暑假特训：有理数的运算（1）

有理数的运算（1）
知识梳理
1、有理数的加法运算法则：先确定类型，再确定符号，最后确定绝对值。
（1）同号的两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
若a＞0且b＞0，则a＋b＝＋（︱a︱＋︱b︱）；
若a＜0且b＜0，则a＋b＝－（︱a︱＋︱b︱）。
（2）异号的两数相加
①若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
若a＞0、b＜0且︱a︱＞︱b︱，则a＋b＝＋（︱a︱－︱b︱）；
若a＞0、b＜0且︱a︱＜︱b︱，则a＋b＝－（︱b︱－︱a︱）。
②若绝对值相等，则和为0，也就是互为相反数的两个数的和为0
若a＞0、b＜0，且︱a︱＝︱b︱，则a＋b＝0。（反过来，若a＋b＝0，说明a与b互为相反数。）
（3）一个数与0的和仍得这个数，即a＋0＝a。
2、运用运算律对有理数的加法进行简便运算
（1）加法交换律：a＋b＝b＋a；
（2）加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。
典型例题
知识点一：有理数的加法
例1：计算：（1）（＋3）＋（＋6）；
（2）（－4）＋（－9）；（3）（－4）＋（＋6）；
（4）
思路分析：
1）题意分析：本题考查有理数的加法法则。
2）解题思路：按照法则先分清类型，再确定和的符号和绝对值。
解答过程：（1）（＋3）＋（＋6）＝＋（3＋6）＝＋9＝9；
（2）（－4）＋（－9）＝－（4＋9）＝－13；
（3）（－4）＋（＋6）＝＋（6－4）＝＋2＝2；
解题后的思考：运用有理数的加法法则，进行有理数加法运算要遵循的一般步骤为“一观察，二确定，三求和”，即第一步先观察两个加数的符号是同号还是异号，有没有零；第二步确定用哪条法则进行运算；第三步求出结果。
例2：填空题：
（1）若a＜0，b＜0，则a＋b_____0；
（2）若a＞0，b＞0，则a＋b_____0；
（3）若a＞0，b＜0，且︱a︱＜︱b︱，则a＋b_____0；
（4）若a＞0，b＜0，且︱a︱＞︱b︱，则a＋b_____0；
（5）若a＞0，b＜0，且︱a︱＝︱b︱，则a＋b_____0。
思路分析：
1）题意分析：根据有理数加法法则填空。
2）解题思路：先根据两个加数的符号确定和的符号，再判断和是大于0还是小于0。
解答过程：（1）因为a＜0，b＜0，则和的符号不变，所以a＋b＜0；
（2）因为a＞0，b＞0，则和的符号不变，所以a＋b＞0；
（3）因为a＞0，b＜0，且︱a︱＜︱b︱，所以取b的符号，所以a＋b＜0；
（4）因为a＞0，b＜0，且︱a︱＞︱b︱，所以取a的符号，所以a＋b＞0；
（5）因为a＞0，b＜0且︱a︱＝︱b︱，所以a、b互为相反数，所以a＋b＝0。
解题后的思考：异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，而不是取较大的加数的符号。
小结：两个有理数相加，和的符号由两个加数的符号共同确定。两个正数相加，和为正数；两个负数相加，和为负数；绝对值不相等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同；互为相反数的两个数相加，和为0，结果前没有符号。
知识点二：运用有理数的加法运算律化简计算
例3：计算：

