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3.3
立方根
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一
求一个数的立方根
典例1．64的立方根是（
）
A．4
B．±4
C．8
D．±8
变式1-1．下列各组数中互为相反数的是（
）
A．与
B．与
C．与
D．与
变式1-2．的算术平方根是（ ）
A．2
B．±2
C．
D．
变式1-3．一个正方体的水晶砖，体积为100
cm3，它的棱长大约在(
)
A．4
cm～5
cm之间
B．5
cm～6
cm之间
C．6
cm～7
cm之间
D．7
cm～8
cm之间
考查题型二
已知一个数的立方根，求这个数
典例2．若m的立方根是2，则m的值是（ ）
A．4
B．8
C．
D．
变式2-1．若，则的值是（
）
A．
B．或
C．12
D．12或4
变式2-2．已知（﹣）2的平方根是a，﹣125的立方根是b，则a﹣b的值是（ ）
A．0或10
B．0或﹣10
C．±10
D．0
变式2-3．如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（
）
A．28.72
B．0.2872
C．13.3
D．0.1333
考查题型三
立方根的实际应用
典例3．一个正方体的体积扩大为原来的27倍，则它的棱长变为原来的（
）倍．
A．2
B．3
C．4
D．5
变式3-1．若，则x和y的关系是( )．
A．x＝y＝0
B．x和y互为相反数
C．x和y相等
D．不能确定
变式3-2．一个长方体音箱，长是宽的2倍，宽和高相等，它的体积是，则这个音箱的长是（
）
A．
B．
C．
D．
变式3-3．已知一个正方体的体积为，它的表面积是（
）
A．
B．
C．
D．
考查题型四
平方根与立方根的综合应用
典例4．下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
变式4-1．若都是实数，且，，则的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
变式4-2．若a是(﹣3)2的平方根，则等于(
)
A．﹣3
B．
C．或﹣
D．3或﹣3
变式4-3．一个数的算术平方根与它的立方根的值相同,则这个数是(
)
A．1
B．0或1
C．0
D．非负数
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3.3
立方根
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一
求一个数的立方根
典例1．64的立方根是（
）
A．4
B．±4
C．8
D．±8
【答案】A
【详解】
试题分析：∵43=64，∴64的立方根是4，
故选A
变式1-1．下列各组数中互为相反数的是（
）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】D
【分析】
根据相反数的性质判断即可；
【详解】
A中，不是互为相反数；
B中，不是相反数；
C中两数互为倒数；
D中两数互为相反数；
故选：D．
【名师点拨】
本题主要考查了相反数的性质应用，准确分析是解题的关键．
变式1-2．的算术平方根是（ ）
A．2
B．±2
C．
D．
【答案】C
【分析】
先求得的值，再继续求所求数的算术平方根即可．
【详解】
∵=2，
而2的算术平方根是，
∴的算术平方根是，
故选C．
【名师点拨】
此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根，否则容易出现选A的错误．
变式1-3．一个正方体的水晶砖，体积为100
cm3，它的棱长大约在(
)
A．4
cm～5
cm之间
B．5
cm～6
cm之间
C．6
cm～7
cm之间
D．7
cm～8
cm之间
【答案】A
【详解】
可以利用方程先求正方体的棱长，然后再估算棱长的近似值即可解决问题．
解：设正方体的棱长为x，
由题意可知x3=100，
解得x=，
由于43＜100＜53，
所以4＜＜5．
故选A．
考查题型二
已知一个数的立方根，求这个数
典例2．若m的立方根是2，则m的值是（ ）
A．4
B．8
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据立方根的定义求解即可.
【详解】
解：∵23=8，
∴8的立方根是2．
∴m=8．
故选B．
【名师点拨】
本题考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解题关键.
