初中数学浙教版九年级上册3.5 圆周角同步练习
一、单选题
1．（2021·亭湖模拟）如图，AB是 的直径，点C，D在 上， ，则 的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，∵∠D=20°，
∴∠2=2∠D=40°.
∴∠1=180°-∠2=140°.
故答案为：B.
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠2=40°，再根据∠1+∠2=180°，即可求出结果.
2．（2021·阜新）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若 ，则 的度数是（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵ ，
∴ =
故答案为：B．
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出∠C的度数即可。
3．（2021·牡丹江）如图，点A，B，C为⊙O上的三点，∠AOB ∠BOC，∠BAC＝30°，则∠AOC的度数为（ ）
A．100° B．90° C．80° D．60°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ 对的圆心角为∠BOC， 对的圆周角为∠BAC，∠BAC=30°，
∴∠BOC=2∠CAB=60°，
∵∠AOB ∠BOC，
∴∠AOB=20°，
∴∠AOC=∠AOB +∠BOC=80°，
故答案为：C
【分析】利用圆周角定理求出∠BOC，再根据题目条件求出∠AOB可得结论。
4．（2021·聊城）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝ ，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OB，OC，
∵OA＝OB＝1，AB＝ ，
∴OA2＋OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠COB＝2∠CAB＝60°，
又∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB＝60°，
∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBC＝105°，
故答案为：C．
【分析】先求出∠AOB＝90°，再求出∠COB＝2∠CAB＝60°，最后计算求解即可。
5．（2021·哈尔滨模拟）如图，已知 为 的直径，点C在 上， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠BOC=∠BAC+∠ACO， ，
∴∠OCA= ．
故答案为：B．
【分析】先利用圆周角定理得到∠A=，再根据等腰三角形的性质得到∠C的度数。
6．（2021·交城模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C＝40°，则∠ABD的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．90°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：同弧所对圆周角相等．所以∠C=∠A=40°
又∵∠ADB=90°
∴∠ABD=90°-40°=50°
故答案为：B．
【分析】先求出∠C=∠A=40°，再根据∠ADB=90°计算求解即可。
7．（2021·灞桥模拟）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点， ＝ .若∠CBA＝40°，则∠CBD的大小为（ ）
A．50° B．40° C．25° D．20°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC、AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠CBA＝90°﹣40°＝50°，
∵ ＝ ，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠CBD＝ ∠BAC＝ ×50°＝25°.
故答案为：C.
【分析】连接AC、AD，利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ACB=90°，从而可求出∠BAC的度数；再利用等弧所对的圆周角相等，可求出∠CAD的度数；然后利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠CBD的度数.
8．（2021·宝鸡模拟）如图， 为 的直径， 为 的弦，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接 ，如图所示：
，
是 的直径，
，
，
故答案为：D.
【分析】连接BD，根据同弧所对的圆周角相等可得∠CDB=∠CAB=51°，然后根据∠ADC=90°-∠CDB计算即可.
9．（2021·香坊模拟）如图， 是 的直径， 是 的切线， ， 交 于点 ， 是 上一点，延长 交 于点 ，则 的度数是（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵AT是⊙O的切线，
∴AT⊥AB，
∵∠T=40°，
∴∠ABT=90°-∠T=50°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠ABT=40°，
由圆周角定理得，∠CDB=∠CAB=40°，
故答案为：B．
【分析】先求出AT⊥AB，再求出∠ABT=90°-∠T=50°，最后计算求解即可。
10．（2021·芜湖模拟）如图，矩形 中， ， ．若 是矩形 边上一动点，且使得 ，则这样的点 有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，取 中点 ，连接 ，
∵ 四边形 是矩形
∴ ， ，
∵ 点 是 中点
∴
∴ ，
∴
∴ 是等边三角形
∴ ，
过点 ，点 ，点 作圆与 的相交，
∴ 这样的 点一共有3个
故答案为：C．
【分析】取 中点 ，连接 ，由勾股定理求得，则可知三角形PAB为等边三角形，可得，则过点 ，点 ，点 作圆与 的相交，即可的值点的个数。
二、填空题
11．（2021九上·甘州期末）如图，D为⊙O上一点， ，∠AOB＝50°，则∠ADC的度数是 .