（4）7.2＋0.5＋5.6＋2.3；
（5）3＋（－2.3）＋（－5）＋6＋7.2。
思路分析：
1）题意分析：在有理数的运算中，加法的交换律、结合律仍然成立。
2）解题思路：（1）中－2与2互为相反数，先相加；（2）中把－3和－4两个负数先相加；（3）中－7和2分母相同，先相加；（4）中把7.2、0.5、2.3相加可得到一个整数，先相加；（5）中3、－5、6都是整数，－2.3和7.2都是小数，分别相加。
解答过程：（1）＋5.5＋＝（＋）＋5.5＝0＋5.5＝5.5；
（2）－3＋5＋（－4）＝－3＋（－4）＋5＝－7＋5＝－2；
（3）
（4）7.2＋0.5＋5.6＋2.3＝（7.2＋0.5＋2.3）＋5.6＝10＋5.6＝15.6；
（5）3＋（－2.3）＋（－5）＋6＋7.2＝[3＋（－5）＋6]＋[（－2.3）＋7.2]＝4＋4.9＝8.9。
解题后的思考：在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到简化运算的目的。
例4：计算：
思路分析：
1）题意分析：本例算式中含有多个加数，且加数有正数，有负数，有小数，也有分数，计算时应进行合理的分类，正确运用运算律。
2）解题思路：（1）互为相反数，与7.75互为相反数，可利用互为相反数之和为0的性质进行计算；（2）将代分数变为小数，凑整进行计算；
（3）－1.07的和为整数且是0；
（4）的和为整数，其余三数的和也为整数。
解答过程：
解题后的思考：（1）做带分数加法时，可将带分数化为整数和分数两部分，然后分别相加，再把结果相加，但要注意分开的整数部分和分数部分都要保持原带分数的符号。（2）运算符号和性质符号要区分开。如2－（－4）中前一个“－”号是运算符号，后一个“－”号是性质符号。运算中不要出现符号错误。
小结：运用有理数的加法运算律时，通常有下列规律：①互为相反数的两个数先相加—“相反数结合法”；②符号相同的两个数先相加—“同号结合法”；③分母相同的数先相加—“同分母结合法”；④几个数相加得整数，则这几个数先相加—“凑整法”；⑤整数与整数、小数与小数相加—“同形结合法”。
知识点三：有理数加法运算的综合运用
例5：若︱x︱＝3，︱y︱＝2，且x＜y，求x＋y的值。
思路分析：
1）题意分析：先根据已知条件确定x和y的值，再求和。
2）解题思路：由绝对值的意义可知x＝±3，y＝±2，要分情况计算x＋y的值。
解答过程：因为︱x︱＝3，︱y︱＝2，
所以x＝±3，y＝±2，又因为x＜y，
所以x＝－3，y＝2，或x＝－3，y＝－2。
当x＝－3，y＝2时，x＋y＝－3＋2＝－1；
当x＝－3，y＝－2时，x＋y＝－3＋（－2）＝－5。
所以x＋y的值是－1或－5。
解题后的思考：由于绝对值等于正数的数有两个，所以关于绝对值的运算问题一定要分情况讨论。
例6：某摩托车厂本周计划每日生产450辆摩托车，由于工人实行轮休制，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划生产量相比情况如下表（增加的辆数记为正，减少的辆数记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
产量（辆） －5 ＋7 －3 ＋4 ＋10 －9 －25
（1）根据记录可知，本周三生产了多少辆摩托车？
（2）本周总生产量与计划生产量相比，是增加还是减少了？增加或减少了多少？
（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆？
思路分析：
1）题意分析：表格中的正、负数表示该厂每日实际生产摩托车的数量与计划生产摩托车的数量的差值情况，正数表示比计划生产的多，负数表示比计划生产的少。
2）解题思路：（1）每天生产的摩托车数量等于计划每天生产的数量加实际每天的误差。本周三生产的数量为450＋（－3）＝447（辆）。（2）计算出实际每天的误差和就可知道本周总生产量与计划生产量相比是增加还是减少，即误差和为正表示本周总生产量增加，误差和为负表示本周总生产量减少，误差和的绝对值就是增加或减少的数量。（3）由表中数据可知，周五的生产量最大，为450＋（＋10）＝460（辆）；周日的生产量最小为450＋（－25）＝425（辆）。周五比周日多生产了460－425＝35（辆）。
解答过程：（1）450＋（－3）＝447（辆），
即本周三生产了447辆摩托车。
（2）（－5）＋（＋7）＋（－3）＋（＋4）＋（＋10）＋（－9）＋（－25）＝－21（辆），即本周总生产量与计划生产量相比减少了，减少了21辆。
（3）450＋（＋10）＝460（辆），
450＋（－25）＝425（辆），460－425＝35（辆），
即产量最多的一天（周五）比产量最少的一天（周日）多生产了35辆。
解题后的思考：遇到实际生活问题，要从题意出发，分析题目，寻找解决问题的切入点，在利用有理数加法进行计算时也要注意使用运算律使计算简便。
小结：有理数加法运算贯穿于整个数学运算过程中，可以说它是解决各类问题的一种工具，有时可以进行多种数学知识的综合运用，也可以用来解决一些实际问题。
提分技巧
有理数的加法是在小学算术四则运算的基础上，将数的领域扩充到有理数以后学习的。它与小学的算术运算既有联系又有区别，小学的加法运算不需要确定和的符号，运算简单，而有理数的加法，既要确定和的符号，又要计算和的绝对值。实质上，有理数的加法运算，在确定了和的符号后，进行的是算术的加减运算，这里包含有数学的化归思想。
二、有理数的减法。
1、有理数减法的意义
（1）有理数的减法的意义与小学学过的减法的意义相同．已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法．减法是加法的逆运算．
（2）有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．
2、有理数的加减混合运算
对于加减混合运算，可以根据有理数的减法法则，将加减混合运算转化为有理数的加法运算。然后可以运用加法的交换律和结合律简化运算。

