初中数学浙教版九年级上册4.4 两个三角形相似的判定同步练习
一、单选题
1．（2021九上·江都期末）如图，添加下列一个条件后，仍无法判定 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：
故 选项不符合题意；
故 选项不符合题意；
，
故 选项不符合题意；
，
不能判定 ，故 选项 符合题意.
故答案为： .
【分析】利用相似三角形的判定方法逐一判断各选项，从而可得答案.
2．（2021九上·德保期末）如图，AD，BC相交于点O，由下列条件仍不能判定△AOB与△DOC相似的是（ ）
A．AB∥CD B．∠C＝∠B C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意.
B、由∠AOB＝∠DOC、∠C＝∠B能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意.
C、由 、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意.
D、已知两组对应边的比相等： ，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意.
故答案为：D
【分析】本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断.
3．（2021八下·岱岳期末）如图，四个三角形的顶点都在方格子的格点上，下列两个三角形中相似的是（ ）
A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】三角形①的三边分别为 ；三角形②的三边分别为： ；三角形③的三边分别为 ；三角形④的三边分别为： ．显然三角形①③的三边成比例，即 ，即三角形①③相似．
故答案为：B．
【分析】根据相似的性质计算求解即可。
4．（2021·玉州模拟）如图所示， 、 相交于点O，连接 ， ，添加下列一个条件后，仍不能判定 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由图可得，∠AOC=∠BOD，所以要使△AOC∽△DOB，只需再添加一个对应角相等或夹∠AOC与∠BOD的边对应边成比例即可，
所以题中选项A、B、C均符合题意，
而D选项中AC与AO的夹角并不是∠AOC，所以其不能判定两个三角形相似.
故答案为：D.
【分析】由图可得∠AOC=∠BOD，所以要使△AOC∽△DOB，只需再添加一个对应角相等或其已知等角的邻边成比例，据此逐一分析即可.
5．（2021·萧山模拟）用一把剪刀将一张直角三角形纸片剪成两个三角形，则这两个三角形一定不会是（ ）
A．两个相似三角形 B．两个等腰三角形
C．两个锐角三角形 D．两个周长相等的三角形
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：当该直角三角形是等腰直角三角形时，沿斜边的中线剪成的两个三角形都是等腰直角三角形，且它们既相似，又全等，且两个三角形的周长相等.
观察选项，只有选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定与等腰直角三角形的性质，利用排除法逐一判断即可.
6．（2021九上·金台期末）在 和 中， ，要使 和 相似，只要（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】在 和 中，
，
若要使 和 相似，
则斜边 与 应该是对应边，成比例，
故A、B错误；
由线段成比例性质， 可变形为 ，
斜边 与 是对应边，不成比例，
故C错误；
当 时
，故D正确，
故答案为：D.
【分析】在直角三角形ABC和直角三角形DEF中，∠C=∠F=90°，要使两个三角形相似，根据相似三角形的判定“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”只需夹这两个角的对应边的比相等即可，逐一分析各选项即可判断求解.
7．（2021九上·贵阳期末）如图， 在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与 相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】 的三边长分别为： ，三边的比为 ，
A中三角形的三边长分别为 ，三边的比为 不相似；
B中三角形的三边长分别为 ，三边的比为 不相似；
C中三角形的三边长分别为 ，三边的比为 相似；
D中三角形的三边长分别为 ，三边的比为 不相似；
故答案为：C.
【分析】分别利用勾股定理求出△ABC和个选项中的三角形的三边长，再求出三边之比，然后根据三边对应成比例的两三角形相似，可得到与△ABC相似的三角形的选项.
8．（2020九上·海淀期末）如图，点 在 的边 上，要判定 与 相似，需添加一个条件，则以下所添加的条件错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，故A符合题意；
∵ ， ，
∴ ，故B符合题意；
∵ ， ，
∴ ，故C符合题意；
D选项的条件不可以证明，它不满足相似三角形的判定条件．
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判定即可。
9．（2021九上·上城期末）下列关于相似三角形的说法，正确的是（ ）
A．等腰三角形都相似
B．直角三角形都相似
C．两边对应成比例，且其中一组对应角相等的两个三角形相似
D．一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A、两个等腰直角三角形相似一定成立，本选项错误；
B、所有的等腰直角三角形都相似，本选项错误；
C、两边对应成比例且其夹角相等的两个三角形相似，本选项错误；
D、一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似，本选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的判定定理，结合等腰三角形的性质、直角三角形的性质等分别判断即可.