【答案】25°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵在⊙O中， ，
∴∠AOC＝∠AOB.
∵∠AOB＝50°，
∴∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝ ∠AOC＝25°，
故答案为：25°.
【分析】连接OC，根据圆心角定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等可得∠AOC=∠AOB，再根据圆周角定理"同弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半"可求解.
12．（2021九上·南丹期末）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦.若∠OBC＝60°，则∠BAC= .
【答案】30°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠OBC=60°，
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=30°.
故答案为：30°.
【分析】根据AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，再根据三角形内角和为180°以及∠OBC=60°，即可求出∠BAC的度数.
13．（2021·佳木斯模拟）如图，点 ， ， 在 上， ，则 的度数为 ．
【答案】100°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连结OA，
点 在 上，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠B，∠OAC=∠C，
∵ ，
∴ ，
．
故答案为：100°．
【分析】先求出OA=OB=OC，再求出∠OAB=∠B，∠OAC=∠C，最后求解即可。
14．（2021·徐州）如图， 是 的直径，点 在 上，若 ，则 °.
【答案】32
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
又∵AB是直径，
∴ ，
∴ .
故答案为：32.
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可得，由AB是直径，可得 ，利用三角形内角和即可求出∠BAC的度数.
15．（2021·平罗模拟）如图， 为 的直径， 为 的弦， ，则 的度数为 .
【答案】50°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：50°.
【分析】连接BD，根据同弧或等弧的圆周角是相等的可得出，直径所对的圆周角是90°可得，易得出，即可得出结果.
16．（2020九上·五常期末）如图，等边 的三个顶点在圆 上， 是直径，则 度， 度， 度．
【答案】60；90；30
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】由题可得：∠BAC=∠ACB=60°，
根据同弧所对的圆周角相等可得：∠BDC=∠BAC，
∴∠BDC=60°，
又∵BD是直径，根据直径所对的圆周角是直角，
∴∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=90°-60°=30°，
故答案为：60，90，30．
【分析】由等边三角形的性质得出∠BAC=∠ACB=60°，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BDC=∠BAC=60°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BCD=90°，利用∠ACD=∠BCD-∠ACB即可求出结论.
三、解答题
17．（2020九上·丰台期中）如图， 为等边三角形，将 边绕点 顺时针旋转 ，得到线段 连接 ，求 的度数﹒
【答案】解： 为等边三角形，
，
将 边绕点 顾时针旋转 ，
，
， ，
，
．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】本题的关键是证出点A、B、D再以点C为圆心AC为半径的圆上，再利用圆周角的性质求解即可。
18．（2020九上·南京月考）如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D在 上，连接CD交AB于点E，B是 的中点，求证：∠B＝∠BEC.
【答案】证明：∵点B是弧CD的中点，
∴∠BCD＝∠BAC，
∴∠BCD＋∠ACD＝∠BAC＋∠ACD，即∠ACB＝∠BEC.
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠BEC.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】由B是 的中点，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BCE=∠BAC，进而根据角的和差及三角形外角的性质可得∠BEC=∠ACB，然后由等边对等角得出 ∠B＝∠ACB，从而利用等量代换证得结论.
19．（2019九上·朝阳期中）如图，A，D是半圆上的两点，O为圆心，BC是直径，∠D＝35°，求∠OAC的度数．
【答案】解：解法一：
解：∵∠D＝35°，
∴∠B＝∠D＝35°，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°．
∴∠ACB＝90°﹣∠ABC＝55°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝55°．
解法二：
解：∵∠D＝35°，
∴∠AOC＝2∠D＝70°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC+∠OCA+∠AOC＝180°，
∴∠OAC＝55°．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】首先根据圆周角定理得到∠B的度数，再求出∠ACB的度数，结合三角形内角和或者等腰三角形的性质即可求出∠OAC的度数．
20．（2018九上·宝应月考）AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q.若AB=2，则线段BQ的长为多少？
【答案】解：如图，连接AQ，由题意可知：∠BPQ=45°，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠AQB=90°，
又∵∠BAQ=∠BPQ=45°，
∴△ABQ是等腰直角三角形，
∴BQ=AQ= .
