初中数学浙教版九年级上册4.5 相似三角形的性质及应用同步练习
一、单选题
1．（2021八下·泰山期末）如图，在 中， ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021八下·泰山期末）如图所示，在△ABC 中，AB＝6，AC＝4，P 是AC 的中点，过 P 点的直线交AB 于点Q，若以 A、P、Q 为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ 的长为 （ ）
A．3 B．3或 C．3或 D．
3．（2021八下·安徽期末）如图，□ABCD中，EF∥AB，DE∶DA = 2∶5，EF = 4，则CD的长为（ ）
A． B．8 C．10 D．16
4．（2021·威海）如图，在 和 中， ， ， ．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021八下·龙口期末）如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，已知AC＝0.8米，BC=0.5米，目测点A到地面的距离AD＝1.5米，到旗杆的水平距离AE＝20米，则旗杆MN的高度为（ ）
A．12米 B．12.5米 C．14米 D．15米
6．（2021·建华模拟）如图，大三角形与小三角形是位似图形．若小三角形一个顶点的坐标为（m，n），则大三角形中与之对应的顶点坐标为（ ）
A．（﹣2m，﹣2n） B．（2m，2n）
C．（﹣2n，﹣2m） D．（2n，2m）
7．（2021·道外模拟）如图，四边形 中， 为对角线 上一点，过点 作 ，交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ，则下列所给的结论中，不一定正确的是（ ）．
A． B． C． D．
8．（2021·安徽模拟）如图，G是△ABC的中位线MN的中点，CG的延长线交AB于点F，则AF：FB等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：4
9．（2021·哈尔滨模拟）如图，在平行四边形 中， ， ， 的面积为25，则四边形 的面积为（ ）
A．25 B．9 C．21 D．16
10．（2021·长安模拟）如图，在 中， ，将 绕点 顺时针旋转，使点 旋转至 边上的点 处，点 的对应点为点 ， 的延长线恰好经过点 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·毕节）学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度.如图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是2m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为 m.
12．（2021八下·灵山期末）如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC上的点，且满足AEAB，AFAC，BC＝4，则EF的值为 ．
13．（2021·烟台）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆 ，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线 与井口的直径 交于点E，如果测得 米， 米， 米，那么 为 米．
14．（2021八下·黄州期末）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（-2，0），C（4，4），D（﹣2，6），点E在x轴上，满足∠BED＝∠AEC，则点E的坐标为 .
15．（2021八下·岱岳期末）如图，在 中， ， 是 中点， 是 上一点， ， ，则 的长为 ．
16．（2021·菏泽）如图，在 中， ，垂足为 ， ， ，四边形 和四边形 均为正方形，且点 、 、 、 、 、 都在 的边上，那么 与四边形 的面积比为 ．
三、解答题
17．（2021·顺德模拟）如图，在直角三角形 中， ，作 的内接矩形 ．设 ，求x取何值时矩形的面积最大？
18．（2021·嘉定模拟）清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？
如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点D）直行8里有一塔（点A），自西门（点E）直行2里至点B，切城角（点C）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是多少里？
19．（2021九下·江夏月考）如图，已知 ，求证： .
20．（2021九上·富平期末）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志.数学活动小组的同学对该塔进行了测量，测量方法如下：如图所示，间接测得该塔底部点B到地面上一点E的距离为38米，塔的顶端为点A，且 ，在点E处竖直放一根标杆，其顶端为D， ，在BE的延长线上找一点C，使C，D，A三点在同一直线上，测得 米.已知标杆 米，求该塔的高度AB.
四、综合题
21．（2021八下·垦利期末）如图所示，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点F．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求证：DE·BF＝EF·BC．
22．（2021八下·泰山期末）如图，在 中，点 、 分别在边 ， 上， ，线段 分别交线段 ， 于点 ， ，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的值．
23．（2021·黄冈）如图，在 和 中， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长.
24．（2021八下·泰山期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若 ，求 的值。
25．（2021·淮南模拟）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2＝BF BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：△BCF∽△DGF；
（2）求证：DF AB＝BC DG；
（3）当点E为AC中点时，求证：2DF EG＝AF DG．
26．（2021·南海模拟）如图，圆内接正方形 是圆弧 上的一点，连接 ，线段 上有一点 ，连接 ，且 ．
（1）求证： ．
（2）连接 ，当四边形 是平行四边形时，求 的值．
27．（2021·下城模拟）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF．
（1）求证：△AFE∽△ADC．
（2）若 ， ，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：A
【分析】先证明，再求出，最后求解即可。
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 ， ，AQ= ，
， ，AQ=3.
