初中数学浙教版九年级上册3.3垂径定理 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·鄞州月考）如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP=2，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵AB=12
∴OB=
又BP=2
∴OP=OB-PB=6-2=4
在Rt△OPC中， ，
∵OB过圆心，OB⊥CD
∴CD=2PC=2×
故答案为：C.
【分析】利用OC，可求出OB的长，从而可求出OP的长，在Rt△OPC中，利用勾股定理求出PC的长，然后利用垂径定理可求出CD的长.
2．（2020·黔东南州）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．2
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5，
∴OD＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴AM＝ ＝ ＝8，
∴AB＝2AM＝16.
故答案为：C.
【分析】连接OA，先根据已知条件OM：OD＝3：5易求出OD及OM的长，再用勾股定理可求出AM的长，然后结合垂径定理可求解.
3．（2021·安徽模拟）如图，AB为圆O的直径，C、D两点均在圆上，其中OD⊥AC交AC于E点．若DE＝1，BC＝6，则AC＝（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】∵OD⊥AC，OD为圆O的半径，
∴E是AC的中点，
∵O是AB的中点，
∴OE是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；
故答案为：D．
【分析】利用三角形中位线的定义求出OE的长，再利用勾股定理求出AE的长，最后再求出AC即可。
4．（2020九上·聊城期末）已知，如图 的直径为 ，弦 垂直平分半径 ，则弦 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】连接AO，
∵弦AB垂直平分半径OC
∴OA=6cm，OD=DC=3cm，
由勾股定理得，AD
故答案为：C.
【分析】连接AO，利用垂径定理和勾股定理计算即可。
5．（2020九上·湖北月考）下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径平分这条直径
D．弦的垂直平分线经过圆心
【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：A、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，所以A选项错误；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；
C、垂直于直径的弦被这条直径平分，所以C选项错误；
D、弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确.
故答案为：D.
【分析】垂径定理包含五个方面的信息，①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，这五个方面的信息把其中的任意两个作为条件，可以推出剩下结论，从而即可一一判断得出答案.
6．（2020九上·通州期末）水平放置的圆柱形排水管道截面半径为1 m．若管道中积水最深处为0.4 m，则水面宽度为（ ）
A．0.8 m B．1.2 m C．1.6 m D．1.8 m
【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OB，如图所示：
则AB=2BC，∠OCB=90°，
OB=OD=1m，CD=0.4m，
∴OC=OD-CD=0.6m，
∴BC= = =0.8（m），
∴AB=2AC=1.6m，
∴排水管道截面的水面宽度为1.6m，
故答案为：C．
【分析】作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OB，再利用垂径定理和勾股定理求解即可。
7．（2020九上·科尔沁左翼中旗期中）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则BE的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：∵CE=2，DE=8，
∴CD=10，
∴OB=OC=5，
∴OE=OC-CE=5-2=3，
∵AB⊥CD，
∴在△OBE中，
故答案为：B．
【分析】根据CE=2，DE=8，得出直径CD=10，从而得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE．
8．（2020九上·如皋期中）如图， 与 轴交于点 ， ，圆心 的横坐标为 ，则 的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：过点P作PD⊥MN，连接PM，如图所示：
∵⊙P与y轴交于M（0， 4），N（0， 10）两点，
∴OM＝4，ON＝10，
∴MN＝6，
∵PD⊥MN，
∴DM＝DN＝ MN＝3，
∴OD＝7，
∵点P的横坐标为 4，即PD＝4，
∴PM＝ ＝ ＝5，
即⊙P的半径为5，
故答案为：C.
【分析】过点P作PD⊥MN，连接PM，由题可知MN=6，PD=4，由垂径定理可得点D为MN中点，在Rt△PDM中，可得PM＝ ，即可得半径.
9．（2020九上·杭州月考）如图， 是 的直径，弦 交 于点 ， ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．12
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴AB=12，AO=6，
∴PO=2，
作OM⊥CD，连接OC，
∵ ，
∴∠AOM=45°，△MOP为等腰直角三角形，
∴ ，
在Rt△OCM中根据勾股定理
，
∴ .
