初中数学浙教版九年级上册第4章 相似三角形单元检测
一、单选题
1．（2019九上·大田期中）如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( )
A．60° B．75° C．87° D．120°
【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】α的度数是：360 -60 -75 -138 =87
故答案为：C
【分析】根据相似多边形性质：对应角相等.
2．（2021九下·杭州开学考）已知 （a≠0，b≠0），下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵, ∴3a=2b,
A、∵ ，2a=3b, 错误；
B、∵ ,∴2a=3b, 错误；
C、∵ ,∴3a=2b, 正确；
D、 ，∴ab=6, 错误；
故答案为：C.
【分析】由比例的性质可知，内项之积等于外项之积，据此分别判断即可.
3．（2021九上·平果期末）如图，已知 ， ， ， ，则 的长是（ ）
A．5 B．6 C．15 D．20
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： ，
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解.
4．（2021·松北模拟）如图，点G、F分别是 的边 、 上的点， 的延长线与 的延长线相交于点A， 交 于点E，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵ 交GA于点E，
， ， ， ，
所以，A，B，D符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据 交GA于点E，求解即可。
5．（2020九上·柯桥月考）如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，
如图1∵
∴
∴，
∴△ABC∽△DEF；
如图2∵
∴
∴，
∴△ABC∽△DEF；
如图3∵
∴
∴
∴△ABC∽△DEF；
如图4
∵
∴
∴，
∴△ABC∽△DEF；
∴正确的画法有4个.
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理分别求出每一个图形中的两个三角形的边长，再求出各组对应边之比，然后判断三边是否成比例，利用三边对应成比例的两三角形相似，可得出答案。
6．（2021·合肥模拟）如图， 中， ， ，点 在 的延长线上，且 连接 并延长，过 作 于点 ，若 ，则 的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：取AB的中点F，连接CF，
∵∠ACB=90°，∠CBA=30°，
∴∠CAB=60°，FC=FA= AB，
∴△AFC是等边三角形，
∴∠FAC=∠FCA=60°，AC=FC=FA，
∵BA=2AD，
∴AC=AD=FA，
∴△DFC是直角三角形，且∠DCF=90°，∠D=30°，
∵BE⊥DC，
∴FC∥BE，
∴△DCF △DEB，
∴ ，
∵BE=3，
∴FC=2，
∴DC= ，
∴ 的面积为 ．
故答案为：C．
【分析】先求出△AFC是等边三角形，再求出△DCF △DEB，最后利用锐角三角函数和三角形的面积公式计算求解即可。
7．（2021·淮南模拟）如图，线段AB∥CD，连接AD，BC交于点O，若CD＝2AB，则下列选项中错误的是（ ）
A．△AOB∽△DOC B．
C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A.∵AB//CD，
∴∠D＝∠A，∠C＝∠B，
∴△AOB∽△DOC，故A不符合题意；
B.∵△AOB∽△DOC，CD＝2AB，
∴ ，故B符合题意；
C. ∵△AOB∽△DOC，CD＝2AB，
∴ ，故C不符合题意；
D. ∵△AOB∽△DOC，CD＝2AB，
∴ ，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】由AB//CD，可得∠D＝∠A，∠C＝∠B，可证△AOB∽△DOC，可得，从而求出，，据此逐一判断即可.
8．（2021·河西模拟）在边长为 的正方形 中，对角线 与 相交于点O，P是 上一动点，过P作 ，分别交正方形的两条边于点E，F．设 ， 的面积为y，当 时，y与x之间的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD=2，OB=OD= BD=1，
∵当1＜x＜2时，即P在OD上，
∵EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴EF：AC=DP：OD，
即EF：2=（2-x）：1，
∴EF=4-2x，
∴y= EF OP= ×(4 2x) (x 1)=-x2+3x-2．
故答案为：C．
【分析】先求出AC=BD=2，OB=OD= BD=1，再求出△DEF∽△DAC，最后计算求解即可。
9．（2019九上·滕州期中）如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵矩形ABCD与矩形EABF相似，
∴ ，即 ＝ ，
解得，AD＝ ，
∴矩形ABCD的面积＝AB AD＝ ，
故答案为：D．
【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
10．（2021·柯桥模拟）如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′，A′、B′均在图中格点上，若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（ ）
A． B．（m，n） C． D．
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上，
即A点坐标为：（4，6），B点坐标为：（6，2），A′点坐标为：（2，3），B′点坐标为：（3，1），
所以：位似比为2：1，
∴线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为： .
