暑期特训：一元一次方程

暑期特训：一元一次方程（1）
重点、难点：
1、理解一元一次方程及解的概念，会检验一个数值是不是某个方程的解
2、会根据数量关系或简单问题情境列一元一次方程
3、掌握解一元一次方程的一般步骤
掌握要点：
（一）知识要点
1、方程的意义：含有未知数的等式叫做方程。
2、一元一次方程：方程的两边都是整式，只含有一个未知数且未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程。
3、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，求方程的解的过程叫解方程。
4、尝试检验法：对于一些简单的一元一次方程，可以确定未知数的一个较小的取值范围，逐一将这些可取的值代入方程进行检验，找出方程的解；这种尝试检验是解决问题的一种重要的思想方向。
5、利用等式的两个性质可以解一元一次方程： （1）方程两边都加上或都减去同一个数或一个整式，等式仍旧成立。（2）方程两边都乘以或除以同一个不为零的数，等式仍旧成立。
［重要提示］
1、代数式，等式，方程的区别与联系；
代数式不含等式；等式不一定是方程，方程一定是等式；方程中一定有未知数，而等式中不一定有未知数。
2、根据已知条件列方程的基本思路是：
（1）把题中的未知量用字母表示；
（2）把表示数量关系的语言转换为含字母的算式；
（3）根据等量关系列出方程。
［典型例题］
例1. 把下面式子中的一元一次方程找出来，写在下面的括号里。
2＋3＝5，2x－5＝1， 2x＋3，2x＝0，＋x＝2，2x＋5y＝0，＋3＝0
一元一次方程：（ ）
分析：判断是否是一元一次方程应该注意以下几个方面： （1）必须是等式； （2）等式中必须含有一个未知数，且未知数的指数是1； （3）等式两边必须都为整数
解：一元一次方程： （2x－5＝1，＋3＝0， 2x＝0）
反思：2＋3＝5和2x＋3， ＋x＝2都不是一元一次方程， 2＋3＝5无未知数， 2x＋3不是等式， ＋x＝2左边不是整式， 2x＋5y＝0是二元方程。
例2. 设某数为x，根据下列条件列出方程；
（1）某数的3倍比这个数大4；
（2）某数的一半与3的和等于这个数与2的差；
（3）某数的相反数比这个数的绝对值小6；
（4）某数与3的和的比这个数的2倍与4的差的小5；
分析：解此类题目的关键是正确理解“倍”，“一半”，“和”，“差”，“小”，“大”，“相反数”，“绝对值”等的含义，找到数量间的有关运算和等量关系。
解：（1）3x＝x＋4； （2）x＋3＝x－2；
（3）－x＝－6； （4）＋5＝；
反思：列式时，要根据不同的问题适时地添加括号以体现运算顺序，如（4）中写成（x＋3）＋5＝（2x－4）
例3. 学校春游，如果每辆汽车坐45人，则有28人没有上车；如果每辆车50人，则空出一辆汽车，并且有一辆车还可以坐12人，问共有多少学生，多少辆汽车
分析：列方程关键是找等量关系，此题可以学生人数为等量建立方程，若设汽车有x辆，则第一次的学生人数可表示为（45x＋28）人，第二次学生人数可表示为[50（x－1）－12]人，根据两次的学生人数相等可建立方程。
解：设有x辆汽车，根据题意得；
45x＋28＝50（x－1）－12
解得x＝18，所以学生人数＝4518＋28＝838
答：共有838名学生，汽车有18辆
反思：此题也可设学生人数为x，以汽车数量为等量建立方程，对于简单的一元一次方程，在求解时，可以通过观察，估计，尝试检验等方法求解。
（二）知识要点
1. 移项：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。
2. 解一元一次方程的一般步骤和根据是：
（1）去分母（根据等式性质2）；
（2）去括号（根据去括号法则）；
（3）移项（根据等式性质）
（4）合并同类项，把方程化成ax＝b（a0）的形式（根据合并同类项法则）；