10．（2020九上·滦南期末）如图所示的4个三角形中，相似三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：观察图象可知，图中有3个直角三角形，一个锐角三角形，其中左边的两个直角三角形的直角边的比都是1：2，所以这两个直角三角形相似．
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的判定方法判断即可．
二、填空题
11．（2021·苏州模拟）如图，在 中， ，则图中相似三角形共有 对.
【答案】6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，
∴△AEF，△AGH，△AIJ，△ABC中的任意两个三角形都相似.
∴相似三角形共有6对.
故答案为：6.
【分析】 根据平行于三角形的一边的直线与其它两边相交，截得的三角形与原三角形相似 ，即可求解.
12．（2020九上·铁力期末）如图所示，在△ABC中D为AC边上一点，请你添加一个条件，使△ABC和△BCD相似，你所添加的条件是 ．
【答案】 或 或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：添加∠CBD=∠A．
∵∠C=∠C，∠CBD=∠A，
∴△CBD∽△CAB．
添加
∵∠C=∠C， ，
∴△CBD∽△CAB．
添加
∵
∴
又∠C=∠C
∴△CBD∽△CAB
故答案为： 或 或 ．
【分析】已知有一个公共角∠C=∠C，可以再添加一组角相等或∠C的量邻边对应成比例，据此解答即可(答案不唯一）.
13．（2021九上·上城期末）如图，在等腰 中， 平分 ，点E在 的延长线上， 交 于点F，则图中与 相似的三角形为 ； 的长为 .
【答案】；
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：
∵
∴
，
，
，
，
如图，作 交 于点G，
，
，
，
，
解得 ，
，
，解得 .
故答案为： .
【分析】 （1）根据等腰三角形的两底角相等，结合三角形外角的性质推出，于是证明△AFE∽△AEC，可得结论；
（2）作EG⊥CD交CD于点G，利用平行线分线段成比例定理求出AE，再利用相似三角形的性质即可求出结果．
14．（2020九上·齐河期末）一个直角三角形的两条边分别为4和8，另一个直角三角形的两条边分别为3和6，那么这两个直角三角形 （选填“一定”“不一定”或“一定不”）相似．
【答案】不一定
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：这两个直角三角形不一定相似．
理由如下：
如图，当一个直角三角形的两条直角边长分别为4和8时，另一个直角三角形的两条直角边分别为3和6，
由于 而夹角为直角，所以这两个直角三角形相似；
如图，当一个直角三角形的斜边长为8，直角边长为4时，另一个直角三角形的两条直角边分别为3和6，
根据勾股定理得另一直角边长 则 所以这两个直角三角形不相似．
综上：这两个直角三角形不一定相似；
故答案为：不一定．
【分析】利用勾股定理和相似三角形的判定进行判断求解即可。
15．（2019九上·拱墅月考）如图，在正方形网格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点.如果 ，那么当 时，以点A、D、E为顶点的三角形与 相似.
【答案】 或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】根据题意得：AD=1，AB=3，AC= ，
∵∠A=∠A，
∴若△ADE∽△ABC时， ，
即： ，
解得：AE= ，
若△ADE∽△ACB时， ，
即： ，
解得：AE= ，
∴当AE= 或 时，以点A，D， E为顶点的三角形与△ABC相似，
故答案为： 或 .
【分析】首先根据图，可得AD=1，AB=3，AC= ，然后分别从若△ADE∽△ABC与若△ADE∽△ACB去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AE的值
16．（2020九上·青山期中）如图，已知△ABC.D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为 时，△ADP和△ABC相似．
【答案】4或9
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】当△ADP∽△ACB时，需有 ，∴ ，解得AP＝9．当△ADP∽△ABC时，需有 ，∴ ，解得AP＝4．∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相似．
【分析】根据相似三角形对应边成比例求AP的长即可。
三、解答题
17．（2021九上·玄武期末）如图，四边形 是平行四边形，E是 延长线上的一点，连接 交 于点F.求证： .
