2021-2022浙教版九上第一章二次函数常考必刷题（含解析）

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2021-2022浙教版九上第一章二次函数常考必刷题
时间120分钟
满分120分
一．选择题（每小题3分，共36分）
1．（2021?日喀则市一模）下列函数中是二次函数的为（　　）
A．y＝3x﹣1
B．y＝3x2﹣1
C．y＝（x+1）2﹣x2
D．y＝x3+2x﹣3
2．（2021?盐池县一模）一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（2020?南山区模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（2021?常州）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞0
B．a＞1
C．a≠1
D．a＜1
5．（2020秋?如皋市期末）抛物线y＝2x2﹣3x+4与y轴的交点是（　　）
A．（0，4）
B．（0，2）
C．（0，﹣3）
D．（0，0）
6．（2021?徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2+1
B．y＝（x+2）2+1
C．y＝（x+2）2﹣1
D．y＝（x﹣2）2﹣1
7．（2020秋?锡山区期末）抛物线y＝x2﹣4x+9的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，5）
B．（2，5）
C．（2，﹣5）
D．（﹣2，﹣5）
8．（2018秋?新化县期末）已知二次函数y＝ax2+4x+a﹣1的最小值为2，则a的值为（　　）
A．3
B．﹣1
C．4
D．4或﹣1
9．（2016秋?崇川区期末）如图，抛物线的函数表达式是（　　）
A．y＝﹣x2+x+2
B．y＝﹣x2﹣x+2
C．y＝x2+x+2
D．y＝x2﹣x+2
10．（2020秋?宝安区期末）把二次函数y＝﹣x2﹣2x+3配方化为y＝a（x﹣h）2+k形式是（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣4
B．y＝﹣（x+1）2+4
C．y＝﹣（x﹣1）2+3
D．y＝﹣（x+1）2﹣3
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝1；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，正确的结论个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
12．（2021?建湖县二模）如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为y＝x2﹣x+9：②若点B（﹣1，n）在这个二次函数图象上，则n＞m；③该二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；④当0＜x＜5.5时，m＜y＜8．所有正确结论的序号是（　　）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
二．填空题（每小题4分，共24分）
13．（2020秋?射阳县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：
①abc＞0；
②2a﹣b＝0；
③3b+2c＞0；
④am2+bm≤a﹣b（m为实数）．
其中正确结论是　
　（只填序号）．
14．（2021?天宁区校级模拟）若定义一种新运算：a?b＝，例如：4?1＝4×1＝4；5?4＝10﹣4﹣2＝4．则函数y＝（﹣x+3）?（x+1）的最大值是　
　．
15．（2021?连云港）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是
　
　元．
16．（2021?姑苏区校级二模）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣3a+6的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是　
　．
17．（2019?西宁一模）有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：
甲说：对称轴是直线x＝2；
乙说：与x轴的两个交点距离为6；
丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，请你写出满足
上述全部条件的一条抛物线的解析式：　
　．
18．（2020秋?南京期末）军事演坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y＝﹣x2+6x．经过　
　秒时间，炮弹落到地上爆炸了．
三．解答题（共60分）
19．（8分）（2018?建邺区二模）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3．
（1）若函数图象经过点（1，﹣4），（﹣1，0），求a，b的值；