故答案为：C.
【分析】作OM⊥CD，连接OC，先求得半径和OP，根据等腰直角三角形的性质求得OM，再根据勾股定理求得CM，结合垂径定理即可求得CD，
10．（2020·枣阳模拟）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何 ”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为 1寸，锯道AB=1尺(1尺=10寸)，则该圆材的直径为（ ）
A．13 B．24 C．26 D．28
【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，
∴AC= AB= ，
设⊙O的半径为r，
在Rt△ACO中， ， ，
则有 ，
解得 ，
∴⊙O的直径为26寸，
故答案为：C.
【分析】设⊙O的半径为r.利用垂径定理求得AC=5，在Rt△ACO中， ， ，则有 ，解方程即可.
二、填空题
11．（2021九上·郧县期末）赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙.如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的直径＝ 米.
【答案】50
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：根据垂径定理，得AD＝ AB＝20米.
设圆的半径是R，根据勾股定理，
得R2＝202+（R﹣10）2，
解得R＝25（米），
∴⊙O的直径为50米.
故答案为：50.
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解即可.
12．（2020九上·前郭尔罗斯期中）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是 ．
【答案】3
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：过点O作OH⊥CD于H，
连接OC，如图，则CH＝DH＝ CD＝4，
在Rt△OCH中，OH＝ ＝3，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为：3．
【分析】本题利用垂径定理及勾股定理，列出等量关系式求解即可。
13．（2020九上·椒江期中）如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”，“8”（单位：cm），那么，该圆的半径为 .
【答案】 cm
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：根据题意获得下图：
设OB=r cm，
∵刻度尺的宽为2cm，
∴OC=r-2，
∵另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”，
∴BC= ×6=3，
在Rt△OBC中，
∵OB2=OC2+BC2，即r2=（r-2）2+32，解得r= cm.
故答案为： cm.
【分析】如图示，可得AC=2cm，BC=设半径为r，即OB=r，OC=r-2，根据勾股定理建立方程，即可求解半径.
14．（2020九上·南京期中）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D，且OD=DC，P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为1，则S△PAB的最大值为 .
【答案】
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：延长CD交⊙O于点E，连接OA，AE，BE如图，
∵OA=OC=1，OD=CD，
∴OD=CD= OC= ，
∵OC⊥AB，
∴AD= ，
∴AB=2AD= ，
∴S△ABE= ，
∵在△ABP中，当点P与点E重合时，AB边上的高取最大值，此时△ABP的面积最大，
∴S△ABP的最大值= .
故答案为： .
【分析】要使得 S△PAB的最大值 ，即点P到AB的距离最大，当点P经过圆心O且与AB互相垂直时，PD最大，即 S△PAB最大；连接OA，由OD=OA，和勾股定理可得，根据垂径定理，PD⊥AB于点D，故，AB=2AD，PD=OP+OD=，利用三角形的面积可得.
15．（2020九上·无锡期中）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝12cm，则球的半径为 cm.
【答案】7.5
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝12 cm
设OF＝x cm，则ON＝OF，
∴OM＝MN﹣ON＝ (12﹣x) cm，MF＝6 cm，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2，
即：（12﹣x）2+62＝x2，
解得：x＝7.5，
故答案为：7.5.
【分析】首先找到EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM是(12﹣x) cm，MF＝6 cm，然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得OF的长即可.
16．（2020九上·大庆月考）⊙O半径为5，弦AB=6cm，CD=8cm，且AB∥CD．则AB与CD之间的距离 ．
【答案】1cm或7cm
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵OE过圆心，OE⊥AB，
∴EB＝ AB＝3cm，
∵OB＝5cm，
∴EO＝4cm，
同理，OF＝3cm，
∴EF＝4-3=1cm，
当AB、CD位于圆心两旁时EF＝4+3=7cm，
∴EF＝1cm或EF＝7cm．
故答案为：1cm或7cm．
【分析】先作出圆心与两弦的垂直距离，作图后利用勾股定理算出AB弦与圆心的距离，CD弦与圆心的距离，再分情况求解即可。
三、解答题
17．（2020九上·民勤月考）⊙O的半径为5cm，弦AB=6cm，CD=8cm，且AB∥CD，求两弦之间的距离.
