初中数学浙教版九年级上册第3章 圆的基本性质单元检测
一、单选题
1．（2021九上·肥城期末）如图，四边形 内接于 ， 为 的直径，点 为劣弧 的中点，若 ，则 的度数是（ ）
A．70° B．40° C．140° D．50°
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形 内接于 ，
∴ ，
，
故答案为：C．
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
2．（2019九上·柳江月考）如图，AB是⊙O的直径， ，∠COD=34°，则∠AOE的度数是（ ）
A．51° B．56° C．68° D．78°
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ ， ∠COD=34° ，
∴∠BOC=∠COD=∠DOE=34°，
∴∠AOE=180°-∠BOC-∠COD-∠DOE=180°-34°-34°-34°= 78° .
故答案为：D.
【分析】根据等弧所对的圆心角相等得出∠BOC=∠COD=∠DOE=34°，进而根据角的和差就可算出答案.
3．（2021九上·海曙期末）已知 中， ， ， ，点P为边AB的中点，以点C为圆心，长度r为半径画圆，使得点A，P在⊙C内，点B在⊙C外，则半径r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵点A在⊙C内，
∴r＞3，
∵点B在⊙C外，
∴r＜4，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】点和圆的位置关系是，当d>r时点在圆外，当d=r时点在圆上，当d4．（2020九上·恩平期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E在BC延长线上，若∠DCE＝50°，则∠A等于（ ）
A．40° B．50° C．70° D．80°
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠DCE＝50°，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠DCE＝50°．
故答案为：B．
【分析】根据圆内接四边形对角互补及∠DCE+∠BCD＝180°求解即可。
5．（2021九下·杭州开学考）若扇形面积为36 ，圆心角为120°，则它的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵扇形面积==36π，
解得r=6，
∴扇形周长==4π，
故答案为：C.
【分析】根据扇形的面积公式列式求出半径长，再根据扇形的弧长公式求解即可.
6．（2021八下·历城期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，连接BE，则BE的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB= ，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴AB=AE=5，∠BAE=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=5，
故答案为：A．
【分析】求勾股定理可求AB=5，由旋转的性质可得AB=AE=5，∠BAE=60°，即可求解。
7．（2020·铜仁模拟）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点 是这段弧所在圆的圆心， ，点 是 的中点，点D是AB的中点，且 ，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】连接AC，
∵点 是 的中点，点D是AB的中点，
∴OC经过D点，且 ，
∴ ，
在 中， ，
设半径为 得：
，
解得： ，
∴这段弯路的半径为
故答案为：A.
【分析】连接AC，根据题意可得OC经过D点，且 ，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值.
8．（2021·崂山模拟）如图， 是圆O的直径，C，D是弧 上的两点，连接 ， 相交于点E，若 ，那么 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BC，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BEC=58°，
∴∠1=90°-∠BEC=90°-58°=32°，
∴∠DOC=2∠1=2×32°=64°，
故答案为：B．
【分析】连接BC，利用直径所对的圆周角式直角，可得∠ACB=90°，易得∠1，利用圆周角定理可得结果。
9．（2020·无锡模拟）如图是由4个边长为a的正六边形组成的网格图，每个顶点均为格点，若该图中到点A的距离超过3的格点有且仅有6个，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：通过以点A为圆心，作如下三个半径分别为：a、 、2a的圆，
发现半径为2a的圆上有三个点，圆外由3个点，共6个点，
又∵该图中到点A的距离超过3的格点有且仅有6个，
∴ 解得 ，
故答案为：A.
【分析】通过以点A为圆心作圆，找到图中到点A的距离较远的6个点，并用a表示它们到点A的距离，根据题意“图中到点A的距离超过3的格点有且仅有6个”，这些点到点A的距离大于3，其他的点到点A的距离小于等于3，即可列出关于a的不等式组，解出即可.
10．（2021·海曙模拟）《九章算术》第一章“方田”中讲述了扇形面积的计算方法：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田面积为（ ）
A． 平方步 B． 平方步 C．120平方步 D．240平方步
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】∵弧长30步，其所在圆的直径是16步，
∴这块田面积= × ×16×30=120（平方步），
故答案为：C.