（2）证明：若2a﹣b＝1，则存在一条确定的直线始终与该函数图象交于两点．
20．（12分）（2021?徐州）如图，点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若函数y＝x2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有
　
　个．
21．（8分）（2021?常熟市模拟）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，点B坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，2），连接AC，BC．
（1）求这个二次函数的表达式及点A坐标；
（2）点P是AC上方抛物线上的动点，当四边形ABCP的面积最大时，求点P的坐标．
22．（12分）（2020秋?扶风县期末）如图，已知抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C（0，﹣3），直线y2＝x﹣1交抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）于点M，N（M在N的左侧），抛物线顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△PMN的面积S△PMN；
（3）若y1＜y2≤0，则此时横坐标x的取值范围是　
　．（直接写出结果）
23．（8分）（2021?淮安）某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？
24．（12分）（2020秋?阜宁县期末）如图，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；
（2）证明△BCM与△ABC的面积相等；
（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
2021-2022浙教版九上第一章二次函数常考必刷题
参考答案与试题解析
一．选择题
1．（2021?日喀则市一模）下列函数中是二次函数的为（　　）
A．y＝3x﹣1
B．y＝3x2﹣1
C．y＝（x+1）2﹣x2
D．y＝x3+2x﹣3
【分析】根据二次函数的定义，可得答案．
【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数，故A错误；
B、y＝3x2﹣1是二次函数，故B正确；
C、y＝（x+1）2﹣x2不含二次项，故C错误；
D、y＝x3+2x﹣3是三次函数，故D错误；
故选：B．
2．（2021?盐池县一模）一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误．
故选：B．
3．（2020?南山区模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置确定ab＜0，由抛物线与y轴的交点位置确定c＜0，然后根据一次函数图象与系数的关系可判断一次函数经过第一、二、四象限，根据反比例函数的性质得到反比例函数图象在第二、四象限，由此可对各选项进行判断．
【解答】解：∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴ab＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
对于一次函数y＝cx﹣，c＜0，图象经过第二、四象限；＜0，图象与y轴的交点在x轴上方；
对于反比例函数y＝，ab＜0，图象分布在第二、四象限
故选：A．
4．（2021?常州）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞0
B．a＞1
C．a≠1
D．a＜1
【分析】由二次函数的性质得a﹣1＞0，即可求解．
【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，
∴a﹣1＞0，
∴a＞1，
故选：B．
5．（2020秋?如皋市期末）抛物线y＝2x2﹣3x+4与y轴的交点是（　　）
A．（0，4）
B．（0，2）
C．（0，﹣3）
D．（0，0）
【分析】将x＝0代入抛物线解析式即可求得抛物线y＝2x2﹣3x+4与y轴的交点．
【解答】解：当x＝0时，y＝4，
∴抛物线y＝2x2﹣3x+4与y轴的交点坐标为（0，4），
故选：A．
6．（2021?徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2+1
B．y＝（x+2）2+1
C．y＝（x+2）2﹣1
D．y＝（x﹣2）2﹣1
【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，得到：y＝（x+2）2，
再向上平移1个单位长度得到：y＝（x+2）2+1．
故选：B．
7．（2020秋?锡山区期末）抛物线y＝x2﹣4x+9的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，5）
B．（2，5）
C．（2，﹣5）
D．（﹣2，﹣5）
