2.4等腰三角形的性质定理 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
2.4等腰三角形判定定理
浙教版
八年级上
新知导入
请在纸上任意画线段BC，分别以点B和点C为顶点，以BC为一边，在BC的同侧画两个相等的角，两角的终边相交于点A.
请同学们观察并思考:
线段AB与AC相等吗?
从中你发现了什么规律呢?
B
C
A
合作学习
AB=AC
如果一个三角形中有两个角相等，那么它们所对的边相等，即这个三角形是等腰三角形.
知识讲解
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.
简单地说，在同一个三角形中，等角对等边.
已知
在△ABC中，
∵∠B=∠C
(
)
∴
AC=AB.
(在一个三角形中，等角对等边)
即△ABC为等腰三角形
用符号语言表示为：
这又是一个判定两条线段相等根据之一.
B
C
A
等腰三角形的判定方法:
探究归纳
问：如图，下列推理正确吗?
A
B
C
D
2
1
∵∠1=∠2
∴
BD=DC
(等角对等边)
∵∠1=∠2
∴
DC=BC
A
B
C
D
2
1
(等角对等边)
错，因为都不是在同一个三角形中.
例题讲解
B
例1：一次数学实践活动的内容是测量河宽.
如图，即测量A，B之间的距离.
同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是:
从点A出发，沿着与直线AB成60°角的AC方向前进至C，在C处测得∠C=30°.
量出AC的长，它就是河的宽度(即A，B之间的距离).这个方法正确吗?
请说明理由.
∵∠DAC=∠B+∠C（三角形外角的性质）
∴
∠B=∠DAC－∠C=60°－
30°=
30°
解：
小聪的测量方法正确，理由如下：
∴
∠B=
∠C
∴
AB=
AC
当堂练习
解：∵∠NBC=∠A+∠C
∴∠C=∠NBC－∠A=
52°－26°=
26°
∴∠C=
∠A
∴
BA=BC(在一个三角形中，等角对等边)
∵AB=15×1.75=26.25
∴BC=26.25
答：B处到达灯塔C的距离是26.25海里.
上午8
时，一条船从A处出发以15海里每小时的速度向正北航行，9时45分到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=26°，
∠NBC=52°.求从B处到灯塔C的距离.
N
B
A
C
52°
26°
北
一个三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？
与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.
A
C
B
60°
A
C
B
60°
A
C
B
60°
你认为有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？
你能证明你的结论吗？
一个等腰三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？
合作探究
猜想：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
证明：∵AB=AC，∠B=60°(已知)，
∴∠C=∠B=60°.(等边对等角).
∴∠A=60°
(三角形内角和定理).
∴∠A=∠B(等式性质).
∴
AC=CB(等角对等边).
∴AB=BC=AC(等式性质).
∴
△ABC是等边三角形(等边三角形定义).
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°.
求证:
△ABC是等边三角形.
A
C
B
60°
合作探究
定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
几何语言：
在△ABC中，
∵AB=AC，∠B=60
°(已知).
∴△ABC是等边三角形(有一个角是60
°
的等腰三角形是等边三角形).
这又是一个判定等边三角形的根据之一.
A
C
B
60°
问:三个角都相等的三角形是等边三角形吗?
知识讲解
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.
证明：∵∠A=∠B
(已知)，
∴
BC=AC
(等角对等边).
又∵∠B=∠C(已知)，
∴
AB=AC
(等角对等边).
∴AB=BC=AC(等式性质).
∴
△ABC是等边三角形(等边三角形定义).
已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C.
求证：△ABC是等边三角形.
A
C
B
几何语言：在△ABC中，
∵∠A=∠B=∠C(已知)，
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).
A
C
B
60°
60°
60°
知识讲解
例2：已知：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.
求证:
△ADE是等边三角形.
证明:
∵△ABC等边三角形(已知)，
∴
∠A＝∠B=∠
C
＝600(已知)，
又∵
DE∥BC(已知)，
∴∠1=∠B=60°，∠2=∠C=60°
(两直线平行，同位角相等).
∴
∠A
=∠1=∠2(等量代换).
