2.3.2等腰三角形的性质定理 课件（共19张PPT）

(共19张PPT)
2.3.2等腰三角形的性质定理
浙教版
八年级上
新知导入
在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，交BC于D.
(1)等腰三角形ABC的对称轴是什么？
D
A
B
C
(2)找出图中的全等三角形以及所有相等的线段和相等的角.
△ABD≌△ACD
相等的线段：
AB=AC，BD=CD
相等的角：
∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，
∠ADB=∠ADC=
90°.
(3)你有什么发现？还能得出等腰三角形的哪
些性质？
合作学习
直线AD
知识讲解
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线
和底边上的高互相重合.
简称“等腰三角形三线合一”
等腰三角形的性质定理2
探究归纳
A
D
C
B
(1)∵AB=AC，∠1=∠2，
∴AD⊥BC，BD=CD
(2)∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
BD=CD
(3)∵AB=AC，BD=CD，
∴∠BAD=∠CAD
，AD⊥CD
等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和高线互相重合(三线合一).
等腰三角形三线合一性质应用的几何语言，如图所示，在△ABC中
A
D
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
1
2
例题讲解
例1
已知：如图，AD平分∠BAC，∠ADB=∠ADC
求证：AD⊥BC
A
B
C
D
E
证明：如图，延长AD，交BC于点E，
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠
CAD(角平分线的定义)
而AD=
AD,
∠ADB=
∠ADC(已知)
∴△ABD≌△ACD(ASA)
∴AB=AC(全等三角形的对应角相等)
∴△ABC是等腰三角形(等腰三角形的定义)
∵
AE是等腰三角形ABC顶角的平分线
∴AE⊥BC(等腰三角形三线合一)
∴AD
⊥
BC
当堂练习
已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点.
求证：△MDE是等腰三角形.
分析：要证△MDE是等腰三角形，只需
证MD=ME
.连结CM，可利用
△BMD≌△CME得到结果
.
B
M
A
C
D
E
证明：连结CM
∵∠C=90°，BC=AC∴∠A=∠B=45°
∵M是AB的中点
∴CM平分∠BCA
(等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线
重合)
∴∠MCE=∠MCB=
∠BCA=45°
∴∠B=∠MCE=∠MCB
∴CM=MB
(等角对等边)
在△BDM和△CEM中
∴△BDM≌△CEM
(SAS)
∴MD=ME
∴△MDE是等腰三角形
BD=CE
∠B=∠MCE
BM=CM
B
M
A
C
D
E
例2
已知，线段a、h(如图)
.
用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC=
a，BC边上的高线长为h
.
h
a
作法：
1、作线段BC=a；
2、作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D；
3、在直线
l
上截取DA=h，联结AB、AC
.
△ABC就是所求作的等腰三角形
.
A
C
D
B
例题讲解
作一个等腰三角形，使它的底边长为2.1
cm，顶角的平分线长为2.4
cm.
解：如图
(1)作线段BC＝2.1
cm.
(2)作线段BC的垂直平分线DE交BC于D.
(3)在射线DE上截取DA＝2.4
cm.
(4)连结AB，AC，则△ABC就是所求作的等
腰三角形．
E
A
C
D
B
当堂练习
课堂小结
从边看：
从角看：
从重要线段看：
从对称性看：
等腰三角形的性质：
等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和高线互相重合
(三线合一).
等腰三角形是轴对称图形
两腰相等
两底角相等
等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和高线重合.
A
C
B
C
课堂练习
1、如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，若∠BAD
＝35°，则∠C的度数为(
)
A.
35°
B.
45°
C.
55°
D.
60°
C
2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，点E在
AD上，那么下列结论不一定正确的是(
)
A.
AD⊥BC
B.
∠EBC＝∠ECB
C.
∠ABE＝∠ACE
D.
AE＝BE
D
第1题图
第2题图
A
D
B
C
A
C
D
B
E
课堂练习
3、如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E
为
CD的中点，若∠CAE＝16°，则∠B＝_______．
37°　
4、在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，
点D在BC边上，
连结AD，若△ABD为直角三角形，则
∠ADC的度数为
____________．
130°或90°　
A
B
D
E
C
课堂练习
(4)如图，直线m∥n，△ABC为等腰三角形，∠BAC＝90°，则
∠1＝
．
第(4)题
解析：∵△ABC为等腰三角形，
∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°.
∵直线m∥n，
∴∠1＝∠ABC＝45°.
45°
A
m
C
B
1
n
课堂练习
5、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，
∠B=30°，求∠1和∠ADC的度数.
因为等腰三角形的“三线合一”，所以AD是△ABC的顶角平分线、底边上的高，即
∠1=∠2，
∠ADC=90°
因为∠BAC=180°-
30°-
30°=
120°
所以
∠1=
2
∠BAC
=
120°
2
=60°.
答:
∠1为60°，
∠ADC为90°.
A
D
C
B
30°
1
2
课堂练习
6、已知：如图，AC=AD，BC=BD，AB与CD相交于O点，
求证：AB⊥CD
B
C
D
O
A
证明：
∵在△ABC和△ABD中
AC=AD
(已知)
BC=BD
(已知)
AB=AB
(公共边)
∴△
ABC≌
△ABD
(SSS)
∴∠CAB=∠DAB
(全等三角形对应角相等)
又∵AC=AD
∴
△ADC为等腰三角形
(等腰三角形的定义)
∴AO是△ABO的顶角平分线
∴AO⊥CD
(等腰三角形三线合一)
∴AB⊥CD
作业布置
作业本
课本作业题3.4.5
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