初中数学浙教版九年级上册3.8 弧长及扇形的面积同步练习

初中数学浙教版九年级上册3.8 弧长及扇形的面积同步练习
一、单选题
1．（2021·西城模拟）半径为 ，圆心角为 的扇形的面积等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】扇形的面积为：
故答案为：B
【分析】假设出扇形半径，再表示出半圆面积，以及扇形面积，进而即可表示出两部分P、Q面积相等，连接AB、OD，根据两半圆的直径相等可知，故可得出绿色部分的面积，利用阴影部分的面积=扇形面积-半圆-绿色面积即可。
2．（2021·平房模拟）一个扇形的半径为3cm，面积为 ，则此扇形的圆心角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】设扇形的圆心角为x°，根据题意可得：
，
解得 ，即扇形的圆心角为40°.
故答案为：B.
【分析】利用扇形的面积公式列出方程求解即可。
3．（2021·牡丹江）一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为3cm的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为（　　）
A．45cm B．40cm C．35cm D．30cm
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设这条弧的半径为rcm，
由题意得 ，
解得r=40，
∴这条弧的半径为40cm．
故答案为：B
【分析】设这条弧的半径为rcm，由题意列出方程，解得即可得出答案。
4．（2021·广州）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若 ，则劣弧AB的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵AC与BC是圆的切线，
∴OA⊥AC，OB⊥CB，
∴∠OAC=∠OBC=90°，
∴∠C+∠AOB=360°-∠OAC-∠OBC=360°-90°-90°=180°，
∵∠C=60°，
∴∠AOB=180°-60°=120°，
∵OB=24cm，
∴ = cm．
故答案为：B．
【分析】先求出∠OAC=∠OBC=90°，再求出∠AOB=120°，最后利用弧长公式计算求解即可。
5．（2021·抚顺模拟）如图，在4×4的正方形网格中，若将 绕着点A逆时针旋转得到 ，则 的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据图所示知， ，
弧 的长 ，
故答案为：A ．
【分析】根据图示知，所以根据弧长公式求得 的长。
6．（2021·芜湖模拟）如图，在 中， ， ，斜边 是半圆 的直径，点 是半圆上的一个动点，连接 与 交于点 ，若 是等腰三角形，则弧 的长为（　　）
A． B． 或
C． 或 D． 或
【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接 ，
，即 是 斜边 上的中线，
，
，
在 中， ， ，
，
，
则分以下两种情况：
①如图，当 时， 是等腰三角形，
，
点 与点 重合，
点 共线，
由圆周角定理得： ，
则弧 的长为 ；
②如图，当 时， 是等腰三角形，
，
由圆周角定理得： ，
则弧 的长为 ；
综上，弧 的长为 或 ，
故答案为：C．
【分析】先求出，再求出 ，最后分类讨论，结合图形，利用弧长公式计算求解即可。
7．（2021·兴城模拟）如图， 是 的直径， 是弦， ，则 的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：连接 OC ，如图：
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为 ；
故答案为：A．
【分析】连接 ，如图，由平行线的性质得出，由圆周角定理得出，再由弧长公式即可得出答案。
8．（2021·于洪模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB＝2，则扇形AOB的面积为（　　）
A． B． C．π D．
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∴扇形AOB的面积= ，
故答案为：B．
【分析】利用扇形的面积公式求解即可。
9．（2021·哈尔滨模拟）某扇形的圆心角为 ，其弧长为 ，则此扇形的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形的半径为R，则由弧长公式得：
20π= ，
解得：R=24，
则扇形的面积是 ×20π×24=240π，
故答案为：C．
【分析】先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出即可．
10．（2021·包头模拟）如图，点A，B，C在 上，四边形 是平行四边形．若对角线 ，则 的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：如图所示，连接OB，交AC于D
∵四边形OABC是平行四边形，OA=OC
∴四边形OABC是菱形
∴AC垂直平分OB，设圆的半径为r
∴OC=r，OD=
又∵
∴
Rt△ODC中
即 ，解得 (等于-2的那个值舍去)
∴圆的半径为2
∴
∴
∴
∴
故答案为：C．
【分析】先求出，再求出，最后利用锐角三角函数和弧长公式进行计算求解即可。
二、填空题
11．（2021·章丘模拟）如图，已知扇形的圆心角为 ，半径为1，那么该扇形的弧长为　 　．（结果保留 ）
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意可得，该扇形的弧长为： ．
故答案为： ．
【分析】利用弧长公式代入计算即可。
12．（2021·河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 ，点 ， ， 均在小正方形的顶点上，且点 ， 在 上， ，则 的长为　 　.
