初中数学浙教版九年级上册3.4 圆心角同步练习
一、单选题
1．（2020九上·浙江期中）如图， 是 的直径， ， ， 则 的度数是（ ）.
A．52° B．57° C．66° D．78°
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ，∠COD=38°，
∴∠BOC=∠COD=∠DOE=38°.
∴∠BOE=114°，
∴∠AOE=180°-114°=66°.
故答案为：C.
【分析】根据弧与圆心角的关系，即可求得∠BOC=∠COD=∠DOE=38°，得出∠BOE=114°，从而求得∠AOE=66°.
2．（2020九上·大庆月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等
B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等
D．弦相等所对的圆心角相等
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】A、等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆，故此选项不符合题意；
B、在同圆或等圆中，等弧所对应的弦相等，故此选项符合题意；
C、同圆或等圆中，圆心角相等所对应的弦相等，故此选项不符合题意；
D、同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角相等或互补，如果不等的圆，那么弦相等不一定能确定所对圆心角的大小，故此选项不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据圆的弧、弦、圆心角定义逐项判定即可。
3．（2020·乾县模拟）如图，△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠B=70°，∠C=50°，则∠ADB的度数是（ ）
A．70° B．80° C．82° D．85°
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：延长AD交圆O于点E，连接CE
∴∠E=∠B=70°，∠ACE=90°
∴∠CAE=90°-70°=20°
∵∠B=70°，∠ACB=50°
∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-70°-50°=60°
∴∠BAD=∠BAC-∠CAE=60°-20°=40°
∴∠ADB=180°-70°-40°=70°
故答案为：A.
【分析】延长AD交圆O于点E，连接CE，根据圆心角、弧、圆周角的性质，计算得到答案即可。
4．（2020七上·福田期末）下图中 是圆心角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：顶点在圆心上，角的两边与圆周相交的角叫圆心角.
如图，∠AOB的顶点O是圆O的圆心，OA、OB交圆O于A、B两点，则∠AOB是圆心角.
故答案为：B.
【分析】根据圆心角的定义判断即可.
5．（2019九上·朔城期末）如图， 是 的直径， ， 是 的两条弦， ，连接 ，若 ，则 的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接AD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴弧BC=弧BD，
∴∠BAD=∠BAC=20°．
∴∠BOD=2∠BAD=40°，
故答案为：D．
【分析】先求出∠BAD=∠BAC=20°，再计算求解即可。
6．（2019九上·余杭期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°， 的度数为α，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则∠A的度数为（ ）
A．45 － α B．α C．45 ＋ α D．25 ＋ α
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接CD，
∵ 的度数为 ，
∴∠DCE= ，
∵BC=CD，
∴∠CBD=∠BDC= ，
∵∠C＝90°，
∴∠CBD+∠A=90°，
∴ ，
∴ ；
故选择：A.
【分析】连接CD，则∠DCE= ，由外角性质得到∠CBD=∠BDC= ，再根据∠CBD与∠A互余，即可求出∠A.
