四边形的折叠问题

四边形的折叠问题
学习重点：
1、掌握折叠的规律，即折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等。
2．轴对称知识点是解折叠问题的基本原理。
3．解折叠问题的关键是抓住折痕的性质：折痕即对称轴，被覆盖部分与折起部分关于折痕成轴对称图形。利用不变量是解决折叠问题的关键，在折叠过程中，折痕两边能重叠的图形全等，对应线段的长度、对应角的度数保持不变，对应点连线被折痕垂直平分。解题时，需要把动手操作、合情合理猜想、分析推理和计算密切结合起来。
二、探究折叠规律：
1．将△ABC折叠成如图所示，则折出两条定理的猜想，
这两条定理是：
① ；② 。
2．若第1题中△ABC的面积为24，BC=8，则所折出的矩形边长分别为 和 。
问：图形的折叠问题中有什么特点？
3.在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别落在x轴，y轴上，且OA=4，0C=3。
问题一：如图①，将△OAB沿对角线OB翻折得到△OBN，ON与AB交于点M。
（1）试判断△OBM是什么三角形；（2）试求出点M的坐标。
问题二：现有一个动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿OA向终点A运动，连接PB，将△PAB沿PB翻折，得△PDB；设动点P运动的时间为t(s)。
如图②，当t为何值时，点D落在对角线OB上；
三、典例剖析：
例1．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.
例2．已知：矩形纸片中，厘米，厘米，
点在上，且厘米，点是边上一动点．按如下操作：
步骤一，折叠纸片，使点与点重合，展开纸片得折痕（如图1所示）；
步骤二，过点作，交所在的直线于点，连接（如图2所示）
（1）无论点在边上任何位置，都有_________（填“”、“”、“”号）；
（2）如图3所示，将纸片放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：
①当点在点时，与交于点点的坐标是（_______，_________）；
②当厘米时，与交于点点的坐标是（_______，_________）；
③当厘米时，在图3中画出（不要求写画法），并求出与的交点的坐标；
【强化训练】
1．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A’，D’处，则整个阴影部分图形的周长为（ ）
A．18cm B．36cm C．40cm D．72cm
2．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD>CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为 ．
3．如图，矩形A'B'C'D'沿EF折叠，使B'点落在A'D'边上的B处，沿BG折叠，使D'点落在D处且BD过F点．(1) 求证：四边形BEFG是平行四边形；(2) 连结B'B，判断△B'BG的形状，并写出判断过程。
4．如图,矩形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD的E点上,BG=10.
(1)当折痕的另一端F在AB边上时,如图(1).求△EFG的面积.
(2)当折痕的另一端F在AD边上时,如图(2).证明四边形BGEF为菱形,并求出折痕GF的长.
A
B
C
D
E
F
A′
B′
A
P
B
C
M
D
(P)E
B
C
图1
0(A)
B
C
D
E
6
12
18
24
x
y
6
12
18
图3
A
N
P
B
C
M
D
E
Q
T
图2
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
①
②
A
B
C
D
E
G
M
N
③