初中数学浙教版九年级上册3.2 图形的旋转同步练习
一、单选题
1．（2021·永州）如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021八下·盐城期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），将点 绕原点逆时针旋转90°得到点 ，则点 的坐标为（ ）
A．（－3，2） B．（3，－2）
C．（3，2） D．（－2，－3）
3．（2021七下·卧龙期末）如图，将 绕点O逆时针旋转60°后得到 ，若 ， ，则 （ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
4．（2021七下·绿园期末）如图，将 绕点 顺时针旋转得到 ，且点 恰好在 上， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·牡丹江）如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2 ，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（4，2）或（﹣4，2）
B．（2 ，﹣4）或（﹣2 ，4）
C．（﹣2 ，2）或（2 ，﹣2）
D．（2，﹣2 ）或（﹣2，2 ）
6．（2021八下·福田期末）如图，将 绕着点 顺时针旋转，得到 （点 落在 外），若 ， ，则旋转角度是（ ）．
A．20° B．30° C．40° D．50°
7．（2021·章丘模拟）如图，把直角坐标系放置在边长为1的正方形网格中，O是坐标原点，点A、B、C均在格点上，将△ABC绕O点按逆时针方向旋转90°后，得到△A'B'C′，则点A′的坐标是（ ）
A．（5，1） B．（5，﹣1） C．（﹣1，5） D．（1，﹣5）
8．（2021·道外模拟）如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°到△DBE（其中点D与点A对应，点E与点C对应），连接AD，若 ，则∠ABE的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
9．（2021·松北模拟）如图，在 ABC中，∠CAB＝70°，将 ABC绕点A逆时针旋转到 的位置，使得 ∥AB，则 的度数是（ ）
A．70° B．35° C．40° D．50°
10．（2021·松北模拟）如图，将 纸片绕点C顺时针旋转 得到 ，连接 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021八下·丹徒期中）如图，△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后的图形为△AB1C1，则∠ABB1＝
.
12．（2021八下·江都期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形边长均为1，将 ABC绕P点逆时针旋转至 ，使点B′恰好落在y轴上，则旋转中心P的坐标是 .
13．（2021·奉贤模拟）如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，得到Rt△FEC，则点A的对应点F的坐标是 ．
14．（2021·西宁模拟）如图，在平面直角坐标系中， 的直角顶点C的坐标为 ，点A在x轴正半轴上，且 ．将 绕点C逆时针旋转 ，则旋转后点A的对应点的坐标为 ．
15．（2021八下·崇州期中）如图，将Rt△ABC（∠BAC＝65°）绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一直线上，则旋转角度为 .
16．（2021·泗洪模拟）如图，在凸四边形 中， ， ，则线段 的长等于 .
三、解答题
17．（2021七下·绿园期末）如图，将 以点 为旋转中心，顺时针旋转 ，得到 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，求证： ．
18．（2019九上·祥云期末）如图
（1）请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；
（3）写出A2 和C2两点坐标．
19．如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为2的等边三角形．
（1）写出△OAB各顶点的坐标；
（2）以点O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，写出A′，B′的坐标．
20．（2018八上·杜尔伯特期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向下平移4个单位，再向右平移3个单位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°，得到△A1B2C2．
（1）在网格中画出△A1B1C1；
（2）在网格中画出A1B2C2．
21．（2017八下·苏州期中）如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（Ⅰ）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；
（Ⅱ）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
四、综合题
22．（2021·瓯海模拟）如图，在8×8的方格纸中，每个小方格的顶点称为格点，请按要求画格点四边形ABCD．
（1）在图1中画平行四边形ABCD，使点P是它的对称中心．
（2）在图2中画四边形ABCD，使得∠D＝90°，且PB∥CD．
23．（2021八下·贺兰期中）如图1，把△ABC沿直线BC平移线段BC的长度，得到△ECD；如图2，以BC为轴，把△ABC沿BC翻折180°，可以得到△DBC；如图3，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以得到△AED．像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平移、翻折、旋转等方法得到的，这种只改变位置，不改变形状、大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题：
（1）在图4中，可以使△ABE通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法得到△ADF？
（2）图中线段BE与DF相等吗？为什么？
24．（2021九上·南丹期末）如图，在等腰 中，AC＝AB，∠CAB＝90°，E是BC上一点，将E点绕A点逆时针旋转90°到AD，连接DE、CD.
（1）求证： ；
（2）当BC＝6，CE＝2时，求DE的长.
25．（2020七下·来宾期末）如图，点E为正方形ABCD的边AB上一点，AB=12，AE=5，将△DAE旋转后能与△DCF重合。
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转的最小角是多少度？
（3）求四边形DEBF的周长和面积。
26．（2021·禹州模拟）如图
（1）如图1.在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D、E分别在边CA，CB上且CD＝3，CE＝4，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CG所在直线与线段BD所在直线的位置关系是 .（提示：延长CF到点M，使FM＝CF，连接AM）
（2）将△DCE绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
（3）将△DCE绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，CF的长为 .
