初中数学浙教版九年级上册4.6 相似多边形同步练习
一、单选题
1．（2020九上·桂林月考）如图，把一个矩形分割成四个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为（ ）
A．2：1 B．4：1 C． D．1：2
2．（2020九上·鄞州期末）如果两个相似多边形的面积之比为1：4，那么它们的周长之比是( ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
3．（2021·桥东模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形 与矩形 是以点 为位似中心的位似图形，点 的坐标为 ，若 ，则 的长是（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．6
4．（2020九上·合肥月考）一个五边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的五边形的最长边长为24，则这个五边形的最短边长为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．10
5．（2020八下·黄石期中）如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=a，宽BC=b，E，F分别是AB，CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，则a：b等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2020九上·长春期末）用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（ ）
A．各边的长度 B．各内角的度数
C．五边形的周长 D．五边形的面积
7．（2020九上·二道期末）若将一个正方形的各边长扩大为原来的4倍，则这个正方形的面积扩大为原来的（ ）
A．16倍 B．8倍 C．4倍 D．2倍
8．（2020九上·岐山期末）如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是（ ）
A．1： B． ：1 C．2：1 D．4：1
9．（2019九上·宁波月考）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝ b B．a＝2b C．a＝2 b D．a＝4b
10．（2019九上·迎泽月考）书画经装裱后更便于收藏．如图，画心ABCD为长90cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A′B′C′D′，两矩形的对应边互相平行，且AB与A′B'的距离、CD与C′D′的距离都等于4cm．当AD与A′D′的距离、BC与B'C′距离都等于acm，且矩形ABCD∽矩形A′B′C′D'时，整幅书画最美观此时，a的值为（ ）
A．4 B．6 C．12 D．24
二、填空题
11．（2020九上·株洲期中）下列五组图形中，①两个等腰三角形；②两个等边三角形；③两个菱形；④两个矩形；⑤两个正方形．一定相似的有 （填序号）
12．（2020·淮安模拟）一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它相似的四边形最小边长为6，则另一个四边形的最长边是 .
13．（2020九上·平定期末）两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形周长为36cm，则较大多边形周长为 ．
14．（2020九上·青山期中）一个多边形的边长依次为1，2，3，4，5，6，与它相似的另一个多边形的最大边长为8，那么另一个多边形的周长是 .
15．（2020八下·高新期末）把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若小长方形的宽为2，则原长方形的宽x为 。
16．（2019九上·乡宁期中）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状完全相同，大小不同的枫叶，则 的值为 ．
三、解答题
17．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.2相似图形 同步练习）如图，已知矩形ABCD与矩形DEFC相似，且AB＝2 cm，BC＝5 cm，求AE的长．
18．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.4 比例线段 同步练习）在一块长和宽分别为3m和2m的矩形塑料板四周镶上木条．若在长边上镶上的木条的宽为0.5m．则要使木条内缘围成的矩形与木条外缘围成的矩形相似，在宽边上镶的木条的宽应是多少？
19．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.2相似图形 同步练习）如图，已知四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′，求∠A的度数及x的值．
20．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册4.4 相似多边形 同步练习）如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
21．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册4.3 相似多边形 同步练习）如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH的长度．
四、综合题
22．（2019九上·慈溪月考）一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
23．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册第四章 图形的相似 单元检测a卷）图中的两个多边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1相似(各字母已按对应关系排列)，∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°.
（1）求∠F的度数；
（2）如果多边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1的相似比是1：1.5，且CD＝15cm，求C1D1的长度．
24．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册4.7 相似三角形的性质 同步练习）如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN， 矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．
（1）求AD的长；
（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
25．（2017九下·钦州港期中）如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4.
（1）求AD的长；
（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
26．（2018·潜江模拟）阅读下列材料，完成任务：
自相似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．
任务：
（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为 ；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为 ；
（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．
请从下列A、B两题中任选一条作答．
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a= （用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a= （用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a= （用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a= （用含m，n，b的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设原矩形ABCD的长为x，宽为y，
∴小矩形的长为y，宽为 ，
∵小矩形与原矩形相似，
，
∴x：y=2：1
故答案为：A.