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：连接AD，作线段AB、AD的垂直平分线，交点即为 的圆心O，
从图中可得： 的半径为OB=5，
连接OC，
∵∠BAC=22.5°，
∴∠BOC=2 22.5°=45°，
的长为 .
故答案为：
【分析】连接AD，作线段AB、AD的垂直平分线，交点即为的圆心O，根据已知条件结合圆周角定理可得∠BOC的度数，然后根据弧长公式计算即可.
13．（2021·道外模拟）某扇形的圆心角为 ，面积为 ，该扇形的弧长为　 　．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵某扇形的圆心角为 ，面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后利用弧长公式计算求解即可。
14．（2021·吉林模拟）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，扇面BD的长为20cm，扇面(阴影部分)的面积为 cm2，则竹条AB的长为　 　cm。
【答案】30
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵扇面的面积=，
∴，
∴，
∴AB=30（cm），
∴ 竹条AB的长30cm.
【分析】根据扇面的面积=S扇形ABC-S扇形ADE，得出，求出AB的长，即可得出答案.
15．（2021·南关模拟）如图， 是边长为6的等边三角形，分别以点 、 、 为圆心，以2为半径画弧，则图中阴影部分图形的周长为　 　．（结果保留 ）
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，
是边长为6的等边三角形，
阴影部分图形的周长由3条弧长组成，每条弧长都是半径为2，将三个扇形拼起来，组成一个直径是4的半圆，
阴影部分图形的周长为 ，
故答案为： ．
【分析】分别求出阴影部分弧长与线段长度再相加求解。
16．（2021·铁锋模拟）CD是以AB为直径的⊙O的一条弦，CDAB，∠CAD＝40°，若⊙O的半径为9cm，则阴影部分的面积为　 　cm2．
【答案】18π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OC，OD，
∵∠CAD＝40°，
∴∠COD＝80°，
∵AB∥CD，
∴△ACD的面积＝△COD的面积，
∴阴影部分的面积＝扇形OCD的面积＝ ＝18π．
故答案为：18π．
【分析】先转换，再利用扇形面积计算方法求解即可。
三、解答题
17．（2018六上·普陀期末）如图所示，已知甲、乙、丙三种图案的地砖，它们都是边长为4的正方形．
①甲地砖以正方形的边长为半径作弧得到甲图所示的阴影部分；
②乙地砖以正方形的边长为直径作弧得到乙图所示的阴影部分；
③丙地砖以正方形边长的一半为直径作弧得到丙图所示的阴影部分；
设三种地砖的阴影部分面积分别为S甲、S乙和S丙．
（1）求S甲．（结果保留π）
（2）请你直接将S甲和S乙的数量关系填在横线上：　 　．
（3）由题（2）中面积的数量关系，可直接求得S丙＝　 　．（结果保留π）
【答案】（1）解：S甲＝ ＝
（2）S甲＝2 S乙
（3）S丙＝
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（2）S乙=4 =4 ，
∴S甲＝2 S乙，
故答案为：S甲＝2 S乙（3）S丙＝16 .
【分析】（1）S甲＝两个扇形的面积减去一个正方形的面积；（2）将乙中阴影部分的面积转化为4个拱形的面积进行求解即可；（3）利用（2）的方法，将图中阴影部分转化为若干拱形的面积求解即可.
