初中数学浙教版九年级上册4.3 相似三角形同步练习
一、单选题
1．（2021·西城模拟）若相似三角形的相似比为1：4，则面积比为（ ）
A．1：16 B．16：1 C．1：4 D．1：2
2．（2021九上·泉州期末）若 ，且面积比为 ，则其对应边上的高的比（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·邵阳期末）若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=5：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．5：4 B．4：5 C．2： D． ：2
4．（2021九上·上虞期末）如图，已知 ，则图中角度 和边长 分别为（ ）
A．40°，9 B．40°，6 C．30°9 D．30°，6
5．（2021九上·贵州期末）用一个10倍的放大镜去观察一个三角形，下列说法中正确的是（ ）
①三角形的每个角都扩大10倍；②三角形的每条边都扩大10倍；
③三角形的面积扩大10倍；④三角形的周长扩大10倍.
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
6．（2021九上·沈河期末）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
7．（2021九上·郧县期末）如图△ABC∽△ACD，则下列式子中不成立的是（ ）
A． ＝ B． ＝
C．AC2＝AD AB D． ＝
8．（2021九上·上蔡期末）如图，已知 ∽ ，若 ， ，则AC等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2021·孝义模拟）如图所示是利用图形的位似绘制的一幅“小鱼”图案，其中O为位似中心，且OA=2OD，若图案中鱼身（△ABC）的面积为S，则鱼尾（△DEF）的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020九上·路南期末）若 的每条边长增加各自的 得 ，则 的度数与其对应角 的度数相比（ ）
A．增加了 B．减少了
C．增加了 D．没有改变
二、填空题
11．（2021·永州模拟）已知△ABC的三边分别是5，6，7，则与它相似△ 的最短边为10，则△ 的周长是
12．（2021九上·金台期末）若 ，且 与 的面积之比为 ，则 与 的相似比为 .
13．（2021·和平模拟）已知△ABC～△DEF，AB：DE=3：5，△ABC的面积为9，则△DEF的面积为 ．
14．（2021九上·镇海月考）如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是 .
15．（2020九上·鼓楼月考）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝ ．
16．（2020九上·二连浩特期中）在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE= 时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．
三、解答题
17．如图，已知△ABC∽△AED，AD=5cm，AC=10cm，AE=6cm，∠A=66°，∠ADE=65°，求AB的长及∠C的度数．
18．如图，已知以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，且AD=3，DE=2.5，AE=4，AC=6，∠AED=∠B，求△ABC的周长．
19．两个相似三角形的一对对应边长分别是24cm和12cm．
（1）若它们的周长和是120cm，则这两个三角形的周长分别为多少？
（2）若它们的面积差是420cm2，则这两个三角形的面积分别为多少？
20．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2．对角线AC和BD相交于点O，等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C上，使三角板绕点C旋转．
（1）如图1，当三角板旋转到点E落在BC边上时，线段DE与BF的位置关系 ，数量关系 ；
（2）继续旋转三角板，旋转角为α．请你在图2中画出图形，并判断（1）中结论还成立吗？如果成立请加以证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图3，当三角板的一边CF与梯形对角线AC重合时，EF与CD相交于点P，若OF=，求PE的长．
四、综合题
21．（2020九上·隆回期末）如图，已知 ， ， ， ， ．
（1）求 和 的大小；
（2）求 的长
22．△ABC∽△A`B`C`， ，边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A`B`C`的面积是64 cm2，求：
（1）A`B`边上的中线C`D`的长；
（2）△A`B`C`的周长
（3）△ABC的面积
23．（2017九上·相城期末）如图， ∽ .
（1）求 的大小;
（2）求 的长.
24．（2017·黄岛模拟）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1cm/s；过点P作PD∥AB，交AC于点D，同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接PQ．设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形ADPQ为平行四边形？
（2）设四边形ADPQ的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S四边形ADPQ：S△PQB=13：2？若存在，请说明理由，若存在，求出t的值，并求出此时PQ的距离．
25．（2017·新乡模拟）如图1，过等边三角形ABC边AB上一点D作DE∥BC交边AC于点E，分别取BC，DE的中点M，N，连接MN．
（1）发现：在图1中， = ；
（2）应用：如图2，将△ADE绕点A旋转，请求出 的值；
（3）拓展：如图3，△ABC和△ADE是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，M，N分别是底边BC，DE的中点，若BD⊥CE，请直接写出 的值．
26．（2017·滨海模拟）如图1，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．
（1）如图2，当点N落在BD上时，求t的值；
（2）当正方形PQMN的边经过点O时（包括正方形PQMN的顶点），求此时t的值；
（3）当点P在边AD上运动时，求S与t之间的函数关系式；
（4）写出在点P运动过程中，直线DN恰好平分△BCD面积时t的所有可能值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】两个相似三角形的相似比为1：4，相似三角形面积的比等于相似比的平方是1：16，
故正确的答案为：A
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可。
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为4：9，
∴相似比是2：3，
又∵相似三角形对应高的比等于相似比，
∴对应边上高的比为2：3.
