暑假特训：有理数的运算（2）

有理数的运算（3）
有理数的混合运算一
有理数的混合运算——简便运算技巧（1）
“算对与算巧”
求的和，从左到右逐次相加似乎很安稳的事，其实这样算下来不仅工作量很大，而且运算的次数太多，出错的可能性也大，聪明的高斯没有这样做，他把这个算式头尾倒过来写成然后将两个式子的对应项相加得到100个101，101乘100再除以2便得到所求的和。这样不但算得对，而且算得快，这是一个脍炙人口的故事，它告诉我们数学运算不仅要算对更要算巧。
二. 重点、难点：
有理数运算是代数中最基本的运算，若能根据题目特点灵活掌握运用一些技巧，不仅可提高运算速度和准确率，还可培养学生善于思考的好习惯，有利于思维能力的培养，现介绍几种有理数运算中的解题技巧。
三. 基础回顾：
（1）有理数的运算法则：
① 加法法则：同号相加一边倒，异号相加大减小，符号跟着大的跑。
② 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
③ 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。0乘任何数都得0。
④ 除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数。0不能作除数。
⑤ 有理数的乘方运算：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
（2）运算律：
① 加法交换律：a＋b＝b＋a。
② 加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。
③ 乘法交换律：ab＝ba。
④ 乘法结合律：（ab）c＝a（bc）。
⑤ 乘法对加法的分配律：a（b＋c）＝ab＋ac。
（3）运算顺序及注意事项：
① 有理数的加、减、乘、除四则混合运算，一定要先把减法改成加法，除法改成乘法。这样可以防止出错。
② 对含有三级运算的情况，按先乘方、开方，再乘除，最后加减的运算顺序。同级运算从左到右依次运算。有括号时按小、中、大括号顺序进行，有时也可灵活去括号。
③ 应注意灵活运用运算律，使计算简便化，对互为相反数其和为零的要优先解决。
【典型例题】
一. 符号与括号
有理数运算是代数入门的重点，又是难点，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，由于负数的引入，符号“＋”与“－”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号，因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，从而使复杂问题变得较简单，在此应特别注意去添括号时符号的变化。
例1. 计算
分析：不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为1或为－1，如果按照将第一与第二项，第三与第四项，……，分别配对的方式计算，就能得到一系列的－1。
解：
下面需对n的奇偶性进行讨论：
当n为偶数时，上式是个（－1）的和，
即；
当n为奇数时，上式是个（－1）的和，再加上最后一项，所以有
说明：两种情况可以合并为：
二. 巧添辅助数
例2. 计算：
解：原式
三. 巧用整体
例3． 购买5种物品，，，，的件数和用钱总数列成下表：
那么，购买每种物品各一件共需多少元？
解：由已知表格：购买1件，3件，4件，5件，6件共需1995元；所以购买2件，6件，8件，10件，12件共需2×1995元；又因为购买1件，5件，7件，9件，11件共需2984元；所以购买每种物品各一件共需
　　2×1995－2984＝1006（元）
说明：设购买物品i＝1，2，3，4，5
则 ，①
②
由 2×①－② 得
需要指出的是：我们无法计算每个，但我们能巧算出这个整体，整体思维常常会帮助我们算对，算快和算得巧妙。
四. 巧用凑整运算
例4. 计算：
解：原式
五. 巧用公式
例5. 计算：
解：原式
说明：平方差公式：
例6. 计算：
解：原式
说明：立方差公式：
立方和公式：
完全平方公式： ，
六. 巧用拆项法
例7. （第六届“祖冲之杯”数学竞赛题）
计算 ＝________
分析：直接计算难上加难。应考虑运用拆项法消去部分项，从而使运算简单易行。利用上面介绍的反序相加法，不难求得最后两项为，，而，同理，，那么本题就不难解决了。
解：原式＝
＝
说明：形如的分数，可以拆成的形式。
例8.
解：应用关系式 来进行“拆项”。
原式
　　　　　
有理数混合运算二
有理数的混合运算——简便运算技巧（2）
二. 重点、难点：
有理数运算是中学数学中一切运算的基础，准确地理解有理数相关的概念，以及它的运算法则、公式，并且善于根据所给题目要求，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择简捷的算法，可以很好地提高思维的敏捷性。将现实中的问题与学习中的知识相结合，并合理的解决它，你会发现数学的很多乐趣。
三. 我们的目标：
当我们认识了零、负整数和负分数后，就引出了有理数的概念。整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数，任何一个有理数都可以表示为一个既约分数均为整数且互素）。并且，有理数可以比较大小，有理数的和、差、积、商（分母不为零）仍为有理数，任意两个有理数之间都有无穷个有理数，有理数运算是中学数学中一切运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则，公式等正确、迅速地进行运算，同时还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。
【典型例题】
一. 巧用错位相减
例1. ；
解：
∴ 原式
或者用下面的“错位相减法”求和。
令，则
将这两式错位相减得
即
再将这两式错位后式减去前式得
二. 巧用分析法
例2.