7．（2019·昭化模拟）如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=15°，BC是⊙O的切线，点B为切点，OD的延长线交BC于点C，若BC的长为2，则DC的长是（ ）
A．1 B．4-2 C．2 D．4 -4
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵BC是⊙O的切线，点B为切点，
∴OB⊥BC，
∵∠A=15°，
∴∠BOC=2∠A=30°，
∵BC=2，
∴OC=2BC=4，OB=OD=2 ，
∴DC=OC-OD=4-2 ．
故答案为：B．
【分析】由题意得，OB⊥BC，∠BOC=2∠A=30°，因为BC=2，所以OC=4，OB=OD=2 ，根据DC=OC-OD即可得出DC的长．
8．（2019九上·龙湖期末）如图，在⊙O中，若点C是 的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵OA=OB，∴∠B=∠A=50°，∠AOB=80°，
又∵C是 的中点 ，
∴∠BOC=∠AOC=40°。
故答案为：A。
【分析】由OA=OB，可求得∠AOB的大小，由 C是 的中点可得出弧AC等于弧BC，故∠BOC=∠AOC=40°。
9．（2019九上·道外期末）如图， ， 是 的直径， ，若 ，则 的度数是（ ）
A．32° B．60° C．68° D．64°
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵弧AE=弧BD，∴∠AOE=∠BOD=32°．
∵∠BOD=∠AOC，∴∠AOC=32°，∴∠COE=32°+32°=64°．
故答案为：D．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由弧AE=弧BD得到∠AOE=∠BOD=32°，然后利用对顶角相等得∠BOD=∠AOC=32°，易得∠COE=64°．
10．（2019九上·孝昌期末）如图，已知A，B，C，D是圆上的点，弧AD＝弧BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＝AD B．BE＝CD C．AC＝BD D．BE＝AD
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】连接BC，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴AC=BD，
故答案为：C.
【分析】连接BC，根据弧与弦的关系得出 ，进而判断即可.
二、填空题
11．（2021·周村模拟）如图， ， 是圆O的两条相等的弦，弧 ，弧 的度数分别为30度，120度，P为劣弧 上一点，则 °．
【答案】127.5
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OA，OB，OC，OD，如图所示．
∵ 和 的度数分别是30°和120°，
∴∠AOD=30°，∠BOC=120°．
∵AB=CD，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【分析】先求出∠AOD=30°，∠BOC=120°，再根据计算求解即可。
12．（2020九上·常州月考）如图，在⊙O中， ，∠1=30°，则∠2= °.
【答案】30
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ， ，
，
∠1=∠2，
∠1=30°，
∠2=30°；
故答案为:30.
【分析】由题意易证 ，再根据等弧所对的圆心角相等可进行求解.
13．（2020九上·兴化月考）如图，在⊙O中， ，AB＝3，则AC＝ .
【答案】3
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵在⊙O中， ，AB＝3，
∴AC=AB=3.
故答案为：3.
【分析】根据根据等弧所对的弦相等解答即可.
14．（2020六下·高新期中）将一个圆分割成3个扇形，使它们的圆心角的度数比为2：3：4，则这三个扇形的圆心角最小为 。
【答案】80
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：圆心角最小为360°×=80°
【分析】根据圆的内角度数为360°，由最小的度数比求出最小的圆心角即可。
15．（2019九上·思明期中）已知AB、CD是⊙O的两条弦，若 ，且AB＝2，则CD＝ ．
【答案】2
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵ ，AB、CD是⊙O的两条弦，
∴AB＝CD＝2．
故答案为：2．
【分析】在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，由此可得出答案．
16．（2019九上·宁波期中）如图，在⊙O中， ，若∠AOB＝40°，则∠COD＝ ．
【答案】40°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵在⊙O中， = ，
∴∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC-∠BOC=∠BOD-∠BOC，
∴∠AOB=∠COD=40°.
故答案为40°.
【分析】由“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.”得∠AOC=∠BOD，再得出∠AOB=∠COD.
17．（2019九上·诸暨月考）如图的齿轮有30个齿，每两齿之间的间隔相等，则相邻两齿间的圆心角 等于 度.
【答案】12
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：
故答案为：12.
【分析】整个圆心角为360°，有30个齿，则相邻两齿间的圆心角 等于.
三、解答题
18．（2020九上·越秀期中）已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，且 ，求证：AC=BD．
【答案】证明：∵
∴
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】先根据 可得 ，再根据同圆中等弧所对的弦相等即得．
19．（2020九上·泗阳期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧CD的中点，连接AM，BM，求证：AM＝BM.
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，
∴弧AD=弧BC，
∵M为弧CD中点，
∴弧MD=弧MC，
∴弧AM=弧BM，
∴AM＝BM.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据正方形的性质得出AD=BC，根据同圆中相等的弦所对的弧相等得出 弧AD=弧BC， 进而根据等式的性质得出 弧AM=弧BM， 最后根据等弧所对的弦相等即可得出答案.