18．（2018九上·顺义期末）制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再备料．下图是一段管道，其中直管道部分AB的长为3 000mm，弯形管道部分BC，CD弧的半径都是1 000mm，∠O=∠O’=90°，计算图中中心虚线的长度．
【答案】解： ，
中心虚线的长度为
【知识点】弧长的计算
【解析】【分析】先算出扇形的弧长，再根据图中中心虚线的长度=AB+2l，计算即可得出答案。
19．如图，五个半径为2的圆，圆心分别是点A，B，C，D，E，则图中阴影部分的面积和是多少？
【答案】解：由图可得，5个扇形的圆心角之和为：（5﹣2）×180°=540°，
则五个阴影部分的面积之和= =6π．
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】根据五边形的内角和公式，可得出圆心角之和等于五边形的内角和（5﹣2）×180°=540°，由于半径相同，根据扇形的面积公式计算即可
20．如图，⊙O的直径EF为10cm，弦AB、CD分别为6cm、8cm，且AB∥EF∥CD．求图中阴影部分面积之和．
【答案】解：如图，作直径MN，使MN⊥EF于O，交AB于G，交CD于H；连接OA、OB、OC、OD；
在Rt△OBG中，BG=3cm，OB=5cm，因此OG=4cm；
同理：在Rt△OCH中，CH=4cm，OC=5cm，因此OH=3cm；
sin∠DOF==，
sin∠BOF==，
sin∠COE==，
sin∠AOE==，
即∠DOF=∠AOM=∠COE=∠BOM，∠CON=∠DON=∠AOE=∠BOF，
因此S扇形OAE=S扇形OBF=S扇形CON=S扇形ODN
∴S阴影=S△ABE+S弓形AMB+S△CDF+S弓形CND
=S△OAB+S弓形AMB+S△OCD+S弓形CND
=S扇形OAB+S扇形OCN+S扇形ODN
=S扇形OAB+S扇形OAE+S扇形OBF
=S⊙O
=12.5πcm2．
故图中阴影部分面积之和为12.5πcm2．
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】本题易得出△ABO与△ABE的面积相等，△OCD与△CDF的面积相等（这两组三角形都是同底等高），因此阴影部分的面积为扇形OAB的面积和扇形OCD的面积和．直接求两个扇形的面积由难度，因此可找出它们之间的关系再进行求解．过O作圆的直径MN，使得MN⊥EF与O，交AB于G；那么在Rt△BOG和Rt△COH中，易证得∠GBO=∠COH（通过两角的正弦值求证）．因此可得出∠BOF=∠CON，即扇形OBF的面积与扇形OCN的面积相等，也就得出了扇形OBF与扇形OAE的面积和正好等于扇形OCD的面积；因此阴影部分的面积和正好是半个圆的面积，由此可得出所求的解．
21．（2020九上·永定期中）如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求证：AD=CE．
【答案】证明：如图，∵AB∥CE，
∴∠ACE=∠BAC．
又∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠C=∠CAD，
∴=，
∴+=+，
∴=，
∴AD=CE．
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】欲证明AD=CE，只需证明=即可．如图，根据平行线的性质和角平分线的定义易证得∠C=∠CAD，所以=，则+=+，故=．
22．如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为多少？
【答案】解：第一次是以B为旋转中心，BA长5cm为半径旋转90°，
此次点A走过的路径是．
第二次是以C为旋转中心，3cm为半径旋转60°
此次走过的路径是，
∴点A两次共走过的路径是．
【知识点】弧长的计算
【解析】【分析】将点A翻滚到A2位置分成两部分：第一部分是以B为旋转中心，BA长5cm为半径旋转90°，第二部分是以C为旋转中心，3cm为半径旋转60°，根据弧长的公式计算即可．
四、综合题
23．（2021九上·富县期末）某灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图.已知半径 ， ， .（计算结果保留 ）
（1）若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），至少需要多长的花边？
（2）求灯罩的侧面积（接缝处忽略不计）.
【答案】（1）解：优弧 的长为 cm，
优弧 的长为 cm，
至少需要花边的长度为 ；
（2）解：灯罩的侧面积为:
.
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【分析】(1)直接根据弧长公式,求出 优弧 , 优弧 的长即可.
(2)直接根据扇形面积公式计算即可.
24．（2020·金华模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点D，且交AB于点E。
（1）连结AD，求证：AD平分∠CAB；
（2）若BE= -1，求阴影部分的面积。
【答案】（1）证明：如图，连结OD，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
即∠ODB=90°
又∵∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA=∠CAD
在⊙O中，OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD
∴∠OAD=∠CAD，
∴AD平分∠CAB.
（2）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∴∠BOD=45°
设⊙O的半径为r，则OD=BD=r，OB= r，
∴BE=( -1)r= -1，
∴r=1，
∴S阴影= ..
=
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连结OD，由相切推出OD⊥BC，得到OD∥AC，进而得出∠OAD=∠CAD，得证；（2）在Rt△ABC中，推出∠BOD=45°，设⊙O的半径为r，列出含r的方程，解这个方程，得到r=1，再根据△OBD的面积减扇形OED的面积求出阴影部分的面积.
25．（2019·南浔模拟）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1
（1）如图1，两个半径为1的圆相交，则阴影部分的面积为　 　；
（2）图2是以（1）中的图形为基本图形，通过一组图形变换得到的，这组变换可以是　 　.（写出一组即可）（填入序号）.①轴对称变换；②平移变换；③旋转变换.
【答案】（1）
（2）①②
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（1）S□ABCD＝1×1＝1，
S扇形ABC＝ ×π×12＝ ，
∴阴影部分的面积＝1﹣2（S□ABCD﹣S扇形ABC）＝ π﹣1；
（ 2 ）图2中的图形可以通过①轴对称变换和②平移变换得到.
故答案为： π﹣1；①②.