【分析】先求出扇形所在的圆的半径，再根据扇形的面积公式进行计算.
二、填空题
11．（2021·丰台模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径是2，∠BAC＝60°，则 的长是 ．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】如图，连接OC、OB，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
∵半径为2，
∴ 长度为 = ，
故填： ．
【分析】连接OC、OB，由∠BAC=60°，半径为2，得出∠BOC=120°，即可得出 的长。
12．（2021九上·紫阳期末）如图，正六边形ABCDEF内接于 ，若 ，则 的半径为 .
【答案】3cm
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵正六边形ABCDEF内接于 ，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AO=AB=3cm.
故答案为：3cm.
【分析】连接OA，OB，根据题意可推出△AOB为等边三角形，然后利用等边三角形的性质解答即可.
13．（2020九上·北京月考）如图，四边形 内接于⊙ ， 为 的延长线上一点.若 °，则 的大小为 .
【答案】110°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD内接于圆O，∠B=110°，
∴∠ADC=180° ∠B=70°，
∴∠ADE=180° ∠ADC=110°.
故答案为110°.
【分析】首先根据圆内接四边形的对角互补得到∠ADC的度数，进而根据邻补角的性质求解.
14．（2021·石景山模拟）如图，在 中，半径 于点H，若 ，则 ．
【答案】25
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵半径 于点H，若 ，
∴∠AOC=90°-∠OAB=90°-40°=50°，
∴ ，
故答案为：25．
【分析】先利用垂直可得∠AOC和∠OAB互余，再利用圆周角定理可得结论．
15．（2019九上·温州月考）已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为 度。
【答案】60
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ∵弦AB把圆周分成1：5的两部分，
AB所对的圆心角度数为：
故答案为：60.
【分析】由于弦AB把圆周分成1：5的两部分， 根据圆心角、弧、弦的关系得到弦AB所对的圆心角为圆周的.
16．（2019九上·交城期末）如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN= ，那么BC= ．
【答案】2
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，OM过O，ON过O，
∴AN=CN，AM=BM，
∴BC=2MN，
∵MN= ，
∴BC=2 ，
故答案为：2 .
【分析】先求出AN=CN，AM=BM，再求出BC=2MN，最后求解即可。
三、解答题
17．（2019九上·龙湖期末）如图，△ABC中，∠BAC=120o，以BC为边向外作等边△BCD，把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60o后到△ECD的位置。若AB=6，AC=4，求∠BAD的度数和AD的长.
【答案】解：由旋转可知：△ABD≌△ECD
∴AB=EC=6，∠BAD=∠E，AD=ED
∵∠ADE=60°
∴△ADE是等边三角形
∴AE=AD
∠E=∠DAE=60°
∴∠BAD=60°
∵∠BAC=120°
∴∠DAC=60°=∠DAE
∴C在AE上
∴AD=AC+CE=4+6=10
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】由旋转的性质可
AD=ED，∠ADE=60°，△ADE是等边三角形，继而可得到AE=AD，
∠E=∠DAE=60°，可求出∠BAD=60°，AD长即为AC+CE=AC+AB。
18．如图，AB为⊙O的直径，从圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于P，求证： .