重点难点：
重点：①有理数的加法法则和减法法则；②有理数加法的运算律．难点：①异号两个有理数的加法法则；②将有理数的减法运算转化为加法运算的过程．（这一过程中要同时改变两个符号：一个是运算符号由“－”变为“＋”；另一个是减数的性质符号，变为原来的相反数）

【典型例题】
例1. 计算：（1）（－2）＋（－5） （2）（－6）＋4
（3）（－3）＋0 （4）－3－（－5）
解：（1）（－2）＋（－5）（同号两数相加）
＝－（2＋5）（取________的符号，并把绝对值相加）
＝－7
（2）（－6）＋4（异号两数相加）
＝－（6－4）（取_____________加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值）
＝－2
（3）（－3）＋0（一个数同零相加）
＝－3（仍得__________）
（4）－3－（－5）（减去一个数）
＝－3＋5（等于加上这个数的__________）
＝2
评析：进行有理数的加减运算时，注意先确定结果的符号，再计算绝对值．

例2. 计算（－20）＋（＋3）－（－5）＋（－7）．
分析：这个式子中有加法，也有减法．可以根据有理数减法法则，把它改写成（－20）＋（＋3）＋（＋5）＋（－7），使问题转化为几个有理数的加法．
解：（－20）＋（＋3）－（－5）＋（－7）
＝（－20）＋（＋3）＋（＋5）＋（－7）
＝[（－20）＋（－7）]＋[（＋5）＋（＋3）]
＝（－27）＋（＋8）
＝－19
评析：先将加减混合运算统一成加法，再写成省略加号的形式，形成清晰、条理的解题思路，减少出差错的机会．

例3. 有10名学生参加数学竞赛，以80分为标准，超过80分记为正，不足80分记为负，评分记录如下：
＋10，＋15，－10，－9，－8，－1，＋2，－3，－2，＋1，问这10名同学的总分比标准超过或不足多少分？总分为多少？
分析：此题用具有相反意义的量来表示各个同学的得分在标准之上还是在标准之下，我们也可以把这些数值相加来表示总分是超出还是不足．
解：（＋10）＋（＋15）＋（－10）＋（－9）＋（－8）＋（－1）＋（＋2）＋（－3）＋（－2）＋（＋1）
＝[（＋10）＋（－10）]＋[（－1）＋（＋1）]＋[（＋2）＋（－2）]＋（＋15）＋[（－3）＋（－9）＋（－8）]
＝0＋0＋0＋15＋（－20）
＝－5
80×10－5＝795（分）
答：这10名同学的总分比标准不足5分，总分为795分．
评析：这10个数中有3对相反数，在运算时我们应先把它们相加，这样可以大大降低运算难度．另外，把实际问题转化为数学问题来解决是学习数学的目的．