【答案】解：如图：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵OE过圆心，OE⊥AB，
∴EB＝ AB＝3cm，
∵OB＝5cm，
∴EO＝4cm，
同理，OF＝3cm，
∴EF＝4-3=1cm，
当AB、CD位于圆心两旁时EF＝4+3=7cm，
∴EF＝1cm或EF＝7cm.
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】 过点O作OE⊥AB于E，交CD于F ，根据垂径定理可得点E、F分别为AB、CD的中点，根据勾股定理可得OE、OF的长度，再分类讨论弦AB、CD在圆心的同侧 EF＝ OE-OF或弦AB、CD在圆心的异侧 EF＝ OE+OF即可.
18．（2019九上·苍溪期中）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．
【答案】解：如图，连接OA，作直径MN⊥AB，垂足为D，
由垂径定理可知：AD＝DB＝ AB＝4(cm)，
∵圆的直径为10cm，
∴DA＝5cm，
由勾股定理得：OD＝3(cm)，
∵垂线段最短，半径最大，
∴OP长度范围为：3≤OP≤5(cm)
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】根据垂径定理求出OD长，OP介于OA，OD之间
19．（2019九上·洮北月考）如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，求弦BD的长
【答案】解：如图，作CE⊥AB于E．
∵∠B=180°-∠A-∠ACB
=180°-20°-130°
=30°，
在Rt△BCE中，
∵∠CEB=90°，∠B=30°，BC=2，
∴CE= BC=1，BE= CE= ，
∵CE⊥BD，
∴DE=EB，
∴BD=2EB=2 .
【知识点】垂径定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】本道题的关键点在过点C作AB的垂线，接下来再利用垂径定理就可以了。
20．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第二章圆 单元卷）已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：AE=BF．
【答案】证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M，
则AM=BM．
又∵OE=OF
∴EM=FM，
∴AE=BF．
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】
作OM⊥AB后利用垂径定理和等腰三角形三线合一的性质即可得证。
四、综合题
21．（2018九上·衢州期中）如图，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长
【答案】（1）证明：过点O作 OE⊥AB于 E，
∴AE=BE，CE=DE，
∴AE-CE=BE-DE，∴AC=BD
（2）解：由(1)知 OE=6，OA=10，∴AE=8，∵OE=6，OC=8∴ CE =
∴AC=AE-CE=8-2
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】（1）过点O作 OE⊥AB于 E，根据垂径定理得出AE=BE，CE=DE，再根据等式的性质，将两个等式相减即可得出答案；
（2）连接OA，OC，根据勾股定理分别算出AE，CE，再根据线段的和差即可算出答案。
22．（2020九上·宜兴期中）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，
（1）求⊙O的半径；
（2）求O到弦BC的距离.
【答案】（1）解：连结OB，设半径为r，则OE=r－2，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E ，BD=8cm，
∴BE＝DE＝4 ，
在Rt△OBE中∵OE2+BE2=OB2 ，
∴(r－2)2＋42＝r2 ，
∴r=5；
（2）解：∵r＝5，
∴AC＝10，EC＝8
∴BC＝4 ；
∵OF⊥BC，
∴S△BCO＝ BC×OF ＝ OC×BE
∴4 ×OF ＝5××4
∴OF＝ .
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】（1）连结OB，设半径为r，则OE=r－2，运用垂径定理和勾股定理即可求解；
（2）利用S△BCO＝ BC×OF ＝ OC×BE即可求解.