20．（2020九上·江苏期中）如图，点A，B，C，D在⊙O上，BD＝AC.求证：AB＝CD.
【答案】证明：∵BD＝AC，
∴ ，
∴ = ，
即 ，
∴AB＝CD.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，先由等弦所对的弧相等得到 ，于是两边都减去 得到 ，进而再根据等弧所对的弦相等得出AB=CD.
21．如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．
（1）求证：AB=CD；
（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．
【答案】解：（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图1，
∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，
∴OM=ON，
∴AB=CD；
（2）如图2所示，
由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，
∴DN=CN=AM=BM，
在Rt△EON与Rt△EOM中，
∵，
∴Rt△EON≌Rt△EOM（HL），
∴NE=ME，
∴CD﹣DN﹣NE=AB﹣BM﹣ME，
即AE=CE，
∴DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，
∵∠BED=60°，OE平分∠BED，
∴∠NEO=∠BED=30°，
∴ON=OE=1，
在Rt△EON中，由勾股定理得：
NE==，
∴DE﹣AE=2NE=2．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，由角平分线的性质，可得OM=ON，然后由弦心距相等可得弦相等，即AB=CD；
（2）由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，先由垂径定理可得DN=CN=AM=BM，然后由HL可证Rt△EON≌Rt△EOM，进而可得NE=ME，从而得到AE=CE，然后将DE﹣AE转化为：DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，然后在Rt△EON中，由∠NEO=30°，OE=2，求出NE即可．
22．O为等腰△ABC的底边AB的中点，以点O为圆心，AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E．求证：
（1）∠AOE=∠BOD；
（2）=．
【答案】解：（1）∵CA=CB，
∴∠A=∠B，
∵OA=OD，OB=OE，
∴∠A=∠ODA，∠B=∠OEB，
∴∠AOD=∠BOE，
∴∠AOD+∠DOE=∠BOE+∠DOE，
∴∠AOE=∠BOD；
（2）∵∠AOD=∠BOE，
∴=．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）先画出图形，根据等腰三角形的性质，可得出∠A=∠B，再由OA=OD，OB=OE，可得出∠A=∠ODA，∠B=∠OEB，即可得出∠AOD=∠BOE，即可得出∠AOE=∠BOD；
（2）根据∠AOD=∠BOE，由弧、弦、圆心角之间的关系，即可得出=．
四、综合题
23．我们学习了“圆心角、弧、弦的关系”，实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距(弦心距指从圆心到弦的距离，如图1中的OC、OC′，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度)中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等．请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题：
如图2，O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B、C、D．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若角的顶点P在圆上，上述结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明．
【答案】（1）证明：过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则∠OMB＝∠OND＝90°.
又∵PO平分∠EPF，∴OM＝ON.
