暑期特训：全等三角形

暑期特训：全等三角形（1）
重点难点：
1. 重点：全等三角形的性质的运用.
2. 难点：正确地找出全等三角形的对应边和对应角.

知识要点：
1. 能够完全重合的两个图形叫做全等形.
注：①形状、大小相同；②能够完全重合.
2. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
请同学们准备好一个含60°角的三角板，完成下面的操作：
注：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 在全等三角形中，我们把互相重合的边或角，叫做对应边或对应角. 重合的顶点叫做对应点. 全等用符号“≌”表示，“∽”表示形状相同，“＝”表示大小相等，合起来就是全等.
3. 全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.
4. 寻找对应边、对应角的方法、规律
（1）有公共边的，公共边一定是对应边；
（2）有公共角的，公共角一定是对应角；
（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（4）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等.
请你找出下列各图中的对应边和对应角.

【典型例题】
例1、如图所示，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，指出其他的对应边和对应角.
分析：先将△ABE和△ACD从复杂的图形中分离出来，找对应边（角）只能从这两个三角形中找，因为∠B＝∠C，∠1＝∠2，所以另外一个角是对应角，它们所夹的边是对应边，对应角对的边是对应边.
解：对应角有：∠BAE和∠CAD；对应边有：AB和AC，AE和AD，BE和CD.
评析：做题时，按对应顶点的顺序写出“△ABE≌△ACD”，按字母的对应位置写出对应边：AB与AC，AE与AD，BE与CD；类似的，可写出它们的对应角，能有效地防止出错.

例2、如图所示，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则下列结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC. 其中正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
分析：同学们很容易错选D. 错误的原因是：没有正确识图，把∠FAC和∠EAB误以为也是对应角，从视觉上认为其相等，而没有根据.
解：C
评析：利用掌握的规律确定对应边和对应角. 另外要正确识图，得到相等的边和角，然后利用这些条件再判断其它的线段和角的相等情况.

例3、（2006年广东）如图所示，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°，∠C＝20°，则∠OAD＝__________.
分析：首先在△OBC中，由三角形内角和可知∠OBC＝180°－∠O－∠C＝95°，由△OAD≌△OBC可知∠OAD＝∠OBC＝95°.
解：95°
评析：这类题目主要运用全等三角形的性质和三角形中内角和与外角的知识.

例4、已知△ABC≌△DEF，且AB＝5，S△ABC＝10. 求DE边上的高.
分析：根据全等三角形的性质可知DE＝AB＝5，同时，△ABC和△DEF的面积相等. 利用面积可求出DE边上的高.
解：因为△ABC≌△DEF，所以：
DE＝AB＝5，S△DEF＝S△ABC＝10.
设DE边上的高为h，
评析：全等三角形的对应边、对应角相等，面积也相等. 要求三角形一边上的高，我们必须求得这条边的长和它所在三角形的面积.

例5、已知：如图所示，△ABC≌△DEF，且∠A＝52°，∠B＝31°21′，ED＝10cm，求∠F的度数与AB的长.
分析：根据全等三角形的性质易知AB＝DE＝10cm，∠F＝∠C，而根据三角形内角和定理可求出∠C.
解：因为△ABC≌△DEF，所以AB＝DE＝10cm，∠F＝∠C，
又∠C＝180°－（∠A＋∠B）
＝180°－（52°＋31°21′）
＝96°39′
所以∠F＝96°39′.
评析：目前求线段和角的有关问题往往利用全等三角形的性质求解，在求解的过程中我们要善于将未知问题转化为已知条件来解答.