23．（2020·北京模拟）一次函数 的图象与轴的负半轴相交于点 ，与 轴的正半轴相交于点 ，且 ． 的外接圆的圆心 的横坐标为 ．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：作 ，
由垂径定理得：点 为 的中点，
，
， ，即 ，
， ，
，
即 ，
设 ，将 、 代入得：
（2）解： ， ，
，则 ，
，
阴影部分面积为 ．
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】（1）由垂径定理得：点 为 的中点， ，则 ，即 ，而 ， ，则 ，即可求解；（2） ， ， ，则 ，则 ，即 ，即可求解．
24．（2019九上·仙游期中）已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E．
（1）求证：∠CDB=∠A；
（2）若BD=5，AD=12，求CD的长．
【答案】（1）证明：∵AB为直径
∴AB⊥CD
∴
∴
（2）解：∵AB为直径
∴
又∵BD=5，AD=12
∴AB=13
又∵AB⊥CD
∴
又∵AB为直径，AB⊥CD
∴
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得出弧BC=弧BD，然后根据等弧所对的圆周角相等得出结论；（2）根据直径得出∠ADB=90°，根据勾股定理得出AB的长度，根据等面积法求出DE的长度，根据垂径定理可得CD=2DE，求出CD的长度.
25．（2019九上·江山期中）好山好水好江山，石拱桥在江山处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度16m时，拱顶高出水平 面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m。
（1）请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径。
（2）小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由。
【答案】（1）解：连接OA，
由题意可知CD=4，AB=16，OC⊥AB于点D，
∴，
设OA=r，则OD=r-4
∴（r-4）2+82=r2，
解之：r=10
答：此圆弧形拱桥的半径为10m.
（2）解：如图
∵EF=12
∴FG=12÷2=6
∴OG=
∵OD=10-4=6
∴DG=OG-OD=8-6=2＜3
∴此货船能顺利不能通过这座拱桥.
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】（1）连接OA，题意可知CD=4，AB=16，OC⊥AB于点D，利用垂径定理求出AD的长，然后利用勾股定理求出圆的半径。
（2）如图可求出FG的长，再利用勾股定理求出OG的长，然后根据DG=OG-OD求出DG的长与3比较大小，即可作出判断。
26．（2019九上·嘉定期末）如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．
（1）求线段DE的长；
（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．
【答案】（1）解：∵OD经过圆心O，OD⊥AC，
∴AD=DC，
同理：CE=EB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE= AB，
∵AB=8，
∴DE=4
（2）解：过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则OH=3，连接OA，
∵OH经过圆心O，
∴AH=BH= AB，
∵AB=8，
∴AH=4，
在Rt△AHO中，AH2+OH2=AO2，
∴AO=5，即圆O的半径为5．
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】（1）根据垂径定理，可知，AD=DC，CE=EB，即，DE是△ABC的中位线，由三角形中位线的性质，即可求解；
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则OH=3，连接OA，根据垂径定理，可知，AH=4，在Rt△AHO中，利用勾股定理，即可求解.