【分析】设原矩形的长为x，宽为y，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得.
2．【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵两个相似多边形的面积之比为1：4，
∴这两个多边形的周长比为1:2.
故答案为：A.
【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，即可解答。
3．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵点 的坐标为 ，
∴ ， ．
，
∴ ，
∵矩形 与矩形 位似，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后计算求解即可。
4．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵两个五边形相似，且最长边的比为6:24=1:4
∴最短边的比为1:4
∵其中一个五边形的最短边为2
∴另外一个五边形的最短边为2×4=8
故答案为：B.
【分析】根据相似多边形的对应边成比例，即可得到最短边的长度。
5．【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴ cm，
∵矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，
∴ ，∴ ，即 ，
∴ ，
∴a：b= ：1.
故答案为：A.
【分析】根据线段的中点，可得，由于矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，可得 ，即得 ，从而可得，据此即可求出结论.
6．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：用一个放大镜去观察一个五边形，放大后的五边形与原五边形相似，
A.相似五边形的对应边成比例，所以各边长都变大，故A选项不符合题意；
B.相似五边形的对应角相等，所以对应角大小不变，故B符合题意;
C.相似五边形的周长得比等于相似比，故C选项不符合题意;
D.相似五边形的面积比等于相似比的平方，故D选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】用放大镜观察一个图形，则与原图形相似，根据相似图形的性质进行判断.即相似图形的对应角相等，对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
7．【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：根据正方形面积的计算方法和积的变化规律，如果一个正方形的边长扩大为原来的4倍，那么正方形的面积是原来正方形面积的4×4=16倍．
故答案为：A．
【分析】根据正方形的面积公式：s=a2，和积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积，由此解答．
8．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：如图，
设AB=a， BC=b，
∵矩形ABCD∽矩形BEFA，
∴AB：BC=AF：AB，
∴a：b=b：a，
∴a2=b2，
∴b：a=：1，
故答案为：B.
【分析】设短边AB=a， 长边BC=b， 由相似多边形的性质列式即可求出矩形的长边与短边的比值.
9．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵将长为a，宽为b的长方形纸片对折两次，
∴小长方形的长为b，宽为
∵原长方形和对折两次后的小长方形相似，
∴
解之：a=2b.
故答案为：B.
【分析】根据已知长为a，宽为b的长方形纸片对折两次，可得到小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例，即可得到a与b的数量关系。
10．【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】由题意
解得
故答案为：C.
【分析】由 ，推出 ，由此构建方程即可解决问题.
11．【答案】②⑤
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】两个等腰三角形的顶角不一定相等，故不一定相似；
两个等边三角形一定相似；
两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似；
两个矩形的相邻边长比例不一定相等，故不一定相似；
两个正方形一定相似；
故答案为：②⑤．
【分析】根据相似多边形的判定定理对每个图形一一判断即可。
12．【答案】12
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】两个相似的四边形，一个最短的边是3，另一个最短边长为6，
则相似比是3：6=1：2，
根据相似四边形的对应边的比相等，设后一个四边形的最长边的长为x，
则6：x=1：2，
解得：x=12.
即后一个四边形的最长边的长为12.
故答案为：12.
【分析】根据相似四边形的对应边的比相等进行解答即可.
13．【答案】48cm
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：两个相似多边形的面积比是9：16，
面积比是周长比的平方，
则大多边形与小多边形的相似比是4：3．
相似多边形周长的比等于相似比，
因而设大多边形的周长为xcm，
则有 ＝ ，
解得：x＝48
大多边形的周长为48cm．
故答案为:48cm．
【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．
14．【答案】28
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设另一个多边形的周长是x．依题意，有
x：（1+2+3+4+5+6）=8：6，
解得x=28．
故另一个多边形的周长是28．
【分析】根据相似多边形的周长比等于相似比作答．
15．【答案】2
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：根据题意得，
解得x=2（负值舍去），
故原长方形的宽为2.
【分析】根据相似图形的对应边相等即可得到关于x的方程，求解即可.