【分析】将抛物线化为顶点式，即可得到该抛物线的顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+9＝（x﹣2）2+5，
∴该抛物线的顶点坐标为（2，5），
故选：B．
8．（2018秋?新化县期末）已知二次函数y＝ax2+4x+a﹣1的最小值为2，则a的值为（　　）
A．3
B．﹣1
C．4
D．4或﹣1
【分析】根据题意：二次函数y＝ax2+4x+a﹣1的最小值是2，则判断二次函数的系数大于0，再根据公式y最小值＝2列出关于a的一元二次方程，解得a的值即可．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+4x+a﹣1有最小值2，
∴a＞0，
y最小值＝＝＝2，
整理，得a2﹣3a﹣4＝0，
解得a＝﹣1或4，
∵a＞0，
∴a＝4．
故选：C．
9．（2016秋?崇川区期末）如图，抛物线的函数表达式是（　　）
A．y＝﹣x2+x+2
B．y＝﹣x2﹣x+2
C．y＝x2+x+2
D．y＝x2﹣x+2
【分析】根据题意，把抛物线经过的三点代入函数的表达式，列出方程组，解出各系数则可．
【解答】解：根据题意，设二次函数的表达式为y＝ax2+bx+c，
抛物线过（﹣1，0），（0，2），（2，0），
所以，
解得a＝﹣1，b＝1，c＝2，
这个二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+2．
故选：A．
10．（2020秋?宝安区期末）把二次函数y＝﹣x2﹣2x+3配方化为y＝a（x﹣h）2+k形式是（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣4
B．y＝﹣（x+1）2+4
C．y＝﹣（x﹣1）2+3
D．y＝﹣（x+1）2﹣3
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x2+2x+1）+3+1
＝﹣（x+1）2+4，
即y＝﹣（x+1）2+4．
故选：B．
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝1；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，正确的结论个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①抛物线开口向上，则a＞0，故正确；
②由图象可知：抛物线与x轴无交点，即Δ＜0
∴Δ＝b2﹣4ac＜0，故错误；
③由图象可知：抛物线过点（1，1），（3，3），即当x＝1时，y＝a+b+c＝1，
当x＝3时，ax2+bx+c＝9a+3b+c＝3，
∴8a+2b＝2，即b＝1﹣4a，
∴4a+b＝1，故正确；
④∵点（1，1），（3，3）在直线y＝x上，
由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y＝x的下方，
∴ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，故正确；
故选：C．
12．（2021?建湖县二模）如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为y＝x2﹣x+9：②若点B（﹣1，n）在这个二次函数图象上，则n＞m；③该二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；④当0＜x＜5.5时，m＜y＜8．所有正确结论的序号是（　　）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
【分析】①由顶点坐标设出抛物线解析式，将点（8，0）代入解析式求解．
②由图象开口向下，对称轴为直线x＝2，求出点A，B距离对称轴的距离求解．
③由图象的对称性可得，抛物线与x轴两交点关于直线x＝2对称，由中点坐标公式求解．
④由图象中（0，8），（2，9），（8，0）可得y的取值范围．
【解答】解：①由图象顶点（2，9）可得y＝a（x﹣2）2+9，
将（8，0）代入y＝a（x﹣2）2+9得0＝36a+9，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣2）2+9＝y＝﹣x2+x+8，
故①错误．
②∵5.5﹣2＞2﹣（﹣1），
点A距离对称轴距离大于点B距离对称轴距离，
∴m＜n，
故②正确．
③∵图象对称轴为直线x＝2，且抛物线与x轴一个交点为（8，0），
∴图象与x轴的另一交点横坐标为2×2﹣8＝﹣4，
故③正确．
④由图象可得当x＝0时y＝8，x＝5.5时y＝m，x＝2时y＝9，
∴0＜x＜5.5时，m＜y≤9．
故④错误．
故选：C．
二．填空题
13．（2020秋?射阳县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：
①abc＞0；
②2a﹣b＝0；
③3b+2c＞0；
④am2+bm≤a﹣b（m为实数）．
其中正确结论是　①②④　（只填序号）．
【分析】①由抛物线开口向下a＜0，抛物线和y轴的正半轴相交，c＞0，﹣＜0，b＜0，所以abc＞0；
②对称轴﹣＝﹣1，得2a＝b，即2a﹣b＝0；
③对称轴﹣＝﹣1，得2a＝b，结合当x＝1时，a+b+c＞0判断；
