2.1 等腰三角形
一、复习引入
1．画一个等腰三角形，标出字母， 的三角形是等腰三角形
用数学符号表示为：
2．日常生活中，哪些物体具有等腰三角形的形象
二、新课
1．认识△ABC的腰、底边、顶角、底角。
2.如图,点D在AC上,AB=AC,AD=BD。
你能在图中找到几个等腰三角形？
说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角。
等腰三角形 腰 底边 顶角
3. 如图，五角星中有 个等腰三角形。
4. 已知线段a，b（如图）用直尺和圆规做等腰三角形ABC，使AB=AC=b，BC=a。
5.在上图的基础上，画出它的顶角平分线AD，
6.然后沿着AD所在的直线把△ABC对折，你发现了什么？请你尽可能多的写出结论。
结论：
三、例题精讲
例1、如图3，在△ABC中，AB＝AC,D，
E分别是AB，AC上的点，
且AD=AE，AP是△ABC的角平分线，
(1)点D，E关于AP对称吗？DE与BC平行吗？请说明理由。
(2) 分别在AD、CE上任取一点F、H，请你任意选择其中的一点, 作出它关于AP的对称点。
例2、在平面内,分别用3根、５根、６根火柴首尾顺次相接搭三角形，多少根火柴棒能搭成等腰三角形 等边三角形呢？
火柴数 3 5 6 7 8 9 …
示意图
形状
你发现了什么规律
练习：1、已知等腰三角形的两边分别是4和6，则它的周长是（ ）
（A）14 （B）15 （C）16 （D）14或16
2、等腰三角形的周长是30，一边长是12，则另两边长是______________
拓展练习：
如图,AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,E、F是AB上的点,
请作出点E\F关于AD的对称点.
请在AD上找一点P,使PE+PF的值最小.
2、如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC,腰AC的中垂线EF交BC于E，交AC于F，已知△ABC的周长为11，AC=4，则△ABE的周长是 ；
3、有一个等腰三角形，三边分别是3x-2,4x-3,6-2x,求等腰三角形的周长。
基础训练：1、填空题：
（1）等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是 。
（2）如果等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是 ；如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是 。
（3）等腰三角形的对称轴最多有 条。
2、选择题：
（1）如果△ABC是等腰三角形，那么它的边长（或周长）可以是（ ）
A、三条边长分别是5，5，11 B、三条边长分别是4，4，8
C、周长为14，其中两边长分别是4，5 D、周长为24，其中两边长分别是6，12
（2）等腰三角形一边长为2，周长为5，那么它的腰长为（ ）
A、3 B、2 C、1.5 D、2或1.5
3、已知等腰三角形的腰长是底边的3倍，周长为35cm，求等腰三角形各边的长。
4、已知：如图，AD平分∠BAC，AB=AC，请你说明△DBC是等腰三角形。
5、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组 的解，
求这个三角形的各边长。
6、等腰三角形一腰上的中线把它的周长分成5和11,求等腰三角形的底边长.
火眼金睛：有一道题是这样的：一个五边形有五个角，剪去一个角后，还剩下几个角？
小明认为五个角剪去一个角后当然就剩下四个角了。你认为小明讲得对吗？
a
b
A
B
C
D
E
P
F
B
C
E
A
●
D
●
F
C
A
B
E
A
B
C
D
x+2y=4
3x+y=7
{2.5 直角三角形（1）
一、新课教学：
1.直角三角形的概念： 。
直角三角形表示方法： ；直角表示方法： 。
斜边： 直角边： 。
2.合作学习：
（1）直角三角形的内角有什么特点？ 为什么？
（2）怎样判定一个三角形是直角三角形？ 为什么？
练习：
1）Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠B=28°，则∠A=_ _.
2）在△ABC中，∠A=90°， ∠B=3∠C，则∠B= ，∠C= 。
3） 若∠C =∠A+∠B, 则△ABC是______三角形.
4) 若∠A－∠B=∠C，则△ABC是______三角形
二、例题教学：
如图，AD是Rt⊿ABC斜边上的高.请找出图中各对互余的角.
思考:图中与∠C相等的角是 ;与∠B相等的角是 .
请观察△ABC,这个三角形有什么特点
小结：（1） 叫做等腰直角三角形。
（2）思考：等腰直角三角形的两个底角各是多少度呢？
例2 如图，在等腰直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的高，则AD＝BD＝CD.请说明理由。
.
等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形,斜边上的高把它分成两个等腰直角三角形 .
思考：当DE⊥AC于E,则图中等腰直角三角形的个数是（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
变式练习：
（1）已知，如例2图，AD＝BD＝CD，AD是斜边BC上的高，则AB＝AC.请说明理由.
（2）已知，如例2图，AD＝BD＝CD，∠B＝45°，则⊿ABC是等腰直角三角形.请说明理由.