（5）两边都除以未知数的系数a（或都乘以），得到方程的解x＝（根据等式性质2）
［重要提示］
1、移项时应注意：　（1）移项时要改变符号后再移；（2）往往将含未知数的项移到等号的一边，常数项移到另一边。
2、去分母时，不仅含有分母的各项要乘以分母的最小公倍数，而且不含分母的项，也要乘以这个最小公倍数，同时，当分子有多项时，分子应先添括号时，再与公分母相乘．
3、化分母中的小数为整数时，应区分是依据分数的基本性质，还是等式的基本性质．
4、在解方程的过程中，五个步骤并不是固定不变的，应根据方程的特征，灵活应用．
［典型例题］
例1. 下列方程中，以x＝－1.5为解的是（ ）
A. 2x＝3 B. 3x＝x＋3 C. x＝3x＋3 D. x＝3x－3
分析：检验某个值是否为方程的解只要把这个值代入到方程的左边与右边，左边＝右边时，这个值是方程的解
解：把x＝－1。5代入到各个方程的左边与右边得
（A）左边＝2x＝－3，右边＝3，左边右边
（B）左边＝3x＝－4.5，右边＝x＋3＝1.5，左边右边
（C）左边＝x＝－1.5，右边＝3x＋3＝－1.5，左边＝右边
（D）左边＝x＝－1.5，右边＝3x－3＝－7.5，左边右边
所得应选C
例2. 当x取何值时，代数式3x－5的值等于10。
解：根据题意，得方程
3x－5＝10
方程两边都加5，得3x－5＋5＝10＋5
合并同类项，得3x＝15
两边都乘以，得x＝5
所以，当x＝5时，代数式3x－5＝10
反思：求未知字母值的问题，可以建立方程，转化为解方程的问题。
例3. 已知方程－3x＋2＝2x＋12与x＋2t＝6有相同的解，求t的值。
分析：两个方程有相同的解，即两个方程中x的值相同，根据第一个方程求出x的值。代入到第二个方程中，得到关于t的方程，求出t的值。
解：－3x＋2＝2x＋12
移项得－3x－2x＝12－2
合并同类项得：－5x＝10
两边同除以－5，得
x＝－2
把x＝－2代入到x＋2t＝6中得
－2＋2t＝6
2t＝8
t＝4
例4. 解方程：（1）8x－3＋2x＋1＝7x＋6－5x；（2）y－＝y＋。
分析：解一元一次方程就是要将方程化为ax＝b（a≠0），再化x的系数为1。
解：（1）移项，得8x＋2x－7x＋5x＝6＋3－1
合并同类项，得8x＝8
方程两边同除以8（即系数化为1）得x＝1
（2）移项，得y－y＝＋
合并同类项，得－y＝2
两边同乘以－2，得y＝－4
反思：（2）也可以用两边都乘以公分母4的方法求解，同时注意检验。
例5. 解方程：5（2x－1）＝1＋4（2x－1）
分析：此题的一般解法是先去括号，然后移项等，仔细观察，我们发现可以将（2x－1）看成一个整体，直接移项，然后求解，这样就比较简单。
解法一：去括号，得10x－5＝1＋8x－4
移项，得 10x－8x＝1－4＋5
合并同类项，得 2x＝2
两边都除以2，得 x＝1
解法二：移项，得5（2x－1）－4（2x－1）＝1
合并同类项，得 2x－1＝1
移项，得 2x＝2
两边都除以2，得 x＝1
反思：从本题可以发现，将（2x－1）看成一个整体，可以使计算简单，而且还体现了整体这种优美的数学思想。
例6. 若使方程ax－6＝8（x－）有无穷多解，则a应取何值？
分析：要使方程有无穷多解，方程必能化成的形式。
解：ax－6＝8（x－）
去括号，得ax－6＝8x－6
移项，得ax－8x＝－6＋6
合并同类项，得（a－8）x＝0
当a－8＝0，即a＝8时，x取无穷多值分别代入原方程，等式都成立。
所以a＝8
反思：一元一次方程ax＝b的解有三种：当a≠0时，有唯一解x＝；当a＝0且b＝0时，有无穷多个解；当a＝0，b≠0时，方程无解。
例7. 解方程：－2＝
分析：该方程中含有分母，一般我们要先去掉分母，此题的两边应都乘以12。
解：去分母得 3（x－1）－212＝2（2x－3）
去括号，得 3x－3－24＝4x－6
移项，得－3－24＋6＝4x－3x
合并同类项，得－21＝x
即x＝－21