∴
△ADE是等边三角形
(三个角相等的三角形是等边三角形).
B
E
C
D
A
1
2
例题讲解
探究活动
在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成等腰三角形！
A
C
B
50°
110°
20°
小小设计家:
探究活动
1、对∠A进行讨论
2、对∠B进行讨论
3、对∠C进行讨论
C
A
B
A
C
B
20°
20°
20°
20°
C
A
B
50°
50°
C
A
B
80°
80°
20°
C
A
B
65°
65°
50°
C
A
B
35°
35°
110°
(分类讨论)
小小设计家:
课堂小结
等腰三角形的判定定理:
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形就是等腰三角形(可以简单说成“在同一个三角形中，等角对等边”
)
等边三角形的判定定理:
定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.
课堂练习
(1)
在△ABC中，不能判定是等腰三角形的是(
)
A.
∠A:∠B:∠C＝1:1:3
B.
a:b:c＝2:2:3
C.
∠B＝50°，∠C＝80°
D.
2∠A＝∠B＋∠C
D
(2)
如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB＝3，AD＝1，则△AED的周长为(
)
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
C
【点拨】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.
∵ED∥BC，∴∠CBD＝∠BDE.
∴∠ABD＝∠BDE，∴BE＝DE，
∴△AED的周长＝AE＋DE＋AD＝AE＋BE＋AD＝AB＋AD＝3＋1＝4.
1.
选择
A
D
E
B
C
课堂练习
(2)
下列三角形：
①有两个角等于60°的三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角(每个顶点处各取一个外角)
都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有____________．(填序号)
(3)
在△ABC中，∠A＝30°，当∠B＝_________________时，
△ABC是等腰三角形．
30°或75°或120°
①②③④
如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠1=_____，∠2=_____，图中的等腰三角形有
__________________________.
36°
72°
△ABC
△DBA
△BCD
2.
填空
A
B
C
1
2
D
课堂练习
3.
在△ABC中，已知∠A=50°，∠B=65°，判断△ABC是什么三角形，为什么?
解：△ABC是等腰三角形.
因为∠B=65°，∠A=50°，
所以∠C=180°-
∠B
-
∠A
=180°-
65°-
50°
=
65°，
所以∠B
=∠C=65°.
所以
△ABC是等腰三角形.（等角对等边）
课堂练习
解：∵
DE∥BC
∴∠1=∠B，∠2=∠C
(两直线平行，同位角相等)
∵∠1=
∠2
∴∠B=
∠C
∴
AB=AC(在同一个三角形中，等角对等边)
∴△ABC是等腰三角形.
4.
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，∠1=
∠2.
说明△ABC的等腰三角形的理由.
A
B
D
C
E
1
2
课堂练习
5.
如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，OD＝OC，那么请你判断阴影部分图形的形状，并说明理由．
解：等腰三角形．
理由如下：
∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C＝∠D＝90°.
又∵OC＝OD，∠COA＝DOB
(对顶角相等），
∴△AOC≌△BOD（ASA）.
∴OB＝OA(等角对等边)．
∴阴影部分图形的形状是等腰三角形．
D
B
O
C
A
6.
已知：如图，△ABC是等边三角形，过它的三个顶点分别作对边的平行线，得到一个新的△DEF，△DEF是等边三角形吗?你还能找到其它的等边三角形吗?
请证明你的结论.
答：(1)△DEF是等边三角形；
(2)△ABE，△ACF，△BCD也是等边三角形.
证明(1)：∵△ABC是等边三角形(已知)，
∴∠1＝∠2=∠3＝60°
(等边三角形的三个角都相等并且每个角都等于60°
).
又∵EF∥BC，DE∥AC(已知)，
∴∠4＝∠2＝60°，∠5＝∠1＝60°(两直线平行，内错角相等).
∴∠E＝60°(三角形内角和定理).
同理，∠D=60°，∠F＝60°.
∴
∠D＝∠E=∠F＝60°(等量代换).
∴
△DEF是等边三角形(三个角相等的三角形是等边三角形).
(2)证明略
B
E
C
D
A
F
4
2
1
3
5
作业布置
作业本
课本作业题3.4.5
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