故答案为：C.
【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出相似比，再根据相似三角形的对应边上的高的比等于相似比，可求出结果.
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ 和 的相似比为 ，
∴ 和 的周长比为 .
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得和的相似比为 ，再根据相似三角形的周长比等于相似比即得结论.
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵
∴ ，
即∠α=40°；
，
即
∴
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形对应边成比例的性质列等式求解即可.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：①三角形的每个角不会变化，故错误；
②三角形的每条边都扩大10倍，故正确；
③三角形的面积会扩大100倍，故错误；
④三角形的周长会扩大10倍，故正确.
故答案为：C.
【分析】①由三角形的内角和等于180°可知，用一个10倍的放大镜去观察一个三角形，三角形的每个角不会变化；
②三角形的每条边都扩大10倍；
③根据S△=底×高可知，三角形的面积会扩大100倍；
④三角形的周长会扩大10倍.
6．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，
∴ ，A选项正确；
∴ ，B选项错误；
∴ ，C选项错误；
∴OA：OC＝3：2，D选项错误.
故答案为：A.
【分析】A、由相似三角形的周长的比等于相似比可判断A；
B、由相似三角形的面积的比等于相似比的平方可判断B；
C、由相似三角形的对应边之比相等可判断C；
D、由相似三角形的对应边之比相等可判断D.
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△ACD，
∴ ＝ ， ＝ ， ，
∴AC2＝AD AB，
∴A、B、C成立，不符合题意；
D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解.
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： ，
∽ ，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形对应边的比相等可得 ，将 ， 代入计算即可.
9．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似三角形，OA=2OD，
∴△ABC与△DEF的相似比为2：1，
∵△ABC的面积为S，
∴△DEF的面积为 ，
故答案为：C．
【分析】先求出△ABC与△DEF的相似比为2：1，再根据△ABC的面积为S，求解即可。
10．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC的每条边长增加各自的20%得△A′B′C′，
∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′=∠B．
故答案为：D．
【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．
11．【答案】36
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： △ABC与△ 相似，
经检验： 符合题意；
故答案为：
【分析】利用相似三角形的对应边之比等于周长比，可求出结果.
12．【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，且其面积之比为 ，
∴由面积比等于相似比的平方可知： 与 的相似比为 ，
故答案为： .
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.
13．【答案】25
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC～△DEF，AB：DE=3：5，
∴△ABC的面积：△DEF的面积=9：25，
∵△ABC的面积为9，
∴△DEF的面积25，
故答案为：25．
【分析】利用相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方求解即可。
14．【答案】3≤AP＜4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，
此时0＜AP＜4；
如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，
此时0＜AP≤4；
如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA.
当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，
∴CP=1，AP=3，
∴3≤AP＜4；
综上所述，AP长的取值范围是3≤AP＜4.
故答案为3≤AP＜4.
【分析】过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，可得此时AP的范围；过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，同理可得AP的范围；过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，根据相似三角形对应边成比例可得CP、AP的长，进而得到AP的范围.
15．【答案】4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△ACD，∴ ，
∵AB＝9，AC＝6，∴ ，解得：AD＝4．
故答案为：4．
【分析】根据相似三角形的性质得出，据此即可求出AD的长.