故答案为：B.
【分析】分类讨论，结合图形，利用相似三角形的性质求解即可。
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵EF∥AB
∴△DEF∽△DAB
∴
∴AB=10
∴CD=AB=10
故答案为：C．
【分析】先证明△DEF∽△DAB，再求出，最后计算求解即可。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】
，
A不符合题意；
平分
，
B不符合题意；
即
，
C符合题意；
，
D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据题意即可得到∠DAC=∠EAB，继而证明△DAC≌△EAB，得到∠ADC=∠AEB，根据角平分线的性质以及平行线的性质，判断得到答案即可。
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可知： ，
∴四边形 为矩形
∴
又∵
∴
∴
∴
故答案为C．
【分析】先证明，再求出，最后计算求解即可。
6．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过C作CR⊥x轴于R，CK⊥y轴于K，过F作FG⊥x轴于G，FH⊥y轴．
根据图象得： ，∵大三角形与小三角形是位似图形，∴ ，根据平行线分线段成比例定理得： ，∵CR=OK=﹣n，CK=OR=﹣m，∴FH=OG=﹣2m，FG=﹣2n，∴小三角形上的顶点（m，n）对应于大三角形上的顶点是（﹣2m，﹣2n），
故答案为：A．
【分析】过C作CR⊥x轴于R，CK⊥y轴于K，过F作FG⊥x轴于G，FH⊥y轴．根据中心对称图形的性质和位似图形性质得出，根据平行线分线段成比例定理得到，把（m，n）代入即可求出答案。
7．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A．∵ ，
∴∠DEP=∠A，∠DPE=∠DBA，
∴△EPD∽△ABD，
∴ ，
∵ ，
∴∠BPF=∠BDC，∠BFP=∠C，
∴△BFP∽△BCD，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
A符合题意；
B．∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
B不符合题意；
C．∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
C不符合题意，
，
D．∵ ，
∴∠DEP=∠A，∠DPE=∠DBA，
∴△EPD∽△ABD，
∴ ，
∵ ，
∴∠BPF=∠BDC，∠BFP=∠C，
∴△BFP∽△BCD，
∴ ，
∴ ，
D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的性质与判定对每个选项一一判断求解即可。
8．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 MN是△ABC的中位线
， ，
G是MN的中点
即
又
即：AF：FB ．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的中位线的性质得到，再利用相似三角形的性质和三角形的中位线求出，最后整体代入计算即可。
9．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：因为 ， ，
∴△DEF∽△DAB，
所以 ，
所以 ，
又因为四边形 是平行四边形，
所以 ， 的面积为25，所以 的面积为25，
所以 的面积为4，
则四边形 的面积为21．
故答案为：C．
【分析】先求出△DEF∽△DAB，再求出 ，最后求解即可。
10．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：由已知和旋转的性质可得AB=AC= =5，
∵
∴
∴
∵
∴
设BC=BC’=x
则x2-5x-25=0，解得x1= 或x2= （舍）
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
11．【答案】8.5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解，根据题意得，
∴
∴
∴
故答案为：8.5
【分析】根据题意得 ，利用相似三角形的对应边成比例即可求解.
12．【答案】1
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AE AB，AF AC
∴
∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ABC，
∴
∴，
解之：EF=1.
故答案为：1.
【分析】利用已知条件可证得，利用两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质，可求出EF的长.
13．【答案】3
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： （米），
∴AB∥DC．
（米）．
故答案为：3
【分析】根据题意证明△ABE∽△CDE，根据对应边成比例求出CD即可。
14．【答案】（ ，0）
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵A （4，0），B （-2，0），C （4，4），D （-2，6），
∴AB=6，BD=6，AC=4，∠DBA=∠CAB=90°，BD//AC，AB与CD不平行，
∵∠BED＝∠AEC，点E在x轴上，
∴点E在线段AB上，
设点E（x，0）
∴BE= x+2，AE=4-x，
∵∠BED＝∠AEC，
∴△BDE∽△AEC，
∴ ，
∴ ，
解得：
经检验 是原方程的根，
∴点E的坐标为（ ，0）；
故答案为：（ ，0）.