27．（2020七下·江阴期中）操作与探索：
已知点O为直线AB上一点，作射线OC，将直角三角板ODE放置在直线上方(如图①)，使直角顶点与点O重合，一条直角边OD重叠在射线OA上，将三角板绕点O旋转.
（1）当三角板旋转到如图②的位置时，若OD平分∠AOC，试说明OE也平分∠BOC；
（2）若OC⊥AB，垂足为点O(如图③)，请直接写出与∠DOB互补的角 ；
（3）若∠AOC=135°(如图④)，三角板绕点O按顺时针从如图①的位置开始旋转，到OE边与射线OB重合结束. 请通过操作，探索：在旋转过程中，∠DOB ∠COE的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请用含有n(n为三角板旋转的度数)的代数式表示这个差.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，五角星图案绕中心旋转180°后，阴影部分的等腰三角形的顶点向下，得到的图案是C.
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质可得：五角星图案绕中心旋转180°后，阴影部分的等腰三角形的顶点向下，据此判断.
2．【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：观察图象可知A′（ 3，2）.
故答案为：A.
【分析】根据旋转的性质，在坐标系中找出点A′的位置，进而得到点A′的坐标.
3．【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ 绕点O逆时针旋转60°得到 ，
∴∠D=∠A=110°， ，∠AOD=60°，
∵∠D=110°，∠E=45°
∴∠DOE=25°
∴
故答案为：B.
【分析】由旋转的性质可得∠D=∠A，∠E=∠B，∠AOD=60°，然后根据角的构成∠AOE=∠AOD-∠DOE可求解.
4．【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可知： ，
又∵
∴
又∵
∴
∴
故答案为A．
【分析】由旋转的性质可得，，由周角的性质可求的度数，即可求解。
5．【答案】C
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】过点A作 于点C．
在Rt△AOC中， ．
在Rt△ABC中， ．
∴ ．
∵OA＝4，OB＝6，AB＝2 ，
∴ ．
∴ ．
∴点A的坐标是 ．
根据题意画出图形旋转后的位置，如图，
∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为 ；
将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为 ．
故答案为：C．
【分析】过点A作 于点C．利用勾股定理求出A的坐标，再分两种情况讨论即可。
6．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠AOB=30°，∠BOC=10°，
∴∠AOC=∠AOB+∠COB=30°+10°=40°，
∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，
∴旋转角为∠AOC=40°．
故答案为：C．
【分析】先求出∠AOC=∠AOB+∠COB=40°，再根据旋转的性质可得旋转角为∠AOC=40°．
7．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：观察图象可知，A′（5，﹣1）．
故答案为：B．
【分析】利用旋转变换的性质分别作出A、B、C的对应点即可。
8．【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°，
∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝40°，
∴∠BAD＝∠BDA＝70°，
∵AD BC，
∴∠DAB＝∠ABC＝70°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝30°，
故答案为：B．
【分析】先求出∠BAD＝∠BDA＝70°，再求出∠DAB＝∠ABC＝70°，最后计算求解即可。
9．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，
∴AC′＝AC，∠B′AB＝∠C′AC，
∴∠AC′C＝∠ACC′，
∵CC′∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝70°，
∴∠AC′C＝∠ACC′＝70°，
∴∠CAC′＝180°﹣2×70°＝40°，
∴∠B′AB＝40°，
故答案为：C．
【分析】根据旋转的性质得出AC′＝AC，∠B′AB＝∠C′AC，根据等腰三角形的性质得出∠AC′C＝∠ACC′，再根据平行线的性质由CC′∥AB，得出∠ACC′＝∠CAB＝70°，则∠AC′C＝∠ACC′＝70°，再根据三角形内角和计算出∠CAC′＝180°﹣2×70°＝40°，由此得出 的度数。
10．【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：若AC⊥A′B′，垂足为D，由旋转可知，∠DCA′=40°，CA＝CA′，
∵AC⊥A′B′，
∴∠DA′C＝90°﹣∠DCA′＝90°﹣40°＝50°．
∵CA＝CA′，
∴∠CAA′＝∠CA′A＝ （180°﹣∠DCA′）＝ ×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠AA′B′＝70°﹣50°＝20°．
故答案为：B．
【分析】先求出∠DA′C＝50°，再求出∠CAA′＝∠CA′A＝70°，最后计算求解即可。
11．【答案】65°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后的图形为△AB1C1，
∴∠BAB1＝50°，AB＝AB1，
∴∠B＝∠ABB1＝65°，
故答案为65°.
【分析】根据旋转的性质可求解.
12．【答案】（1，-1）
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】由图形可知，
对应点的连线CC′，AA′的垂直平分线的交点是点（1，-1），
根据旋转变换的性质，点（1，-1）即为旋转中心.
故旋转中心坐标是P（1，-1）.
故答案为：（1，-1）
【分析】根据旋转的性质，可知对应点的连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可.