∵OM、ON分别是弦AB、CD的弦心距，
∴AB＝CD
（2）解：上述结论成立．
当点P在⊙O上时，由(1)知OM＝ON，
∵OM、ON分别是弦PB、PD的弦心距，
∴PB＝PD，即AB＝CD
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，由角平分线的性质可得OM＝ON，则根据在同圆和等圆中，相等的弦心距所对的弦相等可得AB=CD；
（2）上述结论成立。根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系定理即可求解。
24．O为等腰△ABC的底边AB的中点，以点O为圆心，AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E．
（1）求证：∠AOE=∠BOD．
（2）求证：
【答案】（1）证明：∵CA=CB，∴∠A=∠B，∵OA=OD，OB=OE，∴∠A=∠ODA，∠B=∠OEB，∴∠AOD=∠BOE，∴∠AOD+∠DOE=∠BOE+∠DOE，
∴∠AOE=∠BOD．
（2）解：∵∠AOD=∠BOE，
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）先画出图形，根据等腰三角形的性质，可得出∠A=∠B，再由OA=OD，OB=OE，可得出∠A=∠ODA，∠B=∠OEB，即可得出∠AOD=∠BOE，即可得出∠AOE=∠BOD；
（2）根据∠AOD=∠BOE，由弧、弦、圆心角之间的关系，即可得出 ．
25．如图，在⊙O中，D、E分别是半径OA、OB的中点，C是⊙O上一点，CD=CE．
（1）求证：
（2）若∠AOB=120°，CD=2，求半径OA的长．
【答案】（1）证明：连接OC，如图1所示：∵D、E分别是半径OA、OB的中点，OA=OB，∴OD=OE，在△OCD和△OCE中，∴△OCD≌△OCE（SSS），
∴∠COD=∠COE，
∴
（2）解：连接AC，如图2所示：
∵∠AOB=120°，
∴∠COD=∠COE=60°，
∵OC=OA，
∴△AOC是等边三角形，
∵D是OA的中点，
∴CD⊥OA，
∴OC===4，
∴OA=4．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）连接OC，由SSS证明△OCD≌△OCE，得出对应角相等∠COD=∠COE，由圆心角，弧，弦的关系即可得出结论；
（2）连接AC，证明△AOC是等边三角形，得出CD⊥OA，由三角函数求出OC，即可得出OA．
26．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么与的大小有什么关系？为什么？
【答案】（1）解：OE=OF，理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA=OB，OC=OD，∴∠OEB=∠OFD=90°，∠EOB=∠AOB，∠FOD=∠COD，∵∠AOB=∠COD，∴∠EOB=∠FOD，
在△EOB和△FOD中，，
∴△EOB≌△FOD（AAS），∴OE=OF．
（2）解：弧AB=弧CD，AB=CD，∠AOB=∠COD，
理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠OEB=∠OFD=90°，
在Rt△BEO和Rt△DFO中，
∴Rt△BEO≌Rt△DFO（HL），
∴BE=DF，
由垂径定理得：AB=2BE，CD=2DF，
∴AB=CD，
∴弧AB=弧CD．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到∠OEB=∠OFD=90°，根据全等三角形的判定得到△EOB≌△FOD，由全等三角形的性质即可得到结论；
（2）证△EOB≌△FOD，推出BE=DF，根据垂径定理求出AB=CD，根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．
27．如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连结OE，已知=．
（1）求证：BE=DE．
（2）如果⊙O的半径为5，AD⊥CB，DE=1，求AE的长．
【答案】（1）证明：∵=∴AB=CD，在△ABE与△CDE中，∴△ABE≌△CDE，
∴BE=DE．
（2）解：过O作OF⊥AD与F，OG⊥BC于G，连接OA，OC，
根据垂径定理得：AF=FD，BG=OG，
∵AD=BC，
∴AF=OG，
在Rt△AOF与Rt△OCG中，
∴Rt△AOF≌Rt△OCG，
∴OF=OG，
∵AD⊥CB，
∴四边形OFEG是正方形，
∴OF=EF，
设OF=EF=x，
则AF=FD=x+1，
∴OF2+AF2=OA2，
即：x2+（x+1）2=52，
解得：x=3，x=﹣4（舍去），
∴AF=4，
∴AE=7．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到AB=CD，推出△ABE≌△CDE，根据全等三角形的性质得到结论；
（2）过O作OF⊥AD与F，OG⊥BC于G，连接OA，OC，根据垂径定理得到AF=FD，BG=OG，由于AD=BC，于是得到AF=CG，推出Rt△AOF≌Rt△OCG，根据全等三角形的性质得到OF=OG，证得四边形OFEG是正方形，于是得到OF=EF，设OF=EF=x，则AF=FD=x+1，根据勾股定理即可得到结论．
1 / 1初中数学浙教版九年级上册3.4 圆心角同步练习
一、单选题
1．（2020九上·浙江期中）如图， 是 的直径， ， ， 则 的度数是（ ）.