评析：灵活运用运算律，使运算简化，通常有下列规律：
（1）互为相反数的两数可先相加；（2）符号相同的两数可以先相加；（3）分母相同的数可以先相加；（4）几个数相加能得到整数的可以先相加．

例5. 已知︱a＋5︱＝1，︱b－2︱＝3，求a－b的值．
分析：要求a－b的值，首先必须确定a、b的值．因为绝对值等于一个正数的数有两个，一个正、一个负，并且这两个数互为相反数，即︱x︱＝m（m＞0），则x＝m，或x＝－m．也就是说求出的a、b的值分别有两个．
解：因为︱a＋5︱＝1，︱b－2︱＝3
所以a＋5＝1或a＋5＝－1，b－2＝3或b－2＝－3
所以a＝－4或a＝－6，b＝5或b＝－1
当a＝－4，b＝5时，a－b＝－4－5＝－9
当a＝－4，b＝－1时，a－b＝－4－（－1）＝－3
当a＝－6，b＝5时，a－b＝－6－5＝－11
当a＝－6，b＝－1时，a－b＝－6－（－1）＝－5
评析：（1）已知一个数的绝对值，求这个数的时候，要格外注意解有正负两个值，不要漏掉负值．（2）当确定出a、b的值后，求a－b时，应考虑到可能出现的情况，使解题思维严密．

例6. 依次排列4个数：2，11，8，9．对相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差排在这两个数之间得到一串新的数：2，9，11，－3，8，1，9．这称为一次操作，作二次操作后得到一串新的数：2，7，9，2，11，－14，－3，11，8，－7，1，8，9．这样下去，第100次操作后得到的一串数的和是（ ）
A. 737 B. 700 C. 723 D. 730
分析：根据题意，解决问题的方法有两种：一是作100次操作，得到第100次操作后的一串数字，然后求和；二是经过前几次操作，推测第100次操作后的结果．显然应该用第二种方法．
解：D
评析：一些问题看上去非常复杂，是因为我们没有找到解决问题的办法，多动脑、多思考、找到问题的内在规律才是解决问题的根本方法．

第二章有理数的运算（2）
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一、1、理解有理数的乘法法则及其运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算．
2、掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化乘法运算．
3、能运用乘法的符号法则，判断几个有理数的符号与它们乘积的符号之间的关系．

二、重点、难点：
重点：会进行有理数乘法运算．
难点：会正确运用运算律，简化运算．
知识梳理

1、有理数的乘法法则
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同0相乘，都得0．
（3）几个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数．
（4）几个数相乘，如果其中有任何一个因数为0，则积等于0．
2、倒数
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为：a×＝1（a≠0）．就是说，a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数．注意：
（1）0没有倒数．
（2）求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置．
（3）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．
（4）倒数等于它本身的数是1和－1，但包括0．
3、有理数的乘法运算律
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等．即ab＝ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即（ab）c＝a（bc）．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a（b＋c）＝ab＋ac．

典型例题

知识点一：有理数的乘法
例1：计算：．
思路分析：
1）题意分析：本题考查有理数的乘法法则的运用．
2）解题思路：（1）和（2）都是两个有理数相乘，同号两数相乘积得正，异号两数相乘积得负，再把绝对值相乘．注意：计算过程中，先把带分数化为假分数．
解答过程：
解题后的思考：在运用有理数的乘法法则时，要先确定符号，再计算它们的绝对值．