16．【答案】6
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】由题意得：这两片枫叶相似
则
解得
故答案为：6．
【分析】根据相似多边形的性质即可得．
17．【答案】解：∵矩形ABCD与矩形DEFC相似，
∴ ，即 ，
∴DE＝ ，
∴AE＝AD－DE＝5－ ＝
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】由已知矩形ABCD与矩形DEFC相似，利用相似多边形的性质，可得出AB：DE=BC：EF，再将AB、EF、BC的值代入计算，可求出DE，再求出AE的长。
18．【答案】解：设在宽边上镶的木条的宽应是xm，根据题意，得
= ，
解得x=0.75．
答：在宽边上镶的木条的宽应是0.75m
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】根据题意可证得两矩形相似，且相似比为3：2，设在宽边上镶的木条的宽应是xm，利用相似多边形的对应边成比例，列出关于x的方程求解即可。
19．【答案】解：∵四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′，
∴∠A=∠A′＝107°， ，
解得x＝
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】根据相似多边形的性质，由已知四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′，可得出对应角相等，对应边成比例，就可得出∠A的度数及x的值。
20．【答案】解：设运动了ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，则AQ=AC﹣CQ=16﹣3t（cm），当△APQ∽△ABC时， ，即 ，解得：t= ；当△APQ∽△ACB时， ，即 ，解得：t=4；故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是： s或4s．
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】由题意根据路程=速度时间，可将AP、CQ、AQ用含t的代数式表示。因为∠A时公共角，所以以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时分两种情况讨论求解：
①当△APQ∽△ABC时，可得比例式，代入可得关于t的方程，解方程即可求解；
②当△APQ∽△ACB时，可得比例式，代入可得关于t的方程，解方程即可求解。
21．【答案】解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°， ， ，∴ ，∴EH=28（cm）．答：∠α=83°，∠β=81°，EH=28cm.
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】根据相似多边形的性质，相似多边形的对应角相等、对应边成比例可得∠α=∠B，∠D=∠H， 根据四边形的内角和为 360 ° 可求得∠ β 的度数；EH：AD=HG：DC，将已知的边代入计算即可求解。
22．【答案】（1）解：由已知得MN=AB=2，MD= AD= BC，
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似， = ，
∴DM BC=AB MN，即 BC2=4，
∴BC=2 ，即它的另一边长为2
（2）解：∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴ = ，
∵AB=CD=2，BC=4，
∴DF= =1，
∴矩形EFDC的面积=CD DF=2×1=2
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）由题意可知矩形DMNC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，就可以得到它的另一边长；
（2）根据相似矩形对应边成比例列出比例式求出DF的长，再根据矩形面积公式求解即可．
23．【答案】（1）解：∵多边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1相似，∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°，∴∠C＝∠C1＝95°，∠D＝∠D1＝135°，∠E＝∠E1＝120°.
由多边形内角和定理，得多边形ABCDEF的内角和为180°×(6－2)＝720°，
∴∠F＝720°－(135°＋120°＋95°＋135°＋120°)＝115°
（2）解：∵多边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1的相似比是1：1.5，且CD＝15cm，
∴C1D1＝15×1.5＝22.5(cm)．
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）由相似多边形的对应角相等和已知条件可得∠C＝∠C1＝95°，∠D＝∠D1＝135°，∠E＝∠E1＝120°，再根据多边形内角和=（n-2）=（6-2），用求得的六边形的内角和减去已知的角的度数即为∠F的度数；
（2）根据相似多边形的对应边的比等于相似比即可求解。
24．【答案】（1）解：若设AD＝x(x＞0)，则DM＝ .
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴ .
∴ ，即x＝4 (舍负)．
∴AD的长为4 .
（2）解：矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为： ＝
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）由题意根据相似多边形的对应边的比相等可得比例式：，将已知的线段代入比例式计算即可求解；
（2）根据相似多边形的对应边的比等于相似比即可求解。
25．【答案】（1）解：若设AD＝x(x＞0)，则DM＝ .
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴ ＝ .
∴ ＝ ，即x＝4 (舍负)．
∴AD的长为4 .
（2）解：矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为： ＝ .
