初中数学浙教版九年级上册3.6圆内接四边形同步练习
一、单选题
1．（2021·丽水模拟）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（ ）
A．70° B．110° C．130° D．140°
2．（2021九上·越城期末）如图，四边形ABCD是 的内接四边形，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·西林期末）在内接四边形 中， 只可能是下列四个选项中的（ ）
A． B． C． D．
4．（2019九上·江都期末）如图，已知 是半圆 的直径， ， 是 的中点，那么 的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·路北模拟）如图，点 都是 上的点， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2020·衢江模拟）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是（ ）
A．115° B．105° C．100° D．95°
7．（2019九上·思明期中）如图，点C在 上，点D在半径OA上，则下列结论正确的是（ ）
A．∠DCB+ ∠O=180° B．∠ACB+ ∠O=180°
C．∠ACB+∠O=180° D．∠CAO+∠CBO=180°
8．（2019九上·滨海期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB＝AD，若∠C＝68°，则∠ABD的度数为（ ）
A．34° B．56° C．68° D．112°
9．（2019九上·阳信开学考）如图，有一圆内接正八边形 ABCDEFGH，若△ADE的面积为10，则正八边形 ABCDEFGH的面积为（ ）
A．40 B．50 C．60 D．80
10．（2017九上·邯郸月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为（ ）
A．130° B．100° C．65° D．50°
二、填空题
11．（2021九上·柯桥月考）圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：4，则∠D＝ 度．
12．（2019·荆州模拟）已知点A、B、C、D均在圆上，AD∥BC，AC 平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形的周长为10cm．，则∠ABC的度数为 ．
13．（2021九上·秦淮期末）如图，在圆内接四边形ABCD中， 、 、 的度数之比为 ，则 .
14．（2020九上·金华期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠A∶∠B∶∠C∶∠D=7∶9∶11∶9，则∠C= ．
15．（2020九上·沭阳月考）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠BCD＝140°.若点E在 上，则∠E＝ °.
16．（2020·鼓楼模拟）如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB=48°，则∠AOC的度数是 .
三、解答题
17．（2017九上·章贡期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，求∠BCD的度数．
18．如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若DA=DE，求证：△BCE是等腰三角形．
19．（2019九上·北京月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130°，求∠OAC的度数．
20．如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．
（1）若∠DFC=40°，求∠CBF的度数；
（2）求证：CD⊥DF．
21．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F．
（1）若∠E+∠F=α，求∠A的度数（用含α的式子表示）；
（2）若∠E+∠F=60°，求∠A的度数．
22．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）当∠E=∠F时，求∠ADC的度数；
（2）当∠A=55°，∠E=30°时，求∠F的度数；
（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
23．如图，正三角形的边长为6cm，剪去三个角后成一个正六边形．
（1）求这个正六边形的边长
（2）求这个正六边形的边心距
（3）设这个正六边形的中心为O，一边为AB，则AB绕点O旋转一周所得的图形是怎样的？（作图表示出来）并求出这条线段AB划过的面积．
24．同圆或等圆中，圆心角互余的两个扇形叫做互余共轭扇形．如图⊙O内接八边形中，已知AB=BC=CD=DE=2，EF=FG=GH=HA=2．
（1）扇形DOE与扇形EOF是否互余共轭扇形？请推理说明
（2）求⊙O的半径
（3）求阴影部分的面积．
25．如图，圆心角120°的扇形OMN，绕着正六边形ABCDEF的中心O旋转，OM交AB于H，ON交CD于K，OM＞OA．
（1）证明：△AOH≌△COK
（2）若AB=2，求正六边形ABCDEF与扇形OMN重叠部分的面积．
四、综合题
26． 综合题：
（1）已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC至E．求证：∠A+∠BCD=180°，∠DCE=∠A．
（2）依已知条件和（1）中的结论：
①如图2，若点C在⊙O外，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系；
②如图3，若点C在⊙O内，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O ，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ADC=110°，
故答案为：B.
【分析】由题意可得四边形ABCD内接于⊙O，依据圆内接四边形的性质即可求解.
2．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形ABCD是 的内接四边形，
，
，
，
解得： ，
故答案为：C.
【分析】利用圆内接四边形的两对角互补，可证得∠B+∠D=180°，结合已知条件，可求出∠B的度数。
3．【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形ABCD是圆内接四边形，
,
根据 依次检验各选项，只有D选项满足条件，
故答案为：D.