【答案】证明：∵四边形 是平行四边形
∴ ，
∴
在 和 中
∵ ，
∴ .
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出，，利用平行线的性质得出，根据两角对应相等可证.
18．（2021九上·台州期末）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB
求证：△ADE∽△EFC.
【答案】证明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B，∠B=∠EFC，
∴∠ADE=∠EFC，
∴△ADE∽△EFC.
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】利用两直线平行，同位角相等，易证∠AED=∠C，∠ADE=∠B，∠B=∠EFC，由此可推出∠ADE=∠EFC；然后利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得结论.
19．（2020·怀化模拟）如图，直线y=-2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，过点C作CD⊥x轴，点P是x轴下方直线CD上的一点，且△OCP与△OBC相似，求过点P的双曲线解析式．
【答案】解：∵直线y=-2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，
∴令y=0，可得-2x+4=0，解得x=2，即C（2，0），OC=2，
令x=0，可得y=4，即B（0，4），OB=4，
①如图1，当∠OBC=∠COP时，△OCP与△OBC相似，
∴ ，即 ，解得CP=1，
∴P（2，-1），
设过点P的双曲线解析式y= ，把P点代入得-1= ，解得k=-2，
∴过点P的双曲线解析式 ，
②如图2，当∠OBC=∠CPO时，△OCP与△OBC相似，
在△OCP和△COB中，
∴△OCP≌△COB（AAS）
∴CP=BO=4，
∴P（2，-4）
设过点P的双曲线解析式y= ，把P点代入得-4= ，解得k=-8，
∴过点P的双曲线解析式 ．
综上所述，过点P的双曲线解析式为： 或 ．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；相似三角形的判定
【解析】【分析】由直线y=-2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，易得OC=2，OB=4，再分两种情况①当∠OBC=∠COP时，△OCP与△OBC相似，②当∠OBC=∠CPO时，△OCP与△OBC相似分别求出点的坐标，再求出过点P的双曲线解析式即可．
20．（2020九下·黄石月考）如图，弦BC经过圆心D，AD⊥BC，AC交⊙D于E，AD交 ⊙D于M，BE交AD于N.求证：△BND∽△ABD.
【答案】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵在△ADB和△ADC中，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴∠ABD=∠ACD，
∵BC是直径，
∴∠BEC=90°，
∵∠BND=∠ANE=90°-∠DAC=∠ACD，
∴△ABD∽△ACD.
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】首先证明△ABD≌△ACD，由全等三角形的性质可知：∠ABD=∠ACD因为BC是直径，所以∠BEC=90°再证明∠BND=∠ACD即可证明△ABD∽△ACD.
21．（2020九上·常州期末）如图，在矩形ABCD中，AB：BC=1：2， 点E在AD上，且ED=3AE.判断△ABC与△EAB是否相似，并说明理由.
【答案】解：△ABC~△EAB，理由如下：
∵AB：BC=1：2，
∴设AB=2x，BC=4x，
在矩形ABCD中，AD=BC=4x，
∵ED=3AE，
∴ED=3x，AE=x，
∴ ，
∵∠EAB=∠ABC=90°，
∴△ABC~△EAB
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似进行判断即可.
四、综合题
22．（2021八下·泰山期末）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H。
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）若BE2=AB·AE；求证：AG=DF。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠D=∠B，CD∥AB，
∵DF= BE，∴△CDF≌△CBE(SAS)，∴∠DCF=∠BCE，
∵CD∥BH，∴∠H=∠DCF，∴∠BCE=∠H，
∵∠B=∠B，∴△BEC∽△BCH
（2）解：∵BE2 = AB·AE，∴
∵AG∥BC，∴∴
∵DF=BE，BC=AB，∴BE=AG=DF，即AG=DF
【知识点】相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先求出 CD=CB，∠D=∠B，CD∥AB， 再利用SAS证明 △CDF≌△CBE ，最后证明求解即可；
（2）先求出 ，再求出 ，最后证明求解即可。
23．（2021·青白江模拟）如图，在矩形 中，O是对角线 与 的交点， ，垂足为点E，已知 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长.