16．【答案】 或
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，
∴当以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则有：①当 时，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴ ；②当 时，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
综上所述：以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时， 或 ；
故答案为 或 ．
【分析】以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则 或 ，分情况进行讨论求解AE的长即可．
17．【答案】解：∵△ABC∽△AED，∠ADE=65°，
∴∠ADE=∠C=65°，
∵ ，
∴ = ，
解得：AB=12cm
答：AB的长为12cm，∠C的度数为65°。
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形对应边成比例以及对应角相等，求解出AB的长以及∠C的度数。
18．【答案】解：∵△ABC∽△AED，
∴ = = ，即 = = ，
∴AB=8，BC=5，
∴AB+BC+AC=8+5+6=19，
即△ABC的周长为19
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】通过相似三角形的对应边成比例，求得边长和周长。
19．【答案】（1）解：设这两个三角形的周长分别是x、y，根据题意得
，
解得x=80，y=40，
答：这两个三角形的周长分别是80，40
（2）解：设这两个三角形的面积分别是S1、S2，根据题意得
，
解得S1=560，S2=140，
答：这两个三角形的面积分别是560，140
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用相似三角形的周长比等于对应边长的比，以及周长和，求出两个三角形的周长。（2）根据面积差以及面积比，求出两个三角形的面积。
20．【答案】解：（1）垂直，相等．
画图如右图（答案不唯一）
（2）（1）中结论仍成立．
证明如下：
过A作AM⊥DC于M，
则四边形ABCM为矩形．
∴AM=BC=2，MC=AB=1．
∵DC=2，
∴DM==1．
∴DC=BC．
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF=90°，CE=CF．
∵∠BCD=∠ECF=90°，
∴∠DCE=∠BCF，
在△DCE和△BCF中，
，
∴△DCE≌△BCF，
∴DE=BF，∠1=∠2，
又∵∠3=∠4，
∴∠5=∠BCD=90°，
∴DE⊥BF，
∴线段DE和BF相等并且互相垂直．
（3）∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴===，
∵AB=1，CD=2，
∴==，
在Rt△ABC中，
AC===，
∴OA=，
同理可求得OB=，
∵OF=，
∴AF=OA+OF==，
∴CE=CF=．
∵BC=CD，∠BCD=90°，
∴∠OBC=45°，
由（2）知△DCE≌△BCF，
∴∠1=∠2，
又∵∠3=∠OBC=45°
∴△CPE∽△COB，
∴=，
∴=，
∴PE=．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）作AM⊥DC，垂足为点M，解直角△ADM可求DM，从而可知CD长，CD=CB，CE=CF，可证△CDE≌△BCF，利用对应边相等，对应角相等，互余关系得出垂直、相等的关系；
（2）画出图形，围绕证明△CDE≌△BCF，寻找条件，仿照（1）的方法进行证明；
（3）用勾股定理求AC、BD，用相似求AO、OC、OB，已知OF=，可求CF、CE，证明△CPE∽△COB，利用相似比求PE．
21．【答案】（1）解： ，
，
，
，
，
， .
（2）解： ,
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ,
∴ .
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）由题意根据相似三角形的性质以及三角形内角和为180°，分别进行分析计算即可；（2）根据相似三角形的性质即对应边的比相等列出比例式，代入相关线段长度进行分析计算即可得出答案.
22．【答案】（1）解：∵△ABC∽△A′B′C′， ，AB边上的中线CD=4cm，
∴ = ，
∴C′D′=4cm×2=8cm，
∴A′B′边上的中线C′D′的长为8cm
（2）解：∵△ABC∽△A′B′C′， ，△ABC的周长为20cm，
∴ ，
∴C△A′B′C′=20cm×2=40cm，
∴△A′B′C′的周长为40cm
（3）解：∵△ABC∽△A′B′C′， ，△A′B′C′的面积是64cm2，
∴ ，
∴S△ABC=64cm2÷4=16cm2，
∴△ABC的面积是16cm2.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形对应边的中线的比等于相似比可得方程求解；
（2）根据相似三角形周长的比等于相似比可得方程求解；
（3）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求解。
23．【答案】（1）解：∵△ABC∽△DAC，∴∠DAC=∠B=36°，∠BAC=∠D=117°，∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=153°
（2）解：∵△ABC∽△DAC，∴ ，
又AC=4，BC=6，∴CD=
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）由相似三角形的性质△ABC∽△DAC，得到对应角相等，求出∠BAD=∠BAC+∠DAC的值；（2）由∵△ABC∽△DAC，得到对应边成比例，求出CD的长.
24．【答案】（1）解：∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
∴AB= =5cm，
∵PD∥AB，
∴当PQ∥AC时，四边形ADPQ是平行四边形，
∴ = ，即 = ，
解得，t= ，
答：当t= 时，四边形ADPQ为平行四边形
（2）解：过点P作PE⊥AB，垂足为E，
∵∠PEB=∠C=90°，
∠B=∠B，
∴△BPE∽△BCA，
∴ = ，即 = ，
解得，PE= t，
∵PD∥AB，
∴∠DPC=∠B，
∠C=∠C，
∴△CPD∽△CBA，
∴ = ，即 = ，
解得，PD= ，
∴y=S四边形ADPQ= ×（PD+AQ）×PE
= ×（ +2t）× t
= t2+ t
（3）解：若存在某一时刻，使S四边形ADPQ：S△PQB=13：2，