13．【答案】(-1，2)
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，点F的坐标为（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
【分析】根据旋转的性质求解即可。
14．【答案】（1，2）
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点C的坐标为 ，AC=2，
如图所示，将RtΔABC先绕点C逆时针旋转90°，
则点A'的坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）．
【分析】根据旋转变换的性质得到旋转变换后点A的对应点坐标，根据平移的性质解答即可。
15．【答案】115°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵点C，A，B1在同一直线上，
∴∠BAB1＝180°﹣∠BAC＝115°，
∴旋转角度为115°，
故答案为115°.
【分析】根据旋转的性质即可求解.
16．【答案】12
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：连接AC，由 ，则把△ACD逆时针旋转120°得到△BCE，使得BC与CD重合，如图所示：
∴△ACD≌△ECB，∠ACE=120°，
∴AC=CE，BE=AD，∠CBE=∠D，
∵ ，
∴∠ABC+∠D=120°，
∴∠ABC+∠CBE=120°，即∠ABE=120°，
∵△ABC是公共部分，
∴四边形ABEC和四边形ABCD是全等的，
∴AC=CE=BC=CD，
∵ ，
∴AC=12cm，
故答案为12.
【分析】连接AC，由 ， ， 作辅助线，把△ACD逆时针旋转120°得到△BCE，使得BC与CD重合，则△ACD≌△ECB，进而可得四边形ABEC和四边形ABCD是全等的，则可得AC=CE=BC=CD，即可得解决问题.
17．【答案】证明：∵将 以点 为旋转中心，顺时针旋转 ，得到 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】根据旋转的性质可得，根据全等的性质可得，根据平行线的性质，可得，根据等量代换可得答案。
18．【答案】 A2（-2，2）和C2（-1，4） .
【知识点】作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据中心对称的性质及网格特点，分别确定点A、B、C关于原点O对称的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质及网格特点，分别确定点A、B、C绕点B逆时针旋转90°后的对应点A2、B、C2的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据图形直接写出A2 和C2的坐标即可.
19．【答案】（1）解：如图1，过B作BC⊥OA于C，
∵△AOB是等边三角形，且OA=2，
∴OC= OA=1，
由勾股定理得：BC= = ，
∴A（﹣2，0），B（﹣1， ），O（0，0）
（2）解：如图2，∵∠AOB=60°，OA=OB，
∴A′与B重合，
∴A′（﹣1， ），
由旋转得：∠BOB′=60°，OB=OB′，
∵∠AOD=90°，
∴∠BOD=30°，
∴∠DOB′=30°，
∴BB′⊥OD，DB=DB′，
∴B′（1， ）
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【分析】（1）数轴上，根据等边三角形的边长等于2，即可求出三角形各点的坐标。
（2）将三角形按照题目要求进行旋转，根据旋转后得到的图形，利用等边三角形边长为2，求出A′，B′的坐标即可。
20．【答案】（1）解：如图所示：△A1B1C1，即为所求。
（2）解：如图所示：△A2B2C2，即为所求。
【知识点】作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）先将三角形的各个点下移四个单位，再右移三个单位，找到对应的点，相连得到三角形；
（2）在（1）的基础上，再绕A1旋转90度，找到各个旋转后的点，相连得三角形。
21．【答案】（Ⅰ）所作图形如图所示：
，
（Ⅱ）点B'的坐标为：（0，-6）；
当以AB为对角线时，点D坐标为（-7，3）；
当以AC为对角线时，点D坐标为（3，3）；
当以BC为对角线时，点D坐标为（-5，-3）．
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【分析】（Ⅰ）分别作出点A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°后的点，然后顺次连接，并写出点B的对应点的坐标；（Ⅱ）分别以AB、BC、AC为对角线，写出第四个顶点D的坐标．
22．【答案】（1）解：如图，平行四边形ABCD即为所求作；
（2）解：如图，
四边形ABCD即为所求作（答案不唯一）．
【知识点】作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据平行四边形和中心对称的性质，连接 并延长至点 ，使 ；连接 并延长至点 ，使 ；连接 、 、 ，即可得到答案；（2）首先连接 ，再根据直角、平行线的性质，画出图形即可（答案不唯一）．
23．【答案】（1）解：△ABE 绕A点逆时针旋转90°得到△ADF，是旋转变换；
（2）解：BE=DF，理由是：
∵△ABE 绕A点逆时针旋转90°得到△ADF，根据旋转的性质可知只改变位置，不改变图形的形状、大小，
∴BE=DF.
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转变换的定义分析即可判断；
（2）根据旋转变换的性质解答即可.
24．【答案】（1）证明：∵E点绕A点逆时针旋转90°到AD，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠DAC＝∠EAB，
∵AC＝AB，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；
（2）∵等腰△ABC中，AC＝AB，∠CAB＝90°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∵△ABE≌△ACD，
∴BE＝CD，
∠DCA＝∠ABE＝45°，
∴∠DCE＝90°，
∵BC＝6，CE＝2，
∴BE＝4＝CD，
∴DE＝ ＝2 .