例6. 如图所示，已知AB＝CD，BE＝DF，△ABE≌△CDF，求证：AB∥CD，AE∥CF.
分析：要证明两直线平行，常用方法是用平行线的判定定理，要使AB∥CD，只要∠ABE＝∠CDF，而这两个角是△ABE和△CDF的一对对应角，至于AE与CF的平行，只需∠AED＝∠CFB，这两个角不在△ABE和△CDF中，但却是∠AEB与∠CFD的邻补角.
证明：△ABE≌△CDF，AB＝CD，BE＝DF
∴∠ABE＝∠CDF
∠AEB＝∠CFD（全等三角形的对应角相等）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
而∠AED＝180°－∠AEB
∠CFB＝180°－∠CFD
∴∠AED＝∠CFB（等角的补角相等）
则AE∥CF
评析：全等三角形对应边相等，可应用于边的相互转化. 对应角相等可以用于角度转化.

【方法总结】
1. 全等三角形的概念和性质是以后我们证明线段相等和角相等的依据.
2. 在找全等三角形的对应边和对应角的时候，如果图形比较复杂，同学们要学会把全等的三角形从复杂的图形中分离出来的方法，把复杂问题简单化.
3. 无论是平移、翻折、旋转，变化前后的两个图形全等，具有全等图形的所有性质.

【模拟试题】（答题时间：50分钟）
一. 选择题
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 全等三角形是指形状相同的三角形
B. 全等三角形是指面积相等的三角形
C. 全等三角形的周长和面积都相等
D. 所有的等边三角形都全等
2. 如图所示，若△ABC≌△DEF，则∠E等于（ ）
A. 30° B. 50° C. 60° D. 100°
3. （2006年黑龙江）如图所示，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（ ）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
4. 已知△ABC≌△A B C ，且△ABC的周长为20，AB＝8，BC＝5，则A C 等于（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5. 如图所示，△ABC≌△CDA，且AB＝CD，则下列结论错误的是（ ）
A. ∠1＝∠2 B. AC＝CA C. ∠B＝∠D D. AC＝BC
6. 如图所示，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在点C 的位置，则图中的一个等腰直角三角形是（ ）
A. △ADC B. △BDC C. △ADC D. 不存在
7. 下图中，全等的图形有（ ）
A. 2组 B. 3组 C. 4组 D. 5组
8. △ABC与△DFE是全等三角形，A与D对应，B与F对应，则按标有字母的线段计算，图中相等的线段有（ ）
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组

二. 填空题
9. 已知△ABC≌△DEF，AB＝DE，BC＝EF，则AC的对应边是__________，∠ACB的对应角是__________.
10. 如图所示，把△ABC沿直线BC翻折180°到△DBC，那么△ABC和△DBC______全等图形（填“是”或“不是”）；若△ABC的面积为2，那么△BDC的面积为__________.
11. 如图所示，△ABE≌△ACD，∠B＝70°，∠AEB＝75°，则∠CAE＝__________°.
12. 如图所示，△AOB≌△COD，∠AOB＝∠COD，∠A＝∠C，则∠D的对应角是__________，图中相等的线段有__________.
13. 如图所示，△APB与△CPD全等.
（1）相等的边是：AB＝CD，__________，__________；
（2）相等的角是：∠A＝∠C，__________，__________；
（3）△APB如何变换得到△CPD？________________________________________.
14. 下图是由全等的图形组成的，其中AB＝3cm，CD＝2AB，则AF＝__________.

三. 解答题
15. 如图所示，已知△ABD≌△ACE，∠B＝∠C，试指出这两个三角形的对应边和对应角.
16. 如图所示，已知△ABC≌△FED，且BC＝ED，那么AB与EF平行吗？为什么？
17. 如图所示，△ABC≌△AEC，B和E是对应顶点，∠B＝30°，∠ACB＝85°，求△AEC各内角的度数.
18. （实际应用题）如图所示，用同样粗细，同种材料的金属构制两个全等三角形，△ABC和△DEF，已知∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC的质量为25克，EF的质量为30克，求金属丝AB的质量的取值范围.
19. （探究题）如图所示，△ABC绕顶点A顺时针旋转，若∠B＝40°，∠C＝30°.
（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB'C'的顶点C'与原三角形的顶点B和A在同一直线上？（原△ABC是指开始位置）
（2）再继续旋转多少度时，点C、A、C'在同一直线上？
20. （阅读与探究）如图（1）所示，把△ABC沿直线BC移动线段BC那样长的距离可以变到△ECD的位置；如图（2）所示，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图（3）所示，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置，像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换.
问题：如图（4），△ABC≌△DEF，B和E、C和F是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角.


