2021-2022 学年浙教版九年级数学上册1.4 二次函数的应用 练习（word版、含解析）

1.4
二次函数的应用
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，对图形给出如下定义：若图形上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，如图中的矩形的坐标角度是90°．现将二次函数的图象在直线下方的部分沿直线向上：翻折，则所得图形的坐标角度的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
2．如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长．小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为，则（
）
A．小明正确，小亮错误
B．小明错误，小亮正确
C．两人均正确
D．两人均错误
3．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m，如图2，则此抛物线顶端O到连桥AB距离为（
）
A．180m
B．200m
C．220m
D．240m
4．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，点C距灯柱AB的水平距离为1.6米，点C距水平地面的距离为2.5米，灯罩D距灯柱AB的水平距离为3.2米，灯柱AB＝1.5米，则灯罩D到水平地面的距离为（
）
A．1.5米
B．1米
C．1.2米
D．1.4米
5．把一个距离地面1米的小球竖直向上抛出，该小球距离地面的高度h（米）与所经过的时间t（秒）之间的关系为，若存在两个不同的t的值，使足球离地面的高度均为a（米），则a的取值范围（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知二次函数y＝2x2和一次函数y＝3x﹣1两函数图象交于点A、B，则A、B与二次函数的顶点O组成的△OAB的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．1
7．二次函数y=2x2﹣2x+m（0＜m＜
），如果当x=a时，y＜0，那么当x=a﹣1时，函数值y的取值范围为（　　）
A．y＜0
B．0＜y＜m
C．m＜y＜m+4
D．y＞m
8．如图，在四边形DEFG中，∠E＝∠F＝90°，∠DGF＝45°，DE＝1，FG＝3，Rt△ABC的直角顶点C与点G重合，另一个顶点B（在点C左侧）在射线FG上，且BC＝1，AC＝2，将△ABC沿GF方向平移，点C与点F重合时停止．设CG的长为x，△ABC在平移过程中与四边形DEFG重叠部分的面积为y，则下列图象能正确反映y与x函数关系的是（
）
A．
B．
C．D．
9．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AB运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线AD→DC→CB运动，当点N运动到点B时，点M，N同时停止运动．设AMN的面积为y，运动时间为x（s），则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（
）
A．
B．
C．D．
10．如图，四边形ABCD是菱形，BC＝2，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，线段BD沿射线AD方向平移，平移后的线段记为PQ，射线PQ与射线AC交于点M，连结PC，设OM长为，△PMC面积为．下列图象能正确反映出与的函数关系的是（
）
A．B．C．D．
11．某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为（元/千克）（，且是按0.5的倍数上涨），当日销售量为（千克）．有下列说法：
①当时，
②与之间的函数关系式为
③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克
④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克
其中正确的是（
）
A．①②
B．①②④
C．①②③
D．②④
12．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：①足球距离地面的最大高度超过20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝；③点（9，0）在该抛物线上；④足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降．其中正确的结论是（　　）
A．②③
B．①②③
C．①②③④
D．②③④
13．如图，在矩形ABCD中，AD＝8
cm，AB＝6
cm．动点E从点C开始沿边CB向终点B以2
cm/s的速度运动，同时动点F从点C出发沿边CD向点D以1
cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y（单位：cm2），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是（
）
A．
B．
C．
D．