【分析】由A、B、C、D的坐标可得AB，BD，AC的值，∠DBA=∠CAB=90°，推出BD//AC，设E（x，0），则BE= x+2，AE=4-x，然后证明△BDE∽△AEC，由相似三角形的性质可得x的值，进而得到点E的坐标.
15．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠AEC=∠AED+∠DEC=∠B+∠BAE，∠AED=∠B，
∴∠DEC=∠BAE，
∴△BAE∽△CED，
∴ ，
∵AB=AC=6，AD=DC=3，BE= ，
∴ ，
∴CE= ，
故填： ．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后计算求解即可。
16．【答案】1∶3
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形 和四边形 均为正方形，
∴设四边形 和四边形 的边长为x，
则EM＝2x，EF＝x，EF⊥BC，EM∥BC，
∵AD⊥BC，
∴PD＝EF＝x，
∵AD＝5，
∴AP＝AD－PD＝5－x，
∵EM BC，
∴ AEM∽ ABC，
∴ ，
∴ ，
解得：x＝2.5，
∴AP＝2.5，EM＝5，
∴S△AEM＝ ＝ ，
又∵S△ABC＝ ＝25，
∴S四边形BCME＝S△ABC－S△AEM
＝25－
＝ ，
∴S△AEM∶S四边形BCME＝ ∶ ＝1∶3，
故答案为：1∶3．
【分析】易证 AEM∽ ABC，可得 ，可求EF的长。再求得S△AEM，S△ABC，从而得S四边形BCME。即可求解结果。解题关键：利用相似三角形的性质求出正方形的边长的长度。
17．【答案】解：设矩形 为S，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
当 时，S有最大值，最大值为300．
即x取15时矩形的面积最大．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】设矩形 为S，证明 ，利用相似比得到 ，则用x表示出 ，再利用矩形的面积公式得到 ，然后利用二次函数的性质解决问题．
18．【答案】解：设这座方城每面城墙的长为x里，
由题意得，BE∥CD，∠BEC=∠ADC=90°，CE=CD= x，BE=2里，AD=8里，
∴∠B=∠ACD，
∴△CEB∽△ADC，
∴ ，
∴
∴x=8，
答：这座方城每面城墙的长为8里．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】设这座方城每面城墙的长为x里，根据题意得到BE∥CD，∠BEC=∠ADC=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
19．【答案】证明：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】 根据相似三角形的性质得出，，从而得出，，根据两边成比例且夹角相等即证结论.
20．【答案】解：∵ ， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
解得： （米）.
答：该塔的高度 为44米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先由相似的判定方法得到 ，再由相似的性质得到 ，最终得到AB的值.
21．【答案】（1）证明： ， ，
，且 ，
（2）证明：如图，连接 ，
，
点 ，点 ，点 ，点 四点共圆，
， ，
，
，
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由垂直的定义可得，且 ，即可证明结论；
（2）先证明点B、C、D、E四点共圆，可得 ， ，可证明，可得，即可得得出结论。
22．【答案】（1）证明： ， ．
，
，
又 ，
；
（2）解： ，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出∠ADF=∠C，再证明三角形相似求解即可；
（2）根据相似三角形的性质计算求解即可。
23．【答案】（1）证明： ，
，即 ，
在 和 中， ，
（2）解：由（1）已证： ，
，
， ，
，
解得 或 （不符题意，舍去），
则 的长为9
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件可证得∠ACB=∠DCE，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△DEC.
（2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出EC的长.
24．【答案】（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE =∠CAB
∴△AED∽△ABC，∴∠ADF=∠C，
又∵
∴△ADF∽△ACG；
（2）解：∵△ADF∽△ACG，
∵
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明 △AED∽△ABC， 再求出 ∠ADF=∠C， 最后证明求解即可；
（2）先求出 ，再求出，最后计算求解即可。
25．【答案】（1）解：∵DE∥BC，
∴△BCF∽△DGF．
（2）解：∵BC2＝BF BA，
∴BC：BF＝BA：BC，
而∠ABC＝∠CBF，
∴△BAC∽△BCF，
由（1）知△BCF∽△DGF，
∴△DGF∽△BAC，
∴DF：BC＝DG：BA，
∴DF AB＝BC DG．
（3）解：作AH∥BC交CF的延长线于H，如图：
∵DE∥BC，
∴AH∥DE，
∵点E为AC的中点，
∴AH＝2EG，
∵AH∥DG，
∴△AHF∽△DGF，
∴ ，
∴ ，
即2DF EG＝AF DG．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线可证△BCF∽△DGF；
（2）证明△BAC∽△BCF，由（1）知△BCF∽△DGF，可得△DGF∽△BAC，利用相似三角形的对应边成比例即得结论；
（3）作AH∥BC交CF的延长线于H，可证AH∥DE，由点E为AC的中点，可得AH＝2EG，由AH∥DG，
可证△AHF∽△DGF，可得 ，然后利用等线段代换即可.
