2021-2022学年浙教新版九年级上册数学《第4章 相似三角形》单元测试卷（word、解析版）

2021-2022学年浙教新版九年级上册数学《第4章
相似三角形》单元测试卷
一．选择题
1．如果＝，那么的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如果ab＝cd，则下列正确得是（　　）
A．a：c＝b：d
B．a：d＝c：b
C．a：b＝c：d
D．d：c＝b：a
3．下列说法正确的是（　　）
A．所有等边三角形都相似
B．有一个角相等的两个等腰三角形相似
C．所有直角三角形都相似
D．所有矩形都相似
4．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，DE∥BC交AC于点E，AD＝3，BD＝2，则AE与EC的比是（　　）
A．9：4
B．3：5
C．9：16
D．3：2
5．已知△ABC∽△A′B′C′，，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．甲数：乙数＝3：2，乙数：丙数＝5：6，丙数：甲数＝（　　）
A．2：1
B．5：3
C．4：5
D．5：4
7．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB＝1，BC＝3，DF＝6，则EF的长为（　　）
A．4
B．4.5
C．5
D．5.5
8．已知△ABC∽△DEF，相似比为1：2，且△DEF的面积为12，则△ABC的面积为（　　）
A．84
B．24
C．6
D．3
9．某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（　　）
A．1：2000
B．1：200
C．200：1
D．2000：1
10．点B把线段AC分成两部分，如果＝＝k，那么k的值为（　　）
A．
B．
C．
+1
D．﹣1
二．填空题
11．若＝＝，a﹣b+c＝18，则a的值为
　
　．
12．已知4x﹣5y＝0，则x：y的值为　
　．
13．若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积之比为1：9，则△ABC与△DEF的相似比为　
　．
14．已知，则的值为　
　．
15．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若＝，DE＝4，则DF的长是　
　．
16．如图，a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB＝6，BC＝9，DF＝12，则EF＝　
　．
17．如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝　
　．
18．在比例尺为1：2000的地图上，7厘米的线段代表实际距离　
　米，实际距离240米在这幅地图上要画　
　厘米．
19．如图，C是靠近点B的黄金分割点，若AB＝10cm，则AC＝　
　cm．（结果保留根号）
20．如图，已知BD⊥AB于点B，AC⊥AB于点A，且BD＝3，AC＝2，AB＝m，在线段AB上找一点E，使△BDE与△ACE相似，若这样的点E有且只有两个，则m的值是　
　．
三．解答题
21．已知＝，求的值．
22．已知：，求的值．
23．已知：，求a：b：c的值．
24．（1）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，求线段d的长．
（2）已知线段a、b、c，a＝4cm，b＝9cm，线段c是线段a和b的比例中项．求线段c的长．
（3）已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4，x＝2时，y＝5．
求：①y与x之间的函数关系式；②当x＝4时，求y的值．
25．如图，在△ABC中，D、E分别是AB和BC上的点，且DE∥AC，＝，＝，求．
26．如图，点C将线段AB分成两部分，若AC2＝BC?AB（AC＞BC），则称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y＝ax2+bx+c，满足b2＝ac（b≠0），则称此抛物线为黄金抛物线．
（Ⅰ）若某黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，且与y轴交于点（0，8），求y的最小值；
（Ⅱ）若黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），把它向下平移后与x轴交于A（+3，0），B（x0，0），判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：根据比例的基本性质得：
5x＝3（x+y），即2x＝3y，
即得＝．
故选：A．
2．解：A、a：c＝b：d?ad＝cb，故错误；
B、a：d＝c：b?ab＝cd，故正确；
C、a：b＝c：d?ad＝cb，故错误；
D、d：c＝b：a?da＝cb，故错误．
故选：B．
3．解：（A）等边三角形各内角为60°，各边长相等，所以所有的等边三角形均相似，故本选项正确；
（B）一对等腰三角形中，若底角和顶角相等且不等于60°，则该对三角形不相似，故本选项错误；
（C）直角三角形中的两个锐角的大小不确定，无法判定三角形相似，故本选项错误；
（D）矩形的邻边的关系不确定，所以并不是所有矩形都相似，故本选项错误．
故选：A．
4．解：∵DE∥BC，AD＝3，BD＝2，
∴＝＝，
