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3.2
实数
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一
无理数的识别
典例1
实数，0，，中，属于无理数的是（
）
A．
B．0
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．
【详解】
解：在实数，0，，中，
无理数是，有理数是，0，，
故选：D．
【名师点拨】
本题考查了对无理数的定义的应用，注意：无理数包括：①开方开不尽的根式，②含π的，③一些有规律的数，无理数是指无限不循环小数．
变式1-1．实数－2，0.3，，，中，无理数的个数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】
有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数，据此判断出无理数有哪些即可．
【详解】
因为-2是整数，0.3是有限小数，所以-2、0.3都是有理数；
因为是分数，可化为循环小数，所以是有理数；
因为，1.414…，3.14159265…都是无限不循环小数，所以，都是无理数，所以无理数的个数是2个：，．
故选：B．
【名师点拨】
本题主要考查了无理数和有理数的特征与区别，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数．
变式1-2．下列说法正确的是（ ）
A．带有根号的数是无理数
B．无限小数是无理数
C．无理数是无限不循环小数
D．无理数是开方开不尽的数
【答案】C
【详解】
A选项中，带有根号的数不一定是无理数，如是有理数，故此选项错误；
B选项中，无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中只有无限不循环小数才是无理数，而无限循环小数是有理数，故此选项错误；
C选项中，无理数是无限不循环小数的说法是正确的；
D选项中，开方开不尽的数是无理数，但无理数不一定是开方产生的，无是无理数，但它不是开方产生的数，故选项错误．
故选C．
考查题型二
理解实数的概念
典例2下面说法错误的个数是（
）
①一定是负数；②若，则；③一个有理数不是整数就是分数；④一个有理数不是正数就是负数.
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】C
【分析】
①举例说明命题错误；②举例说明命题错误；③根据有理数的概念判断即可；④根据有理数的概念判断即可.
【详解】
①当a≤0时，-a≥0，故-a一定是负数错误；
②当a=2，b=-2时，??,但是a≠b，故②的说法错误；
③一个有理数不是整数就是分数，此选项正确；
④一个有理数不是正数就是负数还有可能是0，故④的说法错误.
所以错误的个数是3个.
故答案为C
【名师点拨】
本题考查了有理数的概念，熟练掌握概念是解题的关键.
变式2-1．下列说法中，正确的个数有（
）
①不带根号的数一定是有理数；
②任意一个实数都可以用数轴上的点表示；
③无限小数都是无理数；
④是17的平方根；
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】
根据有理数、实数、无理数和平方根的概念判断即可．
【详解】
解：①不带根号的数不一定是有理数，如π，所以①错误；?
②任意一个实数都可以用数轴上的点表示，正确；
③无限不循环小数都是无理数，所以③错误；?
④是17的平方根，正确；
故选：B．
【名师点拨】
此题考查实数，关键是根据有理数、实数、无理数和平方根的概念解答．
变式2-2．有下列六种说法：①数轴上有无数多个表示无理数的点；②带根号的数不一定是无理数；③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示；④数轴上每一个点都表示唯一一个实数；⑤没有最大的负实数，但有最小的正实数；⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数．
其中说法错误的有（
）
A．⑤
B．②⑤
C．②④⑥
D．①②③④
【答案】A
【分析】
根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，可得答案．
【详解】
①数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的；
②带根号的数不一定是无理数是正确的，如＝2；
③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示是正确的；
④数轴上每一个点都表示唯一一个实数是正确的；
⑤没有最大的负实数，也没有最小的正实数，原来的说法错误；
⑥没有最大的正整数，有最小的正整数，原来的说法正确．
故选：A．
【名师点拨】
此题主要考查了实数的有关概念，正确把握相关定义是解题关键．
变式2-3．若，均为整数，且，则不可能是（ ）
A．正数
B．负数
C．无理数
D．实数
【答案】C
【分析】
根据有理数和无理数的定义进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：∵，均为整数，且，
则可能是正数、负数、有理数，但是不可能是无理数；
故选：C．
【名师点拨】
本题考查了有理数和无理数的定义进行判断，解题的关键是熟记定义进行判断．
考查题型三
实数的分类
典例3．将下列各数填入相应的集合内-7，0.32，，0，，，，，0.1010010001…
①有理数集合{
…
}
②无理数集合{
…
}
③负实数集合{
…
}
【答案】答案见解析
【分析】
根据实数的分类：实数分为有理数、无理数．或者实数分为正实数、0、负实数．进行填空．
【详解】
解：，
①有理数集合{-
7，0.32，，0，,…}
②无理数集合{，，π，0.1010010001…，…}
③负实数集合{-
7，…}
变式3-1．把下列各数的序号填在相应的大括号内：
①﹣17；②π；③﹣|﹣|；④；⑤；⑥﹣0.92；⑦
；⑧﹣0.；⑨1.2020020002；
（1）正实数{
}
负有理数{
}
无理数{
}
（2）从以上9个数中选取2个有理数，2个无理数，用“+、﹣、×、÷”中的3种不同的运算符号将选出的4个数进行运算（可以用括号），使得计算结果为正整数，列出式子并计算
．
【答案】（1）②④⑤⑨；①③⑥⑧；②④⑦；（2）详见解析.