【分析】圆内接四边形对角互补，据此性质依次检验各选项即可判断.
4．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】连接BC，
∵AB是半圆O的直径，∠BAC=32°，
∴∠ACB=90°，∠B=90°-32°=58°，
∴∠D=180°-∠B=122°（圆内接四边形对角互补），
∵D是 的中点，
∴∠DAC=∠DCA=（180°-∠D）÷2=29°，
故答案为：B.
【分析】连接BC，由圆周角定理和三角形内角和定理可求得∠B的度数，由圆内接四边形的性质可求得∠D的度数，再根据垂径定理和等腰三角形的性质在即可求解.
5．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】连接AC、CE，
∵点A、B、C、E都是⊙O上的点，
∴∠AEC＝180° ∠B＝58°，
∵
∴ ，
∴∠ACE＝∠AEC＝58°，
∴∠CAE＝180° 58° 58°＝64°，
∵点A、C、D、E都是⊙O上的点，
∴∠D＝180° 64°＝116°，
故答案为：B．
【分析】连接AC、CE，根据圆内接四边形的性质求出∠AEC，根据三角形内角和定理求出∠CAE，根据圆内接四边形的性质计算即可．
6．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
而∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠BAD，
而∠BAD=105°，
∴∠DCE=105°.
故答案为：B.
【分析】根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD与∠DEC为邻补角，得到∠DCE=∠BAD=105°.
7．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，在优弧AB上取点E，连接AE，BE．
∵∠E= ∠O，∠ACB+∠E=180°，∴∠ACB+ ∠O=180°．
故B符合题意，A，C，D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】在优弧AB上取点E，连接AE，BE，利用圆周角定理可得∠E= ∠O，由圆的内接四边形的性质可得∠ACB+∠E=180°，等量代换可知结论.
8．【答案】A
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠C＝112°，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABD＝ (180°﹣∠A)＝34°，
故答案为：A.
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，然后根据三角形内角和定理计算即可.
9．【答案】A
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：可以取AE的中点I，即点I为圆心
根据题意可知，圆内接正八边形为由8个相等的△IDE构成。
∴△IDE的面积为5
∴内接正八边形ABCDEFGH=8×5=40.
故答案为：A。
【分析】可以选取AE的中点I，根据点I为圆心，根据圆内接正八边形的面积进行计算得到答案即可。
10．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠CBE=50°，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC=∠CBE=50°（圆内接四边形的一个外角等于内对角），
∵DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA= .
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形的性质得到脚ADC=∠CBE，即可得到交DAC的度数。
11．【答案】108
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：设比的每份为x，
∴∠D=∠A+∠C-∠B=5x-2x=3x,
∴∠B+∠D=5x=180°，
∴x=36°，
∴∠D=36°×3=108°，
故答案为：108.
【分析】设比的每份为x，由圆的内接四边形的性质可知∠D为3x，再列方程求得x的度数，即知∠D的度数.
12．【答案】60°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵AC平分∠BCD，
∵AD∥BC，
+ + =180°，
∴BC是直径，
故答案为：60°．
【分析】根据角平分线的定义得出根据二直线平行，内错角相等得出故根据三角形的内角和可知故根据弧与圆周角的关系得出 + + =180°，故BC是直径，根据直径所对的圆周角是直角得出∠BAC=90°，最后根据直角三角形两内角互余算出答案。
13．【答案】100°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B+∠D=∠A+∠C=180°，
∵∠A、∠B、∠C的度数之比为2：4：7，
∴∠A=180°× =40°，∠C=180°× =140°，
∠B=180°× =80°，
∴∠D=180°﹣80°=100°，
故答案为：100°.
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠D=∠A+∠C=180°，再根据∠A、∠B、∠C的度数之比分别求出∠A、∠B、∠C的度数，即可求出∠D的度数.
14．【答案】110°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°
∠A∶∠B∶∠C∶∠D=7∶9∶11∶9
设∠A=7x，则∠C=11x，
∴7x+11x=180°
解之：x=10°
∴∠C=11×10°=110°.
故答案为：110°.
【分析】利用圆内接四边形的对角互补可证得∠A+∠C=180°，利用已知条件设∠A=7x，则∠C=11x，建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到∠C的度数。
15．【答案】110
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，如图
在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝140°，
，
AB=AD， ，
.
故答案为：110.
【分析】由圆内接四边形的对角互补可得∠BAD的度数，然后连接BD，由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ADB的度数，进而再根据圆内接四边形的对角互补可求解.