【答案】（1）证明：
∵四边形 是矩形
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∴
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∵O是对角线 与 的交点
∴ ，
∴
∴ 为等边三角形，
∴
∵ ，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由矩形的性质以及同角的余角相等易得∠BAC=∠ADE，可得 ；
（2）由 易得∠ADE=30°，即可得∠BAC=30°，∠DAE=60°，可得BC的长度，根据矩形的性质以及∠DAE=60°可得△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OE的长度.
24．（2020九上·槐荫期末）如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A、B，DC是⊙O的切线，点C是切点，已知∠D＝30°，DC＝ ．
（1）求证：△BOC∽△BCD；
（2）求△BCD的周长．
【答案】（1）证明：∵DC是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠D=30°，
∴∠BOC=∠D+∠OCD=30°+90°=120°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB=30°，
∴∠DCB=120°=∠BOC，
又∵∠B=∠D=30°，
∴△BOC∽△BCD；
（2）解：∵∠D=30°，DC= ，∠OCD=90°，
∴DC= OC= ，DO=2OC，
∴OC=1=OB，DO=2，
∵∠B=∠D=30°，
∴DC=BC= ，
∴△BCD的周长=CD+BC+DB= + +2+1=3+2 ．
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得∠OCD=90°，由外角的性质可得∠BOC=∠D+∠OCD=30°+90°=120°，再根据等腰三角形的性质得到∠B=∠OCB=30°，所以得到∠DCB=120°=∠BOC，再结合∠B=∠D=30°，即可证明相似；
（2）由直角三角形的性质可得OC=1=OB，DO=2，即可求解。
25．（2021九上·鹿城期末）如图，在矩形ABCD中，F为CD上的点，AF⊥BD且AF，BD相交于点E，
（1）求证： ABD∽ DAF；
（2）若AB＝8，BG＝3AD，求AG的长.
【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD中，
∴∠BAD＝∠ADF＝∠ABC＝90°，
∴∠ADB＋∠ABD＝90°，
∵AF⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADB＋∠DAF＝90°，
∴∠ABD＝∠DAF，
又∵∠BAD＝∠ADF，
∴ ABD∽ DAF
（2）解：∵在矩形ABCD中，
∴AD＝BC，AB＝CD＝8，AD//BC，
∵BG＝3AD，AD＝BC，BG＝BC＋CG，
∴CG＝2AD，
∵AD//BC，
∴ ADF∽ GCF，
∴ ，
又∵CD＝8，
∴CF＝ ，DF＝ ，
∵ ABD∽ DAF，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴BG＝3AD＝ ，
在Rt ABG中， ，
∴AG的长为16.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先证明∠BAD＝∠ADF＝90°，进而可得∠ADB＋∠ABD＝90°，由AF⊥BD可得∠ADB＋∠DAF＝90°，进而可得∠ABD＝∠DAF，由此可证得 ABD∽ DAF；（2）根据BG＝3AD，AD＝BC可得CG＝2AD，由 ADF∽ GCF可得 ，再结合CD＝AB＝8可得CF＝ ，DF＝ ，由（1）得 ，由此可求得AD＝ ，进而可求得BG＝3AD＝ ，再利用勾股定理即可求得AG的长.
26．（2021九上·长兴期末）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，交 于点 ，连结 ， .
求证：
（1）点D是 的中点.
（2） .
【答案】（1）∵ 为 的直径，
∴ ，即 .
∵ ，
∴ ，即D是 的中点；
（2）∵ 为 的直径，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由题意易得 ，然后根据等腰三角形的性质可求证；
（2）由题意得 . ，则有 ，然后问题可求证.
27．（2020九上·北部湾月考）如图，在平行四边形 中， 为对角线 上一点， 交 于点 ，交 的延长线于点 .
（1）请找出一对相似的三角形并证明；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）解： ，
∵四边形 是平行四边形，
∴
∴ ， .
∴ .
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ .
∴ .
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ， .
∴ ，
∴ .
设 ， ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到 ，即可找到 ，即可求解；
（2）根据 ，得到 ，由平行四边形的性质得到 得到 ，再证明 ，得到 ，设 ，则 ，故 ，再表示出MN，故可代入求解.
