第四章 命题与证明

命题与证明
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【知识回顾】
1、对某一件事作出 的句子叫做命题； 叫做真命题， 叫做假命题。
2、要说明一个命题是假命题，常用的方法是举出一个 .
要说明一个命题是真命题，常用 方法。
【典型例题】
例1 下列语句中哪些是命题？如果是命题的话，哪些是真命题？哪些是假命题？
每单位面积所受到的压力叫做压强；_____________（2）如果a是实数，那么a2+1〉0；___________
两个无理数的乘积一定是无理数； _____________（4）偶数一定是合数吗？_______________
连接AB； __________________ （6）不相等的两个角不可能是对顶角___________________
练习：下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题 哪些是真命题？哪些是假命题？
(1)若a(3)在ΔABC中，若AB>AC，则∠C>∠B吗 　______________　(4)两点之间线段最短；________________
(5)解方程；__________________ （6)1＋2≠3．__________________
例2 、下列把命题改写成“如果……，那么……”的形式。并判断下列命题的真假.
（1）不相等的角不可能是对顶角. _______________________________________________
（2）垂直于同一条直线的两直线平行_______________________________________________
（3）两个无理数的乘积一定是无理数. _____________________________________________
练习： 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：
三条边对应相等的两个三角形全等；_______________________________________________
在同一个三角形中，等角对等边；_______________________________________________
对顶角相等； 　_________________________________________________________ 　
同角的余角相等； _________________________________________________________
三角形的内角和等于180°； __________________________________________________________ 　
角平分线上的点到角的两边距离相等．_______________________________________________
例3、如图，BI，CI分别是△ABC中∠ABC, ∠ACB的平分线.
求证：
例4、如图，O是△ABC的∠ABC与∠ACB的平分线的交点，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E.若AB=10cm，AC=8cm，求△ADE的周长。
例5、 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE于F，过B作BD⊥BC，交CF的延长线于点D.
求证：AE=CD
例6、如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点。 ①AD平分∠BAC；②DE⊥AB，DF⊥AC；③AD⊥EF，以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：
命题一：①②③； 命题二：①③②； 命题三：②③①。
（1）上述三个命题正确的是 。（2）请证明你认为正确的命题。
例7、证明：等腰三角形两底角的平分线相等。
【反馈练习】
1、在△ABC和△ADC中，下列论断：①AB＝AD；②∠BAC＝∠DAC；③BC＝DC，把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：___________________．
2、已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：
①AE＝CF ②△EPF是等腰直角三角形
③2S四边形AEPF＝S△ABC ④EF＝AP，
当∠EPF在ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有 个
3、如图，点是等边内一点，．
将绕点按顺时针方向旋转得，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形？
【拓展提高】1、在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝900，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点。图①，②，是旋转三角板得到的图形中的3种情况。
（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图②加以证明。
（2）三角板绕点P旋转，是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由。
2.把两个全等的等腰直角三角板ABC与EFG（其直角边长都为4）叠放在一起，（如图①）且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合。现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角α满足0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两个三角板的重叠部分（如图②）
（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论。
（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH=x, △GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC的面积的？
若存在，求出此时x。
A
E
B
D
C
F
A
B
C
D
O
③
②
①