16．【答案】96°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵AD∥BC，∴∠B=180°﹣∠DAB=132°.
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠D=180°﹣∠B=48°，
由圆周角定理得：∠AOC=2∠D=96°，
故答案为：96°.
【分析】根据平行线的性质求出∠B，根据圆内接四边形的性质求出∠D，根据圆周角定理解答.
17．【答案】解：∵∠BOD=88°，
∴∠BAD=88°÷2=44°，
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°﹣44°=136°，
即∠BCD的度数是136°．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】首先根据∠BOD=88°，应用圆周角定理，求出∠BAD的度数多少；然后根据圆内接四边形的性质，可得∠BAD+∠BCD=180°，据此求出∠BCD的度数是多少即可．
18．【答案】证明：∵A、B、C、D是⊙O上的四点，
∴∠BCE=∠A，
∵DA=DE，
∴∠A=∠E，
∴∠BCE=∠E，
∴△BCE是等腰三角形．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】先根据圆内接四边形的性质得到∠BCE=∠A，再根据等腰三角形的性质由DA=DE得∠A=∠E，则∠BCE=∠E，然后根据等腰三角形的判定即可得到结论．
19．【答案】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠ABC=130°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=50°，
∴∠AOC=2∠ADC=100°．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=（180°﹣∠AOC）=40°．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】先根据圆内接四边形的性质推出∠ADC=50°，再根据圆周角定理推出∠AOC=100°，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出∠OAC的度数．
20．【答案】解：（1）∵∠ADB=∠ACB，∠BAD=∠BFC，
∴∠ABD=∠FBC，
又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠CBF=∠BCF，
∵∠BFC=2∠DFC=80°，
∴∠CBF==50°；
（2）令∠CFD=α，则∠BAD=∠BFC=2α，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，即∠BCD=180°﹣2α，
又∵AB=AD，
∴∠ACD=∠ACB，
∴∠ACD=∠ACB=90°﹣α，
∴∠CFD+∠FCD=α+（90°﹣α）=90°，
∴∠CDF=90°，即CD⊥DF．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据已知和三角形内角和定理求出∠CBF的度数；
（2）设∠CFD=α，根据圆内接四边形的性质和三角形内角和定理求出∠CDF=90°，得到答案．
21．【答案】解：（1）∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A=∠BCF，
∵∠EBF=∠A+∠E，
而∠EBF=180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E=180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E=180﹣∠A﹣∠F，
即2∠A=180°﹣（∠E+∠F），
∵∠E+∠F=α，
∴∠A=90°﹣α；
（2）当α=60°时，∠A=90°﹣×60°=60°．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠A=∠BCF，再利用三角形外角性质得∠EBF=∠A+∠E，由三角形内角和定理得∠EBF=180°﹣∠BCF﹣∠F，所以∠A+∠E=180﹣∠A﹣∠F，然后利用∠E+∠F=α可得∠A=90°﹣α；
（2）利用（1）中的结论进行计算．
22．【答案】解：（1）∵∠E=∠F，∠DCE=∠BCF，∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠BCF+∠F，
∴∠ADC=∠ABC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠ADC=90°．
（2）∵在△ABE中，∠A=55°，∠E=30°，
∴∠ABE=180°﹣∠A﹣∠E=95°，
∴∠ADF=180°﹣∠ABE=85°，
∴在△ADF中，∠F=180°﹣∠ADF﹣∠A=40°；
（3）∵∠ADC=180°﹣∠A﹣∠F，∠ABC=180°﹣∠A﹣∠E，
∵∠ADC+∠ABC=180°，
∴180°﹣∠A﹣∠F+180°﹣∠A﹣∠E=180°，
∴2∠A+∠E+∠F=180°，
∴∠A=．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）由∠E=∠F，易得∠ADC=∠ABC，又由圆的内接四边形的性质，即可求得答案；