1 / 1初中数学浙教版九年级上册4.4 两个三角形相似的判定同步练习
一、单选题
1．（2021九上·江都期末）如图，添加下列一个条件后，仍无法判定 的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021九上·德保期末）如图，AD，BC相交于点O，由下列条件仍不能判定△AOB与△DOC相似的是（ ）
A．AB∥CD B．∠C＝∠B C． D．
3．（2021八下·岱岳期末）如图，四个三角形的顶点都在方格子的格点上，下列两个三角形中相似的是（ ）
A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
4．（2021·玉州模拟）如图所示， 、 相交于点O，连接 ， ，添加下列一个条件后，仍不能判定 的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·萧山模拟）用一把剪刀将一张直角三角形纸片剪成两个三角形，则这两个三角形一定不会是（ ）
A．两个相似三角形 B．两个等腰三角形
C．两个锐角三角形 D．两个周长相等的三角形
6．（2021九上·金台期末）在 和 中， ，要使 和 相似，只要（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021九上·贵阳期末）如图， 在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与 相似的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020九上·海淀期末）如图，点 在 的边 上，要判定 与 相似，需添加一个条件，则以下所添加的条件错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021九上·上城期末）下列关于相似三角形的说法，正确的是（ ）
A．等腰三角形都相似
B．直角三角形都相似
C．两边对应成比例，且其中一组对应角相等的两个三角形相似
D．一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似
10．（2020九上·滦南期末）如图所示的4个三角形中，相似三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
二、填空题
11．（2021·苏州模拟）如图，在 中， ，则图中相似三角形共有 对.
12．（2020九上·铁力期末）如图所示，在△ABC中D为AC边上一点，请你添加一个条件，使△ABC和△BCD相似，你所添加的条件是 ．
13．（2021九上·上城期末）如图，在等腰 中， 平分 ，点E在 的延长线上， 交 于点F，则图中与 相似的三角形为 ； 的长为 .
14．（2020九上·齐河期末）一个直角三角形的两条边分别为4和8，另一个直角三角形的两条边分别为3和6，那么这两个直角三角形 （选填“一定”“不一定”或“一定不”）相似．
15．（2019九上·拱墅月考）如图，在正方形网格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点.如果 ，那么当 时，以点A、D、E为顶点的三角形与 相似.
16．（2020九上·青山期中）如图，已知△ABC.D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为 时，△ADP和△ABC相似．
三、解答题
17．（2021九上·玄武期末）如图，四边形 是平行四边形，E是 延长线上的一点，连接 交 于点F.求证： .
18．（2021九上·台州期末）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB
求证：△ADE∽△EFC.
19．（2020·怀化模拟）如图，直线y=-2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，过点C作CD⊥x轴，点P是x轴下方直线CD上的一点，且△OCP与△OBC相似，求过点P的双曲线解析式．
20．（2020九下·黄石月考）如图，弦BC经过圆心D，AD⊥BC，AC交⊙D于E，AD交 ⊙D于M，BE交AD于N.求证：△BND∽△ABD.
21．（2020九上·常州期末）如图，在矩形ABCD中，AB：BC=1：2， 点E在AD上，且ED=3AE.判断△ABC与△EAB是否相似，并说明理由.
四、综合题
22．（2021八下·泰山期末）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H。
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）若BE2=AB·AE；求证：AG=DF。
23．（2021·青白江模拟）如图，在矩形 中，O是对角线 与 的交点， ，垂足为点E，已知 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长.
24．（2020九上·槐荫期末）如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A、B，DC是⊙O的切线，点C是切点，已知∠D＝30°，DC＝ ．
（1）求证：△BOC∽△BCD；
（2）求△BCD的周长．
25．（2021九上·鹿城期末）如图，在矩形ABCD中，F为CD上的点，AF⊥BD且AF，BD相交于点E，
（1）求证： ABD∽ DAF；
（2）若AB＝8，BG＝3AD，求AG的长.
26．（2021九上·长兴期末）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，交 于点 ，连结 ， .
求证：
（1）点D是 的中点.
（2） .
27．（2020九上·北部湾月考）如图，在平行四边形 中， 为对角线 上一点， 交 于点 ，交 的延长线于点 .