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】本题考查相似多边形的性质，对应边的比相等.矩形DMNC与矩形ABCD相似，对应边的比相等，就可以得到AD的长；相似比即为是对应边的比.
26．【答案】（1）
（2）
（3）；； 或 ； 或
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】（解：（1）∵点H是AD的中点，
∴AH= AD，
∵正方形AEOH∽正方形ABCD，
∴相似比为： == ；
故答案为： ；
（ 2 ）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，
∴△ACD与△ABC相似的相似比为： ，
故答案为： ；
（ 3 ）A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，
∴AF：AB=AB：AD，
即 a：b=b：a，
∴a= b；
故答案为：
②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和 a，
则b： a=a：b，
∴a= b；
故答案为：
B、①如图2，
由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，
∴DN= b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD= a，
∴AF=a﹣ a= a，
∴AG= = = a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 a：b=b：a
得：a= b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD= ，
∴AF=a﹣ = ，
∴AG= = ，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 ：b=b：a，
得：a= b；
故答案为： 或 ；
②如图3，
由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，
∴DN= b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD= a，
∴AF=a﹣ a，
∴AG= = = a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 a：b=b：a
得：a= b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD= ，
∴AF=a﹣ ，
∴AG= = ，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 ：b=b：a，
得：a= b；
故答案为： b或 b．
【分析】由题意可知，用相似多边形的性质即可求解。相似多边形的性质是；相似多边形的对应边的比相等。相似多边形的对应边的比等于相似比。
（1）由题意知，小正方形的边长等于大正方形的边长的一半，所以其相似比为；
（2）在直角三角形BC中，由勾股定理易得AB=5，而CDAB，所以用面积法可求得CD=，所以相似比===；
（3）A、①由题意可得，解得；
②同理可得； ，解得，；
B、①最小的矩形的长和宽与大矩形的场和宽的对应方式有两种，所以分两种情况来解：
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，由题意可得成比例线段，，，解得FD=，则AF的长也可用含a的代数式表示，而AG=GF=AF，再根据矩形GABH∽矩形ABCD，得到相对应的比例式即可求得a=b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，同理可得a=b；
②同①中的两种情况类似。
1 / 1初中数学浙教版九年级上册4.6 相似多边形同步练习
一、单选题
1．（2020九上·桂林月考）如图，把一个矩形分割成四个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为（ ）
A．2：1 B．4：1 C． D．1：2
【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设原矩形ABCD的长为x，宽为y，
∴小矩形的长为y，宽为 ，
∵小矩形与原矩形相似，
，
∴x：y=2：1
故答案为：A.
【分析】设原矩形的长为x，宽为y，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得.
2．（2020九上·鄞州期末）如果两个相似多边形的面积之比为1：4，那么它们的周长之比是( ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵两个相似多边形的面积之比为1：4，
∴这两个多边形的周长比为1:2.
故答案为：A.
【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，即可解答。
3．（2021·桥东模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形 与矩形 是以点 为位似中心的位似图形，点 的坐标为 ，若 ，则 的长是（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．6
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵点 的坐标为 ，
∴ ， ．
，
∴ ，
∵矩形 与矩形 位似，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后计算求解即可。
4．（2020九上·合肥月考）一个五边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的五边形的最长边长为24，则这个五边形的最短边长为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．10
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵两个五边形相似，且最长边的比为6:24=1:4
∴最短边的比为1:4
∵其中一个五边形的最短边为2
∴另外一个五边形的最短边为2×4=8
故答案为：B.
【分析】根据相似多边形的对应边成比例，即可得到最短边的长度。
5．（2020八下·黄石期中）如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=a，宽BC=b，E，F分别是AB，CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，则a：b等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴ cm，
∵矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，
∴ ，∴ ，即 ，
∴ ，
∴a：b= ：1.
故答案为：A.
【分析】根据线段的中点，可得，由于矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，可得 ，即得 ，从而可得，据此即可求出结论.