A．52° B．57° C．66° D．78°
2．（2020九上·大庆月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等
B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等
D．弦相等所对的圆心角相等
3．（2020·乾县模拟）如图，△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠B=70°，∠C=50°，则∠ADB的度数是（ ）
A．70° B．80° C．82° D．85°
4．（2020七上·福田期末）下图中 是圆心角的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2019九上·朔城期末）如图， 是 的直径， ， 是 的两条弦， ，连接 ，若 ，则 的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
6．（2019九上·余杭期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°， 的度数为α，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则∠A的度数为（ ）
A．45 － α B．α C．45 ＋ α D．25 ＋ α
7．（2019·昭化模拟）如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=15°，BC是⊙O的切线，点B为切点，OD的延长线交BC于点C，若BC的长为2，则DC的长是（ ）
A．1 B．4-2 C．2 D．4 -4
8．（2019九上·龙湖期末）如图，在⊙O中，若点C是 的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
9．（2019九上·道外期末）如图， ， 是 的直径， ，若 ，则 的度数是（ ）
A．32° B．60° C．68° D．64°
10．（2019九上·孝昌期末）如图，已知A，B，C，D是圆上的点，弧AD＝弧BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＝AD B．BE＝CD C．AC＝BD D．BE＝AD
二、填空题
11．（2021·周村模拟）如图， ， 是圆O的两条相等的弦，弧 ，弧 的度数分别为30度，120度，P为劣弧 上一点，则 °．
12．（2020九上·常州月考）如图，在⊙O中， ，∠1=30°，则∠2= °.
13．（2020九上·兴化月考）如图，在⊙O中， ，AB＝3，则AC＝ .
14．（2020六下·高新期中）将一个圆分割成3个扇形，使它们的圆心角的度数比为2：3：4，则这三个扇形的圆心角最小为 。
15．（2019九上·思明期中）已知AB、CD是⊙O的两条弦，若 ，且AB＝2，则CD＝ ．
16．（2019九上·宁波期中）如图，在⊙O中， ，若∠AOB＝40°，则∠COD＝ ．
17．（2019九上·诸暨月考）如图的齿轮有30个齿，每两齿之间的间隔相等，则相邻两齿间的圆心角 等于 度.
三、解答题
18．（2020九上·越秀期中）已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，且 ，求证：AC=BD．
19．（2020九上·泗阳期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧CD的中点，连接AM，BM，求证：AM＝BM.
20．（2020九上·江苏期中）如图，点A，B，C，D在⊙O上，BD＝AC.求证：AB＝CD.
21．如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．
（1）求证：AB=CD；
（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．
22．O为等腰△ABC的底边AB的中点，以点O为圆心，AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E．求证：
（1）∠AOE=∠BOD；
（2）=．
四、综合题
23．我们学习了“圆心角、弧、弦的关系”，实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距(弦心距指从圆心到弦的距离，如图1中的OC、OC′，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度)中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等．请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题：
如图2，O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B、C、D．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若角的顶点P在圆上，上述结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明．
24．O为等腰△ABC的底边AB的中点，以点O为圆心，AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E．
（1）求证：∠AOE=∠BOD．
（2）求证：
25．如图，在⊙O中，D、E分别是半径OA、OB的中点，C是⊙O上一点，CD=CE．
（1）求证：
（2）若∠AOB=120°，CD=2，求半径OA的长．
26．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么与的大小有什么关系？为什么？
27．如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连结OE，已知=．
（1）求证：BE=DE．
（2）如果⊙O的半径为5，AD⊥CB，DE=1，求AE的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ，∠COD=38°，
∴∠BOC=∠COD=∠DOE=38°.
∴∠BOE=114°，
∴∠AOE=180°-114°=66°.
故答案为：C.