（2）由∠A=55°，∠E=30°，首先可求得∠ABC的度数，继而利用圆的内接四边形的性质，求得∠ADC的度数，则可求得答案；
（3）由三角形的内角和定理与圆的内接四边形的性质，即可求得180°﹣∠A﹣∠F+180°﹣∠A﹣∠E=180°，继而求得答案．
23．【答案】（1）解：
∵正三角形的边长为6cm，
∴3个边长都相等，
又∵截去三个小等边三角形，
∴各个小三角形的边长也相等，
∴正六边形的边长为：2
（2）解：
连接OA，OB，过点O作OD⊥AB于点D，
∵∠AOB==60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴OD=OA sin60°=2×=；
（3）解：
如图2：
线段AB划过的面积=π×22﹣π×（）2=πcm2．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据题意和正六边形的性质求出正六边形的边长；
（2）求出正六边形的中心角，根据正弦的概念解答即可；
（3）根据题意画出图形，根据圆的面积公式计算即可．
24．【答案】（1）解：
∵AB=BC=CD=DE=2，EF=FG=GH=HA=2，
∴∠DOE=×360°=（ ﹣1） 90°；∠EOF=×360°=（2﹣） 90°
∴∠DOE+∠EOF=（﹣1） 90°+（2﹣） 90°=90°，
∴扇形DOE与扇形EOF为互余共轭扇形．
（2）解：
如图所示，FM⊥DE的延长线于M，
由（1）知∠DOF=∠DOE+∠EOF=（180°﹣2∠DEO）+（180°﹣2FEO）=360°﹣2∠DEF=90°
∴∠DEF=135°；
∴∠FEM=45°，
∴△EMF是等腰直角三角形
∴ME=MF=EF=×2=2；DM=DE+ME=2+2=4，
在Rt△DMF中：
∵OD=OF；∠DOF=90°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
∴OD=OF=DF=×2=；即⊙O的半径为；
（3）解：
如图所示，分别作OP⊥DE于P；OQ⊥EF于Q，
∴S△DOE=DE OP=×2×3=3；
S△EOF=×EF OQ=×2×2=4，
S扇形EOF=πOD2=π，
∴S阴影=[S扇形EOF﹣（S△DOE+S△EOF）]×4=[π﹣（4+3）]×4=10π﹣28．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）求出∠DOE和∠EOF的度数，相加为90°即可；
（2）FM⊥DE的延长线于M，判断出△DOF是等腰直角三角形，求出OD的长，即为半径；
（3）分别作OP⊥DE于P；OQ⊥EF于Q，根据S阴影=[S扇形EOF﹣（S△DOE+S△EOF）]×4，即可解答．
25．【答案】（1）证明：∵圆心角120°的扇形OMN，绕着正六边形ABCDEF的中心O旋转，
∴△OBC，△OAB都是等边三角形，
∴AO=CO，∠1=∠2，∠3=∠4=60°，
在△AOH和△COK中
∴△AOH≌△COK（ASA）
（2）解：过点O作OG⊥BC于点G，
∵△OBC是等边三角形，
∴BG=CG=1，CO=2，
∴OG=，
∵△AOH≌△COK，
∴S△AOH=S△COK，
∴正六边形ABCDEF与扇形OMN重叠部分的面积为：
S△AOB+S△OBC=2SOBC=2× ×2×=2．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用正六边形的性质得出△OBC，△OAB都是等边三角形，进而得出AO=CO，∠1=∠2，∠3=∠4=60°，即可得出全等三角形；
（2）利用全等三角形的性质以及正六边形性质得出正六边形ABCDEF与扇形OMN重叠部分的面积为：S△AOB+S△OBC=2SOBC进而得出答案．
26．【答案】（1）证明：连结AC，BD，
∴∠CAD=∠CBD，∠ABD=∠ACD，∠ADB=∠ACB，∠BAC=∠BDC，
∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°，
∴∠CAD+∠BAC+∠ABD+∠CBD+∠ACB+∠ACD+∠ADB+∠BDC=360°，
∴∠CAD+∠BAC+∠ACB+∠ACD=180°，
即∠BAD+∠BCD=180°，
又∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠DCE.
（2）解：①设BC与⊙O交于点E，连结DE，
∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BED=180°，
又∵∠BED=∠CDE+∠BCD，
∴∠BED＞∠BCD，
∴∠A+∠BCD＜180°.
②延长DC交⊙O于点E，连结BE，
∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BED=180°，
又∵∠BCD=∠CBE+∠BED，
∴∠BCD＞∠BED，
∴∠A+∠BCD＞180°.
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）连结AC，BD，由同弧所对的圆周角相等和四边形的内角和为360°，即可得证∠A+∠BCD=180°，再由同角的补角相等可得∠DCE=∠A．
（2）①设BC与⊙O交于点E，连结DE，根据圆的内接四边形对角互补和三角形外角性质，即可得证.
