暑期特训：实数

暑期特训：实数
实数（一）
二. 重点、难点：
1. 了解平方根，算术平方根，立方根的概念，会用根号表示某些数的平方根，算术平方根，立方根
2. 会求某些非负数的平方根及某些数的立方根
3. 了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应
4. 能用有理数估计一个无理数的大致范围
三. 教学过程
（一）知识要点
1. 算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“”，读作“根号a”，我们规定0的算术平方根是0，即＝0。
2. 平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a， 即x＝a，那么这个数x就叫做a的平方根，记为“”，读作“正负根号a”。
3. 平方根的特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0，负数没有平方根.
4. 开平方：求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数
重要提示
1. 算术平方根具有双重非负性；
（1）被开方数是非负数，即a0；
（2）算术平方根的本身是非负数，即a0。
2. 平方根与算术平方根的区别与联系：
区别：（1）定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根”；（2）个数不同：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；而一个正数的算术平方根只有一个，且也是正数；（3）表示方法不同；正数a的平方根为；正数a的算术平方根为，特别注意：。
联系：（1）平方根中包含了算术平方根，算术平方根是平方根中的一个；（2）平方根和算术平方根都只有非负数才有；（3）0的平方根和0的算术平方根是其本身。
［典型例题］
例1. 下列各数有没有平方根 如果有的话，求出它的平方根和算术平方根，如果没有的话，请说明理由。
（1）64 （2）0.49 （3） （－5） （4）－3 （5） 0 （6）2 （7）
分析：（1）要判断一个数有没有平方根，就要看它是不是负数，若是负数就没有平方根，不是负数就有平方根；
（2）“平方与开方是互逆运算”是解这些题的关键
解：（1）因为64>0，所以64有平方根，因为（）＝64，所以64的平方根是8，即±＝，64的算术平方根是8，即＝8。
（2）因为0.49>0，所以0.49有平方根；因为（0.7）＝0.49，所以0.49的平方根是0.7，即＝0.7，0.49的算术平方根是0.7，即＝0.7。
（3）因为（－5）＝25>0，所以（－5）的平方根是5，即＝5， （－5）的算术平方根是5，即＝5。
（4）因为－3＝－9<0，所以－3没有平方根。
（5）0有平方根，0的平方根是0，即＝0，0的算术平方根是0，即＝0。
（6）因为2＞0，所以2有平方根，因为2＝，（）＝，所以2的平方根是，即＝，2的算术平方根是，即＝。
（7）因为＝3>0，所以有平方根，因为3的平方根是±，所以的平方根是，的算术平方根是。
反思：（1）求一个数的平方根时，应注意它的平方根通常用的形式来描述，不可粗心大意而丢掉“”号，它正是平方根与算术平方根的区别所在。（2）当带分数开平方时，要先把带分数化成假分数，然后再开平方，如第（7）题；当一个正数的算术平方根开平方时，要特别注意先求出＝3，再求出3的平方根是。
例2. （1）如图所示，小明想剪一块面积为25cm的正方形纸板，你能帮他求出正方形板的边长吗？
（2）若小明想将两块边长都为3cm 的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如下图所示的一个大正方形，你能帮他求出这个大正方形的面积吗？它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间
解：（1）由于正方形的面积公式为：S＝a，而（5）＝25，所以a＝5或－5，但a是边长，故a＝－5舍去，所以a＝5.所以这个正方形的边长是5cm。
（2）由图示可知，大正方形纸板的面积是由两个小正方形纸板剪凑而成，因此大正方形面积＝3+3＝18（cm），大正方形的边长是cm（－舍去）。显然不是整数。