则y= S△PQB
∵S△PQB= QB×PE=﹣ t2+ t，
∴ t2+ t= （﹣ t2+ t），
解得，t1=0（舍去），t2=2，
则t为2s时，S四边形ADPQA：S△PQB=13：2，
当t=2时，BP=2，BQ=5﹣4=1，
作QH⊥BC于H，
则QH= ，BH= ，
∴PH= ，
则PQ= = ．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据平行四边形的性质得到PQ∥AC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；（2）过点P作PE⊥AB，证明△BPE∽△BCA，根据相似三角形的性质求出PE、PD，根据梯形的面积公式计算即可；（3）根据题意列出一元二次方程，解方程求出t，根据相似三角形的性质、勾股定理计算即可．
25．【答案】（1）
（2）解：如图2中，连接AM、AN．
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，BM=MC，DN=NE，
∴AM⊥BC，AN⊥DE，
∴ =sin60°， =sin60°，
∴ = ，
∵∠MAB=∠DAN=30°，
∴∠BAD=∠MAN，
∴△BAD∽△MAN，
∴ = =sin60°=
（3）解：如图3中，连接AM、AN，延长AD交CE于H，交AC于O．
∵AB=AC，AD=AE，BM=CM，DN=NE，
∴AM⊥BC，AN⊥DE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠ABC=∠ADE，
∴sin∠ABM=sin∠ADN，
∴ = ，
∵∠BAM= BAC，∠DAN= ∠DAE，
∴∠BAM=∠DAN，
∴∠BAD=∠MAN．
∴△BAD∽△MAN，
∴ = =sin∠ABC，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵BD⊥CE，
∴∠BHC=90°，
∴∠ACE+∠COH=90°，∵∠AOB=∠COH，
∴∠ABD+∠AOB=90°，
∴∠BAO=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴ =sin45°=
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图1中，作DH⊥BC于H，连接AM．
∵AB=AC，BM=CM，
∴AM⊥BC，
∵△ADE时等边三角形，
∴∠ADE=60°=∠B，
∴DE∥BC，
∵AM⊥BC，
∴AM⊥DE，
∴AM平分线段DE，
∵DN=NE，
∴A、N、M共线，
∴∠NMH=∠MND=∠DHM=90°，
∴四边形MNDH时矩形，
∴MN=DH，
∴ = =sin60°= ，
故答案为 ．
【分析】（1）如图1中，作DH⊥BC于H，连接AM．只要证明四边形MNDH时矩形，即可解决问题．（2）如图2中，连接AM、AN．只要证明△BAD∽△MAN，利用相似比为 即可解决问题．（3）如图3中，连接AM、AN，延长AD交CE于H，交AC于O．由△BAD∽△MAN，推出 = =sin∠ABC，只要证明△ABC时等腰直角三角形即可解决问题．
26．【答案】（1）解：当点N落在BD上时，如图1．
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN∥QM，PN=PQ=t．
∴△DPN∽△DQB．
∴ = ，
∵PN=PQ=PA=t，DP=6﹣t，QB=AB=8，
∴ = ，
∴t= ．
∴当t= s时，点N落在BD上
（2）解：①如图2
，
则有QM=QP=t，MB=8﹣t．
∵四边形PQMN是正方形，
∴MN∥DQ．
∵点O是DB的中点，
∴QM=BM．
∴t=8﹣t．
∴t=4．
②如图3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°．
∵AB=8，AD=6，
∴DB=10．
∵点O是DB的中点，
∴DO=5，
∴1×t=AD+DO=6+5．
∴t=11．
∴当t=4s或11s时，正方形PQMN的边经过点O
（3）解：①当0＜t≤ 时，如图4．
S=S正方形PQMN=PQ2=PA2=t2．
②当 ＜t≤6时，如图5，
∵tan∠ADB= = ，
∴ = ．
∴PG=8﹣ t．
∴GN=PN﹣PG=t﹣（8﹣ t）= t﹣8．
∵tan∠NFG=tan∠ADB= ，
∴ = ．
∴NF= GN= （ ﹣8）= t﹣6．
∴S=S正方形PQMN﹣S△GNF
=t2﹣ ×（ t﹣8）×（ t﹣6
=﹣ t2+14t﹣24．
综上所述：当0＜t≤ 时，S=t2．
当 ＜t≤6时，S=﹣﹣ t2+14t﹣24
（4）解：设直线DN与BC交于点E，
∵直线DN平分△BCD面积，
∴BE=CE=3．
①点P在AD上，过点E作EH∥PN交AD于点H，如图7，
则有△DPN∽△DHE．
∴ = ．
∵PN=PA=t，DP=6﹣t，DH=CE=3，EH=AB=8，
∴ = ，
解得；t= ．
②点P在DO上，连接OE，如图8，
则有OE=4，OE∥DC∥AB∥PN．
∴△DPN∽△DOE．
∴ = ，
∵DP=t﹣6，DO=5，OE=4，
∴PN= （t﹣6）．
∵PQ= （16﹣t），PN=PQ，
∴ （t﹣6）= （16﹣t）．
解得：t= ．
综上所述：当直线DN平分△BCD面积时，t的值为 s或 s
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）可证△DPN∽△DQB，从而有 = ，即可求出t的值．（2）只需考虑两个临界位置（①MN经过点O，②点P与点O重合）下t的值，即可解决问题．（3）根据正方形PQMN与△ABD重叠部分图形形状不同分成二类，如图4、图5，然后运用三角形相似、锐角三角函数等知识就可求出S与t之间的函数关系式．（4）由于点P在折线AD﹣DO运动，可分点P在AD上，点P在DO上两种情况进行讨论，然后运用三角形相似等知识就可求出直线DN平分△BCD面积时t的值．
1 / 1初中数学浙教版九年级上册4.3 相似三角形同步练习
一、单选题
1．（2021·西城模拟）若相似三角形的相似比为1：4，则面积比为（ ）
A．1：16 B．16：1 C．1：4 D．1：2
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】两个相似三角形的相似比为1：4，相似三角形面积的比等于相似比的平方是1：16，
故正确的答案为：A
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可。
2．（2021九上·泉州期末）若 ，且面积比为 ，则其对应边上的高的比（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为4：9，
∴相似比是2：3，
又∵相似三角形对应高的比等于相似比，
∴对应边上高的比为2：3.