反思：去分母时，如果分子是两项的，应用括号把分子括上以避免出现符号错误。
例8. 解方程＝＋0。6
分析：分母含有小数，若去分母求解，比较麻烦，想方法先把分母化为整数后再求解。
解：原方程可变形为：
＝＋
3（4x＋21）＝5（50－20x）＋9
12x＋63＝250－100x＋9
112x＝196
x＝1
反思：化分母的小数为整数，与去分母不同，它是根据分数基本性质，只要同时把分子、分母都乘以同一个不为零的数即可，这是不改变分数（式）值的“局部”变形，而不涉及分数以外的其他项（如方程中的0.6）
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一、选择题
1、下列方程中，解为－2的是 （ ）
A、3x－2＝2x B、3x－1＝2x＋1 C、3x＋1＝2x＋1 D、3x＋1＝2x－1
2、给出下列方程，其中是一元一次方程的是 （ ）
A、3x－4y＝0 B、y2－5y＝0 C、x＝1 D、＋x＝2
3、解方程3x＋7＝4x＋6过程中移项正确的是 （ ）
A、4x＋3x＝7＋6 B、4x－3x＝7＋6 C、4x－3x＝7－6 D、4x－3x＝6－7
4、方程＝1－，去分母得 （ ）
A、2（2x－1）＝1－（3－x） B、2（2x－1）＝8－3－x
C、2（2x－1）＝8－（3－x） D、4x－1＝8－3＋x
二、填空题
1、当x＝ 时，代数式5x－2与3x＋18值互为相反数。
2、如果x＝4是方程2ax＋7＝－2－x的解，则a＝ 。
3、父亲今年32岁，儿子今年5岁， 年后，父亲的年龄是儿子的4倍。
4、如图，在数轴上有A、B两个点，点A表示2a，点B表示－3a＋1，且点A，B之间的距离为6，则a＝ 。
三、解答题
1、解下列方程：
（1）2（x－3）＋4＝5x－（x＋7）；
（2）5－3（y－1）＝y＋4；
（3）x－＝2－；
（4）＝2
2、x＝2是方程2（x－1）－＝1的解，求a的值。
3、一次数学测试中，出了25道选择题，答对一题得4分，不答或答错一题扣3分，如果小强得了72分，他答对了多少道题？
4、老师将一道解方程的课外习题抄在黑板上，值日同学不小心把其中一个数字擦掉了，成为：
－＝－1（表示被擦去的数字）。
课代表根据老师给出的答案x＝把擦掉的数算出来了，请你把数学课代表的计算过程写出来。
【试题答案】
一、选择题
1、D 2、C 3、C 4、C
二、填空题
1、x＝－2 2、a＝－ 3、4 4、a＝
三、解答题
1、（1）x＝
（2） y＝1
（3） x＝3
（4）x1＝0，x2＝4
2、a＝－
3、答对了21道题
4、把x＝代入方程
－＝－1中得 ＝1
暑期特训：一元一次方程（2）
一元一次方程应用
重点、难点：
1、能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
2、掌握列方程解应用题的一般过程。
3、会利用一元一次方程解决简单的实际问题。
掌握要点：
（一）知识要点
1、运用方程解决实际问题的一般过程是：
（1）审题：分析题意，找出题中的数量及数量之间的关系；
（2）设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）；
（3）列方程：根据相等关系列出方程；
（4）解方程：求出未知数的值；
（5）检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案。
2、在实际问题中常涉及到的几个量之间的关系：
（1）行程问题：路程＝速度时间
（2）工程问题：工作总量＝工作效率工作时间（如果工作总量不具体指出，一般都当作“1”）
（3）利率问题：本金利率＝利息
利息税率＝利息税
本金+利息－利息税＝实得本利和
重要提示
1、列方程解应用题，关键在寻找联系未知量与已知量的等量关系。
2、设未知数的方法一般有两种：
（1）直接设法——题目中要求什么，就设什么；