6．（2020九上·长春期末）用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（ ）
A．各边的长度 B．各内角的度数
C．五边形的周长 D．五边形的面积
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：用一个放大镜去观察一个五边形，放大后的五边形与原五边形相似，
A.相似五边形的对应边成比例，所以各边长都变大，故A选项不符合题意；
B.相似五边形的对应角相等，所以对应角大小不变，故B符合题意;
C.相似五边形的周长得比等于相似比，故C选项不符合题意;
D.相似五边形的面积比等于相似比的平方，故D选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】用放大镜观察一个图形，则与原图形相似，根据相似图形的性质进行判断.即相似图形的对应角相等，对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
7．（2020九上·二道期末）若将一个正方形的各边长扩大为原来的4倍，则这个正方形的面积扩大为原来的（ ）
A．16倍 B．8倍 C．4倍 D．2倍
【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：根据正方形面积的计算方法和积的变化规律，如果一个正方形的边长扩大为原来的4倍，那么正方形的面积是原来正方形面积的4×4=16倍．
故答案为：A．
【分析】根据正方形的面积公式：s=a2，和积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积，由此解答．
8．（2020九上·岐山期末）如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是（ ）
A．1： B． ：1 C．2：1 D．4：1
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：如图，
设AB=a， BC=b，
∵矩形ABCD∽矩形BEFA，
∴AB：BC=AF：AB，
∴a：b=b：a，
∴a2=b2，
∴b：a=：1，
故答案为：B.
【分析】设短边AB=a， 长边BC=b， 由相似多边形的性质列式即可求出矩形的长边与短边的比值.
9．（2019九上·宁波月考）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝ b B．a＝2b C．a＝2 b D．a＝4b
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵将长为a，宽为b的长方形纸片对折两次，
∴小长方形的长为b，宽为
∵原长方形和对折两次后的小长方形相似，
∴
解之：a=2b.
故答案为：B.
【分析】根据已知长为a，宽为b的长方形纸片对折两次，可得到小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例，即可得到a与b的数量关系。
10．（2019九上·迎泽月考）书画经装裱后更便于收藏．如图，画心ABCD为长90cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A′B′C′D′，两矩形的对应边互相平行，且AB与A′B'的距离、CD与C′D′的距离都等于4cm．当AD与A′D′的距离、BC与B'C′距离都等于acm，且矩形ABCD∽矩形A′B′C′D'时，整幅书画最美观此时，a的值为（ ）
A．4 B．6 C．12 D．24
【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】由题意
解得
故答案为：C.
【分析】由 ，推出 ，由此构建方程即可解决问题.
二、填空题
11．（2020九上·株洲期中）下列五组图形中，①两个等腰三角形；②两个等边三角形；③两个菱形；④两个矩形；⑤两个正方形．一定相似的有 （填序号）
【答案】②⑤
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】两个等腰三角形的顶角不一定相等，故不一定相似；
两个等边三角形一定相似；
两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似；
两个矩形的相邻边长比例不一定相等，故不一定相似；
两个正方形一定相似；
故答案为：②⑤．
【分析】根据相似多边形的判定定理对每个图形一一判断即可。
12．（2020·淮安模拟）一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它相似的四边形最小边长为6，则另一个四边形的最长边是 .
【答案】12
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】两个相似的四边形，一个最短的边是3，另一个最短边长为6，
则相似比是3：6=1：2，
根据相似四边形的对应边的比相等，设后一个四边形的最长边的长为x，
则6：x=1：2，
解得：x=12.
即后一个四边形的最长边的长为12.
故答案为：12.
【分析】根据相似四边形的对应边的比相等进行解答即可.
13．（2020九上·平定期末）两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形周长为36cm，则较大多边形周长为 ．
【答案】48cm
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：两个相似多边形的面积比是9：16，
面积比是周长比的平方，
则大多边形与小多边形的相似比是4：3．
相似多边形周长的比等于相似比，
因而设大多边形的周长为xcm，
则有 ＝ ，
解得：x＝48
大多边形的周长为48cm．
故答案为:48cm．
【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．
14．（2020九上·青山期中）一个多边形的边长依次为1，2，3，4，5，6，与它相似的另一个多边形的最大边长为8，那么另一个多边形的周长是 .