故答案为：D.
【分析】利用位似图形的性质，由点A，B，A′，B′的坐标可得到位似比，由此可求出点P在A′B′上的对应点P′的坐标.
二、填空题
11．（2020九上·吉安期末）在平面直角坐标系中已知点 ， ，以原点 为位似中心，相似比为1：2，将 扩大，则点 的对应点 的坐标是 ．
【答案】（-4,2）或（4，-2）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：如图，点 的对应点 的坐标是 或 ．
【分析】根据相似三角形的性质和图象求点的坐标即可。
12．（2019九上·定边期中）如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=9，点E，G分别为边AB，AD上的点，若矩形AEFG与矩形ABCD相似，且相似比为 ，连接CF，则CF= .
【答案】5或 .
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】延长GF交BC于M.∵四边形AEFG和ABCD是矩形，∴GF∥AE.∵AB⊥BC，∴GM⊥BC，分两种情况：
①当AD与AG对应时.∵相似比为 .∵AB=12，AD=BC=9，∴EF=AG=BM=6，GF=AE=8，∴FM=12﹣8=4，CM=9﹣6=3.在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF= =5。
②当AD与AE对应时.∵相似比为 ，∴AG=8，AE=6，∴FM=12﹣6=6，CM=9﹣8=1.在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF= = .
故答案为：5或 .
【分析】若矩形AEFG与矩形ABCD相似，没确定哪两条边相似，所以分两种情况：①当AD与AG对应时，先根据相似比求AG和AE的长，利用线段的差求FM和CM的长，根据勾股定理求CF的长；②当AD与AE对应时，同理可得CF的长.
13．（2021·阜新）如图，已知每个小方格的边长均为1，则 与 的周长比为 ．
【答案】2：1
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图，
设 、 分别与 交于点 、 ，则 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
由图可知： ，
∴ ，
即 与 的相似比为 ，
∴ 与 的周长比为
故答案为：2：1
【分析】根据题意可得AF∥DG，∠FAG=∠CDG，根据三角函数值求出∠BAF=∠EDG，继而得到∠BAG=∠CDE，即可得到AB∥DE，证明得到△ABC∽△DEC，分别求出AB，DE即可。
14．（2020九上·射洪期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts，当t＝ 时，△CPQ与△CBA相似．
【答案】4.8或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】①CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以 ＝ ，
即 ＝ ，
解得t＝4.8；
②CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以 ＝ ，
即 ＝ ，
解得t＝ .
综上所述，当t＝4.8或 时，△CPQ与△CBA相似．
【分析】分两种情况①△CPQ∽△CBA，②△CPQ∽△CAB，利用相似三角形的性质分别解答即可.
15．（2021八下·岱岳期末）如图， ，相似比为 ，则面积之比 为 ．
【答案】3：1
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵ ，相似比为 2：1 ，
∴
.
故填：3：1．
【分析】先求出再计算求解即可。
16．（2021九下·西湖开学考）如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB＝3：2：1，若AG＝15，则EC的长为 .
【答案】9
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥FG∥BC，
∴AD：DF：FB＝AE：EG：GC，
∵AD：DF：FB＝3：2：1，
∴AE：EG：GC＝3：2：1，
设AE＝3x，EG＝2x，GC＝x，
∵AG＝15，
∴3x+2x＝15，
解得：x＝3，
即AE＝9，EG＝6，GC＝3，
∴EC＝EG+GC＝6+3＝9，
故答案为：9.
【分析】 根据平行线分线段成比例的性质得出AD：DF：FB=AE：EG：GC=3：2：1，设AE=3x，EG=2x，GC=x，根据AG=15得出方程3x+2x=15，求出x，再求出答案即可．
三、解答题
17．（2020九上·秦都期末）如图， 是 的角平分线，延长 至点 使得 .求证： .