（2）间接设法——不直接设要求的未知量，而是设一个与题目有关的量为未知数。
3、在列方程时，要注意方程左边的单位与方程右边的单位一致，解答一定要完整准确，不能忘记了单位，解完方程要注意两个检验，检验解是否适合方程，是否符合题意。
［典型例题］
例1. 如图是某个月的日历，现用圆圈圈出竖列上相邻的三个数。
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
（1）若圈出的三个数的和是48，你能说出它们分别是几号吗？为什么？
（2）若圈出的三个数之和是108，你能说出它们分别是几号吗？为什么？
分析：题中给出的相等关系是这三个数之和是48和108，接下来就是设未知数，用含未知数的等式把相等关系表示出来。
解：（1）设竖列上的三个数中的中间数为x，根据题意，得
（x－7）+x+(x+7)＝48
解得 x＝16
∴x－7＝9，x+7＝23
答：能说出，它们分别是9、16、23号。
（2）设竖列上的三个数中的中间数为x，根据题意，得
（x－7）+x+(x+7)＝108
解得 x＝36
检验知 x＝36不符合实际，应舍去
∴不能圈出这三个数
答：圈不出这三个数。
反思：（1）本题中可以设任意一个为x，设中间数为x，算起来简便；（2）注意日历上的都是1~31之间的正整数，应检验答案的实际意义。
例2. 甲、乙两人分别从相距60千米的A、B两地骑摩托车同时出发去某地，甲在乙后面，每小时骑80千米，乙每小时骑45千米，问经过多长时间，甲可以追上乙？
分析：这是行程问题中的追及问题，甲在乙后面，且甲、乙同时出发，所以等量关系为甲到追及点时所行路程＝乙到追及点时所行路程＋甲、乙出发时的间距。
解：设甲经过x小时后追上乙，则上面的等量关系可以如图所示：
设甲经过x小时后可以追上乙，由题意得80x＝45x+60，解得x＝
答：甲经过小时后追上乙。
反思：此类行程问题，常画适当的图示来分析题目的等量关系和数量关系。
例3. 一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成，现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5米，小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米，你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，鸡场的面积是多少？
分析：是否符合实际关键看和墙相对的一边是不是超过14米，若超过14米，就是不合实际，所以我们就需要根据小王和小赵的设计求出这一边的长度并和14米比较，而此时就需找到“等量关系”建立方程。
解：根据小王的设计可以设宽为x米，长则为（x+5）米，根据题意，得
2x+(x+5)＝35
解得 x＝10
因此小王设计的长为x+5＝10+5＝15米，而墙的长度只有14米，所以小王的设计不符合实际。
再来看小赵的设计：设宽为x米，则长为（x+2）米，根据题意，得 2x+(x+2)＝35
解得x＝11
因为小赵设计的长为x+2＝11+2＝13米 ，而墙的长度是14米，所以小赵的设计符合要求，此时，鸡场的面积为1113＝143平方米。
反思：解应用题时不能盲目地算出来就行，应当考虑到实际情况 ，有些可能不符合实际的，应给予舍去。
例4. 一班有27名同学在甲处劳动，二班有19名同学在乙处劳动，现在另调20名同学来支援两个班，使在甲处的学生人数是乙处的学生人数的2倍，应往甲、乙两处各派多少名学生？
分析：本题的相等关系是：
调派后甲处学生数＝2调派后乙处的学生数 如设调派甲处x人 ，则
调派前（人） 调派（人） 调派后（人）
甲处 27人 x (27+x)
乙处 19人 (20－x) [19+(20－x)]
解：设派往甲处的学生数有x人，根据题意，得
27+x＝2[19+（20－x）]
解这个方程
27+x＝2（39－x）