（1）请找出一对相似的三角形并证明；
（2）若 ，求 的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：
故 选项不符合题意；
故 选项不符合题意；
，
故 选项不符合题意；
，
不能判定 ，故 选项 符合题意.
故答案为： .
【分析】利用相似三角形的判定方法逐一判断各选项，从而可得答案.
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意.
B、由∠AOB＝∠DOC、∠C＝∠B能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意.
C、由 、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意.
D、已知两组对应边的比相等： ，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意.
故答案为：D
【分析】本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断.
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】三角形①的三边分别为 ；三角形②的三边分别为： ；三角形③的三边分别为 ；三角形④的三边分别为： ．显然三角形①③的三边成比例，即 ，即三角形①③相似．
故答案为：B．
【分析】根据相似的性质计算求解即可。
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由图可得，∠AOC=∠BOD，所以要使△AOC∽△DOB，只需再添加一个对应角相等或夹∠AOC与∠BOD的边对应边成比例即可，
所以题中选项A、B、C均符合题意，
而D选项中AC与AO的夹角并不是∠AOC，所以其不能判定两个三角形相似.
故答案为：D.
【分析】由图可得∠AOC=∠BOD，所以要使△AOC∽△DOB，只需再添加一个对应角相等或其已知等角的邻边成比例，据此逐一分析即可.
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：当该直角三角形是等腰直角三角形时，沿斜边的中线剪成的两个三角形都是等腰直角三角形，且它们既相似，又全等，且两个三角形的周长相等.
观察选项，只有选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定与等腰直角三角形的性质，利用排除法逐一判断即可.
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】在 和 中，
，
若要使 和 相似，
则斜边 与 应该是对应边，成比例，
故A、B错误；
由线段成比例性质， 可变形为 ，
斜边 与 是对应边，不成比例，
故C错误；
当 时
，故D正确，
故答案为：D.
【分析】在直角三角形ABC和直角三角形DEF中，∠C=∠F=90°，要使两个三角形相似，根据相似三角形的判定“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”只需夹这两个角的对应边的比相等即可，逐一分析各选项即可判断求解.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】 的三边长分别为： ，三边的比为 ，
A中三角形的三边长分别为 ，三边的比为 不相似；
B中三角形的三边长分别为 ，三边的比为 不相似；
C中三角形的三边长分别为 ，三边的比为 相似；
D中三角形的三边长分别为 ，三边的比为 不相似；
故答案为：C.
【分析】分别利用勾股定理求出△ABC和个选项中的三角形的三边长，再求出三边之比，然后根据三边对应成比例的两三角形相似，可得到与△ABC相似的三角形的选项.
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，故A符合题意；
∵ ， ，
∴ ，故B符合题意；
∵ ， ，
∴ ，故C符合题意；
D选项的条件不可以证明，它不满足相似三角形的判定条件．
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判定即可。
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A、两个等腰直角三角形相似一定成立，本选项错误；
B、所有的等腰直角三角形都相似，本选项错误；
C、两边对应成比例且其夹角相等的两个三角形相似，本选项错误；
D、一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似，本选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的判定定理，结合等腰三角形的性质、直角三角形的性质等分别判断即可.
10．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：观察图象可知，图中有3个直角三角形，一个锐角三角形，其中左边的两个直角三角形的直角边的比都是1：2，所以这两个直角三角形相似．
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的判定方法判断即可．
11．【答案】6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，
∴△AEF，△AGH，△AIJ，△ABC中的任意两个三角形都相似.
∴相似三角形共有6对.
故答案为：6.
【分析】 根据平行于三角形的一边的直线与其它两边相交，截得的三角形与原三角形相似 ，即可求解.
12．【答案】 或 或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：添加∠CBD=∠A．
∵∠C=∠C，∠CBD=∠A，
∴△CBD∽△CAB．
添加
∵∠C=∠C， ，
∴△CBD∽△CAB．
添加
∵
∴
又∠C=∠C
∴△CBD∽△CAB
故答案为： 或 或 ．
【分析】已知有一个公共角∠C=∠C，可以再添加一组角相等或∠C的量邻边对应成比例，据此解答即可(答案不唯一）.
13．【答案】；
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：
∵
∴
，
，
，
，
如图，作 交 于点G，
，
，
，
，
解得 ，
，
，解得 .
