹣2或2﹣ ≤m≤2+ ．
【分析】（1）①把m＝0，n＝3代入解答即可；②根据题意得出跟随点的坐标即可③根据跟随点的概念和一次函数的解析式解答即可；（2）根据圆的有关概念和跟随点的概念解答即可．
23．（2020·北京模拟）在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．
（1）当⊙O的半径为2时，
①在点P1（ ，0），P2（ ， ），P3（ ，0）中，⊙O的关联点是 ．
②点P在直线y＝﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y＝﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．
【答案】（1）解：①P2，P3 ②根据定义分析，可得当最小y＝﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意， ∴设P（x，﹣x），当OP＝1时， 由距离公式得，OP＝ ＝1， ∴x＝ ， 当OP＝3时，OP＝ ＝3， 解得：x＝± ； ∴点P的横坐标的取值范围为：﹣ ≤x≤﹣ ，或 ≤x≤
（2）圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤xC≤1﹣ 或2≤xC≤2
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】（1）①∵点P1（ ，0），P2（ ， ），P3（ ，0），
∴OP1＝ ，OP2＝1，OP3＝ ，
∴P1与⊙O的最小距离为 ，P2与⊙O的最小距离为1，OP3与⊙O的最小距离为 ，
∴⊙O，⊙O的关联点是P2，P3；
故答案为：P2，P3；（2）∵直线y＝﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B，
∴A（1，0），B（0，1），
如图1，
当圆过点A时，此时，CA＝3，
∴C（﹣2，0），
如图2，
当直线AB与小圆相切时，切点为D，
∴CD＝1，
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
∴直线AB与x轴的夹角＝45°，
∴AC＝ ，
∴C（1﹣ ，0），
∴圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤xC≤1﹣ ；
如图3，
当圆过点O，则AC＝1，∴C（2，0），
如图4，
当圆过点B，连接BC，此时，BC＝3，
∴OC＝ ＝2 ，
∴C（2 ，0）．
∴圆心C的横坐标的取值范围为：2≤xC≤2 ；
综上所述；圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤xC≤1﹣ 或2≤xC≤2 .
【分析】（1）①根据已知点的坐标求得OP1、OP2、OP3即可得到结论；②根据定义分析，可得当最小y=-x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，设P（x，-x），根据两点间的距离公式即可得到结论.
（2）根据已知条件得到A、B两点的坐标，如图1，当圆过点A时，得到C（-2，0），如图2，当直线AB与小圆相切时切点为D，得到C点坐标即可得到结论，如图3，当圆过点O，则AC=1，得到C（2，0），如图4，当圆过点B，连接BC，根据勾股定理得到C（2，0），即可得到结论.
24．（2019·东阳模拟）如图，已知矩形ABCD是一空旷场地上的小屋示意图，其中AB：AD＝2：1．拴住小狗的绳子一端固定在点A处，请根据下面条件分别画出小狗在小屋外最大活动区域．（小狗的大小不计）
图1 图2
（1）若拴小狗的绳子长度与AD边长相等，在图1中画出小狗在屋外活动的最大区域；
（2）若拴小狗的绳子长度与AB边长相等，在图2中画出小狗在屋外活动的最大区域．
【答案】（1）解：在图1中画出小狗在屋外活动的最大区域如图阴影部分所示，
（2）解： 在图2中画出小狗在屋外活动的最大区域如图阴影部分所示，
【知识点】圆的认识
【解析】【分析】(1)以A为圆心，AD为半径画弧即可。
(2)分别以A，D为圆心，AB，AD为半径画弧即可。
25．
如图，已知△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.
（1）当r取什么值时，点A、B在⊙C外
（2）当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外.
【答案】（1）解：当0＜r＜3时，点A、B在⊙C外
（2）解：当3＜r＜4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】点和圆的位置关系：①点到圆心的距离小于半径，点在圆内；②点到圆心的距离等于半径，点在圆上；③点到圆心的距离大于半径，点在圆外。
（1）根据点和圆的位置关系和AC、BC的长度可知，当 0＜r＜3时，点A、B在⊙C外 ；
（2）根据点和圆的位置关系和AC、BC的长度可知， 当3＜r＜4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外 。
26．（2018·隆化模拟）阅读理解：数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合，树形转化的方法解决一些数学问题，小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2= ，他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y），P的坐标公式：x= ，y= ．
启发应用：
如图3：在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），C（1，7），⊙M经过原点O及点A，B，
（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；
（2）判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由；
（3）若∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，分别求出OE的表达式y1，过点M的反比例函数的表达式y2，并根据图象，当y2＞y1＞0时，请直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙M的直径，
∵A（8，0），B（0，6），
∴AB= =10，
∴⊙M的半径为5，
由线段中点坐标公式x=，y= ，得x=4，y=3，
∴M（4，3）
（2）解：点C在⊙M上，
理由：∵C（1，7），M（4，3），
∴CM= =5，
∴点C在⊙M上
（3）解：由题意知，y1=x，
设反比例函数的解析式为y2= （k≠0），
∵M（4，3）在反比例函数图象上，
∴k=3×4=12，
∴反比例函数的解析式为y2= ，
当y1=y2时，x= ，
∴x=±2 ，
∴由图象知，当y2＞y1＞0时，0＜x＜2
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】∠AOB=90°，AB是⊙M的直径，利用勾股定理可以求出AB的长，由线段中点坐标公式可以求出M的坐标.判断点C与⊙M的位置关系，只需要比较CM与半径的长度大小即可.设反比例函数的解析式将M（4，3）代入，当y1=y2时求出x值，对照图像写出x的取值范围.
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