27．（2018九上·绍兴期中）如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．
（1）弦长AB等于 （结果保留根号）；
（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数．
【答案】（1）
（2）解：如图所示，连接OA，
因为OA=OB，OA=OD，所以
∠OAB=∠OBA=30°，
∠OAD=∠ODA=20°
∴∠CAD=50°
∴∠OCB=50°+20°=70°
∴∠BOD=∠OCB+∠B=100°
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：（1）过点O作OE⊥AB于点E
∴AB=2BE，∠BEO=90°
∵OB=2，∠B=30°
∴OE=OB=1
∴BE==
∴AB=2
故答案为：2
【分析】（1）过点O作OE⊥AB于点E，利用垂径定理可得出AB=2BE，∠BEO=90°，在Rt△BOE中，利用直角三角形的性质求出OE的长，再利用勾股定理求出BE的长，即可得出AB的长。
（2）连接OA，利用等边对等角，可求出∠OAD和∠OAB，再利用三角形的外角的性质，可求出∠BOD的度数。
1 / 1初中数学浙教版九年级上册3.3垂径定理 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·鄞州月考）如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP=2，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·黔东南州）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．2
3．（2021·安徽模拟）如图，AB为圆O的直径，C、D两点均在圆上，其中OD⊥AC交AC于E点．若DE＝1，BC＝6，则AC＝（ ）
A．3 B． C．5 D．
4．（2020九上·聊城期末）已知，如图 的直径为 ，弦 垂直平分半径 ，则弦 的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020九上·湖北月考）下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径平分这条直径
D．弦的垂直平分线经过圆心
6．（2020九上·通州期末）水平放置的圆柱形排水管道截面半径为1 m．若管道中积水最深处为0.4 m，则水面宽度为（ ）
A．0.8 m B．1.2 m C．1.6 m D．1.8 m
7．（2020九上·科尔沁左翼中旗期中）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则BE的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（2020九上·如皋期中）如图， 与 轴交于点 ， ，圆心 的横坐标为 ，则 的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2020九上·杭州月考）如图， 是 的直径，弦 交 于点 ， ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．12
10．（2020·枣阳模拟）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何 ”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为 1寸，锯道AB=1尺(1尺=10寸)，则该圆材的直径为（ ）
A．13 B．24 C．26 D．28
二、填空题
11．（2021九上·郧县期末）赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙.如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的直径＝ 米.
12．（2020九上·前郭尔罗斯期中）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是 ．
13．（2020九上·椒江期中）如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”，“8”（单位：cm），那么，该圆的半径为 .
14．（2020九上·南京期中）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D，且OD=DC，P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为1，则S△PAB的最大值为 .
15．（2020九上·无锡期中）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝12cm，则球的半径为 cm.
16．（2020九上·大庆月考）⊙O半径为5，弦AB=6cm，CD=8cm，且AB∥CD．则AB与CD之间的距离 ．
三、解答题
17．（2020九上·民勤月考）⊙O的半径为5cm，弦AB=6cm，CD=8cm，且AB∥CD，求两弦之间的距离.
18．（2019九上·苍溪期中）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．
19．（2019九上·洮北月考）如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，求弦BD的长
20．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第二章圆 单元卷）已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：AE=BF．
四、综合题
21．（2018九上·衢州期中）如图，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长
22．（2020九上·宜兴期中）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，
（1）求⊙O的半径；
（2）求O到弦BC的距离.
23．（2020·北京模拟）一次函数 的图象与轴的负半轴相交于点 ，与 轴的正半轴相交于点 ，且 ． 的外接圆的圆心 的横坐标为 ．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
24．（2019九上·仙游期中）已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E．
（1）求证：∠CDB=∠A；
（2）若BD=5，AD=12，求CD的长．
25．（2019九上·江山期中）好山好水好江山，石拱桥在江山处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度16m时，拱顶高出水平 面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m。
（1）请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径。
（2）小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由。
26．（2019九上·嘉定期末）如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．
（1）求线段DE的长；
（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．
27．（2018九上·绍兴期中）如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．
（1）弦长AB等于 （结果保留根号）；
（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵AB=12
∴OB=
又BP=2
∴OP=OB-PB=6-2=4
在Rt△OPC中， ，
∵OB过圆心，OB⊥CD
∴CD=2PC=2×
故答案为：C.
【分析】利用OC，可求出OB的长，从而可求出OP的长，在Rt△OPC中，利用勾股定理求出PC的长，然后利用垂径定理可求出CD的长.
2．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5，
∴OD＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴AM＝ ＝ ＝8，
∴AB＝2AM＝16.
故答案为：C.
【分析】连接OA，先根据已知条件OM：OD＝3：5易求出OD及OM的长，再用勾股定理可求出AM的长，然后结合垂径定理可求解.
3．【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】∵OD⊥AC，OD为圆O的半径，
∴E是AC的中点，
∵O是AB的中点，
∴OE是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；
故答案为：D．
【分析】利用三角形中位线的定义求出OE的长，再利用勾股定理求出AE的长，最后再求出AC即可。
4．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】连接AO，
∵弦AB垂直平分半径OC
∴OA=6cm，OD=DC=3cm，
由勾股定理得，AD
故答案为：C.