【分析】根据弧与圆心角的关系，即可求得∠BOC=∠COD=∠DOE=38°，得出∠BOE=114°，从而求得∠AOE=66°.
2．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】A、等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆，故此选项不符合题意；
B、在同圆或等圆中，等弧所对应的弦相等，故此选项符合题意；
C、同圆或等圆中，圆心角相等所对应的弦相等，故此选项不符合题意；
D、同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角相等或互补，如果不等的圆，那么弦相等不一定能确定所对圆心角的大小，故此选项不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据圆的弧、弦、圆心角定义逐项判定即可。
3．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：延长AD交圆O于点E，连接CE
∴∠E=∠B=70°，∠ACE=90°
∴∠CAE=90°-70°=20°
∵∠B=70°，∠ACB=50°
∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-70°-50°=60°
∴∠BAD=∠BAC-∠CAE=60°-20°=40°
∴∠ADB=180°-70°-40°=70°
故答案为：A.
【分析】延长AD交圆O于点E，连接CE，根据圆心角、弧、圆周角的性质，计算得到答案即可。
4．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：顶点在圆心上，角的两边与圆周相交的角叫圆心角.
如图，∠AOB的顶点O是圆O的圆心，OA、OB交圆O于A、B两点，则∠AOB是圆心角.
故答案为：B.
【分析】根据圆心角的定义判断即可.
5．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接AD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴弧BC=弧BD，
∴∠BAD=∠BAC=20°．
∴∠BOD=2∠BAD=40°，
故答案为：D．
【分析】先求出∠BAD=∠BAC=20°，再计算求解即可。
6．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接CD，
∵ 的度数为 ，
∴∠DCE= ，
∵BC=CD，
∴∠CBD=∠BDC= ，
∵∠C＝90°，
∴∠CBD+∠A=90°，
∴ ，
∴ ；
故选择：A.
【分析】连接CD，则∠DCE= ，由外角性质得到∠CBD=∠BDC= ，再根据∠CBD与∠A互余，即可求出∠A.
7．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵BC是⊙O的切线，点B为切点，
∴OB⊥BC，
∵∠A=15°，
∴∠BOC=2∠A=30°，
∵BC=2，
∴OC=2BC=4，OB=OD=2 ，
∴DC=OC-OD=4-2 ．
故答案为：B．
【分析】由题意得，OB⊥BC，∠BOC=2∠A=30°，因为BC=2，所以OC=4，OB=OD=2 ，根据DC=OC-OD即可得出DC的长．
8．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵OA=OB，∴∠B=∠A=50°，∠AOB=80°，
又∵C是 的中点 ，
∴∠BOC=∠AOC=40°。
故答案为：A。
【分析】由OA=OB，可求得∠AOB的大小，由 C是 的中点可得出弧AC等于弧BC，故∠BOC=∠AOC=40°。
9．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵弧AE=弧BD，∴∠AOE=∠BOD=32°．
∵∠BOD=∠AOC，∴∠AOC=32°，∴∠COE=32°+32°=64°．
故答案为：D．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由弧AE=弧BD得到∠AOE=∠BOD=32°，然后利用对顶角相等得∠BOD=∠AOC=32°，易得∠COE=64°．
10．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】连接BC，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴AC=BD，
故答案为：C.
【分析】连接BC，根据弧与弦的关系得出 ，进而判断即可.
11．【答案】127.5
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OA，OB，OC，OD，如图所示．
∵ 和 的度数分别是30°和120°，
∴∠AOD=30°，∠BOC=120°．
∵AB=CD，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【分析】先求出∠AOD=30°，∠BOC=120°，再根据计算求解即可。
12．【答案】30
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ， ，
，
∠1=∠2，
∠1=30°，
∠2=30°；
故答案为:30.
【分析】由题意易证 ，再根据等弧所对的圆心角相等可进行求解.
13．【答案】3
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵在⊙O中， ，AB＝3，
∴AC=AB=3.
