暑期特训：代数式

暑期特训：代数式
代数式一
重点、难点：
1. 在现实情境中理解字母表示数的意义。
2. 了解代数式、单项式、多项式的概念。/
3. 能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示及解释一些代数式的实际背景或几何意义。
4. 会求代数式的值
掌握要点：
（一）知识要点
1. 用字母表示数或者一些量，还能表示以前学过的运算律和计算公式。
2. 已知两个量之间的关系，通过用字母表示其中的一个量，则另一个量也能用这个字母表示出来。
3. 体会字母表示数的意义 ，形成初步的符号感。
（二）重要提示：
1. 用字母表示数可以给我们研究问题带来很大方便，用字母表示数是代数的一个重要特点，是数学发展史上的一大进步。
2. 在同一问题中，同一字母只能表示同一数量，不同的数量要用不同的字母表示。
3. 用字母表示实际问题中某一数量时，字母的取值必须使这个问题有意义 ，并且符合实际。
【典型例题】
例1. 用字母表示下面实际问题：
（1）行驶中的火车速度为v米/秒，汽车行驶的速度是火车速度的，用v表示汽车速度；
（2）如图4.1—1，表示圆环的面积；
（3）如图4.1—2，是用火柴摆出的三角形的图案，当摆n个三角形时，需火柴多少根？
分析：（1）如果是一个数，该题就是求v的是多少，可表示为v；
（2）分别用R，r把大圆和小圆的面积表示出来，用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面；
（3）由图4.1—2可以发现，当第一个三角形摆完之后，每增加一个三角形就要增加2根火柴，所以摆n个三角形需[3+2（n－1）]。
解：（1）汽车的速度可表示为v；
（2）圆环的面积为：πR－πr；
（3）摆成n个三角形需要火柴3+2（n－1）根。
反思：（1）用含有字母的式子表示实际问题时，我们必须弄清实际问题中的数量关系；（2）字母与字母，数与字母相乘可以把“”写成“·”或不写，并把数字写在前面，如v写成v，不写成v，同理2（n－1）写成2（n－1）。
例2. 如图4.1—3表示一圆形纸板，根据需求，需通过多次剪裁，把它剪成若干扇形
面，剪裁过程如下：第1次剪裁，将圆形纸板等分成4个扇形；第2次剪裁，将上次得到的
扇形面中的一个再等分成4个扇形；以后按第2次剪裁方法进行下去；
（1）请你在下面的圆中，画出第2次剪裁后得到的7个扇形（要求画图准确）；
（2）请你通过剪裁和猜想，将第4次和第n次剪裁后得到扇形的总个数（S）填入下表：
等分圆及扇形面的次数（n） 1 2 3 4 …… n ……
所得扇形的总个数（s） 4 7 10 …… ……
（3）请你推断，能不能按上述的剪裁方向，将原来的圆形纸板剪成33个扇形？为什么？
分析：寻找规律应从特殊到一般，从个别例子中先找出其变化规律。
解：（1）略（只要画图规范就可以）
（2）填表得
等分圆及扇形面的次数（n） 1 2 3 4 …… n ……
所得扇形的总个数（s） 4 7 10 13 …… 3 n+1 ……
（3）由（2）得s＝3n+1，当s＝33时，3n+1＝33，n＝10，因为n是自然数， 所以不能将原来的扇形纸片剪成33片。
反思：此题主要是抓住起始量与增加量的变化规律来解题的。请你推断，能不能按上述的剪裁方向，将原来的圆形纸板剪成34个扇形
（二）知识要点
1. 用字母列代数式，表示数量关系，解决应用问题。
2. 用实际背景或几何意义解释代数式。
3. 用具体数字代替代数式里的字母，求出代数式的值。
重要提示：
1. 在书写代数式时，需要注意数字与字母，字母与字母 ，数字或数字与括号相乘时，乘号通常简写作“”，或者省略不写，如4a可以写作4a或4a，一般把数写在字母的前面，数字与数字相乘一般仍用“”号。