【答案】证明： 是 的角平分线
又
.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先根据角平分线的定义可得 ，再根据等腰三角形的性质可得 ，从而可得 ，然后根据相似三角形的判定即可得证.
18．（2020·上海模拟）已知直线l1∥l2∥l3，AG=1.2cm，BG=2.4cm，EF=3cm，CD=4cm，求CH、KF的值。
【答案】解：∵ AG=1.2cm，BG=2.4cm∴∵ l1∥l2∥l3∴即∴解得：KF=2，CH=.
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】利用平行线分线段成比例定理得，然后变形为，解此比例方程即可。
19．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=90°，
∵AB=6，AE=9，
∴ ，
∵△ABE∽△DEF，
∴ ，即 ，
解得
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】利用矩形的性质及勾股定理求出BE的长，再利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，将相关的线段代入可求解。
20．（2020九上·齐河期末）
（1）体验：如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，点M在BC边上，当∠AMD＝90°时，可知△ABM △MCD（不要求证明）．
（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点M在BC上，当∠B＝∠C＝∠AMD时，求证：△ABM∽△MCD．
拓展：如图3，在△ABC中，点M是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B＝∠C＝∠DME＝45°，BC＝8 ，CE＝6，求DE的长．
【答案】（1）∽
（2）解：探究：∵∠AMC＝∠BAM+∠B，∠AMC＝∠AMD+∠CMD，
∴∠BAM+∠B＝∠AMD+∠CMD．
∵∠B＝∠AMD，
∴∠BAM＝∠CMD，
∵∠B＝∠C，
∴△ABM∽△MCD；
拓展：同探究的方法得出，△BDM∽△CME，
∴ ＝ ，
∵点M是边BC的中点，
∴BM＝CM＝4 ，
∵CE＝6，
∴ ＝ ，
解得，BD＝ ，
∵∠B＝∠C＝45°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
∴AC＝AB＝ BC＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝8﹣ ＝ ，AE＝AC﹣CE＝2，
在Rt△ADE中，DE＝ ＝ ＝
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：体验：∵∠AMD＝90°，
∴∠AMB+∠DMC＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠AMB+∠BAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DMC，
∵AB∥CD，∠B＝90°，
∴∠C＝∠B＝90°，
∴△ABM∽△MCD，
故答案为：∽；
【分析】（1）先求出∠AMB+∠DMC＝90°，再求出∠C＝∠B＝90°，最后作答求解即可；
（2）先求出 ∠BAM＝∠CMD ，再证明 △ABM∽△MCD ，最后利用勾股定理计算求解即可。
21．一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
【答案】解：（1）由已知得MN=AB=2，MD=AD=BC，
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴DM BC=AB MN，即BC2=4，
∴BC=2，即它的另一边长为2；
（2）∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴
∵AB=CD=2，BC=4，
∴DF==1，
∴矩形EFDC的面积=CD DF=2×1=2．
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）由题意可知矩形DMNC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，就可以得到它的另一边长；
（2）根据相似矩形对应边成比例列出比例式求出DF的长，再根据矩形面积公式求解即可．
22．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
①以O为位似中心在第二象限作位似比为1：2变换，得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标；
②以原点O为旋转中心，画出把△ABC顺时针旋转90°的图形△A2B2C2，并写出C2的坐标．
【答案】解：①如图所示：△A1B1C1，即为所求，
C1的坐标为：（﹣8，2）；
②如图所示：△A2B2C2，即为所求，
C2的坐标为：（﹣1，﹣4）．
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】①直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；②直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案．
四、综合题
23．（2021九下·江夏月考）如图1， 是 的高， .
（1）求证： .
（2）如图2， 是 的中线， 于点I交 于H点，若 ，求 的值.
（3）如图3，M是 的中点， 交 于E， 于F.若 ， ，直接写出 的值.
【答案】（1）证明：∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
（2）解：作 交直线 于E，
∵ ，∴设 ， ， ，
，
（或 ∴ ）
∴ ，
∵ ，
∴ .