故答案为： .
【分析】 （1）根据等腰三角形的两底角相等，结合三角形外角的性质推出，于是证明△AFE∽△AEC，可得结论；
（2）作EG⊥CD交CD于点G，利用平行线分线段成比例定理求出AE，再利用相似三角形的性质即可求出结果．
14．【答案】不一定
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：这两个直角三角形不一定相似．
理由如下：
如图，当一个直角三角形的两条直角边长分别为4和8时，另一个直角三角形的两条直角边分别为3和6，
由于 而夹角为直角，所以这两个直角三角形相似；
如图，当一个直角三角形的斜边长为8，直角边长为4时，另一个直角三角形的两条直角边分别为3和6，
根据勾股定理得另一直角边长 则 所以这两个直角三角形不相似．
综上：这两个直角三角形不一定相似；
故答案为：不一定．
【分析】利用勾股定理和相似三角形的判定进行判断求解即可。
15．【答案】 或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】根据题意得：AD=1，AB=3，AC= ，
∵∠A=∠A，
∴若△ADE∽△ABC时， ，
即： ，
解得：AE= ，
若△ADE∽△ACB时， ，
即： ，
解得：AE= ，
∴当AE= 或 时，以点A，D， E为顶点的三角形与△ABC相似，
故答案为： 或 .
【分析】首先根据图，可得AD=1，AB=3，AC= ，然后分别从若△ADE∽△ABC与若△ADE∽△ACB去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AE的值
16．【答案】4或9
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】当△ADP∽△ACB时，需有 ，∴ ，解得AP＝9．当△ADP∽△ABC时，需有 ，∴ ，解得AP＝4．∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相似．
【分析】根据相似三角形对应边成比例求AP的长即可。
17．【答案】证明：∵四边形 是平行四边形
∴ ，
∴
在 和 中
∵ ，
∴ .
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出，，利用平行线的性质得出，根据两角对应相等可证.
18．【答案】证明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B，∠B=∠EFC，
∴∠ADE=∠EFC，
∴△ADE∽△EFC.
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】利用两直线平行，同位角相等，易证∠AED=∠C，∠ADE=∠B，∠B=∠EFC，由此可推出∠ADE=∠EFC；然后利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得结论.
19．【答案】解：∵直线y=-2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，
∴令y=0，可得-2x+4=0，解得x=2，即C（2，0），OC=2，
令x=0，可得y=4，即B（0，4），OB=4，
①如图1，当∠OBC=∠COP时，△OCP与△OBC相似，
∴ ，即 ，解得CP=1，
∴P（2，-1），
设过点P的双曲线解析式y= ，把P点代入得-1= ，解得k=-2，
∴过点P的双曲线解析式 ，
②如图2，当∠OBC=∠CPO时，△OCP与△OBC相似，
在△OCP和△COB中，
∴△OCP≌△COB（AAS）
∴CP=BO=4，
∴P（2，-4）
设过点P的双曲线解析式y= ，把P点代入得-4= ，解得k=-8，
∴过点P的双曲线解析式 ．
综上所述，过点P的双曲线解析式为： 或 ．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；相似三角形的判定
【解析】【分析】由直线y=-2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，易得OC=2，OB=4，再分两种情况①当∠OBC=∠COP时，△OCP与△OBC相似，②当∠OBC=∠CPO时，△OCP与△OBC相似分别求出点的坐标，再求出过点P的双曲线解析式即可．
20．【答案】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵在△ADB和△ADC中，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴∠ABD=∠ACD，
∵BC是直径，
∴∠BEC=90°，
∵∠BND=∠ANE=90°-∠DAC=∠ACD，
∴△ABD∽△ACD.
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】首先证明△ABD≌△ACD，由全等三角形的性质可知：∠ABD=∠ACD因为BC是直径，所以∠BEC=90°再证明∠BND=∠ACD即可证明△ABD∽△ACD.
21．【答案】解：△ABC~△EAB，理由如下：
∵AB：BC=1：2，
∴设AB=2x，BC=4x，
在矩形ABCD中，AD=BC=4x，
∵ED=3AE，
∴ED=3x，AE=x，
∴ ，
∵∠EAB=∠ABC=90°，
∴△ABC~△EAB
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似进行判断即可.