变式2-1．若，则的值是（
）
A．
B．或
C．12
D．12或4
【答案】B
【分析】
先依据平方根和立方根的性质求得a、b的值，然后代入计算即可．
【详解】
解：∵，
∴a=±4，b=-8．
∴当a=4，b=-8时，a+b=-4；
当a=-4，b=-8时，a+b=-12．
故选：B．
【名师点拨】
本题主要考查的是立方根、平方根的定义，掌握立方根、平方根的性质是解题的关键．
变式2-2．已知（﹣）2的平方根是a，﹣125的立方根是b，则a﹣b的值是（ ）
A．0或10
B．0或﹣10
C．±10
D．0
【答案】A
【分析】
根据立方根与平方根的定义即可求出答案．
【详解】
解：（﹣）2＝25，
∴25的平方根是±5，
﹣125的立方根是﹣5，
∴a＝±5，b＝﹣5，
当a＝5时，
原式＝5﹣（﹣5）＝10，
当a＝﹣5时，
原式＝﹣5﹣（﹣5）＝0，
故选：A．
【名师点拨】
本题考查平方根与立方根，解题的关键是熟练运用平方根与立方根的定义，本题属于基础题型．
变式2-3．如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（
）
A．28.72
B．0.2872
C．13.3
D．0.1333
【答案】C
【分析】
根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可．
【详解】
解：∵≈1.333，
∴，
故选：C．
【名师点拨】
本题考查了立方根，如果一个数扩大1000倍，它的立方根就扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍．
考查题型三
立方根的实际应用
典例3．一个正方体的体积扩大为原来的27倍，则它的棱长变为原来的（
）倍．
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】
根据正方体的体积公式解答．
【详解】
解：设原来正方体的棱长为a，则原来正方体的体积为，
由题意可得现在正方体的体积为，
∵，
∴现在正方体的棱长为3a，
故选：B．
【名师点拨】
本题考查立方根的应用，熟练掌握立方根的意义及正方体的体积计算方法是解题关键．
变式3-1．若，则x和y的关系是( )．
A．x＝y＝0
B．x和y互为相反数
C．x和y相等
D．不能确定
【答案】B
【解析】
∵,
∴,
∴x=-y，
即x、y互为相反数，
故选B．
名师点拨：考查了立方根，相反数的应用，解此题的关键是能得出x=-y．
变式3-2．一个长方体音箱，长是宽的2倍，宽和高相等，它的体积是，则这个音箱的长是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
设这个音箱的宽是xcm,根据题意可以表示出长和高，根据长方体的体积公式列方程求解．
【详解】
解：设这个音箱的宽是xcm,则高是cm,长是2xcm,
根据长方体的体积公式得
2x?x?
x=54000
2
=54000
=27000
x=30,
2x=60（cm）．
故选：B．
【名师点拨】
本题考查立方根的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．
变式3-3．已知一个正方体的体积为，它的表面积是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据正方体体积公式求出正方体的棱长，即可求出表面积．
【详解】
解：根据题意得：正方体的棱长为=4cm，
则它的表面积为6×42═96cm2．
故选C．
【名师点拨】
本题考查了立方根，解题的关键是先求出正方体的棱长．
考查题型四
平方根与立方根的综合应用
典例4．下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据平方根和算术平方根的定义进行计算，再逐一判断即可
【详解】
解：A.
，原选项不合题意
B.
，原选项符合题意
C.
，原选项不合题意
D.，原选项不合题意
故选：B
【名师点拨】
本题考查了平方根和算术平方根的概念，熟练掌握相关知识是解题的关键
变式4-1．若都是实数，且，，则的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由算术平方根的意义可知6-x≥0,则x-6≤0,从而≤0，≥0.
【详解】
∵6-x≥0,
∴x-6≤0,
∴≤0，≥0，
∴.
故选A.
【名师点拨】
本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握负数没有算术平方根是解答本题的关键.
变式4-2．若a是(﹣3)2的平方根，则等于(
)
A．﹣3
B．
C．或﹣
D．3或﹣3
【答案】C
【详解】
∵a是（﹣3）2的平方根，∴a=±3，∴等于或﹣．故选C．
变式4-3．一个数的算术平方根与它的立方根的值相同,则这个数是(
)
A．1
B．0或1
C．0
D．非负数
【答案】B
【分析】
根据立方根和平方根的性质可知，立方根等于它本身的实数0、1或-1，算术平方根等于它本身的实数是0或1，由此即可解决问题．
【详解】
∵立方根等于它本身的实数0、1或?1；
算术平方根等于它本身的数是0和1.
∴一个数的算术平方根与它的立方根的值相同的是0和1.
故选:B.
【名师点拨】
主要考查了立方根，算术平方根的性质.牢牢掌握立方根和算术平方根等于它本身的实数是解答本题的关键点.
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