（3）
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）如图3中，延长BC交FE的延长线于H.
∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴CD∥FH，
∴ ， ，
∴ ，
∵DM=CM，
∴HE=EF=4，
在Rt△CEH中，CH= =2.4，
∵△AEF∽△HEC，
∴ ，
∴ ，
∴AE=5，
∴AC=AE+EC=8.2，
∵△HEC∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
∴AB= .
【分析】（1）证明，可得 ，由，可得∠ACB=；
（2）作交直线于E， 由，可设 ， ， ， 由 ，可得 ，易证 ，可得出
；
（3）如图3中，延长BC交FE的延长线于H.根据平行线分线段成比例可求出HE=EF=4，然后根据相似三角形的性质先求出AC，再求出AB即可.
24．（2021九下·大洼开学考）在梯形 中， ， ， ，对角线 和 相交于点 ，等腰直角 的直角顶点 与梯形的顶点 重合，将 绕点 旋转
（1）如图1，当 的一边 落在 边上，另一边 落在 边的延长线上时，求证：
（2）继续旋转 ，旋转角为 ，请你在图2中画出图形，并判断（1）中的结论是否成立？若成立加以证明：若不成立，说明理由；
（3）如图3，继续旋转 ，当三角形的一边 与梯形对角线 重合， 与 相交于点 时，若 ， ， ，分别求出线段 、 、 的长．
【答案】（1）证明：∵BC=DC， 是等腰直角三角形，
∴CE=CF，∠ECF=90°，
在 和 中，
，
∴ ≌ （SAS）
（2）解： ，所画图形如图所示，
证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ （SAS）
（3）解：∵ ， ，
∴由勾股定理得 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由BC=DC， 是等腰直角三角形，可得CE=CF，∠ECF=90°，可证 ≌ （SAS）；（2） 成立，所画图形如图所示，由 ，可得 ，可证 （SAS）；（3）由 ， ， 用勾股定理求得 ， ，可证 ，可求 ， ， ，可证 ，即可求
1 / 1初中数学浙教版九年级上册第4章 相似三角形单元检测
一、单选题
1．（2019九上·大田期中）如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( )
A．60° B．75° C．87° D．120°
2．（2021九下·杭州开学考）已知 （a≠0，b≠0），下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·平果期末）如图，已知 ， ， ， ，则 的长是（ ）
A．5 B．6 C．15 D．20
4．（2021·松北模拟）如图，点G、F分别是 的边 、 上的点， 的延长线与 的延长线相交于点A， 交 于点E，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020九上·柯桥月考）如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2021·合肥模拟）如图， 中， ， ，点 在 的延长线上，且 连接 并延长，过 作 于点 ，若 ，则 的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．（2021·淮南模拟）如图，线段AB∥CD，连接AD，BC交于点O，若CD＝2AB，则下列选项中错误的是（ ）
A．△AOB∽△DOC B．
C． D．
8．（2021·河西模拟）在边长为 的正方形 中，对角线 与 相交于点O，P是 上一动点，过P作 ，分别交正方形的两条边于点E，F．设 ， 的面积为y，当 时，y与x之间的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2019九上·滕州期中）如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．4 B．2 C． D．
10．（2021·柯桥模拟）如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′，A′、B′均在图中格点上，若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（ ）
A． B．（m，n） C． D．
二、填空题
11．（2020九上·吉安期末）在平面直角坐标系中已知点 ， ，以原点 为位似中心，相似比为1：2，将 扩大，则点 的对应点 的坐标是 ．
12．（2019九上·定边期中）如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=9，点E，G分别为边AB，AD上的点，若矩形AEFG与矩形ABCD相似，且相似比为 ，连接CF，则CF= .
13．（2021·阜新）如图，已知每个小方格的边长均为1，则 与 的周长比为 ．
14．（2020九上·射洪期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts，当t＝ 时，△CPQ与△CBA相似．
15．（2021八下·岱岳期末）如图， ，相似比为 ，则面积之比 为 ．
16．（2021九下·西湖开学考）如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB＝3：2：1，若AG＝15，则EC的长为 .