②延长DC交⊙O于点E，连结BE，根据圆的内接四边形对角互补和三角形外角性质，即可得证.
1 / 1初中数学浙教版九年级上册3.6圆内接四边形同步练习
一、单选题
1．（2021·丽水模拟）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（ ）
A．70° B．110° C．130° D．140°
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O ，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ADC=110°，
故答案为：B.
【分析】由题意可得四边形ABCD内接于⊙O，依据圆内接四边形的性质即可求解.
2．（2021九上·越城期末）如图，四边形ABCD是 的内接四边形，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形ABCD是 的内接四边形，
，
，
，
解得： ，
故答案为：C.
【分析】利用圆内接四边形的两对角互补，可证得∠B+∠D=180°，结合已知条件，可求出∠B的度数。
3．（2021九上·西林期末）在内接四边形 中， 只可能是下列四个选项中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形ABCD是圆内接四边形，
,
根据 依次检验各选项，只有D选项满足条件，
故答案为：D.
【分析】圆内接四边形对角互补，据此性质依次检验各选项即可判断.
4．（2019九上·江都期末）如图，已知 是半圆 的直径， ， 是 的中点，那么 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】连接BC，
∵AB是半圆O的直径，∠BAC=32°，
∴∠ACB=90°，∠B=90°-32°=58°，
∴∠D=180°-∠B=122°（圆内接四边形对角互补），
∵D是 的中点，
∴∠DAC=∠DCA=（180°-∠D）÷2=29°，
故答案为：B.
【分析】连接BC，由圆周角定理和三角形内角和定理可求得∠B的度数，由圆内接四边形的性质可求得∠D的度数，再根据垂径定理和等腰三角形的性质在即可求解.
5．（2020·路北模拟）如图，点 都是 上的点， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】连接AC、CE，
∵点A、B、C、E都是⊙O上的点，
∴∠AEC＝180° ∠B＝58°，
∵
∴ ，
∴∠ACE＝∠AEC＝58°，
∴∠CAE＝180° 58° 58°＝64°，
∵点A、C、D、E都是⊙O上的点，
∴∠D＝180° 64°＝116°，
故答案为：B．
【分析】连接AC、CE，根据圆内接四边形的性质求出∠AEC，根据三角形内角和定理求出∠CAE，根据圆内接四边形的性质计算即可．
6．（2020·衢江模拟）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是（ ）
A．115° B．105° C．100° D．95°
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
而∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠BAD，
而∠BAD=105°，
∴∠DCE=105°.
故答案为：B.
【分析】根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD与∠DEC为邻补角，得到∠DCE=∠BAD=105°.
7．（2019九上·思明期中）如图，点C在 上，点D在半径OA上，则下列结论正确的是（ ）
A．∠DCB+ ∠O=180° B．∠ACB+ ∠O=180°
C．∠ACB+∠O=180° D．∠CAO+∠CBO=180°
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，在优弧AB上取点E，连接AE，BE．
∵∠E= ∠O，∠ACB+∠E=180°，∴∠ACB+ ∠O=180°．
故B符合题意，A，C，D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】在优弧AB上取点E，连接AE，BE，利用圆周角定理可得∠E= ∠O，由圆的内接四边形的性质可得∠ACB+∠E=180°，等量代换可知结论.
8．（2019九上·滨海期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB＝AD，若∠C＝68°，则∠ABD的度数为（ ）
A．34° B．56° C．68° D．112°
【答案】A
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠C＝112°，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABD＝ (180°﹣∠A)＝34°，
故答案为：A.
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，然后根据三角形内角和定理计算即可.
9．（2019九上·阳信开学考）如图，有一圆内接正八边形 ABCDEFGH，若△ADE的面积为10，则正八边形 ABCDEFGH的面积为（ ）
A．40 B．50 C．60 D．80
【答案】A
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：可以取AE的中点I，即点I为圆心
根据题意可知，圆内接正八边形为由8个相等的△IDE构成。
∴△IDE的面积为5
∴内接正八边形ABCDEFGH=8×5=40.
故答案为：A。
【分析】可以选取AE的中点I，根据点I为圆心，根据圆内接正八边形的面积进行计算得到答案即可。
10．（2017九上·邯郸月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为（ ）
A．130° B．100° C．65° D．50°
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠CBE=50°，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC=∠CBE=50°（圆内接四边形的一个外角等于内对角），
∵DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA= .