解：考察第n项n（n+1）如何分析，仔细观察后会发现：
∴ 原式
说明：分析和错位相减是有理数运算中常用的技巧，在解题中应注意总结归纳规律，力求灵活应用。
三. 巧换元
例3. 计算：
解：设，则
原式
例4. ；
解：直接计算较繁，仔细观察分母中涉及到三个连续整数：12345，12346，12347，可设字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母变为，即原式分母的值是1。
∴原式=24690。
四. 巧相约
例5. 计算：
解：原式
五. 巧用倒序配对
例6. 计算：
解：设原式，对括号内各项倒序排列后，再设
，则：
所以
所以原式
六. 巧用倒数法
例7. 计算
分析：因为与互为倒数，而比较容易计算，故此题只需先计算出后部分的结果即可。
解：因为
∴ 原式
有理数的运算（4）
准确数和近似数及计算器的使用
重点、难点：
1. 了解近似数与有效数字的概念，会根据预定精确度取近似数值。
2. 会用计算器进行混合运算。
3. 利用计算器探索规律，以及解决简单的实际问题。
掌握要点：
（一）知识要点
1. 近似数与准确数；
与实际接近的数称为近似数；
与实际情况完全符合的数叫做准确数。
2. 一个近似数，由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
3. 有效数字：一个近似数从左边第一个不是0的数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。
［重要提示］
1. 取某数的近似数常见的有两种办法：
（1）精确到某位或精确到小数点后某位；
（2）保留几个有效数字。
2. 注意：近似数中后面的0不能省略不写，如3.78与3.780是不同的，它们的精确度不同。对一个数取不同的近似数，有效数字个数越多，精确度越高。
3. 确定有效数字，一般要分两步：第一步，从左边第一个不是0的数字数起；第二步，一直数到这个近似数的末位为止，所有的数字都是这个数的有效数字：即左边的0不是有效数字，中间和右边的0都是有效数字，如：0.0010100有5个有效数字。
4. 对较大的数取近似值时，结果一般要用科学记数法来表示。
［典型例题］
例1. 已知圆周率π＝3.14159265………
（1）求π精确到千分位的近似数，并指出这个近似数的有效数字；
（2）早在南北朝时期，我国著名的数学家祖冲之就得到了圆周率的约率是，密度是，它们分别精确到小数点后第几位？有几个有效数字？
分析：本题是考察对有效数字的概念的掌握情况，（2）中应把和化成小数，与π值进行比较后才能知道具体精确的位数。
解：（1）π3.142，它有4个有效数字，是3，1，4，2；
（2）＝3.1428……，与π＝3.14159265………相比可知，精确到小数点后第2位，有3个有效数字。
＝3.14159292……，与π＝3.14159265………相比可知，精确到小数点后第6位，有7个有效数字。
反思：按四舍五入取近似数时，要精确到某一位，就是把这一位的后面一位数字四舍五入，而有效数字是从左边第一个不是0的数字算起，到最后一位数字为止的所有数字（包括0）。
例2. 张华在体检时，量得身高为1.70米，他在登记时写得是1.7米，测量结果与登记数是否一致？为什么？
解：不一致，1.70米表示测量结果精确到小数后第2位，0是估计位，有3个有效数字；而1.7米只精确到小数点后1位，7是估计位，只有2个有效数字，精确度是不一样的。
反思：由四舍五入得到的近似数末位数字是0时，不能将0随便去掉，否则精确度将降低。
例3. 下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位，各有哪几个有效数字？
（1）6.208 （2）0.05070
（3）45.3万 （4）91.2010
分析：一个数的最右边的末位处于哪一位就说它精确到哪一位；从左边第一个不是0的数字起，到近似数最右边的末位数字为止，所有的数字都是有效数字。
解：（1）6.208精确到千分位，有四个有效数字是6、2、0、8；
（2）0.05070精确到十万分位，有四个有效数字是5、0、7、0；
（3）45.3万精确到千位，有三个有效数字是4、5、3；
（4）91.2010精确到百位，有四个有效数字是9、1、2、0。
反思：（1）近似数0.05070与近似数0.0507意义不同，0.05070是精确到十万分位，有四个有效数字，而0.0507精确到万分位，只有三个有效数字；同理45.3万和453000的意义也不同，45.3精确到千位，有三个有效数字 ，而453000精确到个位，有六个有效数字。
（2）注意千万不能把45.3万说成是精确到十分位，因为3是千位上的数，就应说成是精确到千位，同理91.2010也不能说成是精确到百分位。
