浙教版2021年秋季九年级上册第1章 二次函数单元测试题（含解析）

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浙教版2021年秋季九年级上册第1章《二次函数》单元测试
满分120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
一
二
三
总分
得分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列函数中，是二次函数的为（　　）
A．y＝
B．y＝（x+1）2﹣3
C．y＝（x+1）2﹣x2
D．y＝2x2﹣3z
2．（3分）抛物线y＝﹣3的顶点为（　　）
A．（2，﹣3）
B．（﹣2，﹣3）
C．（﹣3，2）
D．（﹣3，﹣2）
3．（3分）抛物线y＝2x2﹣3x+4与y轴的交点是（　　）
A．（0，4）
B．（0，2）
C．（0，﹣3）
D．（0，0）
4．（3分）关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（　　）
A．开口向上
B．与x轴有两个重合的交点
C．对称轴是直线x＝1
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
5．（3分）在平面直角坐标系中，函数y＝2（x+1）（x﹣3）的图象经变换后得到函数y＝2（x+3）（x﹣1）的图象，则这个变换可以是（　　）
A．向左平移2个单位
B．向右平移2个单位
C．向左平移4个单位
D．向右平移4个单位
6．（3分）在同一坐标系中，作y＝x2，y＝﹣x2，y＝x2的图象，它们的共同特点是（　　）
A．抛物线的开口方向向上
B．都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大
C．都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小
D．都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点
7．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2020的值为（　　）
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021
9．（3分）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（　　）
A．y＝（200﹣5x）（40﹣20+x）
B．y＝（200+5x）（40﹣20﹣x）
C．y＝200（40﹣20﹣x）
D．y＝200﹣5x
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2；⑤2a﹣b＜c．其中正确的结论有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）若y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函数，则m＝　
　．
12．（4分）抛物线y＝3（x﹣1）2+2的对称轴是
　
　．
13．（4分）抛物线y＝ax2经过点（2，6），则a＝　
　．
14．（4分）把抛物线y＝﹣向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的解析式是　
　．
15．（4分）若点（﹣1，m）在二次函数y＝x2+3的图象上，则m＝　
　．
16．（4分）已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
10
5
2
1
2
5
…
若A（m，y1），B（m+6，y2）两点都在该函数的图象上，当m＝　
　时，y1＝y2．
17．（4分）向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且y与x的关系为y＝ax2+bx（a≠0）．若此炮弹在第7秒和第15秒时的高度相等，则炮弹飞行第　
　秒时高度是最高的．
18．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为
　
　．
三．解答题（共7小题，满分58分）
19．（7分）已知二次函数y＝2x2+4x﹣6，
（1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式．
（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
20．（7分）如图，抛物线分别经过点A（﹣2，0），B（3，0），C（0，6）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）直接写出当y＞0时，自变量x的取值范围．
21．（7分）已知二次函数y＝x2﹣mx+m﹣2．
（1）求证：不论m为何实数，此函数的图象与x轴总有两个交点；
（2）若这个函数图象的对称轴为直线x＝﹣2，求这个二次函数的最小值．
22．（9分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为（3，0）．
（1）求点B的坐标及m的值；
（2）画出函数的图象；
（3）当﹣2＜x＜3时，结合函数图象直接写出y的取值范围．
23．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点M．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，求△PAC周长的最小值．
24．（10分）某商店销售一种纪念册，每本进价30元，规定销售单价不低于32元，且获利不高于60%，在销售期间发现销售数量y（件）与销售单价x（元）的关系如下表：
x
32
33
34
35
y
420
410
400
390
（1）请你根据表格直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当每本纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利3400元？