3x＝51
x＝17
20－x＝20－17＝3
答：应调派17名学生到甲处，3名学生到乙处。
反思：人员调配问题有两种基本类型：①从甲处调x人到乙处，此时，甲处人员减少x人，同时乙处增加x人，但两处总人数不变，②从外调x人到甲、乙两处，此时，总人数（甲、乙两处）共增加x人，上题虽然要求两个未知数，但我们仍可用一元一次方程来解，另外应充分利用表格及示意图来分析题意，可迅速找到相等关系。
例5. 某项工作，甲单独做需4小时，乙单独做需6小时，甲先做30分钟，然后甲、乙合作，问甲、乙合作还需要多少小时才能完成全部工作？
分析：设甲、乙合作还需x小时完成，则有：
工作效率 工作时间 完成工作量
甲 +x (+x)
乙 X x
解：设甲、乙合作还需要x小时完成
根据题意，得（+x）+x＝1
解得 x＝2.1
答：甲、乙合作还要2.1个小时才能完成全部工作。
例6. 某公司向银行贷款40万元，用来开发某种产品，已知该贷款的年利率为15%（不计复利，即还款前利息不重复计息），每个产品的成本是2.3元，售价4元，应纳税款为销售额的10%，如果每年生产该种产品20万个，并把所得的利润用来还贷款，问几年后才能一次性还清？
分析：假设x年后才能一次性还清贷款，则x年后该公司共需付银行40（1+15%x）万元，每生产一个产品纯利润为（4－2.3－410%）元，每年共得利润（4－2.3－410%）20万元，x年共得利润（4－2.3－410%）·20x万元，要一次性还清，则有等量关系式
40（1+15%x）＝（4－2.3－410%）·20x
解：设x年后才能一次性还清，根据题意，得
40（1+15%x）＝（4－2.3－410%）·20x
解方程，得x＝2
（二）知识要点
1、在解决问题时，通常按下面的四个步骤来进行：
（1）理解问题：弄清问题的含义，以及问题中涉及的术语、词汇的含意；分清问题中的条件和要求的结论等。
（2）制订计划：在理解问题的基础上，运用有关的数学知识和方法拟订出解决问题的思路和方案。
（3）执行计划：把已制订的计划具体地进行实施。
（4）回顾：对整个解题过程进行必要的检查和反思，也包括检验得到的答案是否符合问题的实际，思考对原来的解法进行改进或尝试用不同的方法，进行举一反三等。
［典型例题］
例1. 将一个长、宽、高分别为15厘米、12厘米和8厘米的长方体钢块锻造成一个底面边长为12厘米的正方形的长方体零件钢坯，试问是锻造前长方体钢块表面积大还是锻造后的长方体零件钢坯表面积大？请你进行计算比较。
分析：本例是等积变形的应用题，关键是要求出锻造后长方体零件钢坯的高，等量关系是锻造前的长方体钢块的体积等于锻造后长方体零件钢坯的体积。
解：设锻造后的长方体零件钢坯的高为x厘米，根据题意，得
15128＝1212x
解得 x＝10。
故锻造前长方体表面积为
2（1512+158+128）＝2（180+120+96）＝792（平方厘米）
锻造后长方体表面积为2（1212+1210+1210）＝768（平方厘米）
因为792平方厘米>768平方厘米，所以锻造前的长方体表面积比锻造后的长方体表面积大。
反思：锻造前，后虽然形状发生了变化，表面积发生了变化，但锻造前、后的体积没有发生变化。
例2. 某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500，若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你帮助设计一下商场的进货方案。
解：分情况计算：
（1）设购甲种电视机x台，乙种电视机（50－x）台，则
1500x+2100(50－x)＝90000，
解得 x＝25，50－25＝25
（2）设购甲种电视机x台，丙种电视机（50－x）台，则
1500x+2500(50－x)＝90000，
解得 x＝35，50－35＝15
（3）设购乙种电视机y台，丙种电视机（50－y）台，则
2100y+2500(50－y)＝90000，