故答案为：3.
【分析】根据根据等弧所对的弦相等解答即可.
14．【答案】80
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：圆心角最小为360°×=80°
【分析】根据圆的内角度数为360°，由最小的度数比求出最小的圆心角即可。
15．【答案】2
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵ ，AB、CD是⊙O的两条弦，
∴AB＝CD＝2．
故答案为：2．
【分析】在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，由此可得出答案．
16．【答案】40°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵在⊙O中， = ，
∴∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC-∠BOC=∠BOD-∠BOC，
∴∠AOB=∠COD=40°.
故答案为40°.
【分析】由“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.”得∠AOC=∠BOD，再得出∠AOB=∠COD.
17．【答案】12
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：
故答案为：12.
【分析】整个圆心角为360°，有30个齿，则相邻两齿间的圆心角 等于.
18．【答案】证明：∵
∴
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】先根据 可得 ，再根据同圆中等弧所对的弦相等即得．
19．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，
∴弧AD=弧BC，
∵M为弧CD中点，
∴弧MD=弧MC，
∴弧AM=弧BM，
∴AM＝BM.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据正方形的性质得出AD=BC，根据同圆中相等的弦所对的弧相等得出 弧AD=弧BC， 进而根据等式的性质得出 弧AM=弧BM， 最后根据等弧所对的弦相等即可得出答案.
20．【答案】证明：∵BD＝AC，
∴ ，
∴ = ，
即 ，
∴AB＝CD.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，先由等弦所对的弧相等得到 ，于是两边都减去 得到 ，进而再根据等弧所对的弦相等得出AB=CD.
21．【答案】解：（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图1，
∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，
∴OM=ON，
∴AB=CD；
（2）如图2所示，
由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，
∴DN=CN=AM=BM，
在Rt△EON与Rt△EOM中，
∵，
∴Rt△EON≌Rt△EOM（HL），
∴NE=ME，
∴CD﹣DN﹣NE=AB﹣BM﹣ME，
即AE=CE，
∴DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，
∵∠BED=60°，OE平分∠BED，
∴∠NEO=∠BED=30°，
∴ON=OE=1，
在Rt△EON中，由勾股定理得：
NE==，
∴DE﹣AE=2NE=2．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，由角平分线的性质，可得OM=ON，然后由弦心距相等可得弦相等，即AB=CD；
（2）由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，先由垂径定理可得DN=CN=AM=BM，然后由HL可证Rt△EON≌Rt△EOM，进而可得NE=ME，从而得到AE=CE，然后将DE﹣AE转化为：DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，然后在Rt△EON中，由∠NEO=30°，OE=2，求出NE即可．
22．【答案】解：（1）∵CA=CB，
∴∠A=∠B，
∵OA=OD，OB=OE，
∴∠A=∠ODA，∠B=∠OEB，
∴∠AOD=∠BOE，
∴∠AOD+∠DOE=∠BOE+∠DOE，
∴∠AOE=∠BOD；
（2）∵∠AOD=∠BOE，
∴=．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）先画出图形，根据等腰三角形的性质，可得出∠A=∠B，再由OA=OD，OB=OE，可得出∠A=∠ODA，∠B=∠OEB，即可得出∠AOD=∠BOE，即可得出∠AOE=∠BOD；
（2）根据∠AOD=∠BOE，由弧、弦、圆心角之间的关系，即可得出=．
23．【答案】（1）证明：过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则∠OMB＝∠OND＝90°.
又∵PO平分∠EPF，∴OM＝ON.