【分析】
（1）根据实数的分类进行求解即可；
（2）此问答案不唯一，只要符合条件即可．
【详解】
（1）正实数{②④⑤⑨}
负有理数{①③⑥⑧}
无理数{②④⑦}
（2）[﹣1﹣（﹣2+）+（﹣17）]÷（﹣|﹣|）＝(-16)
÷(-)=10
【名师点拨】
本题主要考查了实数的分类以及实数的混合运算，实数分为：有理数和无理数．有理数分为：整数和分数；无理数分为：正无理数、负无理数．
变式3-2．把下列各数填入相应的集合内
7.5，，6，，，，﹣π，
（1）有理数集合{
}
（2）无理数集合{
}
（3）正实数集合{
}
（4）负实数集合{
}
【答案】（1）7.5，6，，，
；（2），，﹣π；（3）7.5，，6，，，；（4）﹣π，
【分析】
首先实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正实数是大于0的所有实数，由此即可求解．
【详解】
解：（1）有理数集合{7.5，6，，，}
（2）无理数集合{，，﹣π}
（3）正实数集合{7.5，，6，，，}
（4）负实数集合{﹣π，
}
【名师点拨】
本题主要考查实数的分类，掌握实数的分类标准是解题的关键．
考查题型四
实数的性质
典例4
的相反数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．因此的相反数是．故选C．
考点：相反数．
9．3﹣π的绝对值是（ ）
A．3﹣π
B．π﹣3
C．3
D．π
【答案】B
【详解】
∵3?π<0，
∴|3?π|=π?3.
故选B.
变式4-1．下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．3和
B．﹣|﹣|和﹣（﹣）
C．﹣和
D．﹣2和
【答案】B
【分析】
根据相反数的定义，找到只有符号不同的两个数即可．
【详解】
解：A、＝3，3和两数不互为相反数，故本选项错误；
B、﹣|﹣|＝﹣，﹣（﹣）＝，﹣|﹣|和﹣（﹣）两数互为相反数，故本选项正确；
C、﹣＝﹣2，＝﹣2，﹣和两数不互为相反数，故本选项错误；
D、﹣2和两数不互为相反数，故本选项错误．
故选：B．
【名师点拨】
考查了相反数的定义：要知道，只有符号不同的两个数互为相反数．
变式4-2．绝对值是的实数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据绝对值的定义求解即可．
【详解】
解：∵的绝对值是，
故选：A．
【名师点拨】
本题考查绝对值的定义，掌握绝对值的定义是解题的关键．
考查题型五
实数与数轴
典例5．如图，在数轴上表示的点可能是（
）
A．点P
B．点Q
C．点M
D．点N
【答案】B
【分析】
利用无理数的估算得到3＜＜4，然后对各点进行判断即可．
【详解】
解：∵9＜15＜16，
∴3＜＜4，
而3＜OQ＜4，
∴表示的点可能是点Q．
故选：B．
【名师点拨】
本题考查了实数与数轴：实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
变式5-1
在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是(
)
A．1+
B．2+
C．2﹣1
D．2+1
【答案】D
【详解】
设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有
，解得.
故选D.
14．关于的叙述，错误的是( )
A．是有理数
B．面积为12的正方形的边长是
C．＝2
D．在数轴上可以找到表示的点
【答案】A
【详解】
试题分析：是无理数，A项错误，故答案选A.