（3）将这种纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）、B（1，0）两点，点C为抛物线与y轴的交点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点D是直线AC上方的抛物线上一点，求△DCA面积的最大值，以及△DCA面积取得最大值时，点D的坐标；
（3）点P是直线AC上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点，BC为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、该函数是y与x2成反比例函数，故本选项错误；
B、该函数属于二次函数，故本选项正确；
C、由原函数得到：y＝2x+1，属于一次函数，故本选项错误；
D、该方程中含有两个自变量，故本选项错误．
故选：B．
2．解：抛物线y＝（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（2，﹣3），
故选：A．
3．解：当x＝0时，y＝4，
∴抛物线y＝2x2﹣3x+4与y轴的交点坐标为（0，4），
故选：A．
4．解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴顶点坐标（1，0），对称轴x＝1，
∵a＝1＞0，
∴开口向上，抛物线的顶点在x轴上，
∴A、B、C正确，
故选：D．
5．解：y＝2（x+1）（x﹣3）＝2（x﹣1）2﹣8，顶点坐标是（1，﹣8）．
y＝2（x+3）（x﹣1）＝2（x+1）2﹣8，顶点坐标是（﹣1，﹣8）．
所以将抛物线y＝2（x+1）（x﹣3）向左平移2个单位长度得到抛物线y＝2（x+3）（x﹣1），
故选：A．
6．解：因为y＝ax2形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点，
所以它们的共同特点是：关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点．
故选：D．
7．解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；
∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝﹣kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；
故选：A．
8．解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴m2﹣m+2020
＝1+2020
＝2021．
故选：D．
9．解：∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，每件涨价x元，
∴销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x），
∴每星期售出商品的利润y＝（200﹣5x）（40﹣20+x）．
故选：A．
10．解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，﹣＜0，c＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，结论①错误；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，结论②正确；
③∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∵﹣＞﹣1，a＜0，
∴b＞2a，
∴a+b＞3a，
∴3a+c＜0，结论③错误；
④∵当x＝﹣1时，y＞0，当x＝1时，y＜0，
∴a﹣b+c＞0，a+b+c＜0，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＝（a+c）2﹣b2＜0，
∴（a+c）2＜b2，结论④正确；
⑤∵﹣＞﹣1，a＜0，
∴2a﹣b＜0，
∵c＞0，
∴2a﹣b＜c，结论⑤正确；
综上所述，正确的结论有②④⑤共3个．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．解：由y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函数，得
，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+2，
∴该抛物线对称轴是直线x＝1，
故答案为：直线x＝1．
13．解：把点（2，6）代入y＝ax2得：6＝4a，
解得a＝，
故答案为．
14．解：y＝﹣的顶点坐标为（0，1），把点（0，1）向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到的对应点的坐标为（2，5），
所以平移后的抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣2）2+5．
故答案为：y＝﹣（x﹣2）2+5．
15．解：将点（﹣1，m）代入y＝x2+3得：m＝（﹣1）2+3＝4．
故答案为：4．
16．解：∵x＝1时，y＝2；x＝3时，y＝2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵A（m，y1），B（m+6，y2）两点都在该函数的图象上，y1＝y2，
∴2﹣m＝m+6﹣2，
解得m＝﹣1．
故答案为﹣1．
17．解：∵此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是：x＝＝11，
∴炮弹所在高度最高时：时间是第11秒．
故答案为：11．
18．解：将点（﹣1，0）代入解析式得，a+b﹣2＝0，即b＝2﹣a，
由二次函数y＝ax2﹣bx﹣2可知顶点坐标为：（，），
∵顶点在第四象限，
∴＞0，＜0，
∵b＝2﹣a，
∴，
解得：0＜a＜2，
∴a﹣b＝a﹣（2﹣a）＝2a﹣2，
∵a﹣b为整数，
∴2a﹣2为整数，
∴2a为整数，
又∵0＜a＜2，
∴a可取，1，，
∴b对应分别为：，1，，