14．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3…如此变换进行下去，若点P（21，m）在这种连续变换的图象上，则m的值为（　　）
A．2
B．﹣2
C．﹣3
D．3
二、填空题
15．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是，飞机着陆至停下来期间的最后10
s共滑行_______________m．
16．汽车刹车后行驶的距离s（米）与行驶时间t（秒）的函数关系是，汽车从刹车到停下来所用时间是___________秒．
17．某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为__________元时，才能使每天所获销售利润最大．
18．如图，用一段长为10米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的长方形菜园，设为米，则菜园的面积（平方米）与（米）的关系式为______．（不要求写出自变量的取值范围）
19．在“乡村振兴”行动中，某村办企业以，两种农作物为原料开发了一种有机产品．原料的单价是原料单价的倍，若用元收购原料会比用元收购原料少．生产该产品每盒需要原料和原料，盒还需其他成本元．市场调查发现：该产品每盒的售价是元时，每天可以销售盒；每涨价元，每天少销售盒．
（1）填空：、两原料的单价分别为____元、_____元，每盒产品的成本______元（成本=原料费+其他成本）
（2）设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过元（是大于的常数且是整数），直接写出每天的最大利润．
三、解答题
20．如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，矩形的边，延长交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，作，垂足为．设的长为，点的横坐标为，求与的函数关系式（不必写出的取值范围），并求出的最大值．
（3）如果点是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．某家电生产厂家去年销往农村的某品牌洗碗机每台的售价（元）与月份之间满足函数关系，年的月销售量（万台）与月份之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：
月份
1月
5月
销量
3.9万台
4.3万台
求该品牌洗碗机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线W1：y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0）、B两点，且过点C（0，﹣2）．抛物线W2与抛物线W1关于原点对称，点C在W2上的对应点为C′．
（1）求抛物线W1的表达式；
（2）写出抛物线W2的表达式；
（3）若点P在抛物线W1上，试探究：在抛物线W2上是否存在点Q，使以C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，并且其面积等于24？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．D
解：当a=1时，如图1所示，
∵角两边分别过点A（-1,1），B（1,1），
作BE⊥x轴于点E，
∴BE＝OE，
∴∠BOE＝45°，
根据对称性可知：∠AOB＝90°，
∴此时坐标角度＝90°；
当a=3时，如图2所示，
角两边分别过点A（,1），B（,1），
作BE⊥x轴于点E，
∵，
∴∠BOE＝60°，
根据对称性可知：∠AOB＝60°，
∴此时坐标角度＝90°,
∴60°≤≤90°，
故选：D．
2．B
解：设隔离区靠近墙的长度为x
m（0＜x≤5），隔离区的面积为S
m2，由题意得：
＝，
∴对称轴为x＝，
∵0＜x≤5，抛物线开口向下，在对称轴左侧，S随x的增大而增大，
∴当x＝5时，S有最大值：
Smax＝
∵9＜＜12，
∴小明错误；
令S＝9得：9＝，
解得：x1＝9（舍），x2＝3，
∴x＝3时，S＝9．
∴隔离区的面积可能为9m2．
故选：B．
3．B
解：以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系：
，，，
设抛物线的解析式为，将代入，得：
，
解得：，
，
抛物线顶端的坐标为，
此抛物线顶端到连桥距离为．
故选：B．
4．A
解：由题意可得，
点C为抛物线的最高点，即抛物线的顶点，
∵点C距灯柱AB的水平距离为1.6米，灯罩D距灯柱AB的水平距离为3.2米，
∴点B和点D关于点C所在的直线对称，
∵灯柱AB＝1.5米，
∴灯罩D到水平地面的距离为1.5米，
故选：A．
5．D
解：将（0，1）代入，得：
，
解得：，
∴，
令，则可得方程，
∵存在两个不同的的值，使足球离地面的高度均为，
∴方程有两个不相等的实根，
整理得：，
△，
解得：，
又，
∴的取值范围为：，
故选：D．
6．A
解：联立，
解得x1＝1，x2＝，
∴A、B的坐标为（，），（1，2），
∴S△OAB＝S△OBC﹣S△ABD﹣S梯形OADC＝×1×2﹣××﹣×（+1）×＝．
故选：A．
7．C
解：画出草图，
∵0＜m＜
，∴△=4﹣8m＞0，
∵对称轴为x=
，x=0或1时，y=m＞0，
∴当y＜0时，0＜a＜1，
∴-1＜a-1＜0，
∵当x=-1时，y=2+2+m=4+m，
??