故答案为：C.
【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出相似比，再根据相似三角形的对应边上的高的比等于相似比，可求出结果.
3．（2021九上·邵阳期末）若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=5：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．5：4 B．4：5 C．2： D． ：2
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ 和 的相似比为 ，
∴ 和 的周长比为 .
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得和的相似比为 ，再根据相似三角形的周长比等于相似比即得结论.
4．（2021九上·上虞期末）如图，已知 ，则图中角度 和边长 分别为（ ）
A．40°，9 B．40°，6 C．30°9 D．30°，6
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵
∴ ，
即∠α=40°；
，
即
∴
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形对应边成比例的性质列等式求解即可.
5．（2021九上·贵州期末）用一个10倍的放大镜去观察一个三角形，下列说法中正确的是（ ）
①三角形的每个角都扩大10倍；②三角形的每条边都扩大10倍；
③三角形的面积扩大10倍；④三角形的周长扩大10倍.
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：①三角形的每个角不会变化，故错误；
②三角形的每条边都扩大10倍，故正确；
③三角形的面积会扩大100倍，故错误；
④三角形的周长会扩大10倍，故正确.
故答案为：C.
【分析】①由三角形的内角和等于180°可知，用一个10倍的放大镜去观察一个三角形，三角形的每个角不会变化；
②三角形的每条边都扩大10倍；
③根据S△=底×高可知，三角形的面积会扩大100倍；
④三角形的周长会扩大10倍.
6．（2021九上·沈河期末）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，
∴ ，A选项正确；
∴ ，B选项错误；
∴ ，C选项错误；
∴OA：OC＝3：2，D选项错误.
故答案为：A.
【分析】A、由相似三角形的周长的比等于相似比可判断A；
B、由相似三角形的面积的比等于相似比的平方可判断B；
C、由相似三角形的对应边之比相等可判断C；
D、由相似三角形的对应边之比相等可判断D.
7．（2021九上·郧县期末）如图△ABC∽△ACD，则下列式子中不成立的是（ ）
A． ＝ B． ＝
C．AC2＝AD AB D． ＝
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△ACD，
∴ ＝ ， ＝ ， ，
∴AC2＝AD AB，
∴A、B、C成立，不符合题意；
D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解.
8．（2021九上·上蔡期末）如图，已知 ∽ ，若 ， ，则AC等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： ，
∽ ，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形对应边的比相等可得 ，将 ， 代入计算即可.
9．（2021·孝义模拟）如图所示是利用图形的位似绘制的一幅“小鱼”图案，其中O为位似中心，且OA=2OD，若图案中鱼身（△ABC）的面积为S，则鱼尾（△DEF）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似三角形，OA=2OD，
∴△ABC与△DEF的相似比为2：1，
∵△ABC的面积为S，
∴△DEF的面积为 ，
故答案为：C．
【分析】先求出△ABC与△DEF的相似比为2：1，再根据△ABC的面积为S，求解即可。
10．（2020九上·路南期末）若 的每条边长增加各自的 得 ，则 的度数与其对应角 的度数相比（ ）
A．增加了 B．减少了
C．增加了 D．没有改变
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC的每条边长增加各自的20%得△A′B′C′，
∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′=∠B．
故答案为：D．
【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．
二、填空题
11．（2021·永州模拟）已知△ABC的三边分别是5，6，7，则与它相似△ 的最短边为10，则△ 的周长是
【答案】36
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： △ABC与△ 相似，
经检验： 符合题意；
故答案为：
【分析】利用相似三角形的对应边之比等于周长比，可求出结果.
12．（2021九上·金台期末）若 ，且 与 的面积之比为 ，则 与 的相似比为 .
【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，且其面积之比为 ，
∴由面积比等于相似比的平方可知： 与 的相似比为 ，
故答案为： .
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.
13．（2021·和平模拟）已知△ABC～△DEF，AB：DE=3：5，△ABC的面积为9，则△DEF的面积为 ．
【答案】25
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC～△DEF，AB：DE=3：5，
∴△ABC的面积：△DEF的面积=9：25，
∵△ABC的面积为9，
∴△DEF的面积25，
故答案为：25．
【分析】利用相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方求解即可。
14．（2021九上·镇海月考）如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是 .