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据E点绕A点逆时针旋转90°到AD，可得AD＝AE，∠DAE＝90°，进而可以证明△ABE≌△ACD；
（2）结合（1）△ABE≌△ACD，和等腰三角形的性质，可得∠DCE＝90°，再根据勾股定理即可求出DE的长.
25．【答案】（1）解：点D
（2）解：90°
（3）解：由旋转可得DE=DF=13，BE=AB-AE=7，BF=BC+CF=17
所以，四边形D肋F的周K=13+1 3+7+17=50
四边形DEBF的面积=正方形ABCD的面积=12×12=144
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】（1）观察图形，根据旋转的性质即可确定出旋转中心；
（2）找出对应线段的夹角即为旋转角，如AD和CD之间的夹角，根据正方形的性质求解；
（3）根据旋转的性质可得AE=CF，DE=DF，根据勾股定理计算出DE的长，进而可求出四边形DEBF的周长；
根据旋转的性质可得S△ADE=S△CDF，即可得到四边形DEBF等于正方形ABCD的面积.
26．【答案】（1）CG⊥BD
（2）解：（1）中的结论仍然成立；
理由如下：
延长CF到点M，使得MF=CF，连接AM，如图2,
∵点F为AE的中点，
∴AF=EF，
∵∠AFM=∠EFC，
∴△FAM≌△FEC（SAS）；
∴AM=CE=4，∠MAF=∠CEF，
∴AM∥CE；
∴∠MAC+∠ACE=180°，
∴∠MAC=180° ∠ACE；
∵∠DCB=∠DCE+∠ACB ∠ACE=90°+90° ∠ACE=180° ∠ACE，
∴∠MAC=∠DCB，
∵ ，
∴△MAC∽△DCB，
∴∠DBC=∠ACM；
∵∠ACM+∠GCB=90°，
∴∠DBC+∠GCB=90°，
∴∠CGB=90°，
∴CG⊥BD.
（3） 或
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）延长CF到点M，使得FM=CF，连接AM，如图1，
∵点F是AE的中点，
∴AF=EF，
∵CF=FM，∠AFM=∠EFC，
∴△AMF≌△ECF（SAS），
∴AM=CE=4，∠AMF=∠ECF，
∴AM∥CE，
∴∠MAC=∠DCB=90°；
∵ ，
∴△MAC∽△DCB，
∴∠DBC=∠ACM；
∵∠ACM+∠GCB=90°，
∴∠DBC+∠GCB=90°，
∴∠CGB=90°，
∴CG⊥BD.
故答案为：CG⊥BD.
（3）由题意可知，当点B、D、E三点在同一条直线上时，可分为两种情况进行讨论：
①当点E在线段BD上时，延长CF到点M，使得MF=CF，连接AM，如图3，
由（2）可知，CG⊥BD， ，
在Rt△DCE中，∵CD=3，CE=4，
∴DE=5，
∴ ；
在Rt△CGB中，CB=6， ，
∴ ；
在Rt△DCG中， ，
∴ ，
∴ ；
∴ ；
②当点E在线段BD的延长线上时，延长CF到点M，使得MF=CF，连接AM，如图4，
由①可知， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
综上所述，CF的长为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】 (1)根据题目提示，做出辅助线，再利用全等三角形的判定，证出 △FAM≌△FEC，再利用全等三角形的性质和相似三角形的判定，联系已知，证出 △MAC∽△DCB ，从而确定 CG⊥BD.；
(2)类比上题，根据题目提示，做出辅助线，再利用全等三角形的判定，证出 △FAM≌△FEC，再利用全等三角形的性质和相似三角形的判定，联系已知，证出 △MAC∽△DCB ，从而确定 CG⊥BD；
(3)根据旋转的性质，将△DCE绕点C逆时针在平面内旋转，可以求出CF的长 ，但本题要注意分类讨论，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，有两种情况①当点E在线段BD上②当点E在线段BD的延长线上.
27．【答案】（1）解：∵OD平分∠AOC
∴∠AOD=∠COD
∵∠DOE=90°
∴∠AOD+∠EOB=90°，∠COD+∠COE=90°
∴∠COE=∠EOB
∴OE也平分∠BOC；
（2）∠AOD、∠COE
（3）解：①若n≤45°，∠DOB ∠COE=（180°-n）-（45°-n）=180°-n-45°+n=135°，
②若n＞45°，∠DOB ∠COE=（180°-n）-（n-45°）=180°-n-n+45°=225° 2n.
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：（2）∵OC⊥AB，∠DOE=90°
∴∠AOD+∠COD=90°，∠COD+∠COE=90°
∴∠AOD=∠COE
∴与∠DOB互补的角为∠AOD、∠COE；
【分析】（1）由OD平分∠AOC可得∠AOD=∠COD，由∠DOE=90°可得∠AOD+∠EOB=90°，∠COD+∠COE=90°，即可证得结论；（2）由OC⊥AB可得∠AOD+∠COD=90°，由∠DOE=90°可得∠COD+∠COE=90°，即可得到∠AOD=∠COE，从而可以求得与∠DOB互补的角；（3）由于旋转45°时，OE与OC重合，故要分n≤45°与n＞45°两种情况分析.