【答案】解：连结OP，∵OC＝OP，∴∠OCP＝∠P，又∠DCP＝∠OCP，∴∠DCP＝∠P，
∴CD∥OP，∵CD⊥AB，∴OP⊥AB，∴AP＝BP
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】连结OP，要证AP=BP，只需证点P是半圆AB的中点即可。由题意易证∠DCP＝∠P，根据内错角相等，两直线平行可得CD∥OP，而CD⊥AB，所以可得OP⊥AB，根据垂径定理可得AP=BP。
19．如图，在⊙O中，D、E分别是半径OA、OB的中点，C是⊙O上一点，CD=CE．
（1）求证：=；
（2）若∠AOB=120°，CD=2，求半径OA的长．
【答案】解：（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵D、E分别是半径OA、OB的中点，OA=OB，
∴OD=OE，
在△OCD和△OCE中，
，
∴△OCD≌△OCE（SSS），
∴∠COD=∠COE，
∴=；
（2）连接AC，如图2所示：
∵∠AOB=120°，
∴∠COD=∠COE=60°，
∵OC=OA，
∴△AOC是等边三角形，
∵D是OA的中点，
∴CD⊥OA，
∴OC===4，
∴OA=4．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）连接OC，由SSS证明△OCD≌△OCE，得出对应角相等∠COD=∠COE，由圆心角，弧，弦的关系即可得出结论；
（2）连接AC，证明△AOC是等边三角形，得出CD⊥OA，由三角函数求出OC，即可得出OA
20．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=120°，点E在上．
（1）求∠E的度数；
（2）连接OD、OE，当∠DOE=90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值
【答案】解：（1）连接BD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ABD=180°，
∴∠AED=120°；
（2）连接OA，
∵∠ABD=60°，
∴∠AOD=2∠ABD=120°，
∵∠DOE=90°，
∴∠AOE=∠AOD﹣∠DOE=30°，
∴n==12．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）首先连接BD，由在⊙O的内接四边形ABCD中，∠C=120°，根据圆的内接四边形的性质，∠BAD的度数，又由AB=AD，可证得△ABD是等边三角形，则可求得∠ABD=60°，再利用圆的内接四边形的性质，即可求得∠E的度数；
（2）首先连接OA，由∠ABD=60°，利用圆周角定理，即可求得∠AOD的度数，继而求得∠AOE的度数，继而求得答案．
21．将正六边形纸片按下列要求分割（每次分割纸片不得剩余）
第一次：将正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形．（后面就依次用剩下的正六边形按上述方法分割…）
（1）请画出第一次分割示意图；
（2）若原正六边形的面积为a，请你将第一次，第二次，第三次分割后所得的正六边形的面积填入下表：
（3）猜想：分割后所得的正六边形的面积S与分割次数n有何关系？（S用含a和n的代数式表示）
【答案】解：
；
（2）S1=a S2=a S3=a；
（3）Sn=（）n a．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）连接正六边形的中心和以及不相邻的三个顶点即可分成三个菱形，然后作出对角线即可分成两个全等的等腰三角形，进而分出正三角形；
（2）根据正六边形被平分成正三角形，然后计算小正三角形的个数即可求解；
（3）根据（2）的结果即可得到结论．
22．如图，风车的支杆OE垂直于桌面，风车中心O到桌面的距离OE为25cm，小小风车在风吹动下绕着中心O不停地转动，转动过程中，叶片端点A、B、C、D在同一圆O上，已知⊙O的半径为10cm．
（1）风车在转动过程中，当∠AOE=45°时，求点A到桌面的距离（结果保留根号）．
（2）在风车转动一周的过程中，求点A相对于桌面的高度不超过20cm所经过的路径长（结果保留π）．
【答案】解：（1）如图（1），点A运动到点A1的位置时∠AOE=45°．
作A1F⊥MN于点F，A1G⊥OE于点G，
∴A1F=GE．
在Rt△A1OG中，
∵∠A1OG=45°，OA1=10，
∴OG=OA1 cos45°=10×=5．
∵OE=25，
∴GE=OE﹣OG=25﹣5．
∴A1F=GE=25﹣5．
答：点A到桌面的距离是（25﹣5）厘米．
（2）如图（2），点A在旋转过程中运动到点A2、A3的位置时，点A到桌面的距离等于20厘米．
作A2H⊥MN于H，则A2H=20．作A2D⊥OE于点D，
∴DE=A2H．
∵OE=25，
∴OD=OE﹣DE=25﹣20=5．
在Rt△A2OD中，
∵OA2=10，
∴cos∠A2OD===．
∴∠A2OD=60°．
由圆的轴对称性可知，∠A3OA2=2∠A2OD=120°．
∴点A所经过的路径长为=．
答：点A所经过的路径长为厘米．
【知识点】弧长的计算
【解析】【分析】（1）作A1F⊥MN于点F，A1G⊥OE于点G，在Rt△A1OG中，利用三角函数可求得OG，从而得出点A到桌面的距离A1F；
（2）作A2H⊥MN于H，则A2H=20．作A2D⊥OE于点D，则DE=A2H．在Rt△A2OD中，由特殊角的三角函数得∠A2OD=60°，由圆的轴对称性可知，∠A3OA2=2∠A2OD=120°．从而得出点A所经过的路径长．
四、综合题
23．（2021·孝义模拟）阅读下列材料，并完成相应的学习任务：