三、解答题
17．（2020九上·秦都期末）如图， 是 的角平分线，延长 至点 使得 .求证： .
18．（2020·上海模拟）已知直线l1∥l2∥l3，AG=1.2cm，BG=2.4cm，EF=3cm，CD=4cm，求CH、KF的值。
19．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．
20．（2020九上·齐河期末）
（1）体验：如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，点M在BC边上，当∠AMD＝90°时，可知△ABM △MCD（不要求证明）．
（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点M在BC上，当∠B＝∠C＝∠AMD时，求证：△ABM∽△MCD．
拓展：如图3，在△ABC中，点M是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B＝∠C＝∠DME＝45°，BC＝8 ，CE＝6，求DE的长．
21．一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
22．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
①以O为位似中心在第二象限作位似比为1：2变换，得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标；
②以原点O为旋转中心，画出把△ABC顺时针旋转90°的图形△A2B2C2，并写出C2的坐标．
四、综合题
23．（2021九下·江夏月考）如图1， 是 的高， .
（1）求证： .
（2）如图2， 是 的中线， 于点I交 于H点，若 ，求 的值.
（3）如图3，M是 的中点， 交 于E， 于F.若 ， ，直接写出 的值.
24．（2021九下·大洼开学考）在梯形 中， ， ， ，对角线 和 相交于点 ，等腰直角 的直角顶点 与梯形的顶点 重合，将 绕点 旋转
（1）如图1，当 的一边 落在 边上，另一边 落在 边的延长线上时，求证：
（2）继续旋转 ，旋转角为 ，请你在图2中画出图形，并判断（1）中的结论是否成立？若成立加以证明：若不成立，说明理由；
（3）如图3，继续旋转 ，当三角形的一边 与梯形对角线 重合， 与 相交于点 时，若 ， ， ，分别求出线段 、 、 的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】α的度数是：360 -60 -75 -138 =87
故答案为：C
【分析】根据相似多边形性质：对应角相等.
2．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵, ∴3a=2b,
A、∵ ，2a=3b, 错误；
B、∵ ,∴2a=3b, 错误；
C、∵ ,∴3a=2b, 正确；
D、 ，∴ab=6, 错误；
故答案为：C.
【分析】由比例的性质可知，内项之积等于外项之积，据此分别判断即可.
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： ，
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解.
4．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵ 交GA于点E，
， ， ， ，
所以，A，B，D符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据 交GA于点E，求解即可。
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，
如图1∵
∴
∴，
∴△ABC∽△DEF；
如图2∵
∴
∴，
∴△ABC∽△DEF；
如图3∵
∴
∴
∴△ABC∽△DEF；
如图4
∵
∴
∴，
∴△ABC∽△DEF；
∴正确的画法有4个.
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理分别求出每一个图形中的两个三角形的边长，再求出各组对应边之比，然后判断三边是否成比例，利用三边对应成比例的两三角形相似，可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：取AB的中点F，连接CF，
∵∠ACB=90°，∠CBA=30°，
∴∠CAB=60°，FC=FA= AB，
∴△AFC是等边三角形，
∴∠FAC=∠FCA=60°，AC=FC=FA，
∵BA=2AD，
∴AC=AD=FA，
∴△DFC是直角三角形，且∠DCF=90°，∠D=30°，
∵BE⊥DC，
∴FC∥BE，
∴△DCF △DEB，
∴ ，
∵BE=3，
∴FC=2，
∴DC= ，
∴ 的面积为 ．
故答案为：C．
【分析】先求出△AFC是等边三角形，再求出△DCF △DEB，最后利用锐角三角函数和三角形的面积公式计算求解即可。
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A.∵AB//CD，
∴∠D＝∠A，∠C＝∠B，
∴△AOB∽△DOC，故A不符合题意；
B.∵△AOB∽△DOC，CD＝2AB，
∴ ，故B符合题意；
C. ∵△AOB∽△DOC，CD＝2AB，
∴ ，故C不符合题意；
D. ∵△AOB∽△DOC，CD＝2AB，
∴ ，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】由AB//CD，可得∠D＝∠A，∠C＝∠B，可证△AOB∽△DOC，可得，从而求出，，据此逐一判断即可.