1 / 1初中数学浙教版九年级上册3.2 图形的旋转同步练习
一、单选题
1．（2021·永州）如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，五角星图案绕中心旋转180°后，阴影部分的等腰三角形的顶点向下，得到的图案是C.
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质可得：五角星图案绕中心旋转180°后，阴影部分的等腰三角形的顶点向下，据此判断.
2．（2021八下·盐城期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），将点 绕原点逆时针旋转90°得到点 ，则点 的坐标为（ ）
A．（－3，2） B．（3，－2）
C．（3，2） D．（－2，－3）
【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：观察图象可知A′（ 3，2）.
故答案为：A.
【分析】根据旋转的性质，在坐标系中找出点A′的位置，进而得到点A′的坐标.
3．（2021七下·卧龙期末）如图，将 绕点O逆时针旋转60°后得到 ，若 ， ，则 （ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ 绕点O逆时针旋转60°得到 ，
∴∠D=∠A=110°， ，∠AOD=60°，
∵∠D=110°，∠E=45°
∴∠DOE=25°
∴
故答案为：B.
【分析】由旋转的性质可得∠D=∠A，∠E=∠B，∠AOD=60°，然后根据角的构成∠AOE=∠AOD-∠DOE可求解.
4．（2021七下·绿园期末）如图，将 绕点 顺时针旋转得到 ，且点 恰好在 上， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可知： ，
又∵
∴
又∵
∴
∴
故答案为A．
【分析】由旋转的性质可得，，由周角的性质可求的度数，即可求解。
5．（2021·牡丹江）如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2 ，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（4，2）或（﹣4，2）
B．（2 ，﹣4）或（﹣2 ，4）
C．（﹣2 ，2）或（2 ，﹣2）
D．（2，﹣2 ）或（﹣2，2 ）
【答案】C
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】过点A作 于点C．
在Rt△AOC中， ．
在Rt△ABC中， ．
∴ ．
∵OA＝4，OB＝6，AB＝2 ，
∴ ．
∴ ．
∴点A的坐标是 ．
根据题意画出图形旋转后的位置，如图，
∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为 ；
将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为 ．
故答案为：C．
【分析】过点A作 于点C．利用勾股定理求出A的坐标，再分两种情况讨论即可。
6．（2021八下·福田期末）如图，将 绕着点 顺时针旋转，得到 （点 落在 外），若 ， ，则旋转角度是（ ）．
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠AOB=30°，∠BOC=10°，
∴∠AOC=∠AOB+∠COB=30°+10°=40°，
∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，
∴旋转角为∠AOC=40°．
故答案为：C．
【分析】先求出∠AOC=∠AOB+∠COB=40°，再根据旋转的性质可得旋转角为∠AOC=40°．
7．（2021·章丘模拟）如图，把直角坐标系放置在边长为1的正方形网格中，O是坐标原点，点A、B、C均在格点上，将△ABC绕O点按逆时针方向旋转90°后，得到△A'B'C′，则点A′的坐标是（ ）
A．（5，1） B．（5，﹣1） C．（﹣1，5） D．（1，﹣5）
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：观察图象可知，A′（5，﹣1）．
故答案为：B．
【分析】利用旋转变换的性质分别作出A、B、C的对应点即可。
8．（2021·道外模拟）如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°到△DBE（其中点D与点A对应，点E与点C对应），连接AD，若 ，则∠ABE的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°，
∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝40°，
∴∠BAD＝∠BDA＝70°，
∵AD BC，
∴∠DAB＝∠ABC＝70°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝30°，
故答案为：B．
【分析】先求出∠BAD＝∠BDA＝70°，再求出∠DAB＝∠ABC＝70°，最后计算求解即可。
9．（2021·松北模拟）如图，在 ABC中，∠CAB＝70°，将 ABC绕点A逆时针旋转到 的位置，使得 ∥AB，则 的度数是（ ）
A．70° B．35° C．40° D．50°
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，
∴AC′＝AC，∠B′AB＝∠C′AC，
∴∠AC′C＝∠ACC′，
∵CC′∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝70°，
∴∠AC′C＝∠ACC′＝70°，
∴∠CAC′＝180°﹣2×70°＝40°，
∴∠B′AB＝40°，
故答案为：C．
【分析】根据旋转的性质得出AC′＝AC，∠B′AB＝∠C′AC，根据等腰三角形的性质得出∠AC′C＝∠ACC′，再根据平行线的性质由CC′∥AB，得出∠ACC′＝∠CAB＝70°，则∠AC′C＝∠ACC′＝70°，再根据三角形内角和计算出∠CAC′＝180°﹣2×70°＝40°，由此得出 的度数。
10．（2021·松北模拟）如图，将 纸片绕点C顺时针旋转 得到 ，连接 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：若AC⊥A′B′，垂足为D，由旋转可知，∠DCA′=40°，CA＝CA′，
∵AC⊥A′B′，
∴∠DA′C＝90°﹣∠DCA′＝90°﹣40°＝50°．
∵CA＝CA′，
∴∠CAA′＝∠CA′A＝ （180°﹣∠DCA′）＝ ×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠AA′B′＝70°﹣50°＝20°．
故答案为：B．
【分析】先求出∠DA′C＝50°，再求出∠CAA′＝∠CA′A＝70°，最后计算求解即可。
二、填空题
11．（2021八下·丹徒期中）如图，△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后的图形为△AB1C1，则∠ABB1＝
.