2. 在实际问题中出现除法运算时，如果运算结果是和的形式时，要把整个的代数式用括号括起来再写单位，如温度由2℃上升t℃后是（2+t）℃。
3. 在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如：三角形的底是a，高是h，则面积是：或ah。
4. 代数式含有加、减、乘、除、乘方、开方等运算符号，不含有等号或不等号的式子叫代数式，单独的一个字母或一个数也是代数式。
5. 代数式与公式不同，公式是等式，但不是代数式，代数式是不含“＝”号的。
【典型例题】
例1. 甲、乙两地之间的公路全长为200千米，一辆汽车从甲地到乙地每小时行a千米，用代数式表示：
（1）该汽车从甲地到乙地需要行多少小时？
（2）如果该汽车每小时多行10千米，则汽车从甲地到乙地需要多少小时？
（3）每小时多行10千米后，该汽车从甲地到乙地比原来少用多少小时？
分析：本题从路程、速度、时间之间的关系：时间＝ 入手。
解：（1）该汽车从甲地到乙地需要行小时；
（2）如果每小时多行10千米，需要行小时；
（3）每小时多行10千米后，比原来少用（－）小时。
例2. 某电影院有20排座位，已知第一排座位有18个座位，后面一排比前面一排多2个座位，请写出计算第n排的座位数，并求出第19排的座位数。
分析：将排数与对应的座位数列表，然后从中找出规律，最后得到座位数与排数之间的数量关系。
排数 每排座位数（h）
1 18
2 20
3 22
4 24
5 26
…… ……
第一排为[18+2（1－1）]个座位；第二排为[18+2（2－1）]个座位；第三排为[18+2（3－1）]个座位；……由此可知座位数与排数之间的关系。
解：第n排座位数是[18+2（n－1）]个座位，将n＝19代入18+2（n－1）中，得18+2（19－1）＝54
答：第19排的座位数是54个。
反思：寻找规律，正确地把握各个数量间的关系，就能正确地列出代数式，用字母表示数之后有些数量之间的关系用代数式表示，更具有普遍意义了。
（三）知识要点
1. 求代数式的值的方法——代入法。
2. 利用代数式求值推断代数式所反映的规律。
3. 解释代数式的值的实际意义。
重要提示：
1. 代数式的值是由其所含的字母取值所确定的，并随字母取值的变化而变化，字母取不同的值，代数式的值可能不同，也可能相同。
2. 求出代数式的值后，可以根据值的变化趋势进行预测，推断代数式所反映的规律。
3. 有多个字母时，应注意字母的对应规律。
4. 注意括号和乘号在原来省略的地方要添上点。
【典型例题】
例1. 填表观察代数式的值随字母变化的规律
A －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5
2a
分析：先把a取的值分别代入2 a中，求出2 a的值，再通过观察，探索代数式的值随a的值变化的变化规律。
解：填表如下：
A －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5
2a 50 32 18 8 2 0 2 8 18 32 50
通过观察表格可以发现，当a<0时，随着a值的逐渐增大，2a2的值逐渐减少；当a>0时，随着a值逐渐增大，2a2的值也逐渐增大。
反思：要注意比较字母取值之间的变化，同时也要比较代数式值的变化，才能找出规律。
例2. 北京时间与莫斯科时间的时差为5小时，
（1）若用x表示莫斯科时间，怎样用关于x的代数式表示同一时刻的北京时间？
（2）2001年7月13日莫斯科时间17：08，国际奥委员会主席萨马兰奇宣布北京获得2008年夏季奥运会的主办权，问此时北京时间为几时？
解：（1）根据北京时间与莫斯科时间的时差为5小时，则同一时刻的北京时间是：x+5。
（2）x＝17代入代数式x+5，得x+5＝17+5＝22。