26．【答案】（1）证明：∵圆内接正方形 中，BD是直径，
∴∠BED=90°，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
同理： ，
∴ ，即： ，
又∵∠DBE=∠DCE，
∴
（2）解：∵四边形 是平行四边形， 是等腰直角三角形，
∴ 是等腰直角三角形，∠EFC=90°，DE=CF，DF=CE，
∴CF=EF，CE= EF= DE，
由（1）可知： ，
∴BF= DF= DE=2DE，
∴BE=BF+EF=2DE+DE=3DE，
∴ ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明 是等腰直角三角形，可得 ，同理得 ，从而得 ，进而即可得到结论；
（2）由四边形 是平行四边形， 是等腰直角三角形，可得CE= DE，结合 ，进而即可得到结论．
27．【答案】（1）证明：∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠DAC，
∵∠EFD=∠BDF，
∴180°-∠EFD=180°-∠BDF，
∴∠AFE=∠ADC，
又∵∠BAD=∠DAC，
∴△AFE∽△ADC；
（2）解：由（1）得，△AFE∽△ADC，
∴∠AEF=∠C，
∵∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴EB=2FD．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质得出∠BAD=∠DAC，再根据∠EFD=∠BDF得出∠AFE=∠ADC，进而根据两角分别相等的三角形相似可证；（2）由（1）中的相似及∠AFE=∠C得出∠AEF=∠AFE，进而根据等角对等边得出AE=AF，再根据 及△AFE∽△ADC得出 ，再由 ，得出 ，即可得到结果．
1 / 1初中数学浙教版九年级上册4.5 相似三角形的性质及应用同步练习
一、单选题
1．（2021八下·泰山期末）如图，在 中， ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：A
【分析】先证明，再求出，最后求解即可。
2．（2021八下·泰山期末）如图所示，在△ABC 中，AB＝6，AC＝4，P 是AC 的中点，过 P 点的直线交AB 于点Q，若以 A、P、Q 为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ 的长为 （ ）
A．3 B．3或 C．3或 D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 ， ，AQ= ，
， ，AQ=3.
故答案为：B.
【分析】分类讨论，结合图形，利用相似三角形的性质求解即可。
3．（2021八下·安徽期末）如图，□ABCD中，EF∥AB，DE∶DA = 2∶5，EF = 4，则CD的长为（ ）
A． B．8 C．10 D．16
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵EF∥AB
∴△DEF∽△DAB
∴
∴AB=10
∴CD=AB=10
故答案为：C．
【分析】先证明△DEF∽△DAB，再求出，最后计算求解即可。
4．（2021·威海）如图，在 和 中， ， ， ．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】
，
A不符合题意；
平分
，
B不符合题意；
即
，
C符合题意；
，
D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据题意即可得到∠DAC=∠EAB，继而证明△DAC≌△EAB，得到∠ADC=∠AEB，根据角平分线的性质以及平行线的性质，判断得到答案即可。
5．（2021八下·龙口期末）如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，已知AC＝0.8米，BC=0.5米，目测点A到地面的距离AD＝1.5米，到旗杆的水平距离AE＝20米，则旗杆MN的高度为（ ）
A．12米 B．12.5米 C．14米 D．15米
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可知： ，
∴四边形 为矩形
∴
又∵
∴
∴
∴
故答案为C．
【分析】先证明，再求出，最后计算求解即可。
6．（2021·建华模拟）如图，大三角形与小三角形是位似图形．若小三角形一个顶点的坐标为（m，n），则大三角形中与之对应的顶点坐标为（ ）
A．（﹣2m，﹣2n） B．（2m，2n）
C．（﹣2n，﹣2m） D．（2n，2m）
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过C作CR⊥x轴于R，CK⊥y轴于K，过F作FG⊥x轴于G，FH⊥y轴．
根据图象得： ，∵大三角形与小三角形是位似图形，∴ ，根据平行线分线段成比例定理得： ，∵CR=OK=﹣n，CK=OR=﹣m，∴FH=OG=﹣2m，FG=﹣2n，∴小三角形上的顶点（m，n）对应于大三角形上的顶点是（﹣2m，﹣2n），
故答案为：A．
【分析】过C作CR⊥x轴于R，CK⊥y轴于K，过F作FG⊥x轴于G，FH⊥y轴．根据中心对称图形的性质和位似图形性质得出，根据平行线分线段成比例定理得到，把（m，n）代入即可求出答案。
7．（2021·道外模拟）如图，四边形 中， 为对角线 上一点，过点 作 ，交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ，则下列所给的结论中，不一定正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A．∵ ，