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠D=∠B，CD∥AB，
∵DF= BE，∴△CDF≌△CBE(SAS)，∴∠DCF=∠BCE，
∵CD∥BH，∴∠H=∠DCF，∴∠BCE=∠H，
∵∠B=∠B，∴△BEC∽△BCH
（2）解：∵BE2 = AB·AE，∴
∵AG∥BC，∴∴
∵DF=BE，BC=AB，∴BE=AG=DF，即AG=DF
【知识点】相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先求出 CD=CB，∠D=∠B，CD∥AB， 再利用SAS证明 △CDF≌△CBE ，最后证明求解即可；
（2）先求出 ，再求出 ，最后证明求解即可。
23．【答案】（1）证明：
∵四边形 是矩形
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∴
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∵O是对角线 与 的交点
∴ ，
∴
∴ 为等边三角形，
∴
∵ ，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由矩形的性质以及同角的余角相等易得∠BAC=∠ADE，可得 ；
（2）由 易得∠ADE=30°，即可得∠BAC=30°，∠DAE=60°，可得BC的长度，根据矩形的性质以及∠DAE=60°可得△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OE的长度.
24．【答案】（1）证明：∵DC是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠D=30°，
∴∠BOC=∠D+∠OCD=30°+90°=120°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB=30°，
∴∠DCB=120°=∠BOC，
又∵∠B=∠D=30°，
∴△BOC∽△BCD；
（2）解：∵∠D=30°，DC= ，∠OCD=90°，
∴DC= OC= ，DO=2OC，
∴OC=1=OB，DO=2，
∵∠B=∠D=30°，
∴DC=BC= ，
∴△BCD的周长=CD+BC+DB= + +2+1=3+2 ．
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得∠OCD=90°，由外角的性质可得∠BOC=∠D+∠OCD=30°+90°=120°，再根据等腰三角形的性质得到∠B=∠OCB=30°，所以得到∠DCB=120°=∠BOC，再结合∠B=∠D=30°，即可证明相似；
（2）由直角三角形的性质可得OC=1=OB，DO=2，即可求解。
25．【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD中，
∴∠BAD＝∠ADF＝∠ABC＝90°，
∴∠ADB＋∠ABD＝90°，
∵AF⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADB＋∠DAF＝90°，
∴∠ABD＝∠DAF，
又∵∠BAD＝∠ADF，
∴ ABD∽ DAF
（2）解：∵在矩形ABCD中，
∴AD＝BC，AB＝CD＝8，AD//BC，
∵BG＝3AD，AD＝BC，BG＝BC＋CG，
∴CG＝2AD，
∵AD//BC，
∴ ADF∽ GCF，
∴ ，
又∵CD＝8，
∴CF＝ ，DF＝ ，
∵ ABD∽ DAF，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴BG＝3AD＝ ，
在Rt ABG中， ，
∴AG的长为16.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先证明∠BAD＝∠ADF＝90°，进而可得∠ADB＋∠ABD＝90°，由AF⊥BD可得∠ADB＋∠DAF＝90°，进而可得∠ABD＝∠DAF，由此可证得 ABD∽ DAF；（2）根据BG＝3AD，AD＝BC可得CG＝2AD，由 ADF∽ GCF可得 ，再结合CD＝AB＝8可得CF＝ ，DF＝ ，由（1）得 ，由此可求得AD＝ ，进而可求得BG＝3AD＝ ，再利用勾股定理即可求得AG的长.
26．【答案】（1）∵ 为 的直径，
∴ ，即 .
∵ ，
∴ ，即D是 的中点；
（2）∵ 为 的直径，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由题意易得 ，然后根据等腰三角形的性质可求证；
（2）由题意得 . ，则有 ，然后问题可求证.
27．【答案】（1）解： ，
∵四边形 是平行四边形，
∴
∴ ， .
∴ .
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ .
∴ .
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ， .
∴ ，
∴ .
设 ， ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到 ，即可找到 ，即可求解；
（2）根据 ，得到 ，由平行四边形的性质得到 得到 ，再证明 ，得到 ，设 ，则 ，故 ，再表示出MN，故可代入求解.
1 / 1