答：国际奥委会主席萨马兰奇宣布北京获得2008年夏季奥运会主办权的北京时间为22时，即22：08。
注意：代数式与代数式的值，这两个概念之间既有联系，又有区别，不能混淆。代数式反映的是一般的数量关系，如本例的代数式“x+5”，反映的是莫斯科时间与北京时间的一般关系，不论莫斯科时间x为多少，北京时间总是x+5。而代数式的值反映的是特例，如本例中当x＝17时，北京时间为22。
可能有同学会想，为什么不能得出莫斯科时间与北京时间的时差为7呢？但我们知道北京位于莫斯科的东面，也就是北京人比莫斯科人在一天中早见到日出，所以北京的时间应当早于同一时刻的莫斯科时间，所以北京与莫斯科的时差为5小时。
例3. 电脑设计了这样一个程序，如图所示，请问当输入的数值为3时，最后输出结果是多少？
分析：输入n时，应计算n2－n与28的大小关系，如果n2－n>28，则直接输出结果；若不成立，则将n2－n的值当作n再代入n2－n计算，直至n2－n>28时再输出。
解：因为n＝3时，n2－n＝6<28，所以把n2－n＝6看作n，再次从输入端代入（俗称回代），所以n＝6时，n2－n＝30>28，所以输出结果为30。
反思：回代这个过程的理解是比较难的，对于知识面要求较广，如果见过数值转换机或计算机程序设计的，可能对于理解上有所帮助，所以在平时的学习中要注意与实际生活相联系，要树立生活即学习，学习即生活的观念。
【模拟试题】（答题时间：20分钟）
选择题
1、某班共有x个学生，其中女生人数占45％，那么男生人数是 （ ）
A、45％x B、（1－45％）x
C、 D、
2、x2+3的值是（ ）
A、大于3 B、等于3
C、大于或等于3 D、小于3
3、代数式“a－b2”的意义表述正确的是（ ）
A、a与b的平方差 B、a与b的差的平方
C、a与b的平方的差 D、a减去b的平方差
4、三个连续偶数，最大的一个为2n+2，那么最小的偶数可表示为（ ）
A、2n－1 B、2n－2
C、2n－4 D、2n+4
填空题
1、如图。正方形的边长为a，那么阴影部分的面积为（结果保留） 。
2、一个三角形的一条边长为a，这边上的高线长为6，则这个三角形的面积为 。
3、现有甲种糖果a千克，售价每千克m元；己种糖果b千克，售价每千克n元，若将这两种糖果混在一起出售，则售价应为每千克 元。
4、用语言叙述下列代数式的意义：
（1）某商品的价格是x元，则x可以解释为 ；
（2）（a+b）(a－b)可以解释为 ；
（3）8a3可以解释为 ；
（4）可以解释为 。
三、解答题
1、如果用c表示摄氏温度，f表示华氏温度，则c与f之间的关系是c＝(f－32)，分别求出当f＝68，98.6时c的值。
2、如图。AB为墙，现用20米的篱笆围成长方形的养鸡场，设养鸡场的长为x米。
（1）用x的代数式表示长方形的面积。
（2）当x＝10时，求面积。
3、23＝2×10+3
865＝8×102+6×10+5
类似地5984＝ ×103+ ×102+ ×10+ 。若某三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则此三位数可表示为 。
4、你见识过拉面吗？你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了很多很细的面条，如下图所示：
（1）这样捏合到第n次后拉出的面条数是 。
（2）这样捏合到第 次后可拉出128根细面条。
【试题答案】
一、1、B 2、C 3、C 4、B
二、1、a2－a2 2、3a 3、 4、略
三、1、当f＝68时，c＝20； f＝98.6时，c＝37。
2、（1）S长方形＝·x （2）当x＝10时，S＝50。
3、5984＝5×103+9×102+8×10+4
100c+10b+a
4、（1）2n （2）7