∴∠DEP=∠A，∠DPE=∠DBA，
∴△EPD∽△ABD，
∴ ，
∵ ，
∴∠BPF=∠BDC，∠BFP=∠C，
∴△BFP∽△BCD，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
A符合题意；
B．∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
B不符合题意；
C．∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
C不符合题意，
，
D．∵ ，
∴∠DEP=∠A，∠DPE=∠DBA，
∴△EPD∽△ABD，
∴ ，
∵ ，
∴∠BPF=∠BDC，∠BFP=∠C，
∴△BFP∽△BCD，
∴ ，
∴ ，
D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的性质与判定对每个选项一一判断求解即可。
8．（2021·安徽模拟）如图，G是△ABC的中位线MN的中点，CG的延长线交AB于点F，则AF：FB等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：4
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 MN是△ABC的中位线
， ，
G是MN的中点
即
又
即：AF：FB ．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的中位线的性质得到，再利用相似三角形的性质和三角形的中位线求出，最后整体代入计算即可。
9．（2021·哈尔滨模拟）如图，在平行四边形 中， ， ， 的面积为25，则四边形 的面积为（ ）
A．25 B．9 C．21 D．16
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：因为 ， ，
∴△DEF∽△DAB，
所以 ，
所以 ，
又因为四边形 是平行四边形，
所以 ， 的面积为25，所以 的面积为25，
所以 的面积为4，
则四边形 的面积为21．
故答案为：C．
【分析】先求出△DEF∽△DAB，再求出 ，最后求解即可。
10．（2021·长安模拟）如图，在 中， ，将 绕点 顺时针旋转，使点 旋转至 边上的点 处，点 的对应点为点 ， 的延长线恰好经过点 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：由已知和旋转的性质可得AB=AC= =5，
∵
∴
∴
∵
∴
设BC=BC’=x
则x2-5x-25=0，解得x1= 或x2= （舍）
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
二、填空题
11．（2021·毕节）学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度.如图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是2m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为 m.
【答案】8.5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解，根据题意得，
∴
∴
∴
故答案为：8.5
【分析】根据题意得 ，利用相似三角形的对应边成比例即可求解.
12．（2021八下·灵山期末）如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC上的点，且满足AEAB，AFAC，BC＝4，则EF的值为 ．
【答案】1
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AE AB，AF AC
∴
∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ABC，
∴
∴，
解之：EF=1.
故答案为：1.
【分析】利用已知条件可证得，利用两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质，可求出EF的长.
13．（2021·烟台）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆 ，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线 与井口的直径 交于点E，如果测得 米， 米， 米，那么 为 米．
【答案】3
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： （米），
∴AB∥DC．
（米）．
故答案为：3
【分析】根据题意证明△ABE∽△CDE，根据对应边成比例求出CD即可。
14．（2021八下·黄州期末）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（-2，0），C（4，4），D（﹣2，6），点E在x轴上，满足∠BED＝∠AEC，则点E的坐标为 .
【答案】（ ，0）
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵A （4，0），B （-2，0），C （4，4），D （-2，6），
∴AB=6，BD=6，AC=4，∠DBA=∠CAB=90°，BD//AC，AB与CD不平行，
∵∠BED＝∠AEC，点E在x轴上，
∴点E在线段AB上，
设点E（x，0）
∴BE= x+2，AE=4-x，
∵∠BED＝∠AEC，
∴△BDE∽△AEC，
∴ ，
∴ ，
解得：
经检验 是原方程的根，
∴点E的坐标为（ ，0）；
故答案为：（ ，0）.