考查题型六
无理数的估值
典例6
黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算﹣1的值（ ）
A．在1.1和1.2之间
B．在1.2和1.3之间
C．在1.3和1.4之间
D．在1.4和1.5之间
【答案】B
【分析】
根据4.84<5<5.29，可得答案．
【详解】
∵4.84<5<5.29，
∴2.2<<2.3，
∴1.2<-1<1.3，
故选B．
【名师点拨】
本题考查了估算无理数的大小，利用≈2.236是解题关键．
变式6-1．已知m=，则以下对m的估算正确的（ ）
A．2＜m＜3
B．3＜m＜4
C．4＜m＜5
D．5＜m＜6
【答案】B
【分析】
直接化简二次根式，得出的取值范围，进而得出答案．
【详解】
∵m==2+，
1＜＜2，
∴3＜m＜4，
故选B．
【名师点拨】
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
变式6-2．估计的值在（
）
A．2到3之间
B．3到4之间
C．4到5之间
D．5到6之间
【答案】B
【分析】
利用”夹逼法“得出的范围，继而也可得出+1的范围.
【详解】
∵4
＜
6
＜
9
，
∴，即，
∴，
故选B.
变式6-3．一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ）
A．2与3之间
B．3与4之间
C．4与5之间
D．5与6之间
【答案】B
【详解】
解：∵一个正方形的面积是15，
∴该正方形的边长为，
∵9＜15＜16，
∴3＜＜4．
故选B．
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3.2
实数
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一
无理数的识别
典例1
实数，0，，中，属于无理数的是（
）
A．
B．0
C．
D．
变式1-1．实数－2，0.3，，，中，无理数的个数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
变式1-2．下列说法正确的是（ ）
A．带有根号的数是无理数
B．无限小数是无理数
C．无理数是无限不循环小数
D．无理数是开方开不尽的数
考查题型二
理解实数的概念
典例2下面说法错误的个数是（
）
①一定是负数；②若，则；③一个有理数不是整数就是分数；④一个有理数不是正数就是负数.
A．个
B．个
C．个
D．个
变式2-1．下列说法中，正确的个数有（
）
①不带根号的数一定是有理数；
②任意一个实数都可以用数轴上的点表示；
③无限小数都是无理数；
④是17的平方根；
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
变式2-2．有下列六种说法：①数轴上有无数多个表示无理数的点；②带根号的数不一定是无理数；③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示；④数轴上每一个点都表示唯一一个实数；⑤没有最大的负实数，但有最小的正实数；⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数．
其中说法错误的有（
）
A．⑤
B．②⑤
C．②④⑥
D．①②③④
变式2-3．若，均为整数，且，则不可能是（ ）
A．正数
B．负数
C．无理数
D．实数
考查题型三
实数的分类
典例3．将下列各数填入相应的集合内-7，0.32，，0，，，，，0.1010010001…
①有理数集合{
…
}
②无理数集合{
…
}
③负实数集合{
…
}
变式3-1．把下列各数的序号填在相应的大括号内：
①﹣17；②π；③﹣|﹣|；④；⑤；⑥﹣0.92；⑦
；⑧﹣0.；⑨1.2020020002；
（1）正实数{
}
负有理数{
}
无理数{
}
（2）从以上9个数中选取2个有理数，2个无理数，用“+、﹣、×、÷”中的3种不同的运算符号将选出的4个数进行运算（可以用括号），使得计算结果为正整数，列出式子并计算
．
变式3-2．把下列各数填入相应的集合内
7.5，，6，，，，﹣π，
（1）有理数集合{
}
（2）无理数集合{
}
（3）正实数集合{
}
（4）负实数集合{
}
考查题型四
实数的性质
典例4
的相反数是（
）
A．
B．
C．
D．
变式4-1．下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．3和
B．﹣|﹣|和﹣（﹣）
C．﹣和
D．﹣2和
变式4-2．绝对值是的实数是（
）
A．
B．
C．
D．
变式4-3．3﹣π的绝对值是（ ）
A．3﹣π
B．π﹣3
C．3
D．π
考查题型五
实数与数轴
典例5．如图，在数轴上表示的点可能是（
）
A．点P
B．点Q
C．点M
D．点N
变式5-1
在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是(
)
A．1+
B．2+
C．2﹣1
D．2+1
考查题型六
无理数的估值
典例6
黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算﹣1的值（ ）
A．在1.1和1.2之间
B．在1.2和1.3之间
C．在1.3和1.4之间
D．在1.4和1.5之间
变式6-1．已知m=，则以下对m的估算正确的（ ）
A．2＜m＜3
B．3＜m＜4
C．4＜m＜5
D．5＜m＜6
变式6-2．估计的值在（
）
A．2到3之间
B．3到4之间
C．4到5之间
D．5到6之间
变式6-3．一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ）
A．2与3之间
B．3与4之间
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