【试题答案】
一. 选择题
1. C 2. D 3. D 4. C 5. D 6. B 7. B 8. D

二. 填空题
9. DF，∠DFE 10. 是，2
11. 5 12. ∠OBA，OA＝OC、OB＝OD、AB＝CD
13. （1）BP＝DP，AP＝CP （2）∠B＝∠D，∠APB＝∠CPD （3）以P点为中心旋转180°
14. 27cm

三. 解答题
15. 对应边是：AD与AE，AB与AC，BD与CE；对应角是：∠B和∠C，∠ADB和∠AEC，∠BAD和∠CAE.
16. 因为△ABC≌△FED，BC＝ED（已知），所以∠A与∠F为对应角. 所以∠A＝∠F（全等三角形对应角相等）. 所以AB∥EF（内错角相等，两直线平行）.
17. ∠ACE＝85°，∠E＝30°，∠EAC＝65°
18. 因为△ABC≌△DEF，所以BC＝EF. 故BC的质量应等于EF的质量30克. 所以（30－25）克＜AB的质量＜（30＋25）克. 即5克＜AB的质量＜55克.
19. （1）110°（2）70°
20. 把△DEF沿EF翻折180°，再将翻转后的三角形沿CB（向左）方向平移，使E与B点重合，则△ABC与△DEF重合.
相等的边为：AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF.
相等的角为：∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.
暑期特训：全等三角形（2）
重点难点：
1. 重点：全等三角形的判定及其运用；理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式．
2. 难点：对证明过程的理解和综合法证明的格式．
知识要点：
1. 全等三角形的有关概念
（1）能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；
（2）对应顶点、对应角、对应边；
（3）找对应角（边）的规律：公共边（角）是对应边（角），对顶角是对应角，大对大，小对小；
（4）书写全等时使用“≌”，且对应顶点字母写在对应位置．
2. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
3. 全等三角形的判定：SSS，ASA，AAS，SAS，HL．
4. 常见图形
5. 角的平分线的性质及判定
（1）性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB．
（2）判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB．∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）
【典型例题】
例1. 已知：如图，B、C、E三点在同一直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B．求证：△ABC≌△CDE．
分析：已知条件中具备AC＝CE，要证明两个三角形全等，需要推证其它的对应边、对应角相等，而由AC∥DE得∠E＝∠ACB，∠D＝∠ACD，又因为∠ACD＝∠B，所以∠D＝∠B．得到两个三角形全等的条件。
解：∵AC∥DE，∴∠ACD＝∠D，∠BCA＝∠E．
又∵∠ACD＝∠B，∴∠B＝∠D．
在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE．
评析：从已知条件入手寻找三角形全等的条件，灵活运用平行线的性质推导∠D＝∠ACD，∠E＝∠ACE．解题关键是利用平行线的性质获得三角形全等的条件。
例2. 如图，AB∥CD
（1）用直尺和圆规作∠C的平分线CP，CP交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）中作出的线段CE上取一点F，连结AF．要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件（只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明）．
分析：根据角平分线的作法，分三步得到∠C的平分线．对于补充条件使△ACF≌△AEF，由于已具备公共边AF＝AF，∠ACF＝∠AEF，根据全等三角形判定方法和题目要求再补充一个角相等即可．