例4. 按括号内的要求，求下列各数的近似数。
（1）0.28999（精确到十分位）；
（2）70.395（精确到0.01）；
（3）0.130496（保留三个有效数字）；
（4）2004000（保留四个有效数字）；
分析：四舍五入法取近似值是根据要求精确到哪一位，只看这一位的下一位是否大于或等于5，来决定是“舍”还是“入”的。
解：（1）0.289990.3；
（2）70.39570.40；
（3）0.1304960.130
（4）20040002.004106
反思：（1）用四舍五入法取近似值，一定要按题目要求精确到哪一位，然后只看这一位的下一位来决定是“舍”还是“入”的，如第（3）小题就看“4”来决定“舍入”，对后面的数字一概不理。
（2）对比较大的数取近似值时，经常用科学记数法来表示，如第（4）小题。
（二）知识要点
1. 电子计算器的特点：运算速度快，操作简便，体积小等。
2. 电子计算器的种类：按功能分为简单计算器、科学计算器、图形计算器。
3. 电子计算器的面板的组成：键盘和显示器。
4. 计算器键盘的每个键上都标有这个键的功能。
［重要提示］
1. 有些键的上边还注明这个键的其他功能（称为第二功能）。这个功能通常用不同的颜色标明以区别于这个键的第一功能，如按一下＝键，计算器直接执行第一功能，即完成运算或执行指令；如先按Shift键，再按＝键，执行第二功能，即执行百分率计算。
2. 各种类型的计算器在使用时，按键的方法不尽相同，但在进行加、减、乘、除四种运算的按键方法通常是一样的。
［典型例题］
例1. 用计算器求：
（1）（448＋506－36.5）÷5
（2）（4.21－2.89）－2.14
分析：（1） 应按3ab/c 4，2.1应按2. 1y4。
（2）在进行混合运算时，输入时不必考虑运算顺序，计算器依照程序会按运算顺序进行运算。
解：（1）按键顺序是（ 448 ＋ 506– 36. 5） ÷ 5＝ ，这时计算器显示的结果为183.5；
（2）按键顺序是3ab/c 4 （ 4. 21－2. 89） – 2. 1 y4＝ ，这时计算器显示的结果为－18.4581。
反思：在使用计算器时应注意以下几点：
（1）计算开始时，按开启键，停止使用时，要注意按关闭键；
（2）按下数字键后，应立即看看显示器上的显示是否正确；按下运算键指令键后，要注意显示的数是否有一下闪动，若无闪动，说明可能键未按到底；
（3）每次运算前，需按一下清零键。
例2. 凌志中学举行庆“五·一”演讲比赛，由7位评委为每一名学生的演讲分别打分，评分方法是：去掉一个最高分和一个最低分，将其余成绩的平均分作为这名学生的最后得分。小红演讲后，评委打分如下：9.65，9.78，9.74，9.70，9.89，9.69，9.75，求小红的最后得分。
分析：可按下列步骤进行：①确定最高分9.89与最低分9.65，并将它们去掉；②列出算式；③用计算器进行计算。
解：算式为（9.78＋9.74＋9.70＋9.69＋9.75）÷5
按法1：按键顺序是（ 9. 78 ＋ 9. 74 ＋ 9.7 ＋9. 69 ＋ 9. 75） ÷ 5，此时显示器上显示为9.732。
按法2：按键顺序是（ ·78 ＋ ·74 ＋ ·70 ＋·69＋ ·75） ÷5此时显示器上显示0·732，所以所求的平均数是9＋0·732＝9·732。
反思：在列式时也可以只考虑纯小数部分，使用计算器求出五个纯小数的平均数后，再加9，这种方法比第一种方法可少按键5次。
例3. 根据联合国等国际机构预测，到2010年美国人均国民总产值（GDP）将比1990年增长45.04%（以1990年的价格回汇率计算）。1990年美国人均GDP为22062美元，预计2010年美国人均GDP为多少美元？
解：2010年美国人均GDP为：
22062＋22062×45.04%＝31998.7248（美元）
答：预计2010年美国人均GDP为31998.7248美元。
说明：涉及百分比的计算可使用百分号%，但注意按键顺序，按键顺序为：2 2 0 6 2 ＋ （ 2 2 0 6 2 × 4 5 · 0 4 SHIFT % ） ＝
例4. 计算：112，1112，11112，111112，你发现了什么规律？利用所发现的规律能求出111 111 1112吗？
解：用计算器算得：
112＝121，
1112＝12 321，
1 1112＝1234 321，
11 1112＝123 454 321。
根据上述规律，可知
111 111 1112＝12 345 678 987 654 321。
注意：本例中所显示的规律，可从竖式乘法得到解释，如
这种规律性直至1 111 111 1112时被破坏，你知道为什么吗？