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD=2，OB=OD= BD=1，
∵当1＜x＜2时，即P在OD上，
∵EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴EF：AC=DP：OD，
即EF：2=（2-x）：1，
∴EF=4-2x，
∴y= EF OP= ×(4 2x) (x 1)=-x2+3x-2．
故答案为：C．
【分析】先求出AC=BD=2，OB=OD= BD=1，再求出△DEF∽△DAC，最后计算求解即可。
9．【答案】D
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵矩形ABCD与矩形EABF相似，
∴ ，即 ＝ ，
解得，AD＝ ，
∴矩形ABCD的面积＝AB AD＝ ，
故答案为：D．
【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
10．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上，
即A点坐标为：（4，6），B点坐标为：（6，2），A′点坐标为：（2，3），B′点坐标为：（3，1），
所以：位似比为2：1，
∴线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为： .
故答案为：D.
【分析】利用位似图形的性质，由点A，B，A′，B′的坐标可得到位似比，由此可求出点P在A′B′上的对应点P′的坐标.
11．【答案】（-4,2）或（4，-2）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：如图，点 的对应点 的坐标是 或 ．
【分析】根据相似三角形的性质和图象求点的坐标即可。
12．【答案】5或 .
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】延长GF交BC于M.∵四边形AEFG和ABCD是矩形，∴GF∥AE.∵AB⊥BC，∴GM⊥BC，分两种情况：
①当AD与AG对应时.∵相似比为 .∵AB=12，AD=BC=9，∴EF=AG=BM=6，GF=AE=8，∴FM=12﹣8=4，CM=9﹣6=3.在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF= =5。
②当AD与AE对应时.∵相似比为 ，∴AG=8，AE=6，∴FM=12﹣6=6，CM=9﹣8=1.在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF= = .
故答案为：5或 .
【分析】若矩形AEFG与矩形ABCD相似，没确定哪两条边相似，所以分两种情况：①当AD与AG对应时，先根据相似比求AG和AE的长，利用线段的差求FM和CM的长，根据勾股定理求CF的长；②当AD与AE对应时，同理可得CF的长.
13．【答案】2：1
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图，
设 、 分别与 交于点 、 ，则 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
由图可知： ，
∴ ，
即 与 的相似比为 ，
∴ 与 的周长比为
故答案为：2：1
【分析】根据题意可得AF∥DG，∠FAG=∠CDG，根据三角函数值求出∠BAF=∠EDG，继而得到∠BAG=∠CDE，即可得到AB∥DE，证明得到△ABC∽△DEC，分别求出AB，DE即可。
14．【答案】4.8或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】①CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以 ＝ ，
即 ＝ ，
解得t＝4.8；
②CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以 ＝ ，
即 ＝ ，
解得t＝ .
综上所述，当t＝4.8或 时，△CPQ与△CBA相似．
【分析】分两种情况①△CPQ∽△CBA，②△CPQ∽△CAB，利用相似三角形的性质分别解答即可.
15．【答案】3：1
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵ ，相似比为 2：1 ，
∴
.
故填：3：1．
【分析】先求出再计算求解即可。
16．【答案】9
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥FG∥BC，
∴AD：DF：FB＝AE：EG：GC，
∵AD：DF：FB＝3：2：1，
∴AE：EG：GC＝3：2：1，
设AE＝3x，EG＝2x，GC＝x，
∵AG＝15，
∴3x+2x＝15，
解得：x＝3，
即AE＝9，EG＝6，GC＝3，
∴EC＝EG+GC＝6+3＝9，
故答案为：9.
【分析】 根据平行线分线段成比例的性质得出AD：DF：FB=AE：EG：GC=3：2：1，设AE=3x，EG=2x，GC=x，根据AG=15得出方程3x+2x=15，求出x，再求出答案即可．
17．【答案】证明： 是 的角平分线
又
.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先根据角平分线的定义可得 ，再根据等腰三角形的性质可得 ，从而可得 ，然后根据相似三角形的判定即可得证.