解：（1）作图略（2）AF⊥CE，∠AFC＝∠AFB，∠CAF＝∠BAF（选一个即可）
评析：掌握三角形全等的判定方法，分析已知，结合图形探索全等所需条件是解题关键．
例3. 如图所示，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF＝AB，已知△ABE≌△ADF．
（1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置．
（2）线段BE与DF有什么关系？证明你的结论．
分析：根据平移、翻折、旋转的特点△ABE经过旋转变到△ADF的位置，因为平移后对应边平行，翻折后有一组对应边在同一直线上．讨论BE与DF的关系要考虑它们之间的数量关系和位置关系，根据全等易得BE＝DF．对应位置关系，需要延长BE交DF于G，观察证明∠DGB＝90°．
解：（1）图中通过绕点A旋转90°，使△ABE变到△ADF的位置．
（2）延长BE交DF于G，
∵△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF．
又∠AEB＝∠DEG，
∴∠DGB＝∠DAB＝90°．
∴BE⊥DF．
评析：本题意在考查对平移、翻折、旋转的理解；合理猜想、探索、推理、论证能力也在考查之中．
例4. 复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，则BQ＝CP．”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ＝CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ＝CP”仍然成立，请你就图②给出证明．
分析：首先由旋转的特点得AQ＝AP，又由∠QAP＝∠BAC，结合图形，利用角的差得∠QAB＝∠PAC，又AB＝AC，得△AQB≌△APC，从而BQ＝CP．而点P在△ABC外部时，与点P在△ABC内部时基本相同，只是在证∠QAB＝∠PAC时利用角的和而不是差．
解：∵∠QAP＝∠BAC，
∴∠QAP＋∠PAB＝∠BAC＋∠PAB，即∠QAB＝∠PAC．
在△QAB和△PAC中，
∴△QAB≌△PAC，∴BQ＝CP．
评析：分析已知条件，观察图形，培养“直觉”图形的意识，确认边、角之间的关系，尽快地找到解题的突破口．
例5. 如图所示，已知△ABC中，a＝5cm，b＝4cm，c＝3cm，∠B＝53°，∠C＝37°，请你从中选择适当的数据画一个三角形，使之与△ABC全等，把你所能画的三角形全部画出来，不写画法，并在所画出的三角形中标出你选用到的数据，并说明符合条件的三角形可有多少种不同的画法？
分析：利用SSS、AAS等方法画三角形与已知△ABC全等时，同学们不够熟练，为此不妨利用三角形内角和为180°，从而可知∠A＝90°，在具体画图时可先画出∠A＝90°后仍选用SSS、AAS等方案画图为宜，即在所画出的图形中仍只标明∠B、∠C的度数即可．
解：要画出与△ABC全等的三角形，可由题设中所给出的五个数据中任选三个得十种不同的画法，其中有四种画法不符合SAS、SSS、ASA、AAS，故有六种画法符合要求．
（1）利用“SSS”，即a＝5cm，b＝4cm，c＝3cm；
（2）利用“SAS”，即a＝5cm，c＝3cm，∠B＝53°；
（3）利用“SAS”，即a＝5cm，b＝4cm，∠C＝37°；
（4）利用“AAS”，即c＝3cm，∠B＝53°，∠C＝37°；
（5）利用“AAS”，即b＝4cm，∠B＝53°，∠C＝37°；
（6）利用“ASA”，即∠B＝53°，a＝5cm，∠C＝37°．
评析：当题目要求在所给条件中选择进行作图时，可利用分类的思想进行讨论来作，因此其作图具有开放性．这就要求思考问题要周密，分类要准确，做到不重不漏．
【方法总结】
1. 在探索三角形全等方法的时候，利用了一个非常重要的数学思想，就是分类讨论思想．在讨论问题时，我们常常用分类的方法，分类要有标准，标准不同，分类的结果也不同．在分类讨论时，要注意标准的一致性，做到讨论的对象不丢，不漏，不交叉．
2. 全等三角形的几种识别方法都是采用直观感知，操作确认的方式得到的，这是数学发现的一种重要方法，就是由特殊事例推出一般结论的方法，在学习中，同学们要体会这种方法的运用．