∵OM、ON分别是弦AB、CD的弦心距，
∴AB＝CD
（2）解：上述结论成立．
当点P在⊙O上时，由(1)知OM＝ON，
∵OM、ON分别是弦PB、PD的弦心距，
∴PB＝PD，即AB＝CD
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，由角平分线的性质可得OM＝ON，则根据在同圆和等圆中，相等的弦心距所对的弦相等可得AB=CD；
（2）上述结论成立。根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系定理即可求解。
24．【答案】（1）证明：∵CA=CB，∴∠A=∠B，∵OA=OD，OB=OE，∴∠A=∠ODA，∠B=∠OEB，∴∠AOD=∠BOE，∴∠AOD+∠DOE=∠BOE+∠DOE，
∴∠AOE=∠BOD．
（2）解：∵∠AOD=∠BOE，
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）先画出图形，根据等腰三角形的性质，可得出∠A=∠B，再由OA=OD，OB=OE，可得出∠A=∠ODA，∠B=∠OEB，即可得出∠AOD=∠BOE，即可得出∠AOE=∠BOD；
（2）根据∠AOD=∠BOE，由弧、弦、圆心角之间的关系，即可得出 ．
25．【答案】（1）证明：连接OC，如图1所示：∵D、E分别是半径OA、OB的中点，OA=OB，∴OD=OE，在△OCD和△OCE中，∴△OCD≌△OCE（SSS），
∴∠COD=∠COE，
∴
（2）解：连接AC，如图2所示：
∵∠AOB=120°，
∴∠COD=∠COE=60°，
∵OC=OA，
∴△AOC是等边三角形，
∵D是OA的中点，
∴CD⊥OA，
∴OC===4，
∴OA=4．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）连接OC，由SSS证明△OCD≌△OCE，得出对应角相等∠COD=∠COE，由圆心角，弧，弦的关系即可得出结论；
（2）连接AC，证明△AOC是等边三角形，得出CD⊥OA，由三角函数求出OC，即可得出OA．
26．【答案】（1）解：OE=OF，理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA=OB，OC=OD，∴∠OEB=∠OFD=90°，∠EOB=∠AOB，∠FOD=∠COD，∵∠AOB=∠COD，∴∠EOB=∠FOD，
在△EOB和△FOD中，，
∴△EOB≌△FOD（AAS），∴OE=OF．
（2）解：弧AB=弧CD，AB=CD，∠AOB=∠COD，
理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠OEB=∠OFD=90°，
在Rt△BEO和Rt△DFO中，
∴Rt△BEO≌Rt△DFO（HL），
∴BE=DF，
由垂径定理得：AB=2BE，CD=2DF，
∴AB=CD，
∴弧AB=弧CD．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到∠OEB=∠OFD=90°，根据全等三角形的判定得到△EOB≌△FOD，由全等三角形的性质即可得到结论；
（2）证△EOB≌△FOD，推出BE=DF，根据垂径定理求出AB=CD，根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．
27．【答案】（1）证明：∵=∴AB=CD，在△ABE与△CDE中，∴△ABE≌△CDE，
∴BE=DE．
（2）解：过O作OF⊥AD与F，OG⊥BC于G，连接OA，OC，
根据垂径定理得：AF=FD，BG=OG，
∵AD=BC，
∴AF=OG，
在Rt△AOF与Rt△OCG中，
∴Rt△AOF≌Rt△OCG，
∴OF=OG，
∵AD⊥CB，
∴四边形OFEG是正方形，
∴OF=EF，
设OF=EF=x，
则AF=FD=x+1，
∴OF2+AF2=OA2，
即：x2+（x+1）2=52，
解得：x=3，x=﹣4（舍去），
∴AF=4，
∴AE=7．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到AB=CD，推出△ABE≌△CDE，根据全等三角形的性质得到结论；
（2）过O作OF⊥AD与F，OG⊥BC于G，连接OA，OC，根据垂径定理得到AF=FD，BG=OG，由于AD=BC，于是得到AF=CG，推出Rt△AOF≌Rt△OCG，根据全等三角形的性质得到OF=OG，证得四边形OFEG是正方形，于是得到OF=EF，设OF=EF=x，则AF=FD=x+1，根据勾股定理即可得到结论．
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