∴ab＝×＝或ab＝1×1＝1，
故答案为：或1．
三．解答题（共7小题，满分58分）
19．解：（1）y＝2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1）﹣8＝2（x+1）2﹣8；
（2）由（1）知，该抛物线解析式是：y＝2（x+1）2﹣8；
a＝2＞0，则二次函数图象的开口方向向上．
对称轴是直线x＝﹣1、顶点坐标是（﹣1，﹣8）．
20．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣3），
把C（0，6）代入得6＝a×2×（﹣3），解得a＝﹣1，
所以抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣3），
即y＝﹣x2+x+6；
（2）当y＞0时，自变量x的取值范围为﹣2＜x＜3．
21．解：（1）方程x2﹣mx+m﹣2＝0中Δ＝m2﹣4m+8，
∴Δ＝（m﹣2）2+4≥4，
∴抛物线与x轴有两个交点．
（2）抛物线对称轴为直线x＝＝﹣2，
∴m＝﹣4，
∴y＝x2+4x﹣6，
把x＝﹣2代入y＝x2+4x﹣6＝4﹣8﹣6＝﹣10．
∴二次函数最小值为﹣10．
22．解：（1）把A（3，0）代入mx2﹣2mx﹣3＝0得9m﹣6m﹣3＝0，解得m＝1，
抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
所以B点坐标为（﹣1，0）；
（2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3），
如图，
（3）当﹣2＜x＜3时，y的取值范围为﹣4≤y＜5．
23．解：（1）将点A（﹣2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+4，得：
，
解得：，
故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）如图，连接BC，交直线l于点P，则此时△PAC的周长最小，
在y＝﹣x2+x+4中，当x＝0时，y＝4，
∴点C坐标为（0，4），
设BC所在直线解析式为y＝kx+b，
将点B（6，0）、C（0，4）代入，得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
又直线l的解析式为x＝＝2，
∴直线l：x＝2与直线BC：y＝﹣x+4交点P的坐标为（2，），
∵点A与点B关于直线l对称，
∴PA＝PB，
则PA+PC+AC
＝PB+PC+AC
＝BC+AC
＝+
＝2+2，
即△PAC的周长为2+2．
24．解：（1）由表中数据可知，销售单价每上涨一元，每天销售量减少10本，
∴y与x之间的函数关系式是一次函数，
设y＝hx+b，把（32，420）和（33，410）代入，得：
，
解得：，
∵销售单价不低于32元，且获利不高于60%，
∴≤60%，即x≤48，
∴32≤x≤48，
∴y＝﹣10x+740（32≤x≤48）；
（2）由题意，可列出方程为：（x﹣30）（﹣10x+740）＝3400，
整理并化简得，x2﹣104x+2560＝0，
解得，x1＝40，x2＝64，
∵32≤x≤48，
答：销售单价是40元时，商店每天获利3400元；
（3）w＝（x﹣30）y＝﹣10x2+1040x﹣22200＝﹣10（x﹣52）2+4840，
∵a＝﹣10＜0，
∴开口向下，
∵对称轴为x＝52，
∴当32≤x≤48时，w随x的增大而增大
∴当x＝48时，w最大＝﹣10（48﹣52）2+4840＝4680（元），
答：销售单价定为48元时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大，最大利润是4680元．
25．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）、B（1，0）两点，
∴，
解得：，
∴此抛物线的解析式：y＝﹣x2+x﹣2；
（2）过点D作DE∥x轴交x轴于点F，交直线AC于点E，
设点D坐标为（m，﹣m2+m﹣2），
设直线AC关系式为：y＝px+q，
把A（4，0）和C（0，﹣2）代入，
得，
∴，
直线AC的关系式为：y＝x﹣2，
∴点E的坐标可表示为（m，m﹣2），
∴DE＝﹣m2+m﹣2﹣（m﹣2）＝﹣m2+2m，
∴△DCA面积S＝S△ADE+S△CDE
＝DE?AF+DE?OF
＝ED?AO
＝×4（﹣m2+2m）
＝﹣m2+4m
＝﹣（m﹣2）2+4，
当m＝2时，△DCA的面积最大，最大面积为4，
此时点D坐标为（2，1）；
（3）存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点，BC为一边的四边形是平行四边形，
设点Q的坐标为（m，﹣m2+m﹣2），
①如图，点Q在x轴上方，
∵BC∥PQ，
从B，C坐标可得B点向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到点C，
∴点Q向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到点P，
∴P点坐标为（m﹣1，﹣m2+m﹣4），
把点P坐标代入直线y＝x﹣2，
得，（m﹣1）﹣2＝﹣m2+m﹣4，
∴m＝1或3（1舍去），
此时点Q坐标为（3，1），点P坐标为（2，﹣1）；
②如图，点Q在x轴下方，
∵BC∥PQ，
从B，C坐标可得C点向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点C，
∴点Q向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点P，
∴P点坐标为（m+1，﹣m2+m），
把点P坐标代入直线y＝x﹣2，
得，（m+1）﹣2＝﹣m2+m，
∴m＝2±，
此时点Q坐标为（2+，），点P坐标为（3+，）
或点Q坐标为（2﹣，），点P坐标为（3﹣，）．
∴点Q坐标为（3，1），点P坐标为（2，﹣1）或点Q坐标为（2+，），点P坐标为（3+，）或点Q坐标为（2﹣，），点P坐标为（3﹣，）．
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