即，答案为 .
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接AQ，由已知和圆周角定理可得∠BAQ=∠BPQ=45°，再根据直径所对的圆周角是直角可得 △ABQ是等腰直角三角形， 用勾股定理可求得BQ=AQ的值.
21．（2019九上·温州开学考）如图所示，圆O为△ABC的外接圆，AM,AT分别为中线和角平分线，过点B和点C的圆O的切线相交于点P,连结AP，与BC和圆O分别相交于点D、E.
求证：点T是△AME的内心。
【答案】证明：作CF⊥AB,垂足为F,连结MF,如图，
则FM= BC=MC,
又∵∠BAC=∠BCP,
∴
∴ 又∠AFM=180°-∠BFM=180°-∠FBC=∠ACP,
∴△AFM∽△ACP,故∠BAM=∠CAP.
由于M是BC的中点，所以，连结PO,它过点M,且OP⊥BC.连结OA,OC,OE,如下图：
由切割线定理及摄影定理，得
∴M、O、A、E四点共圆，
∴∠OMA=∠OEA=∠OAE=∠PME,故∠AMD=∠EMD.
所以，点T是三角形AME的内心。
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】 作CF⊥AB,垂足为F,连结MF,如图， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 FM= BC=MC ，根据弦切角相等、等角的同名三角函数值相等及余弦函数的定义得出 ，根据等角的补角相等得出 ∠AFM= ∠ACP, 从而判断出 △AFM∽△ACP,根据相似三角形的对应角相等得出∠BAM=∠CAP ； 由于M是BC的中点，所以，连结PO,它过点M,且OP⊥BC.连结OA,OC,OE,如下图 ， 由切割线定理及摄影定理，得 从而根据四点共圆的条件判断出 M、O、A、E四点共圆，所以∠OMA=∠OEA=∠OAE=∠PME,故∠AMD=∠EMD，故点T是三角形AME的内心。
四、综合题
22．（2019九上·闽侯期中）如图， 是 直径， ， 是圆上点且在 同侧．
（1）如果 ，则 °．
（2）如果 ， ，求 度数．
【答案】（1）15°
（2）解：∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴ ，
∵OA=OC，
∴ ；
【分析】（1）先根据圆周角定理求出∠CAD的值，然后根据等腰三角形的性质即可求出∠ACO的值；
（2）先根据圆周角定理求出 ，然后根据 即可求出∠BAC的值．
23．（2018九上·杭州期中）已知：如图△ABC内接于圆O，AB=AC，D为弧BC上任意一点，连结AD,BD
（1）若∠ADB=65°，求∠BAC的度数
（2）求证：∠ABD=∠AEB
【答案】（1）解： ∵AB=AC
∴∠C=∠ABC，弧AB=弧AC
∴∠C=∠ABC=∠ADB=65°
∴∠BAC=（180°-65°×2）=50°
（2）证明： ∵∠AEB=∠DAC+∠C
∠ABD=∠ABC+∠DBC
∵弧CD=弧CD
∴∠DAC=∠DBC
∵∠ABC=∠C
∴∠ABD=∠AEB
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，可证得∠C=∠ABC=∠ADB=65°，再利用三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数。
（2）观察图形可得∠AEB=∠DAC+∠C，∠ABD=∠ABC+∠DBC，再根据同弧所对的圆周角相等，就可证得∠DAC=∠DBC，因此可证得结论。
24．（2018九上·连城期中）如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；
（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．
【答案】（1）解：如图1，点P就是所求作的点。
（2）解：如图2，CD为AB边上的高。
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用直径AB所对的圆周角是直角可分别画出△ABC中边AC、BC上的高，进而得三条高的交点。
（2）利用图1，可将图2中的三角形CAP看作图1中的三角形PAB，进而模仿1画出满足题意的高。
25．如图， 的直径AB的长为10，弦AC的长为 的平分线交 于点D．
（1）求BC的长；
（2）求弦BD的长．
【答案】（1）解：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴BC= = =5
（2）解：如图，连接BD，
同理可知∠ADB=90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴AD=BD．∵AD2+BD2=AB2，∴2BD2=100，解得：BD=5 ．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，在直角三角形ABC中，用勾股定理可求得BC的长；
（2）连接BD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°．由相等的圆周角所对的弦相等可得AD=BD，于是在等腰直角三角形ABD中，用勾股定理可求得BD的长。
26．如图，已知AB、AD是⊙O的弦，点C是DO的延长线与弦AB的交点，∠ABO=30°，OB=2．
（1）求弦AB的长；
（2）若∠D=20°，求∠BOD的度数．
【答案】（1）解：过点O作OE⊥AB于点E，
∵在Rt△OEB中，OB=2，∠B=30°，
∴BE=OB cos30°=2× = ，
∴AB=2BE=2
（2）解：连接OA，
∵OA=OB=OD，∠B=30°，∠D=20°，
∴∠OAB=∠B=30°，∠OAD=∠D=20°，
∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=30°+20°=50°，
∴∠BOD=2∠BAD=100°
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）可作弦心距，构造直角三角形，先求出一半，再求出整条弦长；（2）连接半径，转化∠OAB=∠B，∠OAD=∠D，进而∠BOD=2∠BAD=100°.