【分析】（1）由题意先计算小正方形的面积，然后根据S扇形ABC=计算扇形ABC的面积，由阴影部分面积的构成得S阴影=S小正方形-2（S小正方形-S扇形ABC）可求解；
（2）结合两个图像的形状以及轴对称变换和平移变换、旋转变换的性质可求解。
26．（2018九上·下城期中）如图，C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，CD＝8cm，P是直径AB上的任意一点.
（1）求 的长；
（2）求阴影部分的面积.
【答案】（1）解：如图，连接OC、OD.
∵C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，
又∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD＝8，
∴ 的长＝ ＝ cm
（2）解：∵∠OCD＝∠AOC＝60°
∴CD∥AB，
∴S△ACD＝S△OCD，
∴S阴影＝S扇形OCD＝ ＝
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OC、OD，根据C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，可得∠COD＝60°，△OCD是等边三角形，由等边三角形的性质得OC=CD，再根据弧长公式l=可求解；
（2）由题意易得CD∥AB，于是根据同底等高的两个三角形的面积相等可得 S△ACD＝S△OCD，则S阴影＝S扇形OCD ，根据扇形面积=可求解。
27．（2018九上·清江浦期中）如图，有一直径MN=4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅳ，其中位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴;位置Ⅲ中的MN在数轴上.
解答下列问题：
（1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为　 　；
（2）位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是　 　；
（3）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；
（4）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求该纸片所扫过图形的面积.
【答案】（1）2
（2）相切
（3）
（4）解：点N所经过路径长为 =2π， S半圆= =2π，S扇形= =4π， 故半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π=6π．
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解:（1）∵⊙P的直径=4，
∴⊙P的半径=2；
（ 2 ）∵⊙P与直线有一个交点，
∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2，位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；
（ 3 ）位置Ⅰ中
的长与数轴上线段ON相等，
∵ 的长为
=π，NP=2，
∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2；
【分析】（1）根据圆的半径等于直径的一半可求解；
（2）根据直线和圆的位置关系可知，当⊙P与直线有一个交点时，直线与圆相切；
（3）由题意可知，位置Ⅰ中
的长与数轴上线段ON相等，于是根据弧长公式l=
即可求解；
（4）由题意可知 该纸片所扫过图形的面积 =半圆的面积+扇形的面积。
28．（2018·镇平模拟）如图，已知AB为⊙O的直径，BD和CD为⊙O的切线，切点分别为B和C．
（1）求证：AC∥OD；
（2）当BC=BD，且BD=6cm时，求图中阴影部分的面积（结果不取近似值）．
【答案】（1）证明：连接OC．∵BD和CD为⊙O的切线，∴DC=DB，OB⊥BD，OC⊥CD，又OB=OC，∴△OCD≌△OBD，
∴∠COM=∠BOM，从而易得BC⊥OD，
∵AB为直径，∴AC⊥BC，
∴∠ACO+∠OCM=∠COM+∠OCM=90°，
∴∠ACO=∠COM，
∴AC∥OD
（2）解：∵DB，DC为切线，B，C为切点，
∴DB=DC．
又∵DB=BC=6，∴△BCD为等边三角形．
∴∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°，
∠OBM=90°﹣60°=30°，BM=3．
∴OM= ，OB=2 ．
∴S阴影部分=S扇形OBC﹣S△OBC＝
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）由题意可连接OC，根据切线长定理可得∠COM=∠BOM，由等腰三角形的性质得BC⊥OD，所以∠OMB=∠BCA=90°，根据平行线的判定即可求得AC∥OD；
（2）由图知图中阴影部分的面积=扇形COB的面积-三角形COB的面积。
29．（2018九上·乌鲁木齐期末）如图，点 在⊙ 的直径 的延长线上，点 在⊙ 上， ， ．
（1）求证： 是⊙ 的切线；
（2）若⊙ 的半径为 ，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接OC．
∵AC＝CD，∠ACD＝120°，
∴∠A＝∠D＝30°．
∵OA＝OC，
∴∠2＝∠A＝30°．
∴∠OCD＝∠ACD－∠2＝90°，
即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线
（2）解：∠1＝∠2＋∠A＝60°．
∴S扇形BOC＝ ＝ ．
在Rt△OCD中，∠D＝30°，
∴OD＝2OC＝4，
∴CD＝ ＝ ．
∴SRt△OCD＝ OC×CD＝ ×2× ＝ ．
∴图中阴影部分的面积为： －
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】连接OC．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形的性质即可证明；阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．