思路分析：
1）题意分析：本题考查的是运用有理数乘法法则解决多个有理数相乘的问题．
2）解题思路：几个不等于0的数相乘，首先要确定积的符号，然后把绝对值相乘，一般地，将小数化为分数，将带分数化为假分数，这样便于约分．
解题后的思考：几个有理数相乘时，先观察有没有因数0，如果有，积为0；如果没有，先确定积的符号，再确定积的绝对值．

小结：有理数的乘法法则可以推广为：（1）几个不为零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正．（2）几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．反之，如果积为零，那么至少有一个因数为零．

知识点二：有理数的乘法运算律
思路分析：
1）题意分析：（1）题如果把带分数化成假分数，运算量较大；（2）题是加法和乘法的混合运算，每个乘法算式中都含有因数0.25．
2）解题思路：对于（1）可利用拆分思想，把带分数拆成一个整数与一个真分数的和，再应用乘法分配律进行运算．而拆成对于（2），由于每个乘法算式中都有一个共同的因数0.25，可逆用乘法分配律进行运算．
解题后的思考：在计算前要认真分析题目中数据的特点，从而选用恰当的运算律来简化运算．

小结：乘法运算律在乘法运算中的作用主要是使运算简便，提高计算速度和准确性．能否灵活、合理运用运算律是解题能力高低的具体体现．应注意在运算律中，a、b、c表示任意有理数，可以是正数、负数或0．

知识点三：有理数乘法的综合应用
例4：求下列各数的倒数：
1）题意分析：根据倒数的定义求解．
2）解题思路：根据倒数的定义，求一个数的倒数，就是要确定与这个数的乘积为1的数．求一个整数的倒数时，可直接写成以这个数为分母，1为分子的数；求一个小数的倒数时，先把小数化成分数，再把分子、分母颠倒位置即可．
解题后的思考：求一个数的倒数时应注意：0没有倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数仍是负数，符号不变．

例5：完成下列各题：
（1）绝对值不大于5的所有负整数之积为__________．
（2）绝对值不大于10的所有整数之积为__________．
（3）若︱m︱＝3，︱n︱＝6，则︱mn︱＝__________．
思路分析：
1）题意分析：本题考查有理数的乘法与有理数的有关概念．
2）解题思路：这三个小题有一个共同特点，都是求一些数的积．解决本题的关键是根据题意确定因数的情况，尤其要正确理解“不大于”、“负整数”等条件的意义．
解答过程：（1）绝对值不大于5的所有负整数为：－5、－4、－3、－2、－1，它们的积为（－5）×（－4）×（－3）×（－2）×（－1）＝－120．
（2）绝对值不大于10的所有整数，包括0在内，其积为0．
（3）由︱m︱＝3知，m＝±3，由︱n︱＝6知n＝±6．
因此，︱mn︱的值有以下四种情况：
①当m＝3，n＝6时，︱mn︱＝︱3×6︱＝18；
②当m＝3，n＝－6时，︱mn︱＝︱3×（－6）︱＝18；
③当m＝－3，n＝6时，︱mn︱＝︱（－3）×6︱＝18；
④当m＝－3，n＝－6时，︱mn︱＝︱（－3）×（－6）︱＝18．
所以︱mn︱＝18．
解题后的思考：有理数乘法可与绝对值、有理数的加减法及其他知识综合在一起进行考查，当有理数乘法与绝对值综合在一起考查时，要注意分析解的情况．