27．（2018九上·京山期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P⊙O上，∠1=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若∠ABC=55°，求∠P的度数．
【答案】（1）证明：如图，∵∠1=∠C，∠P=∠C，
∴∠1=∠P，
∴CB∥PD
（2）解：∵CD⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∵∠CBE=55°，
∴∠C=90°﹣55°=35°，
∴∠P=∠C=35°.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，可证∠P=∠C，再证明∠1=∠P，利用平行线的判定定理，即可得证。
（2）利用垂直的定义，可知∠CEB=90°，再利用三角形内角和定理求出∠C，然后由∠P=∠C，可求出∠P的度数。
28．（2017九上·泸西期中）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D
（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
（2）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
【答案】（1）解：如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB=∠BDC=90°．
∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6， ∴由勾股定理得到：AC= = =8．
∵AD平分∠CAB， ∴ = ，∴CD=BD．
在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，∴易求BD=CD=5
（2）解：如图②，连接OB，OD．∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，∴∠DAB= ∠CAB=30°，∴∠DOB=2∠DAB=60°．
又∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD=OB=OD．∵⊙O的直径为10，则OB=5， ∴BD=5．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理可得出∠CAB=∠BDC=90°，利用勾股定理求出AC的长，再由已知AD平分∠CAB，证明CD=BD，然后利用勾股定理求出BD，CD的长。
（2）利用角平分线的定义求出∠DAB，再根据圆周角定理求出∠BOD的度数，易证△OBD是等边三角形，就可求出BD的长。
29．如图，在锐角△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于点D，以AD为直径的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接DE，DF.
（1）求证：∠EAF＋∠EDF＝180°.
（2）已知P是射线DC上一个动点，当点P运动到PD＝BD时，连接AP，交⊙O于点G，连接DG.设∠EDG＝∠α，∠APB＝∠β，那么∠α与∠β有何数量关系？试证明你的结论(在探究∠α与∠β的数量关系时，必要时可直接运用(1)的结论进行推理与解答)．
【答案】（1）证明：∵AD为⊙O的直径，
∴∠AED=∠AFD=90°，
又∵∠AED+∠EDF+∠AFD+∠EAF=360°，
∴∠EDF∠+∠EAF=360°-∠AED-∠AFD=360°-90°-90°=180°.
（2）解：∠α=2∠β.理由如下：（如图）
∵AD⊥BC，PD＝BD，AD=AD，
∴△ABD≌△APD，
∴∠B=∠APB=∠β，
∵∠B+∠APB+∠EAG=180°，
即∠EAG+2∠β=180°，
由（1）知∠EAG∠+∠EDG=180°，
即∠EAG∠+∠α=180°，
∴∠α=2∠β.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理和四边形的内角和定理即可得证.
（2）根据全等三角形的判定和性质可得∠B=∠APB=∠β，由三角形内角和定理和（1）中结论即可得证.