【分析】连接AO，利用垂径定理和勾股定理计算即可。
5．【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：A、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，所以A选项错误；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；
C、垂直于直径的弦被这条直径平分，所以C选项错误；
D、弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确.
故答案为：D.
【分析】垂径定理包含五个方面的信息，①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，这五个方面的信息把其中的任意两个作为条件，可以推出剩下结论，从而即可一一判断得出答案.
6．【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OB，如图所示：
则AB=2BC，∠OCB=90°，
OB=OD=1m，CD=0.4m，
∴OC=OD-CD=0.6m，
∴BC= = =0.8（m），
∴AB=2AC=1.6m，
∴排水管道截面的水面宽度为1.6m，
故答案为：C．
【分析】作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OB，再利用垂径定理和勾股定理求解即可。
7．【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：∵CE=2，DE=8，
∴CD=10，
∴OB=OC=5，
∴OE=OC-CE=5-2=3，
∵AB⊥CD，
∴在△OBE中，
故答案为：B．
【分析】根据CE=2，DE=8，得出直径CD=10，从而得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE．
8．【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：过点P作PD⊥MN，连接PM，如图所示：
∵⊙P与y轴交于M（0， 4），N（0， 10）两点，
∴OM＝4，ON＝10，
∴MN＝6，
∵PD⊥MN，
∴DM＝DN＝ MN＝3，
∴OD＝7，
∵点P的横坐标为 4，即PD＝4，
∴PM＝ ＝ ＝5，
即⊙P的半径为5，
故答案为：C.
【分析】过点P作PD⊥MN，连接PM，由题可知MN=6，PD=4，由垂径定理可得点D为MN中点，在Rt△PDM中，可得PM＝ ，即可得半径.
9．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴AB=12，AO=6，
∴PO=2，
作OM⊥CD，连接OC，
∵ ，
∴∠AOM=45°，△MOP为等腰直角三角形，
∴ ，
在Rt△OCM中根据勾股定理
，
∴ .
故答案为：C.
【分析】作OM⊥CD，连接OC，先求得半径和OP，根据等腰直角三角形的性质求得OM，再根据勾股定理求得CM，结合垂径定理即可求得CD，
10．【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，
∴AC= AB= ，
设⊙O的半径为r，
在Rt△ACO中， ， ，
则有 ，
解得 ，
∴⊙O的直径为26寸，
故答案为：C.
【分析】设⊙O的半径为r.利用垂径定理求得AC=5，在Rt△ACO中， ， ，则有 ，解方程即可.
11．【答案】50
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：根据垂径定理，得AD＝ AB＝20米.
设圆的半径是R，根据勾股定理，
得R2＝202+（R﹣10）2，
解得R＝25（米），
∴⊙O的直径为50米.
故答案为：50.
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解即可.
12．【答案】3
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：过点O作OH⊥CD于H，
连接OC，如图，则CH＝DH＝ CD＝4，
在Rt△OCH中，OH＝ ＝3，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为：3．
【分析】本题利用垂径定理及勾股定理，列出等量关系式求解即可。
13．【答案】 cm
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：根据题意获得下图：
设OB=r cm，
∵刻度尺的宽为2cm，
∴OC=r-2，
∵另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”，
∴BC= ×6=3，
在Rt△OBC中，
∵OB2=OC2+BC2，即r2=（r-2）2+32，解得r= cm.
故答案为： cm.
【分析】如图示，可得AC=2cm，BC=设半径为r，即OB=r，OC=r-2，根据勾股定理建立方程，即可求解半径.
14．【答案】
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：延长CD交⊙O于点E，连接OA，AE，BE如图，
∵OA=OC=1，OD=CD，
∴OD=CD= OC= ，
∵OC⊥AB，
∴AD= ，
∴AB=2AD= ，
∴S△ABE= ，
∵在△ABP中，当点P与点E重合时，AB边上的高取最大值，此时△ABP的面积最大，
∴S△ABP的最大值= .