我们知道三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．由于三角形的三条高（或高所在的直线）相交于一点，因此我们把三角形三条高的交点叫做三角形的垂心．下面我们以锐角三角形为例，证明三角形的三条高相交于一点．
如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的高，且AD与BE相交于点P．连接CP并延长，交AB于点F．
求证：CF⊥AB．
证明：分别过点A，B，C作它们所对边的平行线，三条平行线两两相交于点M，N，Q．分别连接PM，PN，PQ．
∵MNBC，MQAB，NQAC，
∴四边形MABC，四边形ANBC，四边形ABQC都是平行四边形．
∴BC=AM=AN，AC=BN=BQ，AB=MC=CQ．
∵AD⊥BC，
∴∠MAD=∠ADB=90°，即AD⊥MN．
∴PM=PN．
…
学习任务：
（1）请将上面剩余的证明过程补充完整；
（2）点P是△MNQ的 ．（填出字母代号即可）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
（3）若∠CAB=40°，则∠MPN= °．
【答案】（1）∵BE⊥AC，
∴∠EBQ=∠BEA=90°，即EB⊥NQ．
∴PN=PQ．
∴PM=PQ．
∴PC⊥MQ，
∴∠CFB=∠FCM=90°．
∴CF⊥AB．
（2）B
（3）80°
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】（2）∵PM=PQ=PN，
∴点P是△MNQ的外心，
故答案为：B．
（3）∵四边形ABQC都是平行四边形，
∴∠BQC=∠CAB=40°，
∵点P是△MNQ的外心，
∴∠MPN=2∠BQC=2×40°=80°，
故答案是：80°．
【分析】（1）先求出 EB⊥NQ ，再求出 PC⊥MQ， 最后证明求解即可；
（2）根据PM=PQ=PN求解即可；
（3）先求出∠BQC=∠CAB=40°，再根据点P是△MNQ的外心，求解即可。
24．（2021·裕华模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2 ，∠BAC＝120°，点D在AB上，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径的弧交AC于点E， 与BC交于点F，G，P是 上一点．将AP绕点A逆时针旋转120°，得到AQ，连接CQ，AF．
（1）若BP与 所在圆相切，判断CQ与 所在圆的位置关系．并加以证明；
（2）求BF的长及扇形EAF的面积；
（3）若∠PAB＝m°，当∠ACQ＝30°，直接写出m的值．
【答案】（1）解：CQ与 所在圆相切；
证明如下：∵BP与 所在圆相切，AP为半径；
∴∠APB=90°，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAP+∠PAC=120°，
∵AP绕点A逆时针旋转120°，
∴∠PAQ=120°，AP=AQ,
∴∠QAC+∠PAC=120°，
∴∠BAP=∠QAC，
∵AB＝AC
∴△ABP≌△ACQ，
∴∠AQC=∠APB=90°，
CQ与 所在圆相切；
（2）解：
∵∠BAC=120°，AB＝AC＝2 ，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
在Rt△ABH中，AH= ，
∴BH= ，
在Rt△AFH中，AF=2，
∴FH= ，
∴BF=BH-FH=3-1=2，
∴sin∠FAH= ,
∴∠FAH=30°，
∵∠AHC=90°，∠ACB=30°，
∴∠HAC=60°，
∴∠FAE=90°，
∴扇形EAF的面积= ；
（3）m=30
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：（3）∵△ABP≌△ACQ，
∴∠ABP=∠ACQ
∵∠ACQ＝30°，
∴∠ABP＝30°，
∵∠ABC＝30°，
∴点P与点F重合，
∵BF=AF=2，
∴∠PAB＝∠ABP =m°=30°，
∴m=30 ．
【分析】（1）先判断 △ABP≌△ACQ， 得到 ∠AQC=∠APB=90°， 即可得出结论；
（2）点F在点G的左边时，构造出直角三角形求出BF，最后用扇形的面积公式计算即可得出结论；点F在点G的右边是，用同样的方法求解即可；
（3）先判断出点P在BC上，即与点F或G重合，即可得出结论。
1 / 1初中数学浙教版九年级上册第3章 圆的基本性质单元检测
一、单选题
1．（2021九上·肥城期末）如图，四边形 内接于 ， 为 的直径，点 为劣弧 的中点，若 ，则 的度数是（ ）
A．70° B．40° C．140° D．50°
2．（2019九上·柳江月考）如图，AB是⊙O的直径， ，∠COD=34°，则∠AOE的度数是（ ）
A．51° B．56° C．68° D．78°
3．（2021九上·海曙期末）已知 中， ， ， ，点P为边AB的中点，以点C为圆心，长度r为半径画圆，使得点A，P在⊙C内，点B在⊙C外，则半径r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020九上·恩平期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E在BC延长线上，若∠DCE＝50°，则∠A等于（ ）
A．40° B．50° C．70° D．80°