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形的性质得到脚ADC=∠CBE，即可得到交DAC的度数。
二、填空题
11．（2021九上·柯桥月考）圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：4，则∠D＝ 度．
【答案】108
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：设比的每份为x，
∴∠D=∠A+∠C-∠B=5x-2x=3x,
∴∠B+∠D=5x=180°，
∴x=36°，
∴∠D=36°×3=108°，
故答案为：108.
【分析】设比的每份为x，由圆的内接四边形的性质可知∠D为3x，再列方程求得x的度数，即知∠D的度数.
12．（2019·荆州模拟）已知点A、B、C、D均在圆上，AD∥BC，AC 平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形的周长为10cm．，则∠ABC的度数为 ．
【答案】60°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵AC平分∠BCD，
∵AD∥BC，
+ + =180°，
∴BC是直径，
故答案为：60°．
【分析】根据角平分线的定义得出根据二直线平行，内错角相等得出故根据三角形的内角和可知故根据弧与圆周角的关系得出 + + =180°，故BC是直径，根据直径所对的圆周角是直角得出∠BAC=90°，最后根据直角三角形两内角互余算出答案。
13．（2021九上·秦淮期末）如图，在圆内接四边形ABCD中， 、 、 的度数之比为 ，则 .
【答案】100°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B+∠D=∠A+∠C=180°，
∵∠A、∠B、∠C的度数之比为2：4：7，
∴∠A=180°× =40°，∠C=180°× =140°，
∠B=180°× =80°，
∴∠D=180°﹣80°=100°，
故答案为：100°.
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠D=∠A+∠C=180°，再根据∠A、∠B、∠C的度数之比分别求出∠A、∠B、∠C的度数，即可求出∠D的度数.
14．（2020九上·金华期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠A∶∠B∶∠C∶∠D=7∶9∶11∶9，则∠C= ．
【答案】110°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°
∠A∶∠B∶∠C∶∠D=7∶9∶11∶9
设∠A=7x，则∠C=11x，
∴7x+11x=180°
解之：x=10°
∴∠C=11×10°=110°.
故答案为：110°.
【分析】利用圆内接四边形的对角互补可证得∠A+∠C=180°，利用已知条件设∠A=7x，则∠C=11x，建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到∠C的度数。
15．（2020九上·沭阳月考）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠BCD＝140°.若点E在 上，则∠E＝ °.
【答案】110
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，如图
在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝140°，
，
AB=AD， ，
.
故答案为：110.
【分析】由圆内接四边形的对角互补可得∠BAD的度数，然后连接BD，由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ADB的度数，进而再根据圆内接四边形的对角互补可求解.
16．（2020·鼓楼模拟）如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB=48°，则∠AOC的度数是 .
【答案】96°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵AD∥BC，∴∠B=180°﹣∠DAB=132°.
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠D=180°﹣∠B=48°，
由圆周角定理得：∠AOC=2∠D=96°，
故答案为：96°.
【分析】根据平行线的性质求出∠B，根据圆内接四边形的性质求出∠D，根据圆周角定理解答.
三、解答题
17．（2017九上·章贡期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，求∠BCD的度数．
【答案】解：∵∠BOD=88°，
∴∠BAD=88°÷2=44°，
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°﹣44°=136°，
即∠BCD的度数是136°．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】首先根据∠BOD=88°，应用圆周角定理，求出∠BAD的度数多少；然后根据圆内接四边形的性质，可得∠BAD+∠BCD=180°，据此求出∠BCD的度数是多少即可．
18．如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若DA=DE，求证：△BCE是等腰三角形．
【答案】证明：∵A、B、C、D是⊙O上的四点，
∴∠BCE=∠A，
∵DA=DE，
∴∠A=∠E，
∴∠BCE=∠E，
∴△BCE是等腰三角形．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】先根据圆内接四边形的性质得到∠BCE=∠A，再根据等腰三角形的性质由DA=DE得∠A=∠E，则∠BCE=∠E，然后根据等腰三角形的判定即可得到结论．
