2.3.1等腰三角形的性质定理 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
2.3等腰三角形的性质定理
浙教版
八年级上
新知导入
将一把等腰三角尺和一个重锤如图1放置，就能检查一根讲台边沿是否水平，你知道为什么吗？
复习导入
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
探究归纳
剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么现象吗？
A
B
C
D
等腰三角形的性质
1.
等腰三角形是轴对称图形.
我们可以得出结论：
A
C
B
D
折痕AD所在直线是等腰三角形的对称轴.
你还有新的发现吗？
∠B、∠C
是等腰三角形的
.
底角
∠B
＝∠C
所以我们可以描述为:
等腰三角形的两个底角相等.
2.
探究归纳
等腰三角形的性质定理1：
等腰三角形的两个底角相等
(简写成“在同一个三角形中，
等边对等角”).
新知讲解
已知：如图，△ABC
中，AB=AC，求证：∠B=∠C
.
证明：作顶角∠BAC的平分线AD.
在△ABD与△ACD中，
AB＝AC
(已知)，
∠BAD＝∠CAD
(角平分线的定义)，
AD＝AD
(公共边)，
∴
△ABD
≌
△ACD
(SAS)，
∴
∠B＝∠C
(全等三角形的对应角相等)
A
B
C
分析：由上述操作可以得到启发，即添加等腰三角形的顶角平分线AD，然后证明△ABD
≌
△ACD.
D
除了上述结论，你还能得出哪些结论？
新知讲解
想一想：
刚才的证明除了能得到∠B＝∠C
，你还能发现什么？
重合的线段
重合的角
　
A
B
D
C
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B
＝
∠C
∠BAD
＝
∠CAD
∠ADB
＝∠ADC
=90°
新知讲解
例题讲解
例1、如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，
∠C
＝40°，求∠BAC
的度数．
分析：解决本题的关键是求出∠ADB的度数．
解：∵AD＝DC，∠C＝40°，
∴∠DAC＝∠C＝40°，
∴∠ADB＝∠DAC＋∠C＝80°.
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝80°.
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－80°－40°＝60°.
A
B
D
C
40°
当堂练习
已知：在△ABC中
，AB=AC，∠
B=80
°，求∠
C和∠
A的大小.
解：
A
B
C
课堂达标
请回答下列问题：
(1)
等腰三角形的一边长为3，一边长为5，那么它的周长是______
(2)等腰三角形的一边长为3，一边长为7，那么它的周长是______
(3)
等腰三角形的一边长为4，周长为9，那么它的腰长是________
(4)
等腰三角形的腰长是3，则底边长a的取值范围是______
(5)
等腰三角形的底边长是3，则腰长a的取值范围是______
11或13
17
04或2.5
a＞1.5
知识讲解
因为等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到，∠B＝
∠
C，
同理可得
∠A＝∠B，
所以
∠A＝∠B＝∠C，
又由
∠A＋∠B＋∠C＝180°，
从而推出
∠A＝∠B＝∠C＝60°.
也就是说：等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.
三条边都相等的三角形是等边三角形，它也是轴对称图形，那么等边三角形的每个角的度数是多少呢？它有几条对称轴？
A
C
B
等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形.
三条对称轴
等边三角形的性质
知识讲解
等边三角形的性质：
等边三角形的各个内角都等于60°
例题讲解
例2、求等边三角形三个内角的度数.
解：由已知：AB=AC=BC，
∵AB=AC
(已知)
∴∠B=∠C
(等边对等角)
∴∠A=∠B=∠C
∵
∠A+∠B+∠C=180°
∴
∠A=
∠B=
∠C=60°
已知：
如图
，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是
∠ABC
，∠ACB的平分线.求证：BD=CE
.
例3、求证“等腰三角形两底角的平分线相等”
A
E
D
C
B
例题讲解
分析：要证明BD=CE
，只需证明△BCE≌△CBD(或
ABD≌△ACE)因为
BC
是△BCE和
△CBD
的公共边，
所以只需证明∠
ABC=
∠
ACB，
∠BCE=
∠CBD.
这
可由已知AB=AC，BD和CE是△ABC的两条角平分线
得到
.
上述从所求出发的分析思路可以简明地表示成下图
BD=CE
△BCE≌△CBD
∠
ABC=
∠
ACB
∠BCE
=
∠CBD
BC=CB
AB=AC
BD，CE是△ABC的角平分线
例题讲解
A
E
D
C
B
证明：
如图
∵AB=AC
(已知)，
∴∠ABC=
∠ACB
(等腰三角形的两个底角相等).
∵
BD，CE分别是∠
ABC，
∠ACB的平分线，
∴
∠CBD=
∠ABC，
∠BCE=
∠ACB
(角平分线的定义)，
∴
∠CBD=∠BCE.
又∵BC=CB
(公共边)，
∴
△BCE≌△CBD
(ASA).
∴
BD=CE.
(全等三角形的对应边相等).
例题讲解
课堂小结
1.
等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等．这个定理也可以说成在同一个三角形中，等边对等角．
2.
等边三角形的各个内角都等于60°．
课堂练习
1、如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，∠ADE＝48°，
则下列结论中，错误的是
(
)
A.
∠B＝48°
B.
∠AED＝66°
C.
∠A＝84°
D.
∠B＋∠C＝96°
解析：∵DE∥BC，∠ADE＝48°，
∴∠B＝∠ADE＝48°.
∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝48°，
∴∠B＋∠C＝96°，
∴∠A＝180°－∠B－∠C＝84°.
∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C＝48°.
∴只有B错误．
B
A
D
E
C
B
课堂练习
(1)等腰三角形一个底角为75°，它的另外两个角为________
.
(2)等腰三角形一个角为70°，它的另外两个角为
__________
__________.
(3)等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为________.
75°，30°
70°，40°或
35°，35°
2、填空题
55°，55°
课堂练习
(4)如图，直线m∥n，△ABC为等腰三角形，∠BAC＝90°，则
∠1＝
．
第(4)题
解析：∵△ABC为等腰三角形，
∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°.
∵直线m∥n，
∴∠1＝∠ABC＝45°.
45°
A
m
C
B
1
n
课堂练习
A
B
C
D
3、如图，在△ABC中
，AB=AC，点D在AC上，且
BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
(1)找出图中所有相等的角；
(2)指出图中有几个等腰三角形？
∠A=∠ABD，
∠C=∠BDC=∠ABC.
△ABC，
△ABD，
△BCD.
课堂练习
A
B
C
D
x
2x
2x
2x
(3)观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？
∠BDC=
∠A+∠ABD=2∠A=2∠ABD，
∠ABC=
∠BDC=2∠A，
∠C=∠BDC=2∠A
.
(4)设∠A=x，请把△
ABC的内角和用含x的式子表示出来.
∵
∠A+∠ABC+∠C=180
°，
∴x+2x+2x=180
°.
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，
∠A=∠ABD.
设∠A=x，则∠BDC=
∠A+
∠ABD=2x，
从而∠ABC=
∠C=
∠BDC=2x，
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180
°
，
解得x=36
°
.
在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
A
B
C
D
x
2x
2x
2x
作业布置
作业本
课本作业题3.4.5
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