1 / 1初中数学浙教版九年级上册3.8 弧长及扇形的面积同步练习
一、单选题
1．（2021·西城模拟）半径为 ，圆心角为 的扇形的面积等于（　　）
A． B． C． D．
2．（2021·平房模拟）一个扇形的半径为3cm，面积为 ，则此扇形的圆心角为（　　）
A． B． C． D．
3．（2021·牡丹江）一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为3cm的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为（　　）
A．45cm B．40cm C．35cm D．30cm
4．（2021·广州）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若 ，则劣弧AB的长是（　　）
A． B． C． D．
5．（2021·抚顺模拟）如图，在4×4的正方形网格中，若将 绕着点A逆时针旋转得到 ，则 的长为（　　）
A． B． C． D．
6．（2021·芜湖模拟）如图，在 中， ， ，斜边 是半圆 的直径，点 是半圆上的一个动点，连接 与 交于点 ，若 是等腰三角形，则弧 的长为（　　）
A． B． 或
C． 或 D． 或
7．（2021·兴城模拟）如图， 是 的直径， 是弦， ，则 的长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2021·于洪模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB＝2，则扇形AOB的面积为（　　）
A． B． C．π D．
9．（2021·哈尔滨模拟）某扇形的圆心角为 ，其弧长为 ，则此扇形的面积是（　　）
A． B． C． D．
10．（2021·包头模拟）如图，点A，B，C在 上，四边形 是平行四边形．若对角线 ，则 的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·章丘模拟）如图，已知扇形的圆心角为 ，半径为1，那么该扇形的弧长为　 　．（结果保留 ）
12．（2021·河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 ，点 ， ， 均在小正方形的顶点上，且点 ， 在 上， ，则 的长为　 　.
13．（2021·道外模拟）某扇形的圆心角为 ，面积为 ，该扇形的弧长为　 　．
14．（2021·吉林模拟）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，扇面BD的长为20cm，扇面(阴影部分)的面积为 cm2，则竹条AB的长为　 　cm。
15．（2021·南关模拟）如图， 是边长为6的等边三角形，分别以点 、 、 为圆心，以2为半径画弧，则图中阴影部分图形的周长为　 　．（结果保留 ）
16．（2021·铁锋模拟）CD是以AB为直径的⊙O的一条弦，CDAB，∠CAD＝40°，若⊙O的半径为9cm，则阴影部分的面积为　 　cm2．
三、解答题
17．（2018六上·普陀期末）如图所示，已知甲、乙、丙三种图案的地砖，它们都是边长为4的正方形．
①甲地砖以正方形的边长为半径作弧得到甲图所示的阴影部分；
②乙地砖以正方形的边长为直径作弧得到乙图所示的阴影部分；
③丙地砖以正方形边长的一半为直径作弧得到丙图所示的阴影部分；
设三种地砖的阴影部分面积分别为S甲、S乙和S丙．
（1）求S甲．（结果保留π）
（2）请你直接将S甲和S乙的数量关系填在横线上：　 　．
（3）由题（2）中面积的数量关系，可直接求得S丙＝　 　．（结果保留π）
18．（2018九上·顺义期末）制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再备料．下图是一段管道，其中直管道部分AB的长为3 000mm，弯形管道部分BC，CD弧的半径都是1 000mm，∠O=∠O’=90°，计算图中中心虚线的长度．
19．如图，五个半径为2的圆，圆心分别是点A，B，C，D，E，则图中阴影部分的面积和是多少？
20．如图，⊙O的直径EF为10cm，弦AB、CD分别为6cm、8cm，且AB∥EF∥CD．求图中阴影部分面积之和．
21．（2020九上·永定期中）如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求证：AD=CE．
22．如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为多少？
四、综合题
23．（2021九上·富县期末）某灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图.已知半径 ， ， .（计算结果保留 ）
（1）若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），至少需要多长的花边？
（2）求灯罩的侧面积（接缝处忽略不计）.
24．（2020·金华模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点D，且交AB于点E。
（1）连结AD，求证：AD平分∠CAB；
（2）若BE= -1，求阴影部分的面积。
25．（2019·南浔模拟）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1
（1）如图1，两个半径为1的圆相交，则阴影部分的面积为　 　；
（2）图2是以（1）中的图形为基本图形，通过一组图形变换得到的，这组变换可以是　 　.（写出一组即可）（填入序号）.①轴对称变换；②平移变换；③旋转变换.
26．（2018九上·下城期中）如图，C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，CD＝8cm，P是直径AB上的任意一点.
（1）求 的长；
（2）求阴影部分的面积.
27．（2018九上·清江浦期中）如图，有一直径MN=4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅳ，其中位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴;位置Ⅲ中的MN在数轴上.