由于4＝16，所以＝4；而5＝25，所以＝5，因此可以估计，<<，即在整数4与5之间。
反思：从本例的研究中我们可以得到启示：（1）由于正方形的边长不能是负数，因此，已知正方形面积求边长，要用它的算术平方根，而不是平方根；（2）问题2中，大正方形的面积（即两个小正方形的面积之和）是客观存在的，但表示大正方形边长的数，既不是整数，也不能化成分数，那它又是一个什么数呢
（二）知识要点
1. 实数的意义：有理数和无理数统称为实数
2. 实数的分类
（1）按定义分类：
实数
（2）按大小分类：
实数
3. 在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。
4. 实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
重要提示
1. 无理数的常见类型有：
（1）所有开方开不尽的数都是无理数：如，，－等。
（2）圆周率π及一些含有π的数都是无理数，如π/2，2π+1等。
（3）像似循环，但不循环的无限小数是无理数，如0.1010010001……（两个1之间依次多一个0），0.232232223……（两个3之间依次多一个2）等。
2. 有理数大小的比较法则，利用数轴比较有理数的大小方法仍适用于实数大小的比较。
［典型例题］
例1. 把下列各数填入相应的集合里
0，，，3.1415926，－2，0.1－2，，，，1.212121…，，0.2020020002…（两个2之间依次多1 个零）
自然数集合{ }
有理数集合{ }
正数集合{ }
整数集合{ }
无理数集合{ }
分数集合{ }
分析：对实数进行分类时，应先对某些数进行计算并化简，然后根据最后结果进行分类。
解：因为＝－1，所以
自然数集合{0， ，}
有理数集合{0，－2，，3.1415926，，，1.212121…}
正数集合{，，3.1415926，，，，，1.212121…，π/4，0.2020020002…（两个2之间依次多1个零） }
整数集合{0，－2，，}
无理数集合｛，，，，0.202002…（每两个2之间依次多1个零）｝
分数集合｛3.1415926，，1.212121…｝
反思：本题的易错点是把1.212121…，当成无理数，把当成分数，解题关键在于认真审视各个数据，严格按照各自定义去予以判断。
例2. 某位老师在讲“实数”时，画了如图所示的图形，即“以数轴的单位长线段为边作一个正方形，然后以O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴原点右侧于一点A，作这样的图是用来说明
分析：根据图得到边长为1的正方形的对角线长为，即OC＝，而是一个无理数，又OA＝OC，A所代表的是数，这说明数轴上的点可以表示无理数。
解：“无理数可以在数轴上表示出来”或“数轴上的点也可以表示无理数”等。
反思：本题只要涉及到“无理数和数轴上的点能对应”均为正确答案。
例3. 下列说法中正确的个数是（ ）
①两个无理数的和必是无理数；
②两个无理数的积必是无理数；
③有理数与无理数分别平方后，不可能相等；
④无理数就是平方开不尽的数；
⑤有理数的倒数一定是有理数。
A. 2个 B. 1个 C. 3个 D. 4个
解：①错误，如+（－）＝0为有理数。
②错误，如（3）＝6为有理数。
③正确，因为有理数与无理数不相等，所以平方后也不相等。
④错误，如π。
⑤错误，如0是有理数，但它不存在倒数。
故本题选B
反思：判断一个说法正确，要有充分的根据，而判断一个说法不正确，也要有根据或举出反例。
（三）知识要点
1. 立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做a的三次方根）。
求一个数的立方根的运算叫做开立方，其中a是被开方数。
2. 立方根的表示法：如果x＝a，那么x＝，其中a是被开方数，3是根指数。
3. 立方根的特性：正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0。
重要提示
1. 平方根与立方根的区别
平方根 立方根
表示方法
a的取值 a a为任意实数
特性 正数的平方根有两个0的平方根是0，负数没有平方根 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数
2. 立方根是本身的数有和0
3. 的根指数不能省略，要写在根号的左上角。