【答案】28
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设另一个多边形的周长是x．依题意，有
x：（1+2+3+4+5+6）=8：6，
解得x=28．
故另一个多边形的周长是28．
【分析】根据相似多边形的周长比等于相似比作答．
15．（2020八下·高新期末）把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若小长方形的宽为2，则原长方形的宽x为 。
【答案】2
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：根据题意得，
解得x=2（负值舍去），
故原长方形的宽为2.
【分析】根据相似图形的对应边相等即可得到关于x的方程，求解即可.
16．（2019九上·乡宁期中）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状完全相同，大小不同的枫叶，则 的值为 ．
【答案】6
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】由题意得：这两片枫叶相似
则
解得
故答案为：6．
【分析】根据相似多边形的性质即可得．
三、解答题
17．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.2相似图形 同步练习）如图，已知矩形ABCD与矩形DEFC相似，且AB＝2 cm，BC＝5 cm，求AE的长．
【答案】解：∵矩形ABCD与矩形DEFC相似，
∴ ，即 ，
∴DE＝ ，
∴AE＝AD－DE＝5－ ＝
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】由已知矩形ABCD与矩形DEFC相似，利用相似多边形的性质，可得出AB：DE=BC：EF，再将AB、EF、BC的值代入计算，可求出DE，再求出AE的长。
18．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.4 比例线段 同步练习）在一块长和宽分别为3m和2m的矩形塑料板四周镶上木条．若在长边上镶上的木条的宽为0.5m．则要使木条内缘围成的矩形与木条外缘围成的矩形相似，在宽边上镶的木条的宽应是多少？
【答案】解：设在宽边上镶的木条的宽应是xm，根据题意，得
= ，
解得x=0.75．
答：在宽边上镶的木条的宽应是0.75m
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】根据题意可证得两矩形相似，且相似比为3：2，设在宽边上镶的木条的宽应是xm，利用相似多边形的对应边成比例，列出关于x的方程求解即可。
19．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.2相似图形 同步练习）如图，已知四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′，求∠A的度数及x的值．
【答案】解：∵四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′，
∴∠A=∠A′＝107°， ，
解得x＝
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】根据相似多边形的性质，由已知四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′，可得出对应角相等，对应边成比例，就可得出∠A的度数及x的值。
20．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册4.4 相似多边形 同步练习）如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
【答案】解：设运动了ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，则AQ=AC﹣CQ=16﹣3t（cm），当△APQ∽△ABC时， ，即 ，解得：t= ；当△APQ∽△ACB时， ，即 ，解得：t=4；故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是： s或4s．
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】由题意根据路程=速度时间，可将AP、CQ、AQ用含t的代数式表示。因为∠A时公共角，所以以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时分两种情况讨论求解：
①当△APQ∽△ABC时，可得比例式，代入可得关于t的方程，解方程即可求解；
②当△APQ∽△ACB时，可得比例式，代入可得关于t的方程，解方程即可求解。
21．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册4.3 相似多边形 同步练习）如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH的长度．
【答案】解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°， ， ，∴ ，∴EH=28（cm）．答：∠α=83°，∠β=81°，EH=28cm.
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】根据相似多边形的性质，相似多边形的对应角相等、对应边成比例可得∠α=∠B，∠D=∠H， 根据四边形的内角和为 360 ° 可求得∠ β 的度数；EH：AD=HG：DC，将已知的边代入计算即可求解。
四、综合题
22．（2019九上·慈溪月考）一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
【答案】（1）解：由已知得MN=AB=2，MD= AD= BC，
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似， = ，
∴DM BC=AB MN，即 BC2=4，
∴BC=2 ，即它的另一边长为2
（2）解：∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴ = ，
∵AB=CD=2，BC=4，
∴DF= =1，
∴矩形EFDC的面积=CD DF=2×1=2
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）由题意可知矩形DMNC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，就可以得到它的另一边长；
（2）根据相似矩形对应边成比例列出比例式求出DF的长，再根据矩形面积公式求解即可．
23．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册第四章 图形的相似 单元检测a卷）图中的两个多边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1相似(各字母已按对应关系排列)，∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°.