【答案】65°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后的图形为△AB1C1，
∴∠BAB1＝50°，AB＝AB1，
∴∠B＝∠ABB1＝65°，
故答案为65°.
【分析】根据旋转的性质可求解.
12．（2021八下·江都期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形边长均为1，将 ABC绕P点逆时针旋转至 ，使点B′恰好落在y轴上，则旋转中心P的坐标是 .
【答案】（1，-1）
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】由图形可知，
对应点的连线CC′，AA′的垂直平分线的交点是点（1，-1），
根据旋转变换的性质，点（1，-1）即为旋转中心.
故旋转中心坐标是P（1，-1）.
故答案为：（1，-1）
【分析】根据旋转的性质，可知对应点的连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可.
13．（2021·奉贤模拟）如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，得到Rt△FEC，则点A的对应点F的坐标是 ．
【答案】(-1，2)
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，点F的坐标为（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
【分析】根据旋转的性质求解即可。
14．（2021·西宁模拟）如图，在平面直角坐标系中， 的直角顶点C的坐标为 ，点A在x轴正半轴上，且 ．将 绕点C逆时针旋转 ，则旋转后点A的对应点的坐标为 ．
【答案】（1，2）
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点C的坐标为 ，AC=2，
如图所示，将RtΔABC先绕点C逆时针旋转90°，
则点A'的坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）．
【分析】根据旋转变换的性质得到旋转变换后点A的对应点坐标，根据平移的性质解答即可。
15．（2021八下·崇州期中）如图，将Rt△ABC（∠BAC＝65°）绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一直线上，则旋转角度为 .
【答案】115°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵点C，A，B1在同一直线上，
∴∠BAB1＝180°﹣∠BAC＝115°，
∴旋转角度为115°，
故答案为115°.
【分析】根据旋转的性质即可求解.
16．（2021·泗洪模拟）如图，在凸四边形 中， ， ，则线段 的长等于 .
【答案】12
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：连接AC，由 ，则把△ACD逆时针旋转120°得到△BCE，使得BC与CD重合，如图所示：
∴△ACD≌△ECB，∠ACE=120°，
∴AC=CE，BE=AD，∠CBE=∠D，
∵ ，
∴∠ABC+∠D=120°，
∴∠ABC+∠CBE=120°，即∠ABE=120°，
∵△ABC是公共部分，
∴四边形ABEC和四边形ABCD是全等的，
∴AC=CE=BC=CD，
∵ ，
∴AC=12cm，
故答案为12.
【分析】连接AC，由 ， ， 作辅助线，把△ACD逆时针旋转120°得到△BCE，使得BC与CD重合，则△ACD≌△ECB，进而可得四边形ABEC和四边形ABCD是全等的，则可得AC=CE=BC=CD，即可得解决问题.
三、解答题
17．（2021七下·绿园期末）如图，将 以点 为旋转中心，顺时针旋转 ，得到 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，求证： ．
【答案】证明：∵将 以点 为旋转中心，顺时针旋转 ，得到 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】根据旋转的性质可得，根据全等的性质可得，根据平行线的性质，可得，根据等量代换可得答案。
18．（2019九上·祥云期末）如图
（1）请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；
（3）写出A2 和C2两点坐标．
【答案】 A2（-2，2）和C2（-1，4） .
【知识点】作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据中心对称的性质及网格特点，分别确定点A、B、C关于原点O对称的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质及网格特点，分别确定点A、B、C绕点B逆时针旋转90°后的对应点A2、B、C2的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据图形直接写出A2 和C2的坐标即可.