1 / 1初中数学浙教版九年级上册3.5 圆周角同步练习
一、单选题
1．（2021·亭湖模拟）如图，AB是 的直径，点C，D在 上， ，则 的大小是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·阜新）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若 ，则 的度数是（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
3．（2021·牡丹江）如图，点A，B，C为⊙O上的三点，∠AOB ∠BOC，∠BAC＝30°，则∠AOC的度数为（ ）
A．100° B．90° C．80° D．60°
4．（2021·聊城）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝ ，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
5．（2021·哈尔滨模拟）如图，已知 为 的直径，点C在 上， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·交城模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C＝40°，则∠ABD的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．90°
7．（2021·灞桥模拟）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点， ＝ .若∠CBA＝40°，则∠CBD的大小为（ ）
A．50° B．40° C．25° D．20°
8．（2021·宝鸡模拟）如图， 为 的直径， 为 的弦，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·香坊模拟）如图， 是 的直径， 是 的切线， ， 交 于点 ， 是 上一点，延长 交 于点 ，则 的度数是（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
10．（2021·芜湖模拟）如图，矩形 中， ， ．若 是矩形 边上一动点，且使得 ，则这样的点 有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2021九上·甘州期末）如图，D为⊙O上一点， ，∠AOB＝50°，则∠ADC的度数是 .
12．（2021九上·南丹期末）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦.若∠OBC＝60°，则∠BAC= .
13．（2021·佳木斯模拟）如图，点 ， ， 在 上， ，则 的度数为 ．
14．（2021·徐州）如图， 是 的直径，点 在 上，若 ，则 °.
15．（2021·平罗模拟）如图， 为 的直径， 为 的弦， ，则 的度数为 .
16．（2020九上·五常期末）如图，等边 的三个顶点在圆 上， 是直径，则 度， 度， 度．
三、解答题
17．（2020九上·丰台期中）如图， 为等边三角形，将 边绕点 顺时针旋转 ，得到线段 连接 ，求 的度数﹒
18．（2020九上·南京月考）如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D在 上，连接CD交AB于点E，B是 的中点，求证：∠B＝∠BEC.
19．（2019九上·朝阳期中）如图，A，D是半圆上的两点，O为圆心，BC是直径，∠D＝35°，求∠OAC的度数．
20．（2018九上·宝应月考）AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q.若AB=2，则线段BQ的长为多少？
21．（2019九上·温州开学考）如图所示，圆O为△ABC的外接圆，AM,AT分别为中线和角平分线，过点B和点C的圆O的切线相交于点P,连结AP，与BC和圆O分别相交于点D、E.
求证：点T是△AME的内心。
四、综合题
22．（2019九上·闽侯期中）如图， 是 直径， ， 是圆上点且在 同侧．
（1）如果 ，则 °．
（2）如果 ， ，求 度数．
23．（2018九上·杭州期中）已知：如图△ABC内接于圆O，AB=AC，D为弧BC上任意一点，连结AD,BD
（1）若∠ADB=65°，求∠BAC的度数
（2）求证：∠ABD=∠AEB
24．（2018九上·连城期中）如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；
（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．
25．如图， 的直径AB的长为10，弦AC的长为 的平分线交 于点D．
（1）求BC的长；
（2）求弦BD的长．
26．如图，已知AB、AD是⊙O的弦，点C是DO的延长线与弦AB的交点，∠ABO=30°，OB=2．
（1）求弦AB的长；
（2）若∠D=20°，求∠BOD的度数．
27．（2018九上·京山期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P⊙O上，∠1=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若∠ABC=55°，求∠P的度数．
28．（2017九上·泸西期中）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D
（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
（2）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
29．如图，在锐角△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于点D，以AD为直径的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接DE，DF.
（1）求证：∠EAF＋∠EDF＝180°.
（2）已知P是射线DC上一个动点，当点P运动到PD＝BD时，连接AP，交⊙O于点G，连接DG.设∠EDG＝∠α，∠APB＝∠β，那么∠α与∠β有何数量关系？试证明你的结论(在探究∠α与∠β的数量关系时，必要时可直接运用(1)的结论进行推理与解答)．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，∵∠D=20°，
∴∠2=2∠D=40°.