3. 转化思想是数学中常见的一种思想方法，解题时运用转化思想，可将未知问题转化为已知问题，化复杂为简单．
【模拟试题】（答题时间：45分钟）
一. 选择题
1. 下列条件，不能使两三角形全等的是（ ）
A. 两边一角对应相等 B. 两角及其中一角的对边对应相等
C. 三边对应相等 D. 两边及其夹角对应相等
2. 如图所示，已知OA＝OB，OC＝OD，AD、BC相交于E，则图中全等三角形有（ ）
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
3. 如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（ ）
A. ∠B＝∠E，BC＝EF B. BC＝EF，AC＝DF
C. ∠A＝∠D，∠B＝∠E D. ∠A＝∠D，BC＝EF
4. 如图所示，AB＝AC，AE＝AD，则①△ABD≌△ACE；②△BOE≌△COD；③点O在∠BAC的平分线上．以上结论（ ）
A. 都正确 B. 都不正确 C. 只有一个正确 D. 只有一个不正确
5. 如图所示，欲测量内部无法到达的古塔相对两点A、B间的距离，可延长AO至点C，使CO＝AO，延长BO至点D，使DO＝BO，则△COD≌△AOB，从而通过测量CD就可得A、B间的距离，其全等的根据是（ ）
A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
6. 如图所示，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以作出（ ）
A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个
二. 填空题
7. 已知△ABC≌△DEF，∠A＝52°，∠B＝31°，ED＝10，则∠F＝__________，AB＝__________．
8. 如图所示，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，若△ABD≌△ACE，则∠B＝__________，∠BAD＝__________，∠ADB＝__________，AB＝__________，AD＝__________，BD＝__________，如果△BEO≌△CDO，那么∠BOE＝__________，DO＝__________．
9. 已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6cm，△ABC的面积是18cm2，则EF边上的高是__________cm．
10. 已知在△ABC和△A1B1C1中，AB＝A1B1，∠A＝∠A1，要使△ABC≌△A1B1C1，还需添加一个条件，这个条件可以是__________．
11. 如图所示，已知：△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，l是过C的任意一条直线，AD⊥l于D，BE⊥l于E，且AD＝2厘米，BE＝5厘米，那么线段DE＝__________厘米．
12. 如图所示，已知点C是∠AOB平分线上的点，点P、P′分别在OA、OB上，如果要得到OP＝OP′，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能的结果的序号：__________．
①∠OCP＝∠OCP′；②∠OPC＝∠OP′C；③PC＝P′C；④PP′⊥OC．
三. 解答题
13. 已知：如图，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：AB＝DE．
14. 已知：如图，C为BE上一点，点A、D分别在BE两侧．AB∥ED，AB＝CE，BC＝ED．求证：AC＝CD．
15. 已知：如图所示，D、A、E在一条直线上，△ADC≌△AEB，∠BAC＝40°，∠D＝45°．
求：（1）∠B的度数；（2）∠BMC的度数．
16. 如图，若点C是AB的中点，CD∥BE且CD＝BE，则∠D与∠E相等吗？小华的思考过程如下：
CD∥BE→∠1＝∠B ①
AC＝CB，∠1＝∠B，CD＝BE→△ACD≌△CBE ②
△ACD≌△CBE→∠D＝∠E ③
你能说明每一步的理由吗？