（1）求∠F的度数；
（2）如果多边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1的相似比是1：1.5，且CD＝15cm，求C1D1的长度．
【答案】（1）解：∵多边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1相似，∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°，∴∠C＝∠C1＝95°，∠D＝∠D1＝135°，∠E＝∠E1＝120°.
由多边形内角和定理，得多边形ABCDEF的内角和为180°×(6－2)＝720°，
∴∠F＝720°－(135°＋120°＋95°＋135°＋120°)＝115°
（2）解：∵多边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1的相似比是1：1.5，且CD＝15cm，
∴C1D1＝15×1.5＝22.5(cm)．
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）由相似多边形的对应角相等和已知条件可得∠C＝∠C1＝95°，∠D＝∠D1＝135°，∠E＝∠E1＝120°，再根据多边形内角和=（n-2）=（6-2），用求得的六边形的内角和减去已知的角的度数即为∠F的度数；
（2）根据相似多边形的对应边的比等于相似比即可求解。
24．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册4.7 相似三角形的性质 同步练习）如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN， 矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．
（1）求AD的长；
（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
【答案】（1）解：若设AD＝x(x＞0)，则DM＝ .
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴ .
∴ ，即x＝4 (舍负)．
∴AD的长为4 .
（2）解：矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为： ＝
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）由题意根据相似多边形的对应边的比相等可得比例式：，将已知的线段代入比例式计算即可求解；
（2）根据相似多边形的对应边的比等于相似比即可求解。
25．（2017九下·钦州港期中）如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4.
（1）求AD的长；
（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
【答案】（1）解：若设AD＝x(x＞0)，则DM＝ .
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴ ＝ .
∴ ＝ ，即x＝4 (舍负)．
∴AD的长为4 .
（2）解：矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为： ＝ .
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】本题考查相似多边形的性质，对应边的比相等.矩形DMNC与矩形ABCD相似，对应边的比相等，就可以得到AD的长；相似比即为是对应边的比.
26．（2018·潜江模拟）阅读下列材料，完成任务：
自相似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．
任务：
（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为 ；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为 ；
（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．
请从下列A、B两题中任选一条作答．
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a= （用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a= （用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a= （用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a= （用含m，n，b的式子表示）．
【答案】（1）
（2）
（3）；； 或 ； 或
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】（解：（1）∵点H是AD的中点，
∴AH= AD，
∵正方形AEOH∽正方形ABCD，
∴相似比为： == ；
故答案为： ；
（ 2 ）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，
∴△ACD与△ABC相似的相似比为： ，
故答案为： ；
（ 3 ）A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，
∴AF：AB=AB：AD，
即 a：b=b：a，
∴a= b；
故答案为：
②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和 a，
则b： a=a：b，
∴a= b；
故答案为：
B、①如图2，
由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，
∴DN= b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD= a，
∴AF=a﹣ a= a，
∴AG= = = a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 a：b=b：a
得：a= b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD= ，
∴AF=a﹣ = ，
∴AG= = ，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 ：b=b：a，
得：a= b；
故答案为： 或 ；
②如图3，
由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，
∴DN= b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD= a，
∴AF=a﹣ a，
∴AG= = = a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 a：b=b：a
得：a= b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD= ，
∴AF=a﹣ ，
∴AG= = ，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 ：b=b：a，
得：a= b；
故答案为： b或 b．
【分析】由题意可知，用相似多边形的性质即可求解。相似多边形的性质是；相似多边形的对应边的比相等。相似多边形的对应边的比等于相似比。
（1）由题意知，小正方形的边长等于大正方形的边长的一半，所以其相似比为；
（2）在直角三角形BC中，由勾股定理易得AB=5，而CDAB，所以用面积法可求得CD=，所以相似比===；
（3）A、①由题意可得，解得；
②同理可得； ，解得，；
B、①最小的矩形的长和宽与大矩形的场和宽的对应方式有两种，所以分两种情况来解：
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，由题意可得成比例线段，，，解得FD=，则AF的长也可用含a的代数式表示，而AG=GF=AF，再根据矩形GABH∽矩形ABCD，得到相对应的比例式即可求得a=b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，同理可得a=b；
②同①中的两种情况类似。
1 / 1
