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3.4
实数的运算
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一
实数的混合运算
典例1．计算+的结果是（ ）
A．
B．0
C．4
D．8
变式1-1．|1+|+|1﹣|=（ ）
A．1
B．
C．2
D．2
变式1-2．计算：（
）
A．
B．
C．
D．
变式1-3．下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
考查题型二
程序设计与实数运算
典例2．有一个数值转换器，原理如下：当输入时，输出（
）
A．2
B．3
C．
D．
变式2-1．如图所示是一个数值转换器，若输入某个正整数值x后，输出的y值为4，则输入的x值可能为（ ）
A．1
B．6
C．9
D．10
变式2-2．某个运算程序输入x后，得到的结果是2x3﹣4，则这个运算程序是（ ）
A．先乘2，然后立方，再减去4
B．先乘2，然后减去4，再立方
C．先立方，然后乘2，再减去4
D．先立方，然后减去4，再乘方
考查题型三
新定义下的实数运算
典例3．现规定一种新运算“
”：a
b=ab,如3
2=32=9，则（
）
A．
B．8
C．
D．
变式3-1．若规定“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，……，则的值为（
）
A．9900
B．99！
C．
D．2！
变式3-2．对于两数a、b，定义运算：a
b=a+b—ab，则在下列等式中，①a
2=2
a；②（-2）
a=a
（-2）；③（2
a）
3=2
（a
3）；④0
a=a，正确的为（
）
①a
2=2
a
②（-2）
a=a
（-2）
③（2
a）
3=2
（a
3）
④0
a=a
A．①
③
B．①
②
③
C．①
②
③
④
D．①
②
④
变式3-3．一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，比如41=212-202，故41是一个“创新数”．下列各数中，不是“创新数”的是（ ）
A．16
B．19
C．27
D．30
考查题型四
与实数相关的规律题
典例4．如图将1、、、按下列方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是（
）．
A．1
B．
C．
D．
变式4-1．对正整数，记，则的末尾数为（
）
A．0
B．1
C．3
D．5
变式4-2．将一组数，，3，，，…，，按下面的方法进行排列：
，
，
3，
，
；
，
，
，
，
；
…
…
若的位置记为（1，4），的位置记为（2，2），则这组数中最大的有理数的位置记为（
）
A．（5，2）
B．（5，3）
C．（6，2）
D．（6，5）
变式4-3．将一组数，2，，，，…，，按下列方式进行排列：（
）
……
若2的位置记为，的位置记为，则6这个数的位置记为（
）
A．
B．
C．
D．
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3.4
实数的运算
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一
实数的混合运算
典例1．计算+的结果是（ ）
A．
B．0
C．4
D．8
【答案】B
【分析】
原式利用平方根、立方根定义去掉根号再计算即可求出值．
【详解】
解：原式=-4+4=0，
故选B．
【名师点拨】
此题考查了实数的运算，也利用了平方根、立方根定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式1-1．|1+|+|1﹣|=（ ）
A．1
B．
C．2
D．2
【答案】D
【分析】
根据绝对值的性质，可得答案．
【详解】
原式=1++﹣1=2．
故选D．
【名师点拨】
本题考查了实数的性质，利用差的绝对值是大数减小数是解题的关键．
变式1-2．计算：（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【详解】
解：原式=
=.
故选A.
【名师点拨】
本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式1-3．下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
首先根据二次根式的运算法则，逐一计算验证即可得解.
【详解】
解：A选项，，错误；
B选项，，错误；
C选项，，正确；
D选项，，错误；
故答案为C.
【名师点拨】
此题主要考查二次根式的运算，熟练运用，即可解题.
考查题型二
程序设计与实数运算
典例2．有一个数值转换器，原理如下：当输入时，输出（
）
A．2
B．3
C．
D．
【答案】D
【分析】
把64按给出的程序逐步计算即可．
【详解】
由流程图可得：把64取算术平方根，结果为8，
因为8是有理数，所以再取算术平方根，结果为为无理数，故y=．
故选：D．
【名师点拨】
考查了实数的运算，解题关键是弄清程序的计算方法．
变式2-1．如图所示是一个数值转换器，若输入某个正整数值x后，输出的y值为4，则输入的x值可能为（ ）
A．1
B．6
C．9
D．10
【答案】D
【分析】
把各选项中x的值代入计算即可.
【详解】
A．将x＝1代入程序框图得：输出的y值为1，不符合题意；
B．将x＝6代入程序框图得：输出的y值为3，不符合题意；
C．将x＝9代入程序框图得：输出的y值为3，不符合题意；
D．将x＝10代入程序框图得：输出的y值为4，符合题意；
故选D．
【名师点拨】
此题考查了算术平方根的意义，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，按程序一步一步计算．
变式2-2．某个运算程序输入x后，得到的结果是2x3﹣4，则这个运算程序是（ ）
A．先乘2，然后立方，再减去4
B．先乘2，然后减去4，再立方
C．先立方，然后乘2，再减去4
D．先立方，然后减去4，再乘方
【答案】C
【分析】
直接利用各选项得出关系进而判断得出答案．
【详解】
解：根据得到的结果是2x3﹣4，知这个运算程序是先立方，然后乘2，再减去4.