∴∠1=180°-∠2=140°.
故答案为：B.
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠2=40°，再根据∠1+∠2=180°，即可求出结果.
2．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵ ，
∴ =
故答案为：B．
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出∠C的度数即可。
3．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ 对的圆心角为∠BOC， 对的圆周角为∠BAC，∠BAC=30°，
∴∠BOC=2∠CAB=60°，
∵∠AOB ∠BOC，
∴∠AOB=20°，
∴∠AOC=∠AOB +∠BOC=80°，
故答案为：C
【分析】利用圆周角定理求出∠BOC，再根据题目条件求出∠AOB可得结论。
4．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OB，OC，
∵OA＝OB＝1，AB＝ ，
∴OA2＋OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠COB＝2∠CAB＝60°，
又∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB＝60°，
∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBC＝105°，
故答案为：C．
【分析】先求出∠AOB＝90°，再求出∠COB＝2∠CAB＝60°，最后计算求解即可。
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠BOC=∠BAC+∠ACO， ，
∴∠OCA= ．
故答案为：B．
【分析】先利用圆周角定理得到∠A=，再根据等腰三角形的性质得到∠C的度数。
6．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：同弧所对圆周角相等．所以∠C=∠A=40°
又∵∠ADB=90°
∴∠ABD=90°-40°=50°
故答案为：B．
【分析】先求出∠C=∠A=40°，再根据∠ADB=90°计算求解即可。
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC、AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠CBA＝90°﹣40°＝50°，
∵ ＝ ，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠CBD＝ ∠BAC＝ ×50°＝25°.
故答案为：C.
【分析】连接AC、AD，利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ACB=90°，从而可求出∠BAC的度数；再利用等弧所对的圆周角相等，可求出∠CAD的度数；然后利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠CBD的度数.
8．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接 ，如图所示：
，
是 的直径，
，
，
故答案为：D.
【分析】连接BD，根据同弧所对的圆周角相等可得∠CDB=∠CAB=51°，然后根据∠ADC=90°-∠CDB计算即可.
9．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵AT是⊙O的切线，
∴AT⊥AB，
∵∠T=40°，
∴∠ABT=90°-∠T=50°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠ABT=40°，
由圆周角定理得，∠CDB=∠CAB=40°，
故答案为：B．
【分析】先求出AT⊥AB，再求出∠ABT=90°-∠T=50°，最后计算求解即可。
10．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，取 中点 ，连接 ，
∵ 四边形 是矩形
∴ ， ，
∵ 点 是 中点
∴
∴ ，
∴
∴ 是等边三角形
∴ ，
过点 ，点 ，点 作圆与 的相交，
∴ 这样的 点一共有3个
故答案为：C．
【分析】取 中点 ，连接 ，由勾股定理求得，则可知三角形PAB为等边三角形，可得，则过点 ，点 ，点 作圆与 的相交，即可的值点的个数。
11．【答案】25°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵在⊙O中， ，
∴∠AOC＝∠AOB.
∵∠AOB＝50°，
∴∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝ ∠AOC＝25°，
故答案为：25°.
【分析】连接OC，根据圆心角定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等可得∠AOC=∠AOB，再根据圆周角定理"同弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半"可求解.
12．【答案】30°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠OBC=60°，
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=30°.
故答案为：30°.
【分析】根据AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，再根据三角形内角和为180°以及∠OBC=60°，即可求出∠BAC的度数.
13．【答案】100°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连结OA，
点 在 上，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠B，∠OAC=∠C，
∵ ，
∴ ，
．
故答案为：100°．
【分析】先求出OA=OB=OC，再求出∠OAB=∠B，∠OAC=∠C，最后求解即可。
14．【答案】32
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
又∵AB是直径，
∴ ，
∴ .
故答案为：32.
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可得，由AB是直径，可得 ，利用三角形内角和即可求出∠BAC的度数.
15．【答案】50°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：50°.
【分析】连接BD，根据同弧或等弧的圆周角是相等的可得出，直径所对的圆周角是90°可得，易得出，即可得出结果.