⑤根据x＝﹣1时，函数y＝a﹣b+c的值最大，得出对任意m有am2+bm+c≤a﹣b+c，判断结论．
【解答】解：∵开口向下，∴a＜0，
∵抛物线和y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∵对称轴为x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①正确；
∵b＝2a，∴2a﹣b＝0，故②正确；
∵当x＝1时，a+b+c＜0，b＝2a，
∴a＝b，
∴b+b+c＜0，
∴3b+2c＜0，故③错误；
∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值，
∴对任意m有am2+bm+c≤a﹣b+c，
∴am2+bm≤a﹣b，故④正确．
故答案为：①②④．
14．（2021?天宁区校级模拟）若定义一种新运算：a?b＝，例如：4?1＝4×1＝4；5?4＝10﹣4﹣2＝4．则函数y＝（﹣x+3）?（x+1）的最大值是　3　．
【分析】根据新运算的定义，对（﹣x+3）和3（x+1）的大小进行比较，列出不同的情况分类讨论，得到不同的函数表达式求出最值即可．
【解答】解：由题可得，
①当﹣x+3≥3（x+1）时，
即：x≤0，
y＝（﹣x+3）（x+1）＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x﹣1）2+4．
由抛物线性质可得，
当x≤1时，y随x的增大而增大，
∴只有当x＝0时，y的最大值为y＝3；
②当﹣x+3＜3（x+1）时，
即：x＞0，
y＝2×（﹣x+3）﹣（x+1）﹣2
＝﹣3x+3．
∵﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，当x＝0时，y＝﹣3×0+3＝3．
∵x＞0，
∴y＜3，
综上①②得y≤3．
故函数y＝（﹣x+3）?（x+1）的最大值是3．
15．（2021?连云港）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是
　1264　元．
【分析】设每份A种快餐降价a元，则每天卖出（40+2a）份，每份B种快餐提高b元，则每天卖出（80﹣2b）份，由于这两种快餐每天销售总份数不变，可得出等式，求得a＝b，用a表达出W，结合二次函数的性质得到结论．
【解答】解：设每份A种快餐降价a元，则每天卖出（40+2a）份，每份B种快餐提高b元，则每天卖出（80﹣2b）份，
由题意可得，40+2a+80﹣2b＝40+80，
解得a＝b，
∴总利润W＝（12﹣a）（40+2a）+（8+a）（80﹣2a）
＝﹣4a2+48a+1120
＝﹣4（a﹣6）2+1264，
∵﹣4＜0，
∴当a＝6时，W取得最大值1264，
即两种快餐一天的总利润最多为1264元．
故答案为：1264．
16．（2021?姑苏区校级二模）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣3a+6的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是　﹣1≤a＜2　．
【分析】由题意得：Δ＜0，解得a＜2，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则a≥﹣1，即可求解．
【解答】解：由题意得：△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣3a+6）＜0，解得a＜2，
∵1＞0，故抛物线开口向上，
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则a≥﹣1，
∴实数a的取值范围是﹣1≤a＜2，
故答案为：﹣1≤a＜2．
17．（2019?西宁一模）有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：
甲说：对称轴是直线x＝2；
乙说：与x轴的两个交点距离为6；
丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，请你写出满足
上述全部条件的一条抛物线的解析式：　y＝﹣（x﹣2）2+3或y＝（x﹣2）2﹣3　．
【分析】因为对称轴是直线x＝2，与x轴的两个交点距离为6，所以与x轴的两个交点的坐标为（﹣1，0），（5，0）；
因为顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，可得顶点的纵坐标为±3，得顶点坐标为（2，3）或（2，﹣3）；
所以利用顶点式求得抛物线的解析式即可．
【解答】解：根据题意得：抛物线与x轴的两个交点的坐标为（﹣1，0），（5，0），顶点坐标为（2，3）或（2，﹣3），
设函数解析式为y＝a（x﹣2）2+3或y＝a（x﹣2）2﹣3；
把点（5，0）代入y＝a（x﹣2）2+3得a＝﹣；
把点（5，0）代入y＝a（x﹣2）2﹣3得a＝；
∴满足上述全部条件的一条抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3或y＝（x﹣2）2﹣3．
18．（2020秋?南京期末）军事演坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y＝﹣x2+6x．经过　18　秒时间，炮弹落到地上爆炸了．