故答案为： .
【分析】要使得 S△PAB的最大值 ，即点P到AB的距离最大，当点P经过圆心O且与AB互相垂直时，PD最大，即 S△PAB最大；连接OA，由OD=OA，和勾股定理可得，根据垂径定理，PD⊥AB于点D，故，AB=2AD，PD=OP+OD=，利用三角形的面积可得.
15．【答案】7.5
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝12 cm
设OF＝x cm，则ON＝OF，
∴OM＝MN﹣ON＝ (12﹣x) cm，MF＝6 cm，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2，
即：（12﹣x）2+62＝x2，
解得：x＝7.5，
故答案为：7.5.
【分析】首先找到EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM是(12﹣x) cm，MF＝6 cm，然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得OF的长即可.
16．【答案】1cm或7cm
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵OE过圆心，OE⊥AB，
∴EB＝ AB＝3cm，
∵OB＝5cm，
∴EO＝4cm，
同理，OF＝3cm，
∴EF＝4-3=1cm，
当AB、CD位于圆心两旁时EF＝4+3=7cm，
∴EF＝1cm或EF＝7cm．
故答案为：1cm或7cm．
【分析】先作出圆心与两弦的垂直距离，作图后利用勾股定理算出AB弦与圆心的距离，CD弦与圆心的距离，再分情况求解即可。
17．【答案】解：如图：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵OE过圆心，OE⊥AB，
∴EB＝ AB＝3cm，
∵OB＝5cm，
∴EO＝4cm，
同理，OF＝3cm，
∴EF＝4-3=1cm，
当AB、CD位于圆心两旁时EF＝4+3=7cm，
∴EF＝1cm或EF＝7cm.
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】 过点O作OE⊥AB于E，交CD于F ，根据垂径定理可得点E、F分别为AB、CD的中点，根据勾股定理可得OE、OF的长度，再分类讨论弦AB、CD在圆心的同侧 EF＝ OE-OF或弦AB、CD在圆心的异侧 EF＝ OE+OF即可.
18．【答案】解：如图，连接OA，作直径MN⊥AB，垂足为D，
由垂径定理可知：AD＝DB＝ AB＝4(cm)，
∵圆的直径为10cm，
∴DA＝5cm，
由勾股定理得：OD＝3(cm)，
∵垂线段最短，半径最大，
∴OP长度范围为：3≤OP≤5(cm)
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】根据垂径定理求出OD长，OP介于OA，OD之间
19．【答案】解：如图，作CE⊥AB于E．
∵∠B=180°-∠A-∠ACB
=180°-20°-130°
=30°，
在Rt△BCE中，
∵∠CEB=90°，∠B=30°，BC=2，
∴CE= BC=1，BE= CE= ，
∵CE⊥BD，
∴DE=EB，
∴BD=2EB=2 .
【知识点】垂径定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】本道题的关键点在过点C作AB的垂线，接下来再利用垂径定理就可以了。
20．【答案】证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M，
则AM=BM．
又∵OE=OF
∴EM=FM，
∴AE=BF．
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】
作OM⊥AB后利用垂径定理和等腰三角形三线合一的性质即可得证。
21．【答案】（1）证明：过点O作 OE⊥AB于 E，
∴AE=BE，CE=DE，
∴AE-CE=BE-DE，∴AC=BD
（2）解：由(1)知 OE=6，OA=10，∴AE=8，∵OE=6，OC=8∴ CE =
∴AC=AE-CE=8-2
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】（1）过点O作 OE⊥AB于 E，根据垂径定理得出AE=BE，CE=DE，再根据等式的性质，将两个等式相减即可得出答案；
（2）连接OA，OC，根据勾股定理分别算出AE，CE，再根据线段的和差即可算出答案。
22．【答案】（1）解：连结OB，设半径为r，则OE=r－2，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E ，BD=8cm，
∴BE＝DE＝4 ，
在Rt△OBE中∵OE2+BE2=OB2 ，
∴(r－2)2＋42＝r2 ，
∴r=5；
（2）解：∵r＝5，
∴AC＝10，EC＝8
∴BC＝4 ；
∵OF⊥BC，
∴S△BCO＝ BC×OF ＝ OC×BE
∴4 ×OF ＝5××4
∴OF＝ .