【答案】3≤AP＜4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，
此时0＜AP＜4；
如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，
此时0＜AP≤4；
如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA.
当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，
∴CP=1，AP=3，
∴3≤AP＜4；
综上所述，AP长的取值范围是3≤AP＜4.
故答案为3≤AP＜4.
【分析】过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，可得此时AP的范围；过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，同理可得AP的范围；过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，根据相似三角形对应边成比例可得CP、AP的长，进而得到AP的范围.
15．（2020九上·鼓楼月考）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝ ．
【答案】4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△ACD，∴ ，
∵AB＝9，AC＝6，∴ ，解得：AD＝4．
故答案为：4．
【分析】根据相似三角形的性质得出，据此即可求出AD的长.
16．（2020九上·二连浩特期中）在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE= 时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．
【答案】 或
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，
∴当以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则有：①当 时，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴ ；②当 时，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
综上所述：以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时， 或 ；
故答案为 或 ．
【分析】以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则 或 ，分情况进行讨论求解AE的长即可．
三、解答题
17．如图，已知△ABC∽△AED，AD=5cm，AC=10cm，AE=6cm，∠A=66°，∠ADE=65°，求AB的长及∠C的度数．
【答案】解：∵△ABC∽△AED，∠ADE=65°，
∴∠ADE=∠C=65°，
∵ ，
∴ = ，
解得：AB=12cm
答：AB的长为12cm，∠C的度数为65°。
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形对应边成比例以及对应角相等，求解出AB的长以及∠C的度数。
18．如图，已知以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，且AD=3，DE=2.5，AE=4，AC=6，∠AED=∠B，求△ABC的周长．
【答案】解：∵△ABC∽△AED，
∴ = = ，即 = = ，
∴AB=8，BC=5，
∴AB+BC+AC=8+5+6=19，
即△ABC的周长为19
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】通过相似三角形的对应边成比例，求得边长和周长。
19．两个相似三角形的一对对应边长分别是24cm和12cm．
（1）若它们的周长和是120cm，则这两个三角形的周长分别为多少？
（2）若它们的面积差是420cm2，则这两个三角形的面积分别为多少？
【答案】（1）解：设这两个三角形的周长分别是x、y，根据题意得
，
解得x=80，y=40，
答：这两个三角形的周长分别是80，40
（2）解：设这两个三角形的面积分别是S1、S2，根据题意得
，
解得S1=560，S2=140，
答：这两个三角形的面积分别是560，140
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用相似三角形的周长比等于对应边长的比，以及周长和，求出两个三角形的周长。（2）根据面积差以及面积比，求出两个三角形的面积。
20．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2．对角线AC和BD相交于点O，等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C上，使三角板绕点C旋转．
（1）如图1，当三角板旋转到点E落在BC边上时，线段DE与BF的位置关系 ，数量关系 ；
（2）继续旋转三角板，旋转角为α．请你在图2中画出图形，并判断（1）中结论还成立吗？如果成立请加以证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图3，当三角板的一边CF与梯形对角线AC重合时，EF与CD相交于点P，若OF=，求PE的长．
【答案】解：（1）垂直，相等．
画图如右图（答案不唯一）
（2）（1）中结论仍成立．
证明如下：
过A作AM⊥DC于M，
则四边形ABCM为矩形．
∴AM=BC=2，MC=AB=1．
∵DC=2，
∴DM==1．
∴DC=BC．
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF=90°，CE=CF．
∵∠BCD=∠ECF=90°，
∴∠DCE=∠BCF，
在△DCE和△BCF中，
，
∴△DCE≌△BCF，
∴DE=BF，∠1=∠2，
又∵∠3=∠4，
∴∠5=∠BCD=90°，
∴DE⊥BF，
∴线段DE和BF相等并且互相垂直．
（3）∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴===，
∵AB=1，CD=2，
∴==，
在Rt△ABC中，
AC===，
∴OA=，
同理可求得OB=，
∵OF=，
∴AF=OA+OF==，
∴CE=CF=．
∵BC=CD，∠BCD=90°，
∴∠OBC=45°，
由（2）知△DCE≌△BCF，
∴∠1=∠2，
又∵∠3=∠OBC=45°
∴△CPE∽△COB，
∴=，
∴=，
∴PE=．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）作AM⊥DC，垂足为点M，解直角△ADM可求DM，从而可知CD长，CD=CB，CE=CF，可证△CDE≌△BCF，利用对应边相等，对应角相等，互余关系得出垂直、相等的关系；
（2）画出图形，围绕证明△CDE≌△BCF，寻找条件，仿照（1）的方法进行证明；
（3）用勾股定理求AC、BD，用相似求AO、OC、OB，已知OF=，可求CF、CE，证明△CPE∽△COB，利用相似比求PE．
四、综合题
21．（2020九上·隆回期末）如图，已知 ， ， ， ， ．
（1）求 和 的大小；
（2）求 的长
【答案】（1）解： ，
，
，
，
，
， .