解答下列问题：
（1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为　 　；
（2）位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是　 　；
（3）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；
（4）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求该纸片所扫过图形的面积.
28．（2018·镇平模拟）如图，已知AB为⊙O的直径，BD和CD为⊙O的切线，切点分别为B和C．
（1）求证：AC∥OD；
（2）当BC=BD，且BD=6cm时，求图中阴影部分的面积（结果不取近似值）．
29．（2018九上·乌鲁木齐期末）如图，点 在⊙ 的直径 的延长线上，点 在⊙ 上， ， ．
（1）求证： 是⊙ 的切线；
（2）若⊙ 的半径为 ，求图中阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】扇形的面积为：
故答案为：B
【分析】假设出扇形半径，再表示出半圆面积，以及扇形面积，进而即可表示出两部分P、Q面积相等，连接AB、OD，根据两半圆的直径相等可知，故可得出绿色部分的面积，利用阴影部分的面积=扇形面积-半圆-绿色面积即可。
2．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】设扇形的圆心角为x°，根据题意可得：
，
解得 ，即扇形的圆心角为40°.
故答案为：B.
【分析】利用扇形的面积公式列出方程求解即可。
3．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设这条弧的半径为rcm，
由题意得 ，
解得r=40，
∴这条弧的半径为40cm．
故答案为：B
【分析】设这条弧的半径为rcm，由题意列出方程，解得即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵AC与BC是圆的切线，
∴OA⊥AC，OB⊥CB，
∴∠OAC=∠OBC=90°，
∴∠C+∠AOB=360°-∠OAC-∠OBC=360°-90°-90°=180°，
∵∠C=60°，
∴∠AOB=180°-60°=120°，
∵OB=24cm，
∴ = cm．
故答案为：B．
【分析】先求出∠OAC=∠OBC=90°，再求出∠AOB=120°，最后利用弧长公式计算求解即可。
5．【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据图所示知， ，
弧 的长 ，
故答案为：A ．
【分析】根据图示知，所以根据弧长公式求得 的长。
6．【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接 ，
，即 是 斜边 上的中线，
，
，
在 中， ， ，
，
，
则分以下两种情况：
①如图，当 时， 是等腰三角形，
，
点 与点 重合，
点 共线，
由圆周角定理得： ，
则弧 的长为 ；
②如图，当 时， 是等腰三角形，
，
由圆周角定理得： ，
则弧 的长为 ；
综上，弧 的长为 或 ，
故答案为：C．
【分析】先求出，再求出 ，最后分类讨论，结合图形，利用弧长公式计算求解即可。
7．【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：连接 OC ，如图：
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为 ；
故答案为：A．
【分析】连接 ，如图，由平行线的性质得出，由圆周角定理得出，再由弧长公式即可得出答案。
8．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∴扇形AOB的面积= ，
故答案为：B．
【分析】利用扇形的面积公式求解即可。
9．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形的半径为R，则由弧长公式得：
20π= ，
解得：R=24，
则扇形的面积是 ×20π×24=240π，
故答案为：C．
【分析】先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出即可．
10．【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：如图所示，连接OB，交AC于D
∵四边形OABC是平行四边形，OA=OC
∴四边形OABC是菱形
∴AC垂直平分OB，设圆的半径为r
∴OC=r，OD=
又∵
∴
Rt△ODC中
即 ，解得 (等于-2的那个值舍去)
∴圆的半径为2
∴
∴
∴
∴
故答案为：C．
【分析】先求出，再求出，最后利用锐角三角函数和弧长公式进行计算求解即可。
11．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意可得，该扇形的弧长为： ．
故答案为： ．
【分析】利用弧长公式代入计算即可。
12．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：连接AD，作线段AB、AD的垂直平分线，交点即为 的圆心O，
从图中可得： 的半径为OB=5，
连接OC，
∵∠BAC=22.5°，
∴∠BOC=2 22.5°=45°，
的长为 .
故答案为：
【分析】连接AD，作线段AB、AD的垂直平分线，交点即为的圆心O，根据已知条件结合圆周角定理可得∠BOC的度数，然后根据弧长公式计算即可.
13．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵某扇形的圆心角为 ，面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后利用弧长公式计算求解即可。
14．【答案】30
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵扇面的面积=，
∴，
∴，
∴AB=30（cm），
∴ 竹条AB的长30cm.
【分析】根据扇面的面积=S扇形ABC-S扇形ADE，得出，求出AB的长，即可得出答案.