19．如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为2的等边三角形．
（1）写出△OAB各顶点的坐标；
（2）以点O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，写出A′，B′的坐标．
【答案】（1）解：如图1，过B作BC⊥OA于C，
∵△AOB是等边三角形，且OA=2，
∴OC= OA=1，
由勾股定理得：BC= = ，
∴A（﹣2，0），B（﹣1， ），O（0，0）
（2）解：如图2，∵∠AOB=60°，OA=OB，
∴A′与B重合，
∴A′（﹣1， ），
由旋转得：∠BOB′=60°，OB=OB′，
∵∠AOD=90°，
∴∠BOD=30°，
∴∠DOB′=30°，
∴BB′⊥OD，DB=DB′，
∴B′（1， ）
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【分析】（1）数轴上，根据等边三角形的边长等于2，即可求出三角形各点的坐标。
（2）将三角形按照题目要求进行旋转，根据旋转后得到的图形，利用等边三角形边长为2，求出A′，B′的坐标即可。
20．（2018八上·杜尔伯特期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向下平移4个单位，再向右平移3个单位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°，得到△A1B2C2．
（1）在网格中画出△A1B1C1；
（2）在网格中画出A1B2C2．
【答案】（1）解：如图所示：△A1B1C1，即为所求。
（2）解：如图所示：△A2B2C2，即为所求。
【知识点】作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）先将三角形的各个点下移四个单位，再右移三个单位，找到对应的点，相连得到三角形；
（2）在（1）的基础上，再绕A1旋转90度，找到各个旋转后的点，相连得三角形。
21．（2017八下·苏州期中）如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（Ⅰ）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；
（Ⅱ）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
【答案】（Ⅰ）所作图形如图所示：
，
（Ⅱ）点B'的坐标为：（0，-6）；
当以AB为对角线时，点D坐标为（-7，3）；
当以AC为对角线时，点D坐标为（3，3）；
当以BC为对角线时，点D坐标为（-5，-3）．
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【分析】（Ⅰ）分别作出点A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°后的点，然后顺次连接，并写出点B的对应点的坐标；（Ⅱ）分别以AB、BC、AC为对角线，写出第四个顶点D的坐标．
四、综合题
22．（2021·瓯海模拟）如图，在8×8的方格纸中，每个小方格的顶点称为格点，请按要求画格点四边形ABCD．
（1）在图1中画平行四边形ABCD，使点P是它的对称中心．
（2）在图2中画四边形ABCD，使得∠D＝90°，且PB∥CD．
【答案】（1）解：如图，平行四边形ABCD即为所求作；
（2）解：如图，
四边形ABCD即为所求作（答案不唯一）．
【知识点】作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据平行四边形和中心对称的性质，连接 并延长至点 ，使 ；连接 并延长至点 ，使 ；连接 、 、 ，即可得到答案；（2）首先连接 ，再根据直角、平行线的性质，画出图形即可（答案不唯一）．
23．（2021八下·贺兰期中）如图1，把△ABC沿直线BC平移线段BC的长度，得到△ECD；如图2，以BC为轴，把△ABC沿BC翻折180°，可以得到△DBC；如图3，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以得到△AED．像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平移、翻折、旋转等方法得到的，这种只改变位置，不改变形状、大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题：
（1）在图4中，可以使△ABE通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法得到△ADF？
（2）图中线段BE与DF相等吗？为什么？
【答案】（1）解：△ABE 绕A点逆时针旋转90°得到△ADF，是旋转变换；
（2）解：BE=DF，理由是：
∵△ABE 绕A点逆时针旋转90°得到△ADF，根据旋转的性质可知只改变位置，不改变图形的形状、大小，
∴BE=DF.
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转变换的定义分析即可判断；
（2）根据旋转变换的性质解答即可.
24．（2021九上·南丹期末）如图，在等腰 中，AC＝AB，∠CAB＝90°，E是BC上一点，将E点绕A点逆时针旋转90°到AD，连接DE、CD.
（1）求证： ；
（2）当BC＝6，CE＝2时，求DE的长.
【答案】（1）证明：∵E点绕A点逆时针旋转90°到AD，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠DAC＝∠EAB，
∵AC＝AB，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；
（2）∵等腰△ABC中，AC＝AB，∠CAB＝90°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∵△ABE≌△ACD，
∴BE＝CD，
∠DCA＝∠ABE＝45°，
∴∠DCE＝90°，
∵BC＝6，CE＝2，
∴BE＝4＝CD，
∴DE＝ ＝2 .
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据E点绕A点逆时针旋转90°到AD，可得AD＝AE，∠DAE＝90°，进而可以证明△ABE≌△ACD；
（2）结合（1）△ABE≌△ACD，和等腰三角形的性质，可得∠DCE＝90°，再根据勾股定理即可求出DE的长.
25．（2020七下·来宾期末）如图，点E为正方形ABCD的边AB上一点，AB=12，AE=5，将△DAE旋转后能与△DCF重合。
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转的最小角是多少度？
（3）求四边形DEBF的周长和面积。
【答案】（1）解：点D
（2）解：90°
（3）解：由旋转可得DE=DF=13，BE=AB-AE=7，BF=BC+CF=17
所以，四边形D肋F的周K=13+1 3+7+17=50
四边形DEBF的面积=正方形ABCD的面积=12×12=144
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】（1）观察图形，根据旋转的性质即可确定出旋转中心；
（2）找出对应线段的夹角即为旋转角，如AD和CD之间的夹角，根据正方形的性质求解；
（3）根据旋转的性质可得AE=CF，DE=DF，根据勾股定理计算出DE的长，进而可求出四边形DEBF的周长；
根据旋转的性质可得S△ADE=S△CDF，即可得到四边形DEBF等于正方形ABCD的面积.
26．（2021·禹州模拟）如图
（1）如图1.在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D、E分别在边CA，CB上且CD＝3，CE＝4，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CG所在直线与线段BD所在直线的位置关系是 .（提示：延长CF到点M，使FM＝CF，连接AM）
（2）将△DCE绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
（3）将△DCE绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，CF的长为 .