当x=0时，y=8﹣4+m=m，
∴当x=a-1时，函数值y的取值范围为m＜y＜m+4，
故答案为：
C．
8．B
解：过点D作DH⊥EF，
∵∠DGF＝45°，DE＝1，FG＝3，
∴EH＝2，DH＝EF＝2，
当0＜x＜1时，重叠部分为等腰直角三角形，且直角边长为x，
∴y＝，
∵，
∴该部分图象开口向上，
当1＜x＜2时，如图，
设A'B'与DG交与点N，A'C'与DG交与点M，
则S重叠＝S△GMC'﹣S△GNB'，
设B'K＝a，则NK＝2a，
∵GC'＝x，B'C'＝1，
∴GB'＝x﹣1，
∵△GKN是等腰直角三角形，
∴GK＝NK，
∴x﹣1＋a＝2a，
∴a＝x﹣1，
∴NK＝2x﹣2，
∴，
∵，
∴S重叠＝﹣（x2﹣2x＋1）＝，
∵，
∴该部分图象开口向下，
当2＜x＜3时，重叠部分的面积为S△ABC，是固定值，
∴该部分图象是平行x轴的线段，
故选：B．
9．B
解：当点N在AD上时，即0≤x＜2
∵AM＝x，AN＝2x，
∴，
此时二次项系数大于0，
∴该部分函数图象开口向上，
当点N在DC上时，即2≤x＜4，
此时底边AM＝x，高AD＝4，
∴y＝＝2x，
∴该部分图象为直线段，
当点N在CB上时，即4≤x＜6时，
此时底边AM＝x，高BN＝12﹣2x，
∴y＝，
∵﹣1＜0，
∴该部分函数图象开口向下，
故选：B．
10．D
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC＝2，∠BAD＝180°?∠ABC＝120°，
∴∠DAO＝∠BAD＝60°，
∴△DAC是等边三角形，
∴AD＝AC＝2，
∴AO＝CO＝AC＝1，
设OM＝x，
∵AC⊥BD，PQ为BD平移而来，
∴∠AOD＝∠AMP＝90°，
∴△AMP为直角三角形，
∴PM＝AM?tan∠PAM＝（1＋x），
①当点M在线段OC上（不含点O）时，
即0≤x＜1，此时CM＝1?x，
则y＝（1?x）×（1＋x）＝?，
∴0≤x＜1，函数图象开口应朝下，
故B、C不符合题意，
②当点在线段OC延长线上时，即x＞1，如图所示：
此时C＝x?1，
则y＝（x?1）×(x＋1)＝，
∴只有D选项符合题意，
故选：D．
11．B
当时，，故①正确；
由题意得：，故②正确；
日销售利润为，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵销售单价为38元/千克时的销售量比销售单价为42元/千克时大，
∴不合题意，
即若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为38元/千克，故③错误；
由上问可知：，
即，
∵，
∴当时，，
即若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克，故④正确；
故正确的是①②④；
故答案选B．
12．C
解：由题意，抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，
∴h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m＞20m，故①正确，
∴抛物线的对称轴t＝4.5，故②正确，
∵t＝9时，h＝0，
∴点（9，0）在该抛物线上，故③正确，
∵当t＝5时，h＝20，当t＝7时，h＝14，
∴足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降，故④正确．
∴正确的有①②③④，
故选：C．
13．A
解：此题在读懂题意的基础上，分两种情况讨论：
当x≤4时，y＝6×8?（x?2x）＝?2x2＋48，
此时函数的图象为抛物线的一部分，
它的最上点抛物线的顶点（0，48），最下点为（4，16）；
当4＜x≤6时，点E停留在B点处，
故y＝48?8x＝?8x＋48，此时函数的图象为直线y＝?8x＋48的一部分，
它的最上点可以为（4，16），它的最下点为（6，0）．
结合四个选项的图象知选A项．
故选：A．
14．C
解：∵y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1，
∴点A1（4，0），
∴OA1＝4，
∵OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，
∴OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝4，
∵点P（21，m）在这种连续变换的图象上，
∴x＝21和x＝1时的函数值互为相反数，
∴﹣m＝﹣1×（1﹣4）＝3，
∴m＝﹣3，
故选：Ｃ．
15．
解：∵，
∴当t＝25时，y取得最大值750，