15．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，
是边长为6的等边三角形，
阴影部分图形的周长由3条弧长组成，每条弧长都是半径为2，将三个扇形拼起来，组成一个直径是4的半圆，
阴影部分图形的周长为 ，
故答案为： ．
【分析】分别求出阴影部分弧长与线段长度再相加求解。
16．【答案】18π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OC，OD，
∵∠CAD＝40°，
∴∠COD＝80°，
∵AB∥CD，
∴△ACD的面积＝△COD的面积，
∴阴影部分的面积＝扇形OCD的面积＝ ＝18π．
故答案为：18π．
【分析】先转换，再利用扇形面积计算方法求解即可。
17．【答案】（1）解：S甲＝ ＝
（2）S甲＝2 S乙
（3）S丙＝
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（2）S乙=4 =4 ，
∴S甲＝2 S乙，
故答案为：S甲＝2 S乙（3）S丙＝16 .
【分析】（1）S甲＝两个扇形的面积减去一个正方形的面积；（2）将乙中阴影部分的面积转化为4个拱形的面积进行求解即可；（3）利用（2）的方法，将图中阴影部分转化为若干拱形的面积求解即可.
18．【答案】解： ，
中心虚线的长度为
【知识点】弧长的计算
【解析】【分析】先算出扇形的弧长，再根据图中中心虚线的长度=AB+2l，计算即可得出答案。
19．【答案】解：由图可得，5个扇形的圆心角之和为：（5﹣2）×180°=540°，
则五个阴影部分的面积之和= =6π．
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】根据五边形的内角和公式，可得出圆心角之和等于五边形的内角和（5﹣2）×180°=540°，由于半径相同，根据扇形的面积公式计算即可
20．【答案】解：如图，作直径MN，使MN⊥EF于O，交AB于G，交CD于H；连接OA、OB、OC、OD；
在Rt△OBG中，BG=3cm，OB=5cm，因此OG=4cm；
同理：在Rt△OCH中，CH=4cm，OC=5cm，因此OH=3cm；
sin∠DOF==，
sin∠BOF==，
sin∠COE==，
sin∠AOE==，
即∠DOF=∠AOM=∠COE=∠BOM，∠CON=∠DON=∠AOE=∠BOF，
因此S扇形OAE=S扇形OBF=S扇形CON=S扇形ODN
∴S阴影=S△ABE+S弓形AMB+S△CDF+S弓形CND
=S△OAB+S弓形AMB+S△OCD+S弓形CND
=S扇形OAB+S扇形OCN+S扇形ODN
=S扇形OAB+S扇形OAE+S扇形OBF
=S⊙O
=12.5πcm2．
故图中阴影部分面积之和为12.5πcm2．
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】本题易得出△ABO与△ABE的面积相等，△OCD与△CDF的面积相等（这两组三角形都是同底等高），因此阴影部分的面积为扇形OAB的面积和扇形OCD的面积和．直接求两个扇形的面积由难度，因此可找出它们之间的关系再进行求解．过O作圆的直径MN，使得MN⊥EF与O，交AB于G；那么在Rt△BOG和Rt△COH中，易证得∠GBO=∠COH（通过两角的正弦值求证）．因此可得出∠BOF=∠CON，即扇形OBF的面积与扇形OCN的面积相等，也就得出了扇形OBF与扇形OAE的面积和正好等于扇形OCD的面积；因此阴影部分的面积和正好是半个圆的面积，由此可得出所求的解．
21．【答案】证明：如图，∵AB∥CE，
∴∠ACE=∠BAC．
又∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠C=∠CAD，
∴=，
∴+=+，
∴=，
∴AD=CE．
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】欲证明AD=CE，只需证明=即可．如图，根据平行线的性质和角平分线的定义易证得∠C=∠CAD，所以=，则+=+，故=．
22．【答案】解：第一次是以B为旋转中心，BA长5cm为半径旋转90°，
此次点A走过的路径是．
第二次是以C为旋转中心，3cm为半径旋转60°
此次走过的路径是，
∴点A两次共走过的路径是．
【知识点】弧长的计算
【解析】【分析】将点A翻滚到A2位置分成两部分：第一部分是以B为旋转中心，BA长5cm为半径旋转90°，第二部分是以C为旋转中心，3cm为半径旋转60°，根据弧长的公式计算即可．
23．【答案】（1）解：优弧 的长为 cm，
优弧 的长为 cm，
至少需要花边的长度为 ；
（2）解：灯罩的侧面积为:
.
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【分析】(1)直接根据弧长公式,求出 优弧 , 优弧 的长即可.
(2)直接根据扇形面积公式计算即可.
24．【答案】（1）证明：如图，连结OD，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
即∠ODB=90°
又∵∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA=∠CAD
在⊙O中，OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD
∴∠OAD=∠CAD，
∴AD平分∠CAB.