【答案】（1）CG⊥BD
（2）解：（1）中的结论仍然成立；
理由如下：
延长CF到点M，使得MF=CF，连接AM，如图2,
∵点F为AE的中点，
∴AF=EF，
∵∠AFM=∠EFC，
∴△FAM≌△FEC（SAS）；
∴AM=CE=4，∠MAF=∠CEF，
∴AM∥CE；
∴∠MAC+∠ACE=180°，
∴∠MAC=180° ∠ACE；
∵∠DCB=∠DCE+∠ACB ∠ACE=90°+90° ∠ACE=180° ∠ACE，
∴∠MAC=∠DCB，
∵ ，
∴△MAC∽△DCB，
∴∠DBC=∠ACM；
∵∠ACM+∠GCB=90°，
∴∠DBC+∠GCB=90°，
∴∠CGB=90°，
∴CG⊥BD.
（3） 或
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）延长CF到点M，使得FM=CF，连接AM，如图1，
∵点F是AE的中点，
∴AF=EF，
∵CF=FM，∠AFM=∠EFC，
∴△AMF≌△ECF（SAS），
∴AM=CE=4，∠AMF=∠ECF，
∴AM∥CE，
∴∠MAC=∠DCB=90°；
∵ ，
∴△MAC∽△DCB，
∴∠DBC=∠ACM；
∵∠ACM+∠GCB=90°，
∴∠DBC+∠GCB=90°，
∴∠CGB=90°，
∴CG⊥BD.
故答案为：CG⊥BD.
（3）由题意可知，当点B、D、E三点在同一条直线上时，可分为两种情况进行讨论：
①当点E在线段BD上时，延长CF到点M，使得MF=CF，连接AM，如图3，
由（2）可知，CG⊥BD， ，
在Rt△DCE中，∵CD=3，CE=4，
∴DE=5，
∴ ；
在Rt△CGB中，CB=6， ，
∴ ；
在Rt△DCG中， ，
∴ ，
∴ ；
∴ ；
②当点E在线段BD的延长线上时，延长CF到点M，使得MF=CF，连接AM，如图4，
由①可知， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
综上所述，CF的长为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】 (1)根据题目提示，做出辅助线，再利用全等三角形的判定，证出 △FAM≌△FEC，再利用全等三角形的性质和相似三角形的判定，联系已知，证出 △MAC∽△DCB ，从而确定 CG⊥BD.；
(2)类比上题，根据题目提示，做出辅助线，再利用全等三角形的判定，证出 △FAM≌△FEC，再利用全等三角形的性质和相似三角形的判定，联系已知，证出 △MAC∽△DCB ，从而确定 CG⊥BD；
(3)根据旋转的性质，将△DCE绕点C逆时针在平面内旋转，可以求出CF的长 ，但本题要注意分类讨论，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，有两种情况①当点E在线段BD上②当点E在线段BD的延长线上.
27．（2020七下·江阴期中）操作与探索：
已知点O为直线AB上一点，作射线OC，将直角三角板ODE放置在直线上方(如图①)，使直角顶点与点O重合，一条直角边OD重叠在射线OA上，将三角板绕点O旋转.
（1）当三角板旋转到如图②的位置时，若OD平分∠AOC，试说明OE也平分∠BOC；
（2）若OC⊥AB，垂足为点O(如图③)，请直接写出与∠DOB互补的角 ；
（3）若∠AOC=135°(如图④)，三角板绕点O按顺时针从如图①的位置开始旋转，到OE边与射线OB重合结束. 请通过操作，探索：在旋转过程中，∠DOB ∠COE的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请用含有n(n为三角板旋转的度数)的代数式表示这个差.
【答案】（1）解：∵OD平分∠AOC
∴∠AOD=∠COD
∵∠DOE=90°
∴∠AOD+∠EOB=90°，∠COD+∠COE=90°
∴∠COE=∠EOB
∴OE也平分∠BOC；
（2）∠AOD、∠COE
（3）解：①若n≤45°，∠DOB ∠COE=（180°-n）-（45°-n）=180°-n-45°+n=135°，
②若n＞45°，∠DOB ∠COE=（180°-n）-（n-45°）=180°-n-n+45°=225° 2n.
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：（2）∵OC⊥AB，∠DOE=90°
∴∠AOD+∠COD=90°，∠COD+∠COE=90°
∴∠AOD=∠COE
∴与∠DOB互补的角为∠AOD、∠COE；
【分析】（1）由OD平分∠AOC可得∠AOD=∠COD，由∠DOE=90°可得∠AOD+∠EOB=90°，∠COD+∠COE=90°，即可证得结论；（2）由OC⊥AB可得∠AOD+∠COD=90°，由∠DOE=90°可得∠COD+∠COE=90°，即可得到∠AOD=∠COE，从而可以求得与∠DOB互补的角；（3）由于旋转45°时，OE与OC重合，故要分n≤45°与n＞45°两种情况分析.
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