17. 如图所示，AD和BC相交于点O，BE⊥AD，DF⊥BC，BE＝DF，∠ABC＝∠CDA，那么AB＝CD吗？说明理由．
四. 应用与探究题
18. 如图所示，小冰想测量一下他手中举起的等腰直角三角板的斜边BC是否水平，于是他采用如下行动，从BC的中点D处悬挂一物体，若自然下垂后刚好垂直通过A，则说明：
（1）AD⊥BC；
（2）BC处于水平位置，请解释其中的几何道理．
19. 在一次战役中，如图所示，我军阵地与敌军阵地隔河相望．为炸掉它需知我军阵地与碉堡的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出一个办法，他面向碉堡方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部，然后，他转过一个角度，保持刚才姿态，这时视线落在自己所在岸的某一点上，接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．
（1）按这个战士的方法，找出教室或操场与你距离相等的两点，并通过测量加以验证．
（2）你能解释其中的道理吗？
【试题答案】
一. 选择题
1. A 2. C 3. D 4. A 5. A 6. B
二. 填空题
7. 97° 10 8. ∠C ∠CAE ∠AEC AC AE CE ∠COD EO 9. 6
10. 如：∠B＝∠B1，AC＝A1C1等 11. 7 12. ①②④
三. 解答题
13. 利用ASA证明
14. 证△ABC≌△CED（SAS）
15. （1）25°（2）65°
16. ①两直线平行，同位角相等；②SAS；③全等三角形对应角相等
17. 先证△BEO≌△DFO，再证△BOA≌△DOC
四. 应用与探究题
18. 可用SSS证△ABD≌△ACD
19. （1）略
（2）他两次所确定的三角形全
暑期特训：全等三角形（3）
三角形中的角平分线、中线、高线和中垂线
重点、难点
1. 重点：角平分线性质定理及中垂线性质定理的运用
2. 难点：三角形中线在面积方面的应用，角平分线性质定理、中垂线性质定理的运用。
知识要点
1. 角平分线性质定理
2. 中垂线性质定理
3. 三角形中的三条角平分线
4. 三角形中的三条中线
5. 三角形中的三条高线
6. 三角形中三边上的中垂线
【典型例题】
例1. 如图，△ABC的两条角平分线AD，CE相交于P，PM⊥BC于M，PN⊥AB于N，则PN＝PM，请说明理由。
解：过P作PF⊥AC，垂足为F
∵AD平分∠BAC，PN⊥AB，PF⊥AC
∴PN＝PF （为什么）
∵CE平分∠ACB，PM⊥BC，PF⊥AC
∴PM＝PF
∴PM＝PN （为什么）
例2. 如图，BP、CP分别为△ABC的两个外角的平分线，则点P到△ABC三边的距离相等吗？若相等，请说明理由。
解析：略
例3. 已知△ABC，要把它分成面积相等的6块，且只能画三条线，应怎样分？并说明分法的正确性。
解：分法：分别画△ABC的三条中线AD、BE、CF，交于P点，所分得的6块面积相等。
理由：∵AD为中线
∴BD＝CD
∴S△PBD＝S△PCD
设S△PBD＝S△PCD＝a
同理：可设S△PCE＝S△PEA＝b；S△PAF＝S△PBF＝c
∵AD为△ABC的中线
∴S△ABD＝S△ACD
即a+2c＝a+2b
∴c＝b
同理可得a＝b
∴a＝b＝c
∴△ABC三条中线分得的6块三角形面积相等。
例4. △ABC的三条中线交于P点，点P把每条中线分成的两条线段的长度之比为多少 请说明理由。
解：先说明6个小三角形面积相等（方法同例3）
下接： ∴S△ABP＝2S△DBP
　　　　 ∵高相同
∴PA＝2PD
同理：CP＝2PF
BP＝2PE
∴点P把每条中线分成的两条线段的长度之比为 2：1
例5. 如图△ABC中，∠A＝，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于A2，依次类推， ∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于A5 ，则∠A5的度数为多少 再画下去……，∠An的大小呢
解：∵∠ACD为△ABC的外角
∴∠ACD＝∠ABC+∠A
即 ∠ACD－∠ABC＝∠A
∵∠A1CD为△A1BC的外角
∴∠A1CD－∠A1BC＝∠A1