例6：在国外留学的叔叔送给聪聪一个新奇的玩具——智能小兔子．它的新奇之处在于若第一次向正南跳一下，第二次就掉头向正北跳两下，第三次又掉头向正南跳三下，……．而且它每跳一下的距离均为20厘米．如果小兔子第一次向正南跳，那么跳完第80次后，它在起跳点的__________（填“正南”或“正北”处），距离起跳点__________米．
思路分析：
1）题意分析：这是一道关于有理数的实际应用问题．
2）解题思路：我们可以规定向北为正，向南为负，第一次跳动后，（－1）×0.2＝－0.2（米），表示小兔子在起跳点正南0.2米；第二次跳动后，（＋2）×0.2＝0.4（米），－0.2＋0.4＝0.2（米），表示小兔子在起跳点正北0.2米；……．跳完第80次后，把所有数据相加，和为正则表示在正北方向，和为负则表示在正南方向．
解答过程：根据题意可得：（－1）×0.2＋（＋2）×0.2＋（－3）×0.2＋（＋4）×0.2＋…＋（－79）×0.2＋（＋80）×0.2＝0.2×（－1＋2－3＋4－…－79＋80）＝0.2×1×40＝8（米），所以跳完第80次后，小兔子在起跳点的正北8米处．
解题后的思考：解决实际问题的关键是根据问题情境找出数量关系，将实际问题转化为所学的数学问题．

小结：解决有理数乘法的综合问题时，要弄清楚有理数、绝对值、倒数等相关概念．有理数的乘法是解决其他数学问题的基础，一般不会直接考查，往往和绝对值、倒数等内容相结合，或以解决实际应用、规律探究型问题的形式出现．

二、有理数的除法。
1、了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，能熟练进行有理数的除法运算。
2、掌握有理数混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算。
3、通过有理数除法法则体会转化的思想，培养学生观察，分析、归纳的能力。

二、重点、难点：
重点：有理数的除法法则和混合运算的运算顺序。
难点：熟练地进行有理数的除法与乘法运算的互化。
知识梳理

1、有理数的除法法则
（1）除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。可表示成：a÷b＝a·1/b（b≠0）。
（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。
说明：对于有理数除法的两个法则，在计算时可根据具体的情况进行选用，一般在不能整除的情况下应用法则（1）；在能整除的情况下，应用法则（2）。
2、有理数的乘除混合运算
有理数的运算中既有乘法运算又有除法运算，称为有理数的乘除混合运算。乘除混合运算可先将除法运算转化为乘法运算，再运用乘法法则和运算律进行计算。
3、有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算中，如无括号，则运算顺序为：“先乘除，后加减”；如有括号，则先算括号里面的。

典型例题

知识点一：有理数的除法
例1：下列说法正确的是（ ）
A. 零除以任何数都等于零
B. 两数相除等于把它们颠倒相乘
C. 一个不等于零的有理数除以它的相反数等于－1
D. 商一定小于被除数
思路分析：
1）题意分析：本题考查有理数的除法法则。

解题后的思考：根据分数的分子、分母、分数符号中含有的负号个数的奇偶性来判断化简后的符号。

小结：比较有理数的除法法则和乘法法则发现，这两者的相似度很高，都是先确定结果的符号，再确定结果的绝对值，而且都是“同号得正，异号得负”。

知识点二：有理数的混合运算
例3：计算：（1）－9÷（）×；（2）－7÷（－5.5）×11/14。
思路分析：
1）题意分析：本例考查有理数的乘除混合运算。
2）解题思路：第（1）小题应注意运算顺序，可统一化为乘法后再计算，第（2）小题也可统一化为乘法再计算，做乘除法混合运算时，一般要把除法统一成乘法，有时还可以用乘法运算律来简化运算。
解答过程：（1）－9÷（）×＝9××＝4；
（2）－7÷（－5.5）×＝7××＝1。
解题后的思考：本题第（1）题容易出现错解：根据有理数的除法法则，两数相除，同号得正，于是原式化为9÷×＝9÷1＝9。错误原因在于：乘除是同一级运算，必须按照从左到右的顺序进行。

例4：计算：
（1）[＋（－11/14）]÷[1＋（）×（－11/14）]；
（2）（－）÷（－＋－＋）。
思路分析：
1）题意分析：这是两道有理数的加、减、乘、除混合运算的题目。
（2）题容易错用分配律，应注意除法是没有分配律的，但有时可转化为乘法后再使用分配律。