即飞机着陆后滑行750米才能停下来，
因此t的取值范围是0≤t≤25；
即当t＝15时，y＝630，
所以最后10s共滑行750?630＝120（米）
故答案是：120．
16．1.5
解：∵s=18t-6t2，=-6（t-1.5）2+13.5，
∴当t=1.5秒时，s取得最大值，即汽车停下来．
故答案为：1.5
17．11
解：设销售单价定为元，每天所获利润为元，
则
，
所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，
故答案为11．
18．y=-2x2+10x
解：∵AB的边长为x米，而菜园ABCD是矩形菜园，
∴BC=10-2x，
∵菜园的面积=AB×BC=x?（10-2x），
∴y=-2x2+10x．
故答案为：y=-2x2+10x．
19.（1）4.5，
3，
30
（2）w＝?10x2＋1400x?33000；（3）当a≥70时，每天最大利润为16000元，当60＜a＜70时，每天的最大利润为（?10a2＋1400a?33000）元．
解：（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，
根据题意，得：，解得m＝3，
经检验m＝3是方程的解，
∴1.5m＝4.5，
∴每盒产品的成本是：4.5×2＋4×3＋9＝30（元），
故答案是：4.5，3，30；
（2）根据题意，得w＝（x?30）[500?10（x?60）]＝?10x2＋1400x?33000，
∴w关于x的函数解析式为：w＝?10x2＋1400x?33000；
（3）由（2）知w＝?10x2＋1400x?33000＝?10（x?70）2＋16000，
∴当a≥70时，每天最大利润为16000元，
当60＜a＜70时，每天的最大利润为（?10a2＋1400a?33000）元．
20．（1）．（2），当时，有最大值，最大值为．（3）存在，或或．
（1）∵矩形的边，
∴，
∵，
∴，
∴，，
把、两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为．
（2）在中，
令，可得，解得或，
∴，
∴直线解析式为，
由题意可得，
∵轴，
∴，
∵在直线的上方，
∴，
∵直线解析式为，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为．
（3）①当为平行四边形的边时，则有，且，
如图，过作对称轴的垂线，垂足为，
设交对称轴于点，则，
在和中，，
∴≌（AAS），
∴，
∴点到对称轴的距离为3，
又，
∴抛物线对称轴为，
设点坐标为，则，解得或，
当时，；当时，，
∴点坐标为或．
②当为对角线时，设的中点为，
∵，，
∴，
∵点在对称轴上，
∴点的横坐标为，
设点横坐标为，
∴，解得，此时，
∴．
综上可知点的坐标为或或．
21．该品牌洗碗机在去年7月销往农村的销售金额最大，最大是10125万元．
解：设p与x的函数关系式为p=kx+b（k≠0），
根据题意，得
解得：
∴p=0.1x+3.8，
设月销售金额为w万元，
则w=py=（0.1x+3.8）（-50x+2600），
=-5x2+70x+9880
=-5（x-7）2+10125，
当x=7时，w取得最大值为10125．
答：该品牌洗碗机在去年7月销往农村的销售金额最大，最大是10125万元．
22．（1）y＝；（2）y＝；（3）存在，Q点坐标为（﹣6，10）或（6，﹣4）．
解（1）把点A、点C的坐标分别代入y＝x2+bx+c中，
得：，
∴b＝，c=－2，
∴y＝；
（2）∵抛物线w1：y＝＝（x+1）2﹣的顶点是（﹣1，﹣），
∴w2的顶点是（1，），
∴w2的解析式是：y＝﹣（x﹣1）2+＝﹣x2+x+2；
（3）存在．
由题意知，，则．
①若CC′是对角线，如图，
∵W1和W2关于原点对称，
∴P、Q也关于原点对称，
设点P到y轴的距离为h，
∵平行四边形的面积=2
∴CC′?h＝24，
∴4?h＝24，
∴h＝6，
即P点横坐标是6或﹣6，
当x＝6时，y＝×62+×6﹣2＝10，
∴Q（﹣6，10），
当x＝﹣6时，y＝×（﹣6）2﹣×6﹣2＝4，
∴Q（6，﹣4），
②当CC′是边时，PQ∥CC′，PQ＝CC′，如图，
设点Q（x，），P（x，），
由①知：x＝6或﹣6，
当P（6，10）时，
∵y＝﹣×62+×6+2＝﹣4，
∴Q（6，﹣4），
∴PQ＝14≠4，
当x＝﹣6时，y＝﹣×（﹣6）2+×（﹣6）+2＝﹣10，
∴PQ＝14，
∴PQ≠CC′，
∴CC′不能为边，
综上所述，当C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，并且其面积等于24时，点Q的坐标是（﹣6，10）或（6，﹣4）．