（2）解： ,
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ,
∴ .
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）由题意根据相似三角形的性质以及三角形内角和为180°，分别进行分析计算即可；（2）根据相似三角形的性质即对应边的比相等列出比例式，代入相关线段长度进行分析计算即可得出答案.
22．△ABC∽△A`B`C`， ，边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A`B`C`的面积是64 cm2，求：
（1）A`B`边上的中线C`D`的长；
（2）△A`B`C`的周长
（3）△ABC的面积
【答案】（1）解：∵△ABC∽△A′B′C′， ，AB边上的中线CD=4cm，
∴ = ，
∴C′D′=4cm×2=8cm，
∴A′B′边上的中线C′D′的长为8cm
（2）解：∵△ABC∽△A′B′C′， ，△ABC的周长为20cm，
∴ ，
∴C△A′B′C′=20cm×2=40cm，
∴△A′B′C′的周长为40cm
（3）解：∵△ABC∽△A′B′C′， ，△A′B′C′的面积是64cm2，
∴ ，
∴S△ABC=64cm2÷4=16cm2，
∴△ABC的面积是16cm2.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形对应边的中线的比等于相似比可得方程求解；
（2）根据相似三角形周长的比等于相似比可得方程求解；
（3）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求解。
23．（2017九上·相城期末）如图， ∽ .
（1）求 的大小;
（2）求 的长.
【答案】（1）解：∵△ABC∽△DAC，∴∠DAC=∠B=36°，∠BAC=∠D=117°，∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=153°
（2）解：∵△ABC∽△DAC，∴ ，
又AC=4，BC=6，∴CD=
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）由相似三角形的性质△ABC∽△DAC，得到对应角相等，求出∠BAD=∠BAC+∠DAC的值；（2）由∵△ABC∽△DAC，得到对应边成比例，求出CD的长.
24．（2017·黄岛模拟）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1cm/s；过点P作PD∥AB，交AC于点D，同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接PQ．设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形ADPQ为平行四边形？
（2）设四边形ADPQ的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S四边形ADPQ：S△PQB=13：2？若存在，请说明理由，若存在，求出t的值，并求出此时PQ的距离．
【答案】（1）解：∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
∴AB= =5cm，
∵PD∥AB，
∴当PQ∥AC时，四边形ADPQ是平行四边形，
∴ = ，即 = ，
解得，t= ，
答：当t= 时，四边形ADPQ为平行四边形
（2）解：过点P作PE⊥AB，垂足为E，
∵∠PEB=∠C=90°，
∠B=∠B，
∴△BPE∽△BCA，
∴ = ，即 = ，
解得，PE= t，
∵PD∥AB，
∴∠DPC=∠B，
∠C=∠C，
∴△CPD∽△CBA，
∴ = ，即 = ，
解得，PD= ，
∴y=S四边形ADPQ= ×（PD+AQ）×PE
= ×（ +2t）× t
= t2+ t
（3）解：若存在某一时刻，使S四边形ADPQ：S△PQB=13：2，
则y= S△PQB
∵S△PQB= QB×PE=﹣ t2+ t，
∴ t2+ t= （﹣ t2+ t），
解得，t1=0（舍去），t2=2，
则t为2s时，S四边形ADPQA：S△PQB=13：2，
当t=2时，BP=2，BQ=5﹣4=1，
作QH⊥BC于H，
则QH= ，BH= ，
∴PH= ，
则PQ= = ．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据平行四边形的性质得到PQ∥AC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；（2）过点P作PE⊥AB，证明△BPE∽△BCA，根据相似三角形的性质求出PE、PD，根据梯形的面积公式计算即可；（3）根据题意列出一元二次方程，解方程求出t，根据相似三角形的性质、勾股定理计算即可．
25．（2017·新乡模拟）如图1，过等边三角形ABC边AB上一点D作DE∥BC交边AC于点E，分别取BC，DE的中点M，N，连接MN．
（1）发现：在图1中， = ；
（2）应用：如图2，将△ADE绕点A旋转，请求出 的值；
（3）拓展：如图3，△ABC和△ADE是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，M，N分别是底边BC，DE的中点，若BD⊥CE，请直接写出 的值．
【答案】（1）
（2）解：如图2中，连接AM、AN．
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，BM=MC，DN=NE，