∵BA1，A1C分别平分∠ABC，∠ACD
∴∠ A1CD＝∠ACD，∠A1BC＝∠ABC
∴（∠ACD－∠ABC）＝∠A1
即∠A1＝∠A
同理：∠A2＝∠A1＝∠A
∠A3＝∠A2＝∠A
∠A4＝∠A3＝∠A
∠A5＝∠A4＝∠A
∠A5＝∠A＝
∠An＝∠A＝
例6. 如图，已知AC，BD相交于点O，BE，CE分别平分∠ABD，∠ACD，且交于E，则∠E＝（∠A+∠D），请说明理由。
解：∵∠5为△CDN与△BEN的外角
∴∠5＝∠4+∠D＝∠2+∠E
即：∠4+∠D＝∠2+∠E …（1）
∵∠6为△AMB和△CME的外角
∴∠6＝∠1+∠A＝∠3+∠E
即∠1+∠A＝∠3+∠E …（2）
（1）式+（2）式得
∠1+∠4+∠A+∠D＝∠2+∠3+2∠E
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4
∴∠A+∠D＝2∠E
∴∠E＝（∠A+∠D）
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一、填空题
1. RtΔABC中，∠C＝90°，其中∠A，∠B的平分线的交点为E，则∠AEB＝ 度。
2. 如图，D为△ABC的BC边上一点，BD：DC＝3：2，△ABC的面积为45，则△ABD的面积为 。
3. 如图，△ABC中,BC＝16cm,AB,AC边上的中垂线分别交BC于E,F,则△AEF的周长是
cm．
4. 如图，△ABC三条中线AD、BE、CF交于点O，S△ABC＝12,则S△ABD＝ ，S△AOF＝ 。
5. 一个三角形三边之比为3：4：5，则这个三角形三边上的高线之比为 。
二、选择题
1. 下列叙述正确的个数是（ ）
⑴三角形的中线，角平分线都是射线；⑵三角形的中线，角平分线都在三角形内部；
⑶三角形的中线就是一边中点的线段；⑷三角形三条角平分线交于一点；
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2. 如图，△ABC中，D，E分别为BC边上的两点，且BD＝DE＝EC，则图中面积相同的三角形有几对（ ）
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
3. 直角三角形的两锐角的角平分线的夹角的度数是（ ）
A. 45° B. 135° C. 45°或135° D. 以上都不对
4. 已知△ABC的外角∠CBE，∠BCF的角平分线BP，CP交于P点，则∠BPC是（ ）
A. 钝角 B. 锐角 C. 直角 D. 无法确定
5. 如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CD平分∠ACB交AB于D，∠ADC＝150°，则∠B为（ ）
A. 120° B. 130° C. 140° D. 150°
6. 如图，S△ABC＝1，若S△BDE＝S△DEC ＝S△ACE，则S△ADE＝（ ）
A. 1/5 B. 1/6 C. 1/7 D. 1/8
三、解答题
1. 在四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，已知四边形ABCD的面积为1，求四边形DEBF的面积。
2. ∠A＝70°求∠ABD，∠BFC的度数。
3. 如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BD平分∠CBA，DE⊥AB于E，请说明AD+DE＝BE成立的理由。
4. 如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE与CF交于点G，若∠BDC＝140°, ∠BGC＝，∠A的度数是多少？
【试题答案】
一、1. 135 2. 27 3. 16 4. 6；2 5. 20：15：12
二、1. C 2. C 3. C 4. B 5. C 6. B
三、1. 提示：连接BD
2. ；
3. 解：∵∠C＝90°，DE⊥AB
BD平分∠CBA
∴DC＝DE（角平分线性质定理）
∠CBD＝∠EBD
∠C＝∠DEB＝90°
∴AD+DE＝AC
在△BCD和△BED中
∠C＝∠DEB
∠CBD＝∠EBD
BD＝BD
∴△BCD≌△BED（AAS）
∴BC＝BE
∵AC＝BC
∴AC＝BE
∴AD+DE＝BE
4. 提示：连接BC ，∠A＝80°