故选：C．
【名师点拨】
此题主要考查了代数式，正确列出代数式是解题关键．
考查题型三
新定义下的实数运算
典例3．现规定一种新运算“
”：a
b=ab,如3
2=32=9，则（
）
A．
B．8
C．
D．
【答案】C
【分析】
仿照新定义的形式求解即可．
【详解】
解：由题意可知：∵a
b=ab
，
∴，
故选：C．
【名师点拨】
本题借助新定义考查有理数的乘方运算，关键是能读懂题意，仿照新定义形式进行运算即可求解．
变式3-1．若规定“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，……，则的值为（
）
A．9900
B．99！
C．
D．2！
【答案】A
【分析】
先根据数学运算符号“！”得出和的值，再计算有理数的乘除法即可得．
【详解】
由题意得：
故选：A．
【名师点拨】
本题考查了新运算下的有理数的乘除法，理解新运算是解题关键．
变式3-2．对于两数a、b，定义运算：a
b=a+b—ab，则在下列等式中，①a
2=2
a；②（-2）
a=a
（-2）；③（2
a）
3=2
（a
3）；④0
a=a，正确的为（
）
①a
2=2
a
②（-2）
a=a
（-2）
③（2
a）
3=2
（a
3）
④0
a=a
A．①
③
B．①
②
③
C．①
②
③
④
D．①
②
④
【答案】C
【分析】
原式各项利用题中的新定义计算得到结果，即可作出判断．
【详解】
解：根据题意得：①a
2=a+2-2a，2
a=2+a-2a，成立；
②（-2）
a=-2+a+2a，a
（-2）=a-2+2a，成立；
③（2
a）
3=（2-a）
3=2-a+3-3（2-a）=2-a+3-6+3a=2a-1，2
（a
3）=2
（a+3-3a）=2+a+3-3a-2（a+3-3a）=2a-1，成立；
④0
a=0+a-0=a，成立．
故选：C．
【名师点拨】
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式3-3．一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，比如41=212-202，故41是一个“创新数”．下列各数中，不是“创新数”的是（ ）
A．16
B．19
C．27
D．30
【答案】D
【分析】
根据“创新数”的定义：一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，依次验证即可.
【详解】
解：A.16=52-32，故本选项不符合题意，
B.19=102-92，故本选项不符合题意，
C.27=62-32，故本选项不符合题意，
D.30不能表示为两个正整数的平方差，则30不是“创新数”，故本选项符合题意.
故选D.
【名师点拨】
本题考查了定义新运算，正确理解题目中的新定义是解题关键.
考查题型四
与实数相关的规律题
典例4．如图将1、、、按下列方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是（
）．
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
首先从排列图中可知：第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，然后抽象出第5排第4个数，第15排第8个数，然后可以得到答案．
【详解】
解：表示第5排从左往右第4个数是，
表示第15排第8个数，从上面排列图中可以看出奇数行1排在最中间，所以第15行最中间是1，且为第8个，所以1和
的积是．
故本题选B．
【名师点拨】
本题是规律题的呈现，考查学生的从具体情境中抽象出一般规律，考查学生观察与归纳能力．
变式4-1．对正整数，记，则的末尾数为（
）
A．0
B．1
C．3
D．5
【答案】C
【分析】
根据题意得出，，，，且、…、的数中都含有2与5的积，则它们末尾数都是0，最后据此进一步求解即可.
【详解】
由题意得：
，，，，
而、…、的数中都含有2与5的积，
∴它们末尾数都是0，
∴的末尾数为3，
故选：C.
【名师点拨】
本题主要考查了观察与归纳能力，根据题意正确找出相应的规律是解题关键.
变式4-2．将一组数，，3，，，…，，按下面的方法进行排列：
，
，
3，
，
；
，
，
，
，
；
…
…
若的位置记为（1，4），的位置记为（2，2），则这组数中最大的有理数的位置记为（
）
A．（5，2）
B．（5，3）
C．（6，2）
D．（6，5）
【答案】C
【分析】
依据每组数的排列规律，设，这列数中最大的数为，从而得出，根据每行5个数进一步求解即可.
【详解】
设，
∵该列数中，最大的数为，
∴，即，
∵每行5个数，
∴在第六行第二列，
∴该数的位置记为：（6，2）,
故选：C.
【名师点拨】
本题主要考查了数字的规律探索，正确找出相应规律是解题关键.
变式4-3．将一组数，2，，，，…，，按下列方式进行排列：（
）
……
若2的位置记为，的位置记为，则6这个数的位置记为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据题意知6=，发现处于第4排，第3个，故可写出其坐标.
【详解】
∵6=
由图中排列的规律即每个数可以表示为，并且每一行有5个数，可知处于18个位置，即为第4排，第3个，
∴6这个数的位置记为（4,3）
故选B
【名师点拨】
此题主要考查坐标的规律，解题的关键是根据题意找到所处的位置.
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