5．（2021九下·杭州开学考）若扇形面积为36 ，圆心角为120°，则它的弧长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021八下·历城期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，连接BE，则BE的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．（2020·铜仁模拟）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点 是这段弧所在圆的圆心， ，点 是 的中点，点D是AB的中点，且 ，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·崂山模拟）如图， 是圆O的直径，C，D是弧 上的两点，连接 ， 相交于点E，若 ，那么 的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·无锡模拟）如图是由4个边长为a的正六边形组成的网格图，每个顶点均为格点，若该图中到点A的距离超过3的格点有且仅有6个，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·海曙模拟）《九章算术》第一章“方田”中讲述了扇形面积的计算方法：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田面积为（ ）
A． 平方步 B． 平方步 C．120平方步 D．240平方步
二、填空题
11．（2021·丰台模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径是2，∠BAC＝60°，则 的长是 ．
12．（2021九上·紫阳期末）如图，正六边形ABCDEF内接于 ，若 ，则 的半径为 .
13．（2020九上·北京月考）如图，四边形 内接于⊙ ， 为 的延长线上一点.若 °，则 的大小为 .
14．（2021·石景山模拟）如图，在 中，半径 于点H，若 ，则 ．
15．（2019九上·温州月考）已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为 度。
16．（2019九上·交城期末）如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN= ，那么BC= ．
三、解答题
17．（2019九上·龙湖期末）如图，△ABC中，∠BAC=120o，以BC为边向外作等边△BCD，把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60o后到△ECD的位置。若AB=6，AC=4，求∠BAD的度数和AD的长.
18．如图，AB为⊙O的直径，从圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于P，求证： .
19．如图，在⊙O中，D、E分别是半径OA、OB的中点，C是⊙O上一点，CD=CE．
（1）求证：=；
（2）若∠AOB=120°，CD=2，求半径OA的长．
20．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=120°，点E在上．
（1）求∠E的度数；
（2）连接OD、OE，当∠DOE=90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值
21．将正六边形纸片按下列要求分割（每次分割纸片不得剩余）
第一次：将正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形．（后面就依次用剩下的正六边形按上述方法分割…）
（1）请画出第一次分割示意图；
（2）若原正六边形的面积为a，请你将第一次，第二次，第三次分割后所得的正六边形的面积填入下表：
（3）猜想：分割后所得的正六边形的面积S与分割次数n有何关系？（S用含a和n的代数式表示）
22．如图，风车的支杆OE垂直于桌面，风车中心O到桌面的距离OE为25cm，小小风车在风吹动下绕着中心O不停地转动，转动过程中，叶片端点A、B、C、D在同一圆O上，已知⊙O的半径为10cm．
（1）风车在转动过程中，当∠AOE=45°时，求点A到桌面的距离（结果保留根号）．
（2）在风车转动一周的过程中，求点A相对于桌面的高度不超过20cm所经过的路径长（结果保留π）．
四、综合题
23．（2021·孝义模拟）阅读下列材料，并完成相应的学习任务：
我们知道三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．由于三角形的三条高（或高所在的直线）相交于一点，因此我们把三角形三条高的交点叫做三角形的垂心．下面我们以锐角三角形为例，证明三角形的三条高相交于一点．
如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的高，且AD与BE相交于点P．连接CP并延长，交AB于点F．
求证：CF⊥AB．
证明：分别过点A，B，C作它们所对边的平行线，三条平行线两两相交于点M，N，Q．分别连接PM，PN，PQ．
∵MNBC，MQAB，NQAC，
∴四边形MABC，四边形ANBC，四边形ABQC都是平行四边形．
∴BC=AM=AN，AC=BN=BQ，AB=MC=CQ．
∵AD⊥BC，
∴∠MAD=∠ADB=90°，即AD⊥MN．
∴PM=PN．
…
学习任务：
（1）请将上面剩余的证明过程补充完整；
（2）点P是△MNQ的 ．（填出字母代号即可）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
（3）若∠CAB=40°，则∠MPN= °．