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】（1）连结OB，设半径为r，则OE=r－2，运用垂径定理和勾股定理即可求解；
（2）利用S△BCO＝ BC×OF ＝ OC×BE即可求解.
23．【答案】（1）解：作 ，
由垂径定理得：点 为 的中点，
，
， ，即 ，
， ，
，
即 ，
设 ，将 、 代入得：
（2）解： ， ，
，则 ，
，
阴影部分面积为 ．
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】（1）由垂径定理得：点 为 的中点， ，则 ，即 ，而 ， ，则 ，即可求解；（2） ， ， ，则 ，则 ，即 ，即可求解．
24．【答案】（1）证明：∵AB为直径
∴AB⊥CD
∴
∴
（2）解：∵AB为直径
∴
又∵BD=5，AD=12
∴AB=13
又∵AB⊥CD
∴
又∵AB为直径，AB⊥CD
∴
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得出弧BC=弧BD，然后根据等弧所对的圆周角相等得出结论；（2）根据直径得出∠ADB=90°，根据勾股定理得出AB的长度，根据等面积法求出DE的长度，根据垂径定理可得CD=2DE，求出CD的长度.
25．【答案】（1）解：连接OA，
由题意可知CD=4，AB=16，OC⊥AB于点D，
∴，
设OA=r，则OD=r-4
∴（r-4）2+82=r2，
解之：r=10
答：此圆弧形拱桥的半径为10m.
（2）解：如图
∵EF=12
∴FG=12÷2=6
∴OG=
∵OD=10-4=6
∴DG=OG-OD=8-6=2＜3
∴此货船能顺利不能通过这座拱桥.
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】（1）连接OA，题意可知CD=4，AB=16，OC⊥AB于点D，利用垂径定理求出AD的长，然后利用勾股定理求出圆的半径。
（2）如图可求出FG的长，再利用勾股定理求出OG的长，然后根据DG=OG-OD求出DG的长与3比较大小，即可作出判断。
26．【答案】（1）解：∵OD经过圆心O，OD⊥AC，
∴AD=DC，
同理：CE=EB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE= AB，
∵AB=8，
∴DE=4
（2）解：过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则OH=3，连接OA，
∵OH经过圆心O，
∴AH=BH= AB，
∵AB=8，
∴AH=4，
在Rt△AHO中，AH2+OH2=AO2，
∴AO=5，即圆O的半径为5．
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】（1）根据垂径定理，可知，AD=DC，CE=EB，即，DE是△ABC的中位线，由三角形中位线的性质，即可求解；
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则OH=3，连接OA，根据垂径定理，可知，AH=4，在Rt△AHO中，利用勾股定理，即可求解.
27．【答案】（1）
（2）解：如图所示，连接OA，
因为OA=OB，OA=OD，所以
∠OAB=∠OBA=30°，
∠OAD=∠ODA=20°
∴∠CAD=50°
∴∠OCB=50°+20°=70°
∴∠BOD=∠OCB+∠B=100°
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：（1）过点O作OE⊥AB于点E
∴AB=2BE，∠BEO=90°
∵OB=2，∠B=30°
∴OE=OB=1
∴BE==
∴AB=2
故答案为：2
【分析】（1）过点O作OE⊥AB于点E，利用垂径定理可得出AB=2BE，∠BEO=90°，在Rt△BOE中，利用直角三角形的性质求出OE的长，再利用勾股定理求出BE的长，即可得出AB的长。
（2）连接OA，利用等边对等角，可求出∠OAD和∠OAB，再利用三角形的外角的性质，可求出∠BOD的度数。
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