课堂练习：1、△ABC中，D是AB上一点，若∠1=∠B，∠A=∠2，则△ABC是Rt△，请说明理由。
2、如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AB的中垂线ED交BC于点D，且∠ CAD: ∠CAB=1:5，求∠ B的度数
3、在Rt△ABC中，∠A=90 ，AD⊥BC,D为垂足，∠ABC的平分线交AD、AC于E、F。说明AE=AF成立的理由。
4、如图，已知△ABC中，点Ａ在ＤＥ上，ＣＤ⊥ＤＥ，ＢＥ⊥ＤＥ，垂足分别是Ｄ，Ｅ．且ＡＤ＝ＢＥ，ＣＤ＝ＡＥ， △ABC是等腰直角三角形吗？说明理由．
5、如图，在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点， 两边分别交AB,AC于点E,F，则PE和PF相等吗？请说明理由。
6、如图的七巧板结构图中如果大正方形的边长为4cm，请求出最小一块直角三角形的面积。
五、作业：
基础训练：1、填空题：
（1）在△ABC中，若∠A=∠B+∠C，则△ABC是 。
（2）在△ABC中，∠C=90°，∠A =2∠B，则∠A= ，∠B= 。
（3）在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则△ABC是 三角形。
（4）直角三角形两锐角之差是12度，则较大的一个锐角是 度。
2、选择题：
（1）如果三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形是（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、以上都错
（2）如果三角形的三个内角的比是3∶4∶7，那么这个三角形是（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、锐角三角形或钝角三角形
（3）△ABC中，如果两条直角边分别为3，4，则斜边上的高线是（ ）
A、 B、 C、5 D、不能确定
（4）如图，△ABC中，∠ACB=Rt∠，在AB上截取AE=AC，
BD=BC，则∠DCE等于（ ）
A、45° B、60° C、50° D、65°
3、求直角三角形两锐角平分线所夹的锐角的度数。
4、已知等腰三角形一腰上的高与底边成45°角，若腰长为2cm，求它的面积。
2.5 直角三角形（2）
1、学生实验：每个学生任意画一个直角三角形，并画出斜边上的中线，然后利用圆规比较中线与斜边的一半的长短。提问：让学生猜测直角三角形斜边上的中线与斜边一半的大小关系。
文字描述：
数学语言描述：
2、课堂练习
(1)直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为﹍﹍﹍﹍。
（2）已知，在Rt△ABC中，BD为斜边AC上的中线，若∠A=35°，那么∠DBC=﹍﹍﹍﹍。
3、直角三角形性质应用举例
例1、如图，△ABC和△ABD中，∠ACB=∠ADB=Rt∠，E是AB边上的中线。请你说明CE=DE的理由。
归纳：直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半。
例2、 如图2-18，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜边，从A滑行至B。已知AB=200m，问这名滑雪运动员的高度下降了多少m？
归纳：在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半
例3、如图是人字屋架设计图，其中AB=AC=5米，D是AB的中点，AE⊥BC。如果∠BAC=120゜, 求AE和DE的长度。
例4、如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，且CD=AB. △ABC是直角三角形吗？
基础训练：1、填空题：
（1）等腰三角形的底角为15度，腰长为2a，则三角形的面积为 。
（2）已知：如图，∠BAC=90°，∠C=30°，
AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，BE=1，BC= 。
（3）在△ABC中，如果∠A+∠B=∠C，且AC=AB，
则∠B= 。
2、选择题：
（1）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，
CD⊥AB于D，∠A=30°，则AD等于（ ）
A、4BD B、3BD C、2BD D、BD
（2）已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（ ）
A、15°或75° B、15° C、75° D、150°或30°
（3）如图，EA⊥AB，BC⊥AB，AB=AE=2BC，D为AB的中点，
有以下判断：①DE=AC；②DE⊥AC；③∠CAB=30°；
④∠EAF=∠ADE；其中正确结论的个数是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
3、在一个直角三角形中，如果有一个锐角为30度，且斜边与较小直角边的和为18cm，求斜边的长。
4、已知：如图，BD，CE交于O，OA平分∠BOC，△ABD的面积和△ACE的面积相等。请你说明BD=CE的理由。
B
C
A
C
B
D
A
2
1
C
B
A
E
D
Ｅ
Ｂ
A
D
C
A
B
C
P
F
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
30°
A
B
C
A
B
C
D
E
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
O2.7 直角三角形全等的判定
复习引入
三角形全等的判定定理有哪些
如图，具有下列条件的Rt△ABC和RtABC是否全等：
直角三角形全等的判定方法： 。
简写： 。
书写格式：
二、应用新知，巩固概念
1、判断下列命题的真假,并说明理由:
（1）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
（2）斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
（3）两直角边对应相等的两个直角三角形全等;
（4）一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.
2、如图，∠B=∠E=Rt∠，AB=AE，∠1=∠2，则∠3=∠4 ，请说明理由。
3、如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC，则△ABP≌△PDC，请说明理由。
4、如图，∠ABD=∠ACD=90°，∠1=∠2，则AD平分∠BAC，请说明理由。
5、已知:