24．（2021·裕华模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2 ，∠BAC＝120°，点D在AB上，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径的弧交AC于点E， 与BC交于点F，G，P是 上一点．将AP绕点A逆时针旋转120°，得到AQ，连接CQ，AF．
（1）若BP与 所在圆相切，判断CQ与 所在圆的位置关系．并加以证明；
（2）求BF的长及扇形EAF的面积；
（3）若∠PAB＝m°，当∠ACQ＝30°，直接写出m的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形 内接于 ，
∴ ，
，
故答案为：C．
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
2．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ ， ∠COD=34° ，
∴∠BOC=∠COD=∠DOE=34°，
∴∠AOE=180°-∠BOC-∠COD-∠DOE=180°-34°-34°-34°= 78° .
故答案为：D.
【分析】根据等弧所对的圆心角相等得出∠BOC=∠COD=∠DOE=34°，进而根据角的和差就可算出答案.
3．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵点A在⊙C内，
∴r＞3，
∵点B在⊙C外，
∴r＜4，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】点和圆的位置关系是，当d>r时点在圆外，当d=r时点在圆上，当d4．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠DCE＝50°，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠DCE＝50°．
故答案为：B．
【分析】根据圆内接四边形对角互补及∠DCE+∠BCD＝180°求解即可。
5．【答案】C
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵扇形面积==36π，
解得r=6，
∴扇形周长==4π，
故答案为：C.
【分析】根据扇形的面积公式列式求出半径长，再根据扇形的弧长公式求解即可.
6．【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB= ，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴AB=AE=5，∠BAE=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=5，
故答案为：A．
【分析】求勾股定理可求AB=5，由旋转的性质可得AB=AE=5，∠BAE=60°，即可求解。
7．【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】连接AC，
∵点 是 的中点，点D是AB的中点，
∴OC经过D点，且 ，
∴ ，
在 中， ，
设半径为 得：
，
解得： ，
∴这段弯路的半径为
故答案为：A.
【分析】连接AC，根据题意可得OC经过D点，且 ，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值.
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BC，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BEC=58°，
∴∠1=90°-∠BEC=90°-58°=32°，
∴∠DOC=2∠1=2×32°=64°，
故答案为：B．
【分析】连接BC，利用直径所对的圆周角式直角，可得∠ACB=90°，易得∠1，利用圆周角定理可得结果。
9．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：通过以点A为圆心，作如下三个半径分别为：a、 、2a的圆，
发现半径为2a的圆上有三个点，圆外由3个点，共6个点，
又∵该图中到点A的距离超过3的格点有且仅有6个，
∴ 解得 ，
故答案为：A.
【分析】通过以点A为圆心作圆，找到图中到点A的距离较远的6个点，并用a表示它们到点A的距离，根据题意“图中到点A的距离超过3的格点有且仅有6个”，这些点到点A的距离大于3，其他的点到点A的距离小于等于3，即可列出关于a的不等式组，解出即可.
10．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】∵弧长30步，其所在圆的直径是16步，
∴这块田面积= × ×16×30=120（平方步），
故答案为：C.
【分析】先求出扇形所在的圆的半径，再根据扇形的面积公式进行计算.
11．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】如图，连接OC、OB，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
∵半径为2，
∴ 长度为 = ，
故填： ．
【分析】连接OC、OB，由∠BAC=60°，半径为2，得出∠BOC=120°，即可得出 的长。
12．【答案】3cm
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵正六边形ABCDEF内接于 ，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AO=AB=3cm.
故答案为：3cm.
【分析】连接OA，OB，根据题意可推出△AOB为等边三角形，然后利用等边三角形的性质解答即可.