（2）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∴∠BOD=45°
设⊙O的半径为r，则OD=BD=r，OB= r，
∴BE=( -1)r= -1，
∴r=1，
∴S阴影= ..
=
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连结OD，由相切推出OD⊥BC，得到OD∥AC，进而得出∠OAD=∠CAD，得证；（2）在Rt△ABC中，推出∠BOD=45°，设⊙O的半径为r，列出含r的方程，解这个方程，得到r=1，再根据△OBD的面积减扇形OED的面积求出阴影部分的面积.
25．【答案】（1）
（2）①②
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（1）S□ABCD＝1×1＝1，
S扇形ABC＝ ×π×12＝ ，
∴阴影部分的面积＝1﹣2（S□ABCD﹣S扇形ABC）＝ π﹣1；
（ 2 ）图2中的图形可以通过①轴对称变换和②平移变换得到.
故答案为： π﹣1；①②.
【分析】（1）由题意先计算小正方形的面积，然后根据S扇形ABC=计算扇形ABC的面积，由阴影部分面积的构成得S阴影=S小正方形-2（S小正方形-S扇形ABC）可求解；
（2）结合两个图像的形状以及轴对称变换和平移变换、旋转变换的性质可求解。
26．【答案】（1）解：如图，连接OC、OD.
∵C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，
又∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD＝8，
∴ 的长＝ ＝ cm
（2）解：∵∠OCD＝∠AOC＝60°
∴CD∥AB，
∴S△ACD＝S△OCD，
∴S阴影＝S扇形OCD＝ ＝
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OC、OD，根据C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，可得∠COD＝60°，△OCD是等边三角形，由等边三角形的性质得OC=CD，再根据弧长公式l=可求解；
（2）由题意易得CD∥AB，于是根据同底等高的两个三角形的面积相等可得 S△ACD＝S△OCD，则S阴影＝S扇形OCD ，根据扇形面积=可求解。
27．【答案】（1）2
（2）相切
（3）
（4）解：点N所经过路径长为 =2π， S半圆= =2π，S扇形= =4π， 故半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π=6π．
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解:（1）∵⊙P的直径=4，
∴⊙P的半径=2；
（ 2 ）∵⊙P与直线有一个交点，
∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2，位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；
（ 3 ）位置Ⅰ中
的长与数轴上线段ON相等，
∵ 的长为
=π，NP=2，
∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2；
【分析】（1）根据圆的半径等于直径的一半可求解；
（2）根据直线和圆的位置关系可知，当⊙P与直线有一个交点时，直线与圆相切；
（3）由题意可知，位置Ⅰ中
的长与数轴上线段ON相等，于是根据弧长公式l=
即可求解；
（4）由题意可知 该纸片所扫过图形的面积 =半圆的面积+扇形的面积。
28．【答案】（1）证明：连接OC．∵BD和CD为⊙O的切线，∴DC=DB，OB⊥BD，OC⊥CD，又OB=OC，∴△OCD≌△OBD，
∴∠COM=∠BOM，从而易得BC⊥OD，
∵AB为直径，∴AC⊥BC，
∴∠ACO+∠OCM=∠COM+∠OCM=90°，
∴∠ACO=∠COM，
∴AC∥OD
（2）解：∵DB，DC为切线，B，C为切点，
∴DB=DC．
又∵DB=BC=6，∴△BCD为等边三角形．
∴∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°，
∠OBM=90°﹣60°=30°，BM=3．
∴OM= ，OB=2 ．
∴S阴影部分=S扇形OBC﹣S△OBC＝
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）由题意可连接OC，根据切线长定理可得∠COM=∠BOM，由等腰三角形的性质得BC⊥OD，所以∠OMB=∠BCA=90°，根据平行线的判定即可求得AC∥OD；
（2）由图知图中阴影部分的面积=扇形COB的面积-三角形COB的面积。
29．【答案】（1）证明：连接OC．
∵AC＝CD，∠ACD＝120°，
∴∠A＝∠D＝30°．
∵OA＝OC，
∴∠2＝∠A＝30°．
∴∠OCD＝∠ACD－∠2＝90°，
即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线
（2）解：∠1＝∠2＋∠A＝60°．
∴S扇形BOC＝ ＝ ．
在Rt△OCD中，∠D＝30°，
∴OD＝2OC＝4，
∴CD＝ ＝ ．
∴SRt△OCD＝ OC×CD＝ ×2× ＝ ．
∴图中阴影部分的面积为： －
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】连接OC．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形的性质即可证明；阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．
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