∴AM⊥BC，AN⊥DE，
∴ =sin60°， =sin60°，
∴ = ，
∵∠MAB=∠DAN=30°，
∴∠BAD=∠MAN，
∴△BAD∽△MAN，
∴ = =sin60°=
（3）解：如图3中，连接AM、AN，延长AD交CE于H，交AC于O．
∵AB=AC，AD=AE，BM=CM，DN=NE，
∴AM⊥BC，AN⊥DE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠ABC=∠ADE，
∴sin∠ABM=sin∠ADN，
∴ = ，
∵∠BAM= BAC，∠DAN= ∠DAE，
∴∠BAM=∠DAN，
∴∠BAD=∠MAN．
∴△BAD∽△MAN，
∴ = =sin∠ABC，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵BD⊥CE，
∴∠BHC=90°，
∴∠ACE+∠COH=90°，∵∠AOB=∠COH，
∴∠ABD+∠AOB=90°，
∴∠BAO=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴ =sin45°=
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图1中，作DH⊥BC于H，连接AM．
∵AB=AC，BM=CM，
∴AM⊥BC，
∵△ADE时等边三角形，
∴∠ADE=60°=∠B，
∴DE∥BC，
∵AM⊥BC，
∴AM⊥DE，
∴AM平分线段DE，
∵DN=NE，
∴A、N、M共线，
∴∠NMH=∠MND=∠DHM=90°，
∴四边形MNDH时矩形，
∴MN=DH，
∴ = =sin60°= ，
故答案为 ．
【分析】（1）如图1中，作DH⊥BC于H，连接AM．只要证明四边形MNDH时矩形，即可解决问题．（2）如图2中，连接AM、AN．只要证明△BAD∽△MAN，利用相似比为 即可解决问题．（3）如图3中，连接AM、AN，延长AD交CE于H，交AC于O．由△BAD∽△MAN，推出 = =sin∠ABC，只要证明△ABC时等腰直角三角形即可解决问题．
26．（2017·滨海模拟）如图1，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．
（1）如图2，当点N落在BD上时，求t的值；
（2）当正方形PQMN的边经过点O时（包括正方形PQMN的顶点），求此时t的值；
（3）当点P在边AD上运动时，求S与t之间的函数关系式；
（4）写出在点P运动过程中，直线DN恰好平分△BCD面积时t的所有可能值．
【答案】（1）解：当点N落在BD上时，如图1．
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN∥QM，PN=PQ=t．
∴△DPN∽△DQB．
∴ = ，
∵PN=PQ=PA=t，DP=6﹣t，QB=AB=8，
∴ = ，
∴t= ．
∴当t= s时，点N落在BD上
（2）解：①如图2
，
则有QM=QP=t，MB=8﹣t．
∵四边形PQMN是正方形，
∴MN∥DQ．
∵点O是DB的中点，
∴QM=BM．
∴t=8﹣t．
∴t=4．
②如图3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°．
∵AB=8，AD=6，
∴DB=10．
∵点O是DB的中点，
∴DO=5，
∴1×t=AD+DO=6+5．
∴t=11．
∴当t=4s或11s时，正方形PQMN的边经过点O
（3）解：①当0＜t≤ 时，如图4．
S=S正方形PQMN=PQ2=PA2=t2．
②当 ＜t≤6时，如图5，
∵tan∠ADB= = ，
∴ = ．
∴PG=8﹣ t．
∴GN=PN﹣PG=t﹣（8﹣ t）= t﹣8．
∵tan∠NFG=tan∠ADB= ，
∴ = ．
∴NF= GN= （ ﹣8）= t﹣6．
∴S=S正方形PQMN﹣S△GNF
=t2﹣ ×（ t﹣8）×（ t﹣6
=﹣ t2+14t﹣24．
综上所述：当0＜t≤ 时，S=t2．
当 ＜t≤6时，S=﹣﹣ t2+14t﹣24
（4）解：设直线DN与BC交于点E，
∵直线DN平分△BCD面积，
∴BE=CE=3．
①点P在AD上，过点E作EH∥PN交AD于点H，如图7，
则有△DPN∽△DHE．
∴ = ．
∵PN=PA=t，DP=6﹣t，DH=CE=3，EH=AB=8，
∴ = ，
解得；t= ．
②点P在DO上，连接OE，如图8，
则有OE=4，OE∥DC∥AB∥PN．
∴△DPN∽△DOE．
∴ = ，
∵DP=t﹣6，DO=5，OE=4，
∴PN= （t﹣6）．
∵PQ= （16﹣t），PN=PQ，
∴ （t﹣6）= （16﹣t）．
解得：t= ．
综上所述：当直线DN平分△BCD面积时，t的值为 s或 s
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）可证△DPN∽△DQB，从而有 = ，即可求出t的值．（2）只需考虑两个临界位置（①MN经过点O，②点P与点O重合）下t的值，即可解决问题．（3）根据正方形PQMN与△ABD重叠部分图形形状不同分成二类，如图4、图5，然后运用三角形相似、锐角三角函数等知识就可求出S与t之间的函数关系式．（4）由于点P在折线AD﹣DO运动，可分点P在AD上，点P在DO上两种情况进行讨论，然后运用三角形相似等知识就可求出直线DN平分△BCD面积时t的值．
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