13．【答案】110°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD内接于圆O，∠B=110°，
∴∠ADC=180° ∠B=70°，
∴∠ADE=180° ∠ADC=110°.
故答案为110°.
【分析】首先根据圆内接四边形的对角互补得到∠ADC的度数，进而根据邻补角的性质求解.
14．【答案】25
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵半径 于点H，若 ，
∴∠AOC=90°-∠OAB=90°-40°=50°，
∴ ，
故答案为：25．
【分析】先利用垂直可得∠AOC和∠OAB互余，再利用圆周角定理可得结论．
15．【答案】60
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ∵弦AB把圆周分成1：5的两部分，
AB所对的圆心角度数为：
故答案为：60.
【分析】由于弦AB把圆周分成1：5的两部分， 根据圆心角、弧、弦的关系得到弦AB所对的圆心角为圆周的.
16．【答案】2
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，OM过O，ON过O，
∴AN=CN，AM=BM，
∴BC=2MN，
∵MN= ，
∴BC=2 ，
故答案为：2 .
【分析】先求出AN=CN，AM=BM，再求出BC=2MN，最后求解即可。
17．【答案】解：由旋转可知：△ABD≌△ECD
∴AB=EC=6，∠BAD=∠E，AD=ED
∵∠ADE=60°
∴△ADE是等边三角形
∴AE=AD
∠E=∠DAE=60°
∴∠BAD=60°
∵∠BAC=120°
∴∠DAC=60°=∠DAE
∴C在AE上
∴AD=AC+CE=4+6=10
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】由旋转的性质可
AD=ED，∠ADE=60°，△ADE是等边三角形，继而可得到AE=AD，
∠E=∠DAE=60°，可求出∠BAD=60°，AD长即为AC+CE=AC+AB。
18．【答案】解：连结OP，∵OC＝OP，∴∠OCP＝∠P，又∠DCP＝∠OCP，∴∠DCP＝∠P，
∴CD∥OP，∵CD⊥AB，∴OP⊥AB，∴AP＝BP
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】连结OP，要证AP=BP，只需证点P是半圆AB的中点即可。由题意易证∠DCP＝∠P，根据内错角相等，两直线平行可得CD∥OP，而CD⊥AB，所以可得OP⊥AB，根据垂径定理可得AP=BP。
19．【答案】解：（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵D、E分别是半径OA、OB的中点，OA=OB，
∴OD=OE，
在△OCD和△OCE中，
，
∴△OCD≌△OCE（SSS），
∴∠COD=∠COE，
∴=；
（2）连接AC，如图2所示：
∵∠AOB=120°，
∴∠COD=∠COE=60°，
∵OC=OA，
∴△AOC是等边三角形，
∵D是OA的中点，
∴CD⊥OA，
∴OC===4，
∴OA=4．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）连接OC，由SSS证明△OCD≌△OCE，得出对应角相等∠COD=∠COE，由圆心角，弧，弦的关系即可得出结论；
（2）连接AC，证明△AOC是等边三角形，得出CD⊥OA，由三角函数求出OC，即可得出OA
20．【答案】解：（1）连接BD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ABD=180°，
∴∠AED=120°；
（2）连接OA，
∵∠ABD=60°，
∴∠AOD=2∠ABD=120°，
∵∠DOE=90°，
∴∠AOE=∠AOD﹣∠DOE=30°，
∴n==12．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）首先连接BD，由在⊙O的内接四边形ABCD中，∠C=120°，根据圆的内接四边形的性质，∠BAD的度数，又由AB=AD，可证得△ABD是等边三角形，则可求得∠ABD=60°，再利用圆的内接四边形的性质，即可求得∠E的度数；
（2）首先连接OA，由∠ABD=60°，利用圆周角定理，即可求得∠AOD的度数，继而求得∠AOE的度数，继而求得答案．