故选：D．
5．解：∵△ABC∽△A′B′C′，，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比＝（）2＝，
故选：C．
6．解：2和5的最小公倍数是10，
甲数：乙数＝3：2＝15：10，
乙数：丙数＝5：6＝10：12，
丙数：甲数＝12：15＝4：5．
故选：C．
7．解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，即＝，
解得，EF＝4.5，
故选：B．
8．解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
∵△DEF的面积为12，
∴△ABC的面积为3，
故选：D．
9．解：因为2毫米＝0.2厘米，
则0.2厘米：40厘米＝1：200；
所以这幅设计图的比例尺是1：200．
故选：B．
10．解：∵点B把线段AC分成两部分，＝＝k，
∴点B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，
∴k＝，
故选：B．
二．填空题
11．解：设＝＝＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a﹣b+c＝18，
∴2k﹣3k+4k＝18，
解得k＝6，
∴a＝2k＝12．
故答案为：12．
12．解：∵4x﹣5y＝0，
∴4x＝5y，
∴＝；
故答案为：．
13．解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：9，
∴△ABC与△DEF的相似比为1：3，
故答案为：1：3．
14．解：设b＝3k，则a＝2k，
则＝＝﹣．
故答案为：﹣．
15．解：∵l1∥l2∥l3，＝，
∴＝＝，即＝，
解得，EF＝6，
∴DF＝DE+EF＝10，
故答案为：10．
16．解：∵a∥b∥c，
∴＝，即＝，
解得，EF＝7.2，
故答案为：7.2．
17．解：∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
故答案为：．
18．解：7÷＝14000（厘米），
14000厘米＝140米；
240米＝24000厘米，
24000×＝12（厘米）．
答：7厘米的线段代表实际距离140米，实际距离240米在这幅地图上要画12厘米．
故答案为：140；12．
19．解：∵C是靠近点B的黄金分割点，AB＝10cm，
∴AC＞BC，AC＝AB＝×10＝（5﹣5）cm，
故答案为：（5﹣5）．
20．解：∵BD⊥AB于点B，AC⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
分两种情况：
（1）当∠ACE＝∠BDE时，△ACE∽△BDE，
∴＝＝，
∴AE＝BE①，
当∠ACE＝∠BED时，△ACE∽△BED，
∴＝，
即AE×BE＝AC×BD＝2×3＝6②，
由①②得：
BE2＝6，
解得：BE＝3，
∴AE＝2，
∴AB＝AE+BE＝5，即m＝5；
当AE＝2时，BE＝3，两个三角形相似；
当AE＝3时，BE＝2，两个三角形全等，符合题目要求；
（2）设AE＝x，则BE＝m﹣x，
当∠ACE＝∠BED时，△ACE∽△BED，
∴＝，
∴x：3＝2：（m﹣x），
整理得：x2﹣mx+6＝0，
方程有唯一解时，△＝m2﹣24＝0，
解得：m＝±2（负值舍去），
∴m＝2；
当m＝2时，
AE：BE＝2：3时，两个三角形相似；
AE＝BE＝时，两个三角形相似；同样是两个点可以满足要求；
综上所述，△BDE与△ACE相似，若这样的点E有且只有两个，则m的值是5或2；
故答案为：5或2．
三．解答题
21．解：＝，
7x﹣7y＝13y
x＝y，
则＝＝．
22．解：
∵，
∴5（3b﹣a）＝3（3a﹣2b），
整理可得：3b＝2a，
∴＝．
23．解：设＝k，则a+b＝10k，b+c＝11k，c+a＝15k，解得：a＝7k，b＝3k，c＝8k．
a：b：c＝7：3：8．
24．解：（1）∵a、b、c、d是成比例线段，
∴＝，
∵a＝3，b＝2，c＝6，
代入得：d＝4，
答：线段d的长是4cm．
（2）解：∵线段c是线段
a和b的比例中项，
∴c2＝ab，
∵a＝4，b＝9，代入得：c＝6，
答：线段c的长是6cm．
（3）①解：∵y1与x成正比例，
设y1＝ax，（a≠0），
∵y2与x成反比例，
设y2＝（b≠0）
∴y＝ax+，
把x＝1，y＝4和x＝2，y＝5代入得：
，
解得：，
∴y＝2x+，
答：y与x之间的函数关系式是y＝2x+．
②解：由①知：y＝2x+，
当x＝4时，y＝，
答：当x＝4时，y的值是．
25．解：
∵＝，
∴＝，
∵DE∥AC，
∴，
∴．
26．解：（Ⅰ）∵黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a，又b2＝ac
∴16a2＝ac．
且与y轴交于点（0，8），
∴c＝8．
∴a＝，b＝﹣2．
∴y＝x2﹣2x+8
＝（x﹣2）2+6，
∵＞0，
∴y有最小值为6．
答：y的最小值为6．
（Ⅱ）原点是线段AB的黄金分割点．理由如下：
∵黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），
把它向下平移后与x轴交于A（+3，0），B（x0，0），
∴x0＝﹣1﹣．
∴OA＝3+，OB＝1+，AB＝4+2．
OA2＝（3+）2＝14+6．
OB?AB＝（1+
）（4+2）＝14+6．
∴OA2＝OB?AB．
答：原点是线段AB的黄金分割点．