解得 y＝87.5，50－87.5＝－37.5。（不合题意，舍去）
故商场进货方案为购甲种25台，乙种25台；或购甲种35台，丙种15台。
反思：分类讨论是一种重要的思想，可以把难题分解成几个简单问题解决。
例3. 有一个三位数，其各数位的数字之和是16，十位数字是个位数字与百位数字的和，若把百位数字与个位数字对调，那么新数比原数大594，求原数。
分析：根据题意可知个位数字与百位数字的和为8，十位数字就是8，设原数百位数字为x，则个位数字为（8－x）。原数可以表示为：100x+80+(8－x) ，对调后新数可以表示为：
100（8－x）+80+x。
解：设原数的百位数字为x，则个位数字为（8－x），根据题意，得
100x+80+8－x＝100(8－x)+80+x－594，
解得 x＝1。
个位数字为：8－1＝7，
所以原数为187。
答：原数为187。
反思：解决此类问题的关键是如何把各个数位上的数字用含x的代数式表示出来，然后用含x的代数式表示这个数的值。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一、选择题
1、从一块边长为a米的正方形木板上锯掉一块a米长0.5米宽的长方形木条后，面积减少了1平方米，则原来这块木板面积是（ ）
A. 1平方米 B. 2平方米 C. 3平方米 D. 4平方米
2、在一张日历上圈出的一个竖列上相邻的两个数，它们之和最大可以是（ ）
A. 53 B. 55 C. 59 D. 61
3、船顺流航行的速度为每小时20千米，逆流航行的速度为每小时16千米，则水流速度为每小时（ ）
A. 2千米 B. 4千米 C. 6千米 D. 8千米
4、某车间共有26名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均可以生产螺栓12个或螺母18个，现有x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好每天生产的螺栓和螺母按1:2配套，所列方程是（ ）
A. 12x＝18(26－x) B. 212x＝18(26－x)
C. 2x＝12(26－x) D. 18x＝12(26－x)
二、填空题
1、甲以每小时5千米的速度先走16分钟，乙以每小时13千米的速度追甲，那么乙追上甲需要　　　　　　　小时。
2、一列火车以每分钟1千米的速度通过一座长400米的桥，用了半分钟，则火车本身的长为　　　　　　　　。
3、某学生某年将82元钱存入银行，定期2年，两年后取出，共得99.22元，则年利率是　　　　　　　。
4、要锻炼边长为50毫米的立方体零件毛坯，需要取直径为100毫米的圆钢的长为
　　　　　　 毫米（结果用表示）。
三、应用题
1、A、B两地相距405千米，甲车从A地开往B地，每小时行60千米，甲车开出30分钟后，乙车从B地开往A地，它的速度是甲车的1.5倍，乙车开出几小时才能与甲车相遇
2、某些地区现在的水资源严重缺乏，某城市为鼓励人们“节约用水”按以下规定收取水费；若每月每户用水不超过15立方米，按每立方米0.5元收费，则超过的部分按每立方米1.0元收费；若某用户7月份的水费平均每立方米0.7元，那么7月份这个用户该交纳水费多少钱
3、光明中学中组织初一学生去参观萧山国际机场，原计划租用60座客车若干辆，但有30人无座位；如果租用45座客车，只要多2辆全部学生就刚好都有座位，已知45座客车的日租金为每辆250元，60座客车的日租金为每辆300元，试问:
（1）初一年级有多少人
（2）要使每位同学都有座位，怎样租用更合理 最少租金是多少元
【试题答案】
一、选择题：
1. D 2. B 3. A 4. B
二、填空题：
1. 2.100米 3.10.5% 4.
三、应用题
1. 2.5时
2. 17.5元
3. （1）270人；（2）租3辆60座客车2辆45座客车最合算，最少租金为1400元