21．【答案】解：
；
（2）S1=a S2=a S3=a；
（3）Sn=（）n a．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）连接正六边形的中心和以及不相邻的三个顶点即可分成三个菱形，然后作出对角线即可分成两个全等的等腰三角形，进而分出正三角形；
（2）根据正六边形被平分成正三角形，然后计算小正三角形的个数即可求解；
（3）根据（2）的结果即可得到结论．
22．【答案】解：（1）如图（1），点A运动到点A1的位置时∠AOE=45°．
作A1F⊥MN于点F，A1G⊥OE于点G，
∴A1F=GE．
在Rt△A1OG中，
∵∠A1OG=45°，OA1=10，
∴OG=OA1 cos45°=10×=5．
∵OE=25，
∴GE=OE﹣OG=25﹣5．
∴A1F=GE=25﹣5．
答：点A到桌面的距离是（25﹣5）厘米．
（2）如图（2），点A在旋转过程中运动到点A2、A3的位置时，点A到桌面的距离等于20厘米．
作A2H⊥MN于H，则A2H=20．作A2D⊥OE于点D，
∴DE=A2H．
∵OE=25，
∴OD=OE﹣DE=25﹣20=5．
在Rt△A2OD中，
∵OA2=10，
∴cos∠A2OD===．
∴∠A2OD=60°．
由圆的轴对称性可知，∠A3OA2=2∠A2OD=120°．
∴点A所经过的路径长为=．
答：点A所经过的路径长为厘米．
【知识点】弧长的计算
【解析】【分析】（1）作A1F⊥MN于点F，A1G⊥OE于点G，在Rt△A1OG中，利用三角函数可求得OG，从而得出点A到桌面的距离A1F；
（2）作A2H⊥MN于H，则A2H=20．作A2D⊥OE于点D，则DE=A2H．在Rt△A2OD中，由特殊角的三角函数得∠A2OD=60°，由圆的轴对称性可知，∠A3OA2=2∠A2OD=120°．从而得出点A所经过的路径长．
23．【答案】（1）∵BE⊥AC，
∴∠EBQ=∠BEA=90°，即EB⊥NQ．
∴PN=PQ．
∴PM=PQ．
∴PC⊥MQ，
∴∠CFB=∠FCM=90°．
∴CF⊥AB．
（2）B
（3）80°
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】（2）∵PM=PQ=PN，
∴点P是△MNQ的外心，
故答案为：B．
（3）∵四边形ABQC都是平行四边形，
∴∠BQC=∠CAB=40°，
∵点P是△MNQ的外心，
∴∠MPN=2∠BQC=2×40°=80°，
故答案是：80°．
【分析】（1）先求出 EB⊥NQ ，再求出 PC⊥MQ， 最后证明求解即可；
（2）根据PM=PQ=PN求解即可；
（3）先求出∠BQC=∠CAB=40°，再根据点P是△MNQ的外心，求解即可。
24．【答案】（1）解：CQ与 所在圆相切；
证明如下：∵BP与 所在圆相切，AP为半径；
∴∠APB=90°，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAP+∠PAC=120°，
∵AP绕点A逆时针旋转120°，
∴∠PAQ=120°，AP=AQ,
∴∠QAC+∠PAC=120°，
∴∠BAP=∠QAC，
∵AB＝AC
∴△ABP≌△ACQ，
∴∠AQC=∠APB=90°，
CQ与 所在圆相切；
（2）解：
∵∠BAC=120°，AB＝AC＝2 ，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
在Rt△ABH中，AH= ，
∴BH= ，
在Rt△AFH中，AF=2，
∴FH= ，
∴BF=BH-FH=3-1=2，
∴sin∠FAH= ,
∴∠FAH=30°，
∵∠AHC=90°，∠ACB=30°，
∴∠HAC=60°，
∴∠FAE=90°，
∴扇形EAF的面积= ；
（3）m=30
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：（3）∵△ABP≌△ACQ，
∴∠ABP=∠ACQ
∵∠ACQ＝30°，
∴∠ABP＝30°，
∵∠ABC＝30°，
∴点P与点F重合，
∵BF=AF=2，
∴∠PAB＝∠ABP =m°=30°，
∴m=30 ．
【分析】（1）先判断 △ABP≌△ACQ， 得到 ∠AQC=∠APB=90°， 即可得出结论；
（2）点F在点G的左边时，构造出直角三角形求出BF，最后用扇形的面积公式计算即可得出结论；点F在点G的右边是，用同样的方法求解即可；
（3）先判断出点P在BC上，即与点F或G重合，即可得出结论。
1 / 1