【分析】由A、B、C、D的坐标可得AB，BD，AC的值，∠DBA=∠CAB=90°，推出BD//AC，设E（x，0），则BE= x+2，AE=4-x，然后证明△BDE∽△AEC，由相似三角形的性质可得x的值，进而得到点E的坐标.
15．（2021八下·岱岳期末）如图，在 中， ， 是 中点， 是 上一点， ， ，则 的长为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠AEC=∠AED+∠DEC=∠B+∠BAE，∠AED=∠B，
∴∠DEC=∠BAE，
∴△BAE∽△CED，
∴ ，
∵AB=AC=6，AD=DC=3，BE= ，
∴ ，
∴CE= ，
故填： ．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后计算求解即可。
16．（2021·菏泽）如图，在 中， ，垂足为 ， ， ，四边形 和四边形 均为正方形，且点 、 、 、 、 、 都在 的边上，那么 与四边形 的面积比为 ．
【答案】1∶3
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形 和四边形 均为正方形，
∴设四边形 和四边形 的边长为x，
则EM＝2x，EF＝x，EF⊥BC，EM∥BC，
∵AD⊥BC，
∴PD＝EF＝x，
∵AD＝5，
∴AP＝AD－PD＝5－x，
∵EM BC，
∴ AEM∽ ABC，
∴ ，
∴ ，
解得：x＝2.5，
∴AP＝2.5，EM＝5，
∴S△AEM＝ ＝ ，
又∵S△ABC＝ ＝25，
∴S四边形BCME＝S△ABC－S△AEM
＝25－
＝ ，
∴S△AEM∶S四边形BCME＝ ∶ ＝1∶3，
故答案为：1∶3．
【分析】易证 AEM∽ ABC，可得 ，可求EF的长。再求得S△AEM，S△ABC，从而得S四边形BCME。即可求解结果。解题关键：利用相似三角形的性质求出正方形的边长的长度。
三、解答题
17．（2021·顺德模拟）如图，在直角三角形 中， ，作 的内接矩形 ．设 ，求x取何值时矩形的面积最大？
【答案】解：设矩形 为S，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
当 时，S有最大值，最大值为300．
即x取15时矩形的面积最大．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】设矩形 为S，证明 ，利用相似比得到 ，则用x表示出 ，再利用矩形的面积公式得到 ，然后利用二次函数的性质解决问题．
18．（2021·嘉定模拟）清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？
如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点D）直行8里有一塔（点A），自西门（点E）直行2里至点B，切城角（点C）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是多少里？
【答案】解：设这座方城每面城墙的长为x里，
由题意得，BE∥CD，∠BEC=∠ADC=90°，CE=CD= x，BE=2里，AD=8里，
∴∠B=∠ACD，
∴△CEB∽△ADC，
∴ ，
∴
∴x=8，
答：这座方城每面城墙的长为8里．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】设这座方城每面城墙的长为x里，根据题意得到BE∥CD，∠BEC=∠ADC=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
19．（2021九下·江夏月考）如图，已知 ，求证： .
【答案】证明：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】 根据相似三角形的性质得出，，从而得出，，根据两边成比例且夹角相等即证结论.
20．（2021九上·富平期末）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志.数学活动小组的同学对该塔进行了测量，测量方法如下：如图所示，间接测得该塔底部点B到地面上一点E的距离为38米，塔的顶端为点A，且 ，在点E处竖直放一根标杆，其顶端为D， ，在BE的延长线上找一点C，使C，D，A三点在同一直线上，测得 米.已知标杆 米，求该塔的高度AB.
【答案】解：∵ ， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
解得： （米）.
答：该塔的高度 为44米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先由相似的判定方法得到 ，再由相似的性质得到 ，最终得到AB的值.