19．（2019九上·北京月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130°，求∠OAC的度数．
【答案】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠ABC=130°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=50°，
∴∠AOC=2∠ADC=100°．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=（180°﹣∠AOC）=40°．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】先根据圆内接四边形的性质推出∠ADC=50°，再根据圆周角定理推出∠AOC=100°，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出∠OAC的度数．
20．如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．
（1）若∠DFC=40°，求∠CBF的度数；
（2）求证：CD⊥DF．
【答案】解：（1）∵∠ADB=∠ACB，∠BAD=∠BFC，
∴∠ABD=∠FBC，
又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠CBF=∠BCF，
∵∠BFC=2∠DFC=80°，
∴∠CBF==50°；
（2）令∠CFD=α，则∠BAD=∠BFC=2α，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，即∠BCD=180°﹣2α，
又∵AB=AD，
∴∠ACD=∠ACB，
∴∠ACD=∠ACB=90°﹣α，
∴∠CFD+∠FCD=α+（90°﹣α）=90°，
∴∠CDF=90°，即CD⊥DF．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据已知和三角形内角和定理求出∠CBF的度数；
（2）设∠CFD=α，根据圆内接四边形的性质和三角形内角和定理求出∠CDF=90°，得到答案．
21．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F．
（1）若∠E+∠F=α，求∠A的度数（用含α的式子表示）；
（2）若∠E+∠F=60°，求∠A的度数．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A=∠BCF，
∵∠EBF=∠A+∠E，
而∠EBF=180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E=180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E=180﹣∠A﹣∠F，
即2∠A=180°﹣（∠E+∠F），
∵∠E+∠F=α，
∴∠A=90°﹣α；
（2）当α=60°时，∠A=90°﹣×60°=60°．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠A=∠BCF，再利用三角形外角性质得∠EBF=∠A+∠E，由三角形内角和定理得∠EBF=180°﹣∠BCF﹣∠F，所以∠A+∠E=180﹣∠A﹣∠F，然后利用∠E+∠F=α可得∠A=90°﹣α；
（2）利用（1）中的结论进行计算．
22．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）当∠E=∠F时，求∠ADC的度数；
（2）当∠A=55°，∠E=30°时，求∠F的度数；
（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
【答案】解：（1）∵∠E=∠F，∠DCE=∠BCF，∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠BCF+∠F，
∴∠ADC=∠ABC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠ADC=90°．
（2）∵在△ABE中，∠A=55°，∠E=30°，
∴∠ABE=180°﹣∠A﹣∠E=95°，
∴∠ADF=180°﹣∠ABE=85°，
∴在△ADF中，∠F=180°﹣∠ADF﹣∠A=40°；
（3）∵∠ADC=180°﹣∠A﹣∠F，∠ABC=180°﹣∠A﹣∠E，
∵∠ADC+∠ABC=180°，
∴180°﹣∠A﹣∠F+180°﹣∠A﹣∠E=180°，
∴2∠A+∠E+∠F=180°，
∴∠A=．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）由∠E=∠F，易得∠ADC=∠ABC，又由圆的内接四边形的性质，即可求得答案；
（2）由∠A=55°，∠E=30°，首先可求得∠ABC的度数，继而利用圆的内接四边形的性质，求得∠ADC的度数，则可求得答案；
（3）由三角形的内角和定理与圆的内接四边形的性质，即可求得180°﹣∠A﹣∠F+180°﹣∠A﹣∠E=180°，继而求得答案．
23．如图，正三角形的边长为6cm，剪去三个角后成一个正六边形．
（1）求这个正六边形的边长
（2）求这个正六边形的边心距
（3）设这个正六边形的中心为O，一边为AB，则AB绕点O旋转一周所得的图形是怎样的？（作图表示出来）并求出这条线段AB划过的面积．
【答案】（1）解：
∵正三角形的边长为6cm，
∴3个边长都相等，
又∵截去三个小等边三角形，
∴各个小三角形的边长也相等，
∴正六边形的边长为：2
（2）解：
连接OA，OB，过点O作OD⊥AB于点D，
∵∠AOB==60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴OD=OA sin60°=2×=；