【分析】炮弹落到地上即y＝0，代入解析式解答即可．
【解答】解：依题意，关系式化为：
y＝﹣（x﹣9）2+27，
令y＝0，
解得：x1＝18，x2＝0（不合题意，舍去），
故答案为18．
三．解答题
19．（2018?建邺区二模）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3．
（1）若函数图象经过点（1，﹣4），（﹣1，0），求a，b的值；
（2）证明：若2a﹣b＝1，则存在一条确定的直线始终与该函数图象交于两点．
【分析】（1）把两点的坐标代入函数解析式，即可求出答案；
（2）把b＝2a﹣1代入后，进行变形，即可得出两定点的坐标，即可得出答案．
【解答】（1）解：∵二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（1，﹣4），（﹣1，0），
∴代入得：，
解得：a＝1，b＝﹣2；
（2）证明：∵2a﹣b＝1，
∴b＝2a﹣1，
∴y＝ax2+bx﹣3＝ax2+（2a﹣1）x﹣3＝（x2+2x）a﹣x﹣3，
令x＝0时，y＝﹣3，
令x＝﹣2时，y＝﹣1，
则二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过定点（0，﹣3）和（﹣2，﹣1），
∴若直线过（0，﹣3）和（﹣2，﹣1），则永远与二次函数交于两点，
此直线的解析式是y＝﹣x﹣3．
20．（2021?徐州）如图，点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若函数y＝x2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有
　4　个．
【分析】（1）由抛物线的解析式求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）由直线AB的解析式求得C的坐标，然后根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC，利用三角形面积公式即可求得；
（3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P1AB的面积、△P2AB的面积、△P3AB的面积和△P4AB的面积都等于△AOB的面积的一半．
【解答】解：（1）∵点A、B在y＝x2的图象上，A、B的横坐标分别为﹣2、4，
∴A（﹣2，1），B（4，4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝+2；
（2）在y＝+2中，令x＝0，则y＝2，
∴C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝6．
（3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半，
作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半，
所以这样的点P共有4个，
故答案为4．
21．（2021?常熟市模拟）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，点B坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，2），连接AC，BC．
（1）求这个二次函数的表达式及点A坐标；
（2）点P是AC上方抛物线上的动点，当四边形ABCP的面积最大时，求点P的坐标．
【分析】（1）将B，C两点的坐标代入抛物线解析式，解方程组可得出答案；
（2）求出△ABC的面积＝5，当四边形ABCP的面积最大时，即△ACP的面积最大即可，过点P作PQ∥y轴交直线AC于点Q，设点P的坐标为（p，﹣p2﹣p+2），根据三角形面积公式及二次函数的性质可得出答案．
【解答】解：（1）二次函数y＝﹣+bx+c的图象与x轴交于B（1，0），与y轴交于点C（0，2），
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x+2，
当y＝0时，x＝1或﹣4，
∴A（﹣4，0）；
（2）∵点A（﹣4，0），点B（1，0），点C（0，2），
∴△ABC的面积是×（1+4）×2＝5，
∵四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACP的面积，
∴当四边形ABCP的面积最大时，即△ACP的面积最大即可，
过点P作PQ∥y轴交直线AC于点Q，
设点P的坐标为（p，﹣p2﹣p+2），
设过点A（﹣4，0），点C（0，2）的直线解析式为y＝dx+e，
，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝x+2，
当x＝p时，y＝p+2，
∴Q（p，），
∴△ACP的面积是×PQ×OA＝×（﹣p﹣2）×4＝﹣（p+2）2+4，
∴当p＝﹣2时，△ACP的面积最大，
∴点P（﹣2，3）．