18．【答案】解：∵ AG=1.2cm，BG=2.4cm∴∵ l1∥l2∥l3∴即∴解得：KF=2，CH=.
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】利用平行线分线段成比例定理得，然后变形为，解此比例方程即可。
19．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=90°，
∵AB=6，AE=9，
∴ ，
∵△ABE∽△DEF，
∴ ，即 ，
解得
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】利用矩形的性质及勾股定理求出BE的长，再利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，将相关的线段代入可求解。
20．【答案】（1）∽
（2）解：探究：∵∠AMC＝∠BAM+∠B，∠AMC＝∠AMD+∠CMD，
∴∠BAM+∠B＝∠AMD+∠CMD．
∵∠B＝∠AMD，
∴∠BAM＝∠CMD，
∵∠B＝∠C，
∴△ABM∽△MCD；
拓展：同探究的方法得出，△BDM∽△CME，
∴ ＝ ，
∵点M是边BC的中点，
∴BM＝CM＝4 ，
∵CE＝6，
∴ ＝ ，
解得，BD＝ ，
∵∠B＝∠C＝45°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
∴AC＝AB＝ BC＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝8﹣ ＝ ，AE＝AC﹣CE＝2，
在Rt△ADE中，DE＝ ＝ ＝
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：体验：∵∠AMD＝90°，
∴∠AMB+∠DMC＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠AMB+∠BAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DMC，
∵AB∥CD，∠B＝90°，
∴∠C＝∠B＝90°，
∴△ABM∽△MCD，
故答案为：∽；
【分析】（1）先求出∠AMB+∠DMC＝90°，再求出∠C＝∠B＝90°，最后作答求解即可；
（2）先求出 ∠BAM＝∠CMD ，再证明 △ABM∽△MCD ，最后利用勾股定理计算求解即可。
21．【答案】解：（1）由已知得MN=AB=2，MD=AD=BC，
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴DM BC=AB MN，即BC2=4，
∴BC=2，即它的另一边长为2；
（2）∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴
∵AB=CD=2，BC=4，
∴DF==1，
∴矩形EFDC的面积=CD DF=2×1=2．
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）由题意可知矩形DMNC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，就可以得到它的另一边长；
（2）根据相似矩形对应边成比例列出比例式求出DF的长，再根据矩形面积公式求解即可．
22．【答案】解：①如图所示：△A1B1C1，即为所求，
C1的坐标为：（﹣8，2）；
②如图所示：△A2B2C2，即为所求，
C2的坐标为：（﹣1，﹣4）．
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】①直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；②直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案．
23．【答案】（1）证明：∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
（2）解：作 交直线 于E，
∵ ，∴设 ， ， ，
，
（或 ∴ ）
∴ ，
∵ ，
∴ .
（3）
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）如图3中，延长BC交FE的延长线于H.
∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴CD∥FH，
∴ ， ，
∴ ，
∵DM=CM，
∴HE=EF=4，
在Rt△CEH中，CH= =2.4，
∵△AEF∽△HEC，
∴ ，
∴ ，
∴AE=5，
∴AC=AE+EC=8.2，
∵△HEC∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
∴AB= .
【分析】（1）证明，可得 ，由，可得∠ACB=；
（2）作交直线于E， 由，可设 ， ， ， 由 ，可得 ，易证 ，可得出
；
（3）如图3中，延长BC交FE的延长线于H.根据平行线分线段成比例可求出HE=EF=4，然后根据相似三角形的性质先求出AC，再求出AB即可.
24．【答案】（1）证明：∵BC=DC， 是等腰直角三角形，
∴CE=CF，∠ECF=90°，
在 和 中，
，
∴ ≌ （SAS）
（2）解： ，所画图形如图所示，
证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ （SAS）
（3）解：∵ ， ，
∴由勾股定理得 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由BC=DC， 是等腰直角三角形，可得CE=CF，∠ECF=90°，可证 ≌ （SAS）；（2） 成立，所画图形如图所示，由 ，可得 ，可证 （SAS）；（3）由 ， ， 用勾股定理求得 ， ，可证 ，可求 ， ， ，可证 ，即可求
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