（3）解：
如图2：
线段AB划过的面积=π×22﹣π×（）2=πcm2．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据题意和正六边形的性质求出正六边形的边长；
（2）求出正六边形的中心角，根据正弦的概念解答即可；
（3）根据题意画出图形，根据圆的面积公式计算即可．
24．同圆或等圆中，圆心角互余的两个扇形叫做互余共轭扇形．如图⊙O内接八边形中，已知AB=BC=CD=DE=2，EF=FG=GH=HA=2．
（1）扇形DOE与扇形EOF是否互余共轭扇形？请推理说明
（2）求⊙O的半径
（3）求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：
∵AB=BC=CD=DE=2，EF=FG=GH=HA=2，
∴∠DOE=×360°=（ ﹣1） 90°；∠EOF=×360°=（2﹣） 90°
∴∠DOE+∠EOF=（﹣1） 90°+（2﹣） 90°=90°，
∴扇形DOE与扇形EOF为互余共轭扇形．
（2）解：
如图所示，FM⊥DE的延长线于M，
由（1）知∠DOF=∠DOE+∠EOF=（180°﹣2∠DEO）+（180°﹣2FEO）=360°﹣2∠DEF=90°
∴∠DEF=135°；
∴∠FEM=45°，
∴△EMF是等腰直角三角形
∴ME=MF=EF=×2=2；DM=DE+ME=2+2=4，
在Rt△DMF中：
∵OD=OF；∠DOF=90°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
∴OD=OF=DF=×2=；即⊙O的半径为；
（3）解：
如图所示，分别作OP⊥DE于P；OQ⊥EF于Q，
∴S△DOE=DE OP=×2×3=3；
S△EOF=×EF OQ=×2×2=4，
S扇形EOF=πOD2=π，
∴S阴影=[S扇形EOF﹣（S△DOE+S△EOF）]×4=[π﹣（4+3）]×4=10π﹣28．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）求出∠DOE和∠EOF的度数，相加为90°即可；
（2）FM⊥DE的延长线于M，判断出△DOF是等腰直角三角形，求出OD的长，即为半径；
（3）分别作OP⊥DE于P；OQ⊥EF于Q，根据S阴影=[S扇形EOF﹣（S△DOE+S△EOF）]×4，即可解答．
25．如图，圆心角120°的扇形OMN，绕着正六边形ABCDEF的中心O旋转，OM交AB于H，ON交CD于K，OM＞OA．
（1）证明：△AOH≌△COK
（2）若AB=2，求正六边形ABCDEF与扇形OMN重叠部分的面积．
【答案】（1）证明：∵圆心角120°的扇形OMN，绕着正六边形ABCDEF的中心O旋转，
∴△OBC，△OAB都是等边三角形，
∴AO=CO，∠1=∠2，∠3=∠4=60°，
在△AOH和△COK中
∴△AOH≌△COK（ASA）
（2）解：过点O作OG⊥BC于点G，
∵△OBC是等边三角形，
∴BG=CG=1，CO=2，
∴OG=，
∵△AOH≌△COK，
∴S△AOH=S△COK，
∴正六边形ABCDEF与扇形OMN重叠部分的面积为：
S△AOB+S△OBC=2SOBC=2× ×2×=2．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用正六边形的性质得出△OBC，△OAB都是等边三角形，进而得出AO=CO，∠1=∠2，∠3=∠4=60°，即可得出全等三角形；
（2）利用全等三角形的性质以及正六边形性质得出正六边形ABCDEF与扇形OMN重叠部分的面积为：S△AOB+S△OBC=2SOBC进而得出答案．
四、综合题
26． 综合题：
（1）已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC至E．求证：∠A+∠BCD=180°，∠DCE=∠A．
（2）依已知条件和（1）中的结论：
①如图2，若点C在⊙O外，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系；
②如图3，若点C在⊙O内，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系．
【答案】（1）证明：连结AC，BD，
∴∠CAD=∠CBD，∠ABD=∠ACD，∠ADB=∠ACB，∠BAC=∠BDC，
∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°，
∴∠CAD+∠BAC+∠ABD+∠CBD+∠ACB+∠ACD+∠ADB+∠BDC=360°，
∴∠CAD+∠BAC+∠ACB+∠ACD=180°，
即∠BAD+∠BCD=180°，
又∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠DCE.
（2）解：①设BC与⊙O交于点E，连结DE，
∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BED=180°，
又∵∠BED=∠CDE+∠BCD，
∴∠BED＞∠BCD，
∴∠A+∠BCD＜180°.
②延长DC交⊙O于点E，连结BE，
∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BED=180°，
又∵∠BCD=∠CBE+∠BED，
∴∠BCD＞∠BED，
∴∠A+∠BCD＞180°.
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）连结AC，BD，由同弧所对的圆周角相等和四边形的内角和为360°，即可得证∠A+∠BCD=180°，再由同角的补角相等可得∠DCE=∠A．
（2）①设BC与⊙O交于点E，连结DE，根据圆的内接四边形对角互补和三角形外角性质，即可得证.
②延长DC交⊙O于点E，连结BE，根据圆的内接四边形对角互补和三角形外角性质，即可得证.
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