22．（2020秋?扶风县期末）如图，已知抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C（0，﹣3），直线y2＝x﹣1交抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）于点M，N（M在N的左侧），抛物线顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△PMN的面积S△PMN；
（3）若y1＜y2≤0，则此时横坐标x的取值范围是　﹣＜x≤　．（直接写出结果）
【分析】（1）用待定系数法进行解答；
（2）联立两个函数解析，求出M、N点的坐标，由抛物线顶点坐标公式求P点坐标，过P作PE垂直x轴于E，与MN交于点F，根据S△PMN＝S△PMF+S△PNF求△PMN的面积；
（3）根据观察函数图象，直接写答案便可．
【解答】解：（1）根据题意得，
，
解得，，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）解方程组，得
，，
∴M（﹣，﹣），N（4，5），
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴P（1，﹣4），
过P作PE垂直x轴于E，与MN交于点F，
∴F（1，），
∴PF＝，
∴S△PMN＝S△PMF+S△PNF＝?PF?（xN﹣xM）＝××（4+）＝；
（3）当y2＝0时，0＝，
解得，x＝，
∴直线y2＝x﹣1与x轴的交点为（，0），
由图象可知，当y1＜y2≤0时，﹣＜x≤．
故答案为：﹣＜x≤．
23．（2021?淮安）某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数表达式即可．
（2）根据（1）中列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值．
【解答】解：（1）根据题意，y＝300﹣10（x﹣60）
∴y与x的函数表达式为：y＝﹣10x+900；
（2）设每个月的销售利润为w，
由（1）知：w＝﹣10x2+1400x﹣45000，
∴w＝﹣10（x﹣70）2+4000，
∴每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元．
24．（2020秋?阜宁县期末）如图，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；
（2）证明△BCM与△ABC的面积相等；
（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将抛物线化为顶点式y＝m（x﹣2）2﹣9m，则抛物线顶点M的坐标为（2，﹣9m），令y＝0，解方程即可求出点A、B的坐标；
（2）分别表示出△BCM与△ABC的面积即可证明；
（3）用含m的代数式分别表示出BC2、CM2、BM2，再根据△BCM为直角三角形，分三种情况：当∠BMC＝90°时，CM2+BM2＝BC2；∠BCM＝90°时，BC2+CM2＝BM2；当∠CBM＝90°时，由25+25m2＞4+16m2，9+81m2＞4+16m2，此种不存在，分别进行列方程计算即可得出答案．
【解答】解：（1）∵y＝m（x﹣2）2﹣9m，
∴抛物线顶点M的坐标为（2，﹣9m），
∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴当y＝0时，mx2﹣4mx﹣5m＝0，
∵m＞0，
∴x2﹣4x﹣5＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝5，
∴A，B两点的坐标为（﹣1，0）、（5，0），
（2）当x＝0时，y＝﹣5m，
∴点C的坐标为（0，﹣5m），
∴S△ABC＝×|5﹣（﹣1）|×|﹣5m|＝15m，
过点M作MD⊥x轴于D，
则OD＝2，BD＝OB﹣OD＝3，MD＝|﹣9m|＝9m，
∴S△BCM＝S△BDM+S梯形OCMD﹣S△OBC，
＝BD?DM+（OC+DM）?OD﹣OB?OC，
＝15m，
∴S△ABC＝S△BCM，
（3）存在使△BCM为直角三角形的抛物线．
过点C作CN⊥DM于点N，则△CMN为直角三角形，CN＝OD＝2，DN＝OC＝5m，
∴MN＝DM﹣DN＝4m，
∴CM2＝CN2+MN2＝4+16m2，
在Rt△OBC中，BC2＝OB2+OC2＝25+25m2，
在Rt△BDM中，BM2＝BD2+DM2＝9+81m2．
①如果△BCM是直角三角形，且∠BMC＝90°时，CM2+BM2＝BC2，
即4+16m2+9+81m2＝25+25m2，解得　，
∵m＞0，
∴．
∴存在抛物线使得△BCM是直角三角形；
②如果△BCM是直角三角形，且∠BCM＝90°时，BC2+CM2＝BM2．
即25+25m2+4+16m2＝9+81m2，解得　，
∵m＞0，
∴．
∴存在抛物线使得△BCM是Rt△；
③∵25+25m2＞4+16m2，9+81m2＞4+16m2，
∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在，
综上，存在抛物线和使△BCM是直角三角形．
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精品试卷·第
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