16．【答案】60；90；30
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】由题可得：∠BAC=∠ACB=60°，
根据同弧所对的圆周角相等可得：∠BDC=∠BAC，
∴∠BDC=60°，
又∵BD是直径，根据直径所对的圆周角是直角，
∴∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=90°-60°=30°，
故答案为：60，90，30．
【分析】由等边三角形的性质得出∠BAC=∠ACB=60°，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BDC=∠BAC=60°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BCD=90°，利用∠ACD=∠BCD-∠ACB即可求出结论.
17．【答案】解： 为等边三角形，
，
将 边绕点 顾时针旋转 ，
，
， ，
，
．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】本题的关键是证出点A、B、D再以点C为圆心AC为半径的圆上，再利用圆周角的性质求解即可。
18．【答案】证明：∵点B是弧CD的中点，
∴∠BCD＝∠BAC，
∴∠BCD＋∠ACD＝∠BAC＋∠ACD，即∠ACB＝∠BEC.
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠BEC.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】由B是 的中点，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BCE=∠BAC，进而根据角的和差及三角形外角的性质可得∠BEC=∠ACB，然后由等边对等角得出 ∠B＝∠ACB，从而利用等量代换证得结论.
19．【答案】解：解法一：
解：∵∠D＝35°，
∴∠B＝∠D＝35°，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°．
∴∠ACB＝90°﹣∠ABC＝55°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝55°．
解法二：
解：∵∠D＝35°，
∴∠AOC＝2∠D＝70°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC+∠OCA+∠AOC＝180°，
∴∠OAC＝55°．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】首先根据圆周角定理得到∠B的度数，再求出∠ACB的度数，结合三角形内角和或者等腰三角形的性质即可求出∠OAC的度数．
20．【答案】解：如图，连接AQ，由题意可知：∠BPQ=45°，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠AQB=90°，
又∵∠BAQ=∠BPQ=45°，
∴△ABQ是等腰直角三角形，
∴BQ=AQ= .
即，答案为 .
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接AQ，由已知和圆周角定理可得∠BAQ=∠BPQ=45°，再根据直径所对的圆周角是直角可得 △ABQ是等腰直角三角形， 用勾股定理可求得BQ=AQ的值.
21．【答案】证明：作CF⊥AB,垂足为F,连结MF,如图，
则FM= BC=MC,
又∵∠BAC=∠BCP,
∴
∴ 又∠AFM=180°-∠BFM=180°-∠FBC=∠ACP,
∴△AFM∽△ACP,故∠BAM=∠CAP.
由于M是BC的中点，所以，连结PO,它过点M,且OP⊥BC.连结OA,OC,OE,如下图：
由切割线定理及摄影定理，得
∴M、O、A、E四点共圆，
∴∠OMA=∠OEA=∠OAE=∠PME,故∠AMD=∠EMD.
所以，点T是三角形AME的内心。
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】 作CF⊥AB,垂足为F,连结MF,如图， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 FM= BC=MC ，根据弦切角相等、等角的同名三角函数值相等及余弦函数的定义得出 ，根据等角的补角相等得出 ∠AFM= ∠ACP, 从而判断出 △AFM∽△ACP,根据相似三角形的对应角相等得出∠BAM=∠CAP ； 由于M是BC的中点，所以，连结PO,它过点M,且OP⊥BC.连结OA,OC,OE,如下图 ， 由切割线定理及摄影定理，得 从而根据四点共圆的条件判断出 M、O、A、E四点共圆，所以∠OMA=∠OEA=∠OAE=∠PME,故∠AMD=∠EMD，故点T是三角形AME的内心。
22．【答案】（1）15°
（2）解：∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴ ，
∵OA=OC，
∴ ；
【分析】（1）先根据圆周角定理求出∠CAD的值，然后根据等腰三角形的性质即可求出∠ACO的值；
（2）先根据圆周角定理求出 ，然后根据 即可求出∠BAC的值．
23．【答案】（1）解： ∵AB=AC
∴∠C=∠ABC，弧AB=弧AC
∴∠C=∠ABC=∠ADB=65°
∴∠BAC=（180°-65°×2）=50°
（2）证明： ∵∠AEB=∠DAC+∠C
∠ABD=∠ABC+∠DBC
∵弧CD=弧CD
∴∠DAC=∠DBC
∵∠ABC=∠C
∴∠ABD=∠AEB