四、综合题
21．（2021八下·垦利期末）如图所示，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点F．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求证：DE·BF＝EF·BC．
【答案】（1）证明： ， ，
，且 ，
（2）证明：如图，连接 ，
，
点 ，点 ，点 ，点 四点共圆，
， ，
，
，
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由垂直的定义可得，且 ，即可证明结论；
（2）先证明点B、C、D、E四点共圆，可得 ， ，可证明，可得，即可得得出结论。
22．（2021八下·泰山期末）如图，在 中，点 、 分别在边 ， 上， ，线段 分别交线段 ， 于点 ， ，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）证明： ， ．
，
，
又 ，
；
（2）解： ，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出∠ADF=∠C，再证明三角形相似求解即可；
（2）根据相似三角形的性质计算求解即可。
23．（2021·黄冈）如图，在 和 中， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长.
【答案】（1）证明： ，
，即 ，
在 和 中， ，
（2）解：由（1）已证： ，
，
， ，
，
解得 或 （不符题意，舍去），
则 的长为9
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件可证得∠ACB=∠DCE，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△DEC.
（2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出EC的长.
24．（2021八下·泰山期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若 ，求 的值。
【答案】（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE =∠CAB
∴△AED∽△ABC，∴∠ADF=∠C，
又∵
∴△ADF∽△ACG；
（2）解：∵△ADF∽△ACG，
∵
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明 △AED∽△ABC， 再求出 ∠ADF=∠C， 最后证明求解即可；
（2）先求出 ，再求出，最后计算求解即可。
25．（2021·淮南模拟）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2＝BF BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：△BCF∽△DGF；
（2）求证：DF AB＝BC DG；
（3）当点E为AC中点时，求证：2DF EG＝AF DG．
【答案】（1）解：∵DE∥BC，
∴△BCF∽△DGF．
（2）解：∵BC2＝BF BA，
∴BC：BF＝BA：BC，
而∠ABC＝∠CBF，
∴△BAC∽△BCF，
由（1）知△BCF∽△DGF，
∴△DGF∽△BAC，
∴DF：BC＝DG：BA，
∴DF AB＝BC DG．
（3）解：作AH∥BC交CF的延长线于H，如图：
∵DE∥BC，
∴AH∥DE，
∵点E为AC的中点，
∴AH＝2EG，
∵AH∥DG，
∴△AHF∽△DGF，
∴ ，
∴ ，
即2DF EG＝AF DG．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线可证△BCF∽△DGF；
（2）证明△BAC∽△BCF，由（1）知△BCF∽△DGF，可得△DGF∽△BAC，利用相似三角形的对应边成比例即得结论；
（3）作AH∥BC交CF的延长线于H，可证AH∥DE，由点E为AC的中点，可得AH＝2EG，由AH∥DG，
可证△AHF∽△DGF，可得 ，然后利用等线段代换即可.
26．（2021·南海模拟）如图，圆内接正方形 是圆弧 上的一点，连接 ，线段 上有一点 ，连接 ，且 ．
（1）求证： ．
（2）连接 ，当四边形 是平行四边形时，求 的值．
【答案】（1）证明：∵圆内接正方形 中，BD是直径，
∴∠BED=90°，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
同理： ，
∴ ，即： ，
又∵∠DBE=∠DCE，
∴
（2）解：∵四边形 是平行四边形， 是等腰直角三角形，
∴ 是等腰直角三角形，∠EFC=90°，DE=CF，DF=CE，
∴CF=EF，CE= EF= DE，
由（1）可知： ，
∴BF= DF= DE=2DE，
∴BE=BF+EF=2DE+DE=3DE，
∴ ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明 是等腰直角三角形，可得 ，同理得 ，从而得 ，进而即可得到结论；
（2）由四边形 是平行四边形， 是等腰直角三角形，可得CE= DE，结合 ，进而即可得到结论．
27．（2021·下城模拟）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF．
（1）求证：△AFE∽△ADC．
（2）若 ， ，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系．
【答案】（1）证明：∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠DAC，
∵∠EFD=∠BDF，
∴180°-∠EFD=180°-∠BDF，
∴∠AFE=∠ADC，
又∵∠BAD=∠DAC，
∴△AFE∽△ADC；
（2）解：由（1）得，△AFE∽△ADC，
∴∠AEF=∠C，
∵∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴EB=2FD．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质得出∠BAD=∠DAC，再根据∠EFD=∠BDF得出∠AFE=∠ADC，进而根据两角分别相等的三角形相似可证；（2）由（1）中的相似及∠AFE=∠C得出∠AEF=∠AFE，进而根据等角对等边得出AE=AF，再根据 及△AFE∽△ADC得出 ，再由 ，得出 ，即可得到结果．
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