［典型例题］
例1. 判断题
（1）有理数一定有立方根 （ ）
（2）－27的立方根是3 （ ）
（3）一个数的立方根总比这个数的平方根小 （ ）
（4）若x的立方根是它本身，则x的值是1或0 （ ）
分析：由正数的立方根是正数，零的立方根是零，负数的立方根是负数可以判断结果。
解：（1）正确，任何数都有立方根
（2）错误，－27的立方根是－3
（3）错误，零的立方根是零，零的平方根也是零
（4）正确，立方根是本身的数只有和0 （ ）
反思：
1. 当a，a的平方根为，而a的立方根不是，应为
2. 当a<0时，a没有平方根，而有立方根为。
例2. 求下列各数的立方根
（1）0 （2）－343 （3）－0.729 （4）1 （5）－2
解：（1）因为03＝0，所以0的立方根是0，即＝0；
（2）因为（－7）3＝－343，所以－343的立方根是－7，即＝－7；
（3）因为（－0.9）3＝－0.729，所以－0.729的立方根是－0.9，即＝－0.9；
（4）因为1＝，且（）3＝，所以1的立方根是，即＝；
（5）因为－2＝－，且（－）3＝－，所以－2的立方根是－，即＝－。
反思：
1. 求一个数的立方根时，应注意其结果的唯一性，不要与平方根相混淆，出现－8的立方根为±2的错误结论。
2. 当求一个负数的立方根时，不漏掉其结果前面的负号，如（2）、（3）、（5）；和求平方根一样，当被开方数是带分数时，应先将带分数化为假分数再求解。
例3. 求满足方程：
（x－3）3+19＝－13的x的值。
分析：此题只需按解方程的步骤进行解答即可。
解：由（x－3）3+19＝－13
得（x－3）3＝－32
（x－3）3＝－64
x－3＝
x＝－4+3
x＝－1
一、选择题
1、下列各式正确的是 （ ）
A、＝±5 B、±＝5
C、＝－5 D、±＝±5
2、若一个数的平方根是它本身，则这个数是（ ）
A、0 B、1 C、±1 D、0或1
3、和数轴上的点一一对应的是（ ）
A、整数 B、有理数
C、无理数 D、实数
4、下列命题中：
（1）无理数是开不尽方的数；
（2）带根号的数是无理数；
（3）无限小数是无理数；
（4）无理数是无限不循环小数；正确的命题有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
二、填空题
1、若+＝0，则＝ 。
2、小林家马上要装修房子，现计划用100块地板来铺设面积为36m2的客厅，则需要正方形地板的边长是 。
3、把下列各数填入相应的集合内：－11，，3，，0，，，－π，0.4，。
（1）有理数集合：{ }；
（2）无理数集合：{ }；
（3）正实数集合：{ }；
（4）整数集合： { }；
4、如图所示，一个正方体的体积是64立方米，则它的棱长是 米，表面积是 。
三、解答题
1、计算
（1）+ （2）
（3） （4）
（5）+ （6）－
2、求下列各式中的x的值
（1）（x－1）2＝4；
（2）＝3；
（3）27x3－8＝0；
（4）1000（x－1）3＝－27
3、试用直尺和圆规，在下面所画数轴上标出表示数的点
4、如图，一个圆柱体的底面积半径为1，高为3，则其体积可能是有理数吗？如果不是，请给出其精确到千分位的近似值（圆柱体体积＝底面积×高）
5、先填写下表，通过观察后再回答问题
a … 0.000001 0.0001 0.01 1
… …
a 100 10000 1000000
…
问：（1）被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律。
（2）已知：＝1800，－＝－1.8，你能求出a的值吗？
（3）试比较与a的大小
【试题答案】
一、选择题
1、D 2、A 3、D 4、A
二、填空题
1、 2、
3、（1）－11，3，0，，，0.4
（2），，－，
（3），3，，，，0.4，
（4）－11，3，0，
4、4，96米2
三、解答题
1、（1）25 （2）17 （3） （4）－ （5）2 （6）－2.5
2、（1）x＝3或－1， （2）x＝8
（3）x＝ （4）
3、略
4、体积为3，为无理数 39.425
5、填表略
（1）有规律，当被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，算术平方根的小数点向左（或向右）移动1位。
（2）3240000
（3）当0＜a＜1时，＞a
当a＝1时，＝a
当a＞1时，＜a