小结：进行有理数的加、减、乘、除混合运算时要注意运算顺序，如果有括号，就先算括号内的，如果没有括号，就先算乘除，再算加减。

知识点三：综合应用
解题后的思考：本题表面上是比较两个数的大小，实际上考查的是混合运算中的符号问题。

解题后的思考：这种题型很常见，主要考查对互为倒数、互为相反数、绝对值的意义的理解及应用。

三、有理数的乘方
1、理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，能熟练进行有理数乘方的运算．
2、进一步掌握有理数的混合运算．
3、了解科学记数法的意义，学会利用科学记数法表示比10大的数．
4、理解近似数、精确度和有效数字的概念，能够按要求写出一个数的近似数，能够准确判断一个近似数的精确度．

二、重点、难点：
重点：乘方运算的符号法则及运算方法；科学记数法和近似数．
难点：乘方运算的符号法则；对形如5.6×103、4.8万这类数的精确度的理解．
知识梳理

1、乘方
（1）求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，一般地，记作an，读作a的n次幂．在an中，a叫做底数，n叫做指数．
（2）乘方运算的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
2、有理数的混合运算顺序：
（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
3、科学记数法
把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数），这种记数方法叫做科学记数法．在a×10n中，a应满足1≤a＜10，10的指数n等于原数整数位减1．负数只需在a×10n之前加“－”号即可．
4、近似数
接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数．近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示．精确度是描述一个近似数的近似程度的量．
精确度有两种形式：
（1）一般地，把一个数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到了哪一位．
（2）保留几个有效数字．有效数字是指一个数中从左边第一个非0数字起，到末位数字止，所包含的所有数字．

典型例题

知识点一：有理数的乘方及混合运算
例1：选择题：
（1）对于（－3）4与－34，下列说法正确的是（ ）
A．它们的意义相同
B．它们的结果相等
C．它们的意义不同，结果相等
D．它们的意义不同，结果不等
（2）下列说法正确的是（ ）
A．一个数的平方一定大于这个数
B．一个数的平方是正数
C．一个数的平方不可能是负数
D．一个数的平方一定大于这个数的绝对值
．


解题后的思考：探索数量关系的活动，是重要的数学思维活动．可以从多个角度进行思考，用语言、表格、符号等多种形式表示规律．本题是一组（列）数，描述这一列数的变化规律，在今后的学习中，我们还会遇到有规律性变化的一组几何图形，从中发现其中的数量变化规律等．

例5：慢羊羊每一年都对羊村的重大事件作记载，这其中当然包括了灰太狼对羊村的攻击次数（这里所说的次数均为年初至当日的累计读数）的记录，已知上周日灰太狼攻击羊村的累计次数是115次，以后每日累计次数如下表：
星期 一 二 三 四 五 六 日
累计次数 118 122 127 133 136 140 143
试估计6月份灰太狼对羊村一共攻击了多少次？
思路分析：
1）题意分析：注意表格给出的数据不是当日受到的攻击次数，而是从年初到当日的累计次数．
2）解题思路：通过对累计次数的记载可以算出这一周各天的攻击次数，从而算出这一周平均每天的攻击次数，用这周平均每天的攻击次数乘以30，就可以估算出6月份羊村大约受攻击的次数；
解答过程：[（118－115）＋（122－118）＋（127－122）＋（133－127）＋（136－133）＋（140－136）＋（143－140）]÷7×30＝（－115＋143）÷7×30＝120（次）．
答：估计6月份灰太狼对羊村一共攻击了120次．
解题后的思考：解实际问题的关键是理清数量关系，把实际问题转化成数学问题．本题还应注意根据算式特点寻找合理巧妙的计算方法．另外一种解法：根据本周日的累计次数减去上周日的累计次数就是一周的攻击次数，在此基础上再求出每天的平均次数：（143－115）÷7×30＝120（次）．