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，可证得∠C=∠ABC=∠ADB=65°，再利用三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数。
（2）观察图形可得∠AEB=∠DAC+∠C，∠ABD=∠ABC+∠DBC，再根据同弧所对的圆周角相等，就可证得∠DAC=∠DBC，因此可证得结论。
24．【答案】（1）解：如图1，点P就是所求作的点。
（2）解：如图2，CD为AB边上的高。
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用直径AB所对的圆周角是直角可分别画出△ABC中边AC、BC上的高，进而得三条高的交点。
（2）利用图1，可将图2中的三角形CAP看作图1中的三角形PAB，进而模仿1画出满足题意的高。
25．【答案】（1）解：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴BC= = =5
（2）解：如图，连接BD，
同理可知∠ADB=90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴AD=BD．∵AD2+BD2=AB2，∴2BD2=100，解得：BD=5 ．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，在直角三角形ABC中，用勾股定理可求得BC的长；
（2）连接BD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°．由相等的圆周角所对的弦相等可得AD=BD，于是在等腰直角三角形ABD中，用勾股定理可求得BD的长。
26．【答案】（1）解：过点O作OE⊥AB于点E，
∵在Rt△OEB中，OB=2，∠B=30°，
∴BE=OB cos30°=2× = ，
∴AB=2BE=2
（2）解：连接OA，
∵OA=OB=OD，∠B=30°，∠D=20°，
∴∠OAB=∠B=30°，∠OAD=∠D=20°，
∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=30°+20°=50°，
∴∠BOD=2∠BAD=100°
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）可作弦心距，构造直角三角形，先求出一半，再求出整条弦长；（2）连接半径，转化∠OAB=∠B，∠OAD=∠D，进而∠BOD=2∠BAD=100°.
27．【答案】（1）证明：如图，∵∠1=∠C，∠P=∠C，
∴∠1=∠P，
∴CB∥PD
（2）解：∵CD⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∵∠CBE=55°，
∴∠C=90°﹣55°=35°，
∴∠P=∠C=35°.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，可证∠P=∠C，再证明∠1=∠P，利用平行线的判定定理，即可得证。
（2）利用垂直的定义，可知∠CEB=90°，再利用三角形内角和定理求出∠C，然后由∠P=∠C，可求出∠P的度数。
28．【答案】（1）解：如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB=∠BDC=90°．
∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6， ∴由勾股定理得到：AC= = =8．
∵AD平分∠CAB， ∴ = ，∴CD=BD．
在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，∴易求BD=CD=5
（2）解：如图②，连接OB，OD．∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，∴∠DAB= ∠CAB=30°，∴∠DOB=2∠DAB=60°．
又∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD=OB=OD．∵⊙O的直径为10，则OB=5， ∴BD=5．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理可得出∠CAB=∠BDC=90°，利用勾股定理求出AC的长，再由已知AD平分∠CAB，证明CD=BD，然后利用勾股定理求出BD，CD的长。
（2）利用角平分线的定义求出∠DAB，再根据圆周角定理求出∠BOD的度数，易证△OBD是等边三角形，就可求出BD的长。
29．【答案】（1）证明：∵AD为⊙O的直径，
∴∠AED=∠AFD=90°，
又∵∠AED+∠EDF+∠AFD+∠EAF=360°，
∴∠EDF∠+∠EAF=360°-∠AED-∠AFD=360°-90°-90°=180°.
（2）解：∠α=2∠β.理由如下：（如图）
∵AD⊥BC，PD＝BD，AD=AD，
∴△ABD≌△APD，
∴∠B=∠APB=∠β，
∵∠B+∠APB+∠EAG=180°，
即∠EAG+2∠β=180°，
由（1）知∠EAG∠+∠EDG=180°，
即∠EAG∠+∠α=180°，
∴∠α=2∠β.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理和四边形的内角和定理即可得证.
（2）根据全等三角形的判定和性质可得∠B=∠APB=∠β，由三角形内角和定理和（1）中结论即可得证.
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