小结：（1）由乘方的符号法则可知，任意数的偶次幂都是非负数．今后常常要用到这样一个数学结论：a2≥0；（2）注意含多种括号、绝对值的运算顺序．

知识点二：科学记数法和近似数
例6：光年是天文学中的距离单位，1光年大约是9500 000 000 000km，用科学记数法表示为（ ）
A. 950×1010km B. 95×1011km
C. 9.5×1012km D. 0.95×1013km
思路分析：
1）题意分析：本题考查用科学记数法表示一个数的方法．
2）解题思路：先保证a的范围，应为9.5，从9500 000 000 000到9.5，小数点左移了12位，故n＝12．
解答过程：C
解题后的思考：（1）用科学记数法表示一个数，不能改变原数的大小，并按记数的要求书写．关键是a×10n中a的大小，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减1，整数位数不能是0．

例7：（1）下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？各有几个有效数字？
①4.20；②0.0022；③4.5万；④3.05×104．
（2）用四舍五入法取下列各数的近似数．
①0.507（精确到百分位）；②86400（保留2个有效数字）；
③0.02866（精确到0.001）；
④1.99（精确到0.1）．
思路分析：
1）题意分析：本题主要考查近似数及有效数字的概念．
2）解题思路：（1）4.5万不是精确到十分位，因为4.5万不同于4.5，4.5精确到十分位，即0.1，而4.5万精确到0.1万，即千位．同理3.05×104不是精确到百分位，104是万，0.01万＝1百，所以3.05×104精确到百位．（2）1.99精确到0.1时，近似数是2.0，而不是2，因为近似数2.0是精确到0.1（或十分位），有2个有效数字，而2是精确到个位，有1个有效数字．
解答过程：（1）①4.20精确到百分位（0.01），有3个有效数字，它们是4，2，0；
②0.0022精确到万分位，有2个有效数字，它们是2，2；
③4.5万精确到千位，有2个有效数字，它们是4，5；
④3.05×104精确到百位，有3个有效数字，它们是3，0，5．
（2）①0.507≈0.51；②86400≈8.6×104；③0.02866≈0.029；④1.99≈2.0．
解题后的思考：（1）从左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是有效数字，最后一位有效数字到哪一位，这个近似数就精确到哪一位．（2）用四舍五入法取近似数时，如果遇到要求保留的有效数字位数小于已知数时，首先把已知数用科学记数法表示，再取近似数．如②中86400是一个五位数，而题中要求保留2个有效数字，对于这样的问题，应首先把86400写成科学记数法的形式，即8.64×104，然后再保留2个有效数字，得8.6×104即为所求．

例8：近似数3.2×104，3.2万和32000三数的意义是否相同？
思路分析：
1）题意分析：这三个数都是近似数，形式不同，意义可能不相同．
2）解题思路：从精确度上来区分这三个数．
解答过程：3.2×104有两个有效数字：3、2，精确到千位．3.2万有两个有效数字：3、2，精确到千位．32000有5个有效数字，精确到个位，因此，3.2×104与3.2万的意义相同，但与32000的意义不同．
或从真值的范围来看：
3.2×104和3.2万的真值范围都是3.15×104≤真值＜3.25×104．而32000的真值范围是31999.5≤真值＜32000.5．范围不同，说明意义不同．
解题后的思考：对于一个近似数来说，精确到的数位越低越接近真实值．

小结：在特定情况下取近似数的另外两种方法：去尾法和进一法．（1）去尾法就是把某一个数保留到某一指定的数位为止，后面的数全部舍去．如要把一根100cm长的圆钢截成6cm一段的零件，最多截几段？计算结果是100÷6＝16.66…，虽然十分位数上的数大于5，但不是一段，所以只能截得16段．（2）进一法就是把一个数保留到某一指定的数位为止，把后面的数全部舍去，如果舍去的不是0，则在保留的最后一位数字上加1．如上例中若要截出85段6cm长的圆钢来做零件，需要用几根100cm长的圆钢？计算结果是85÷16＝5.3125，虽然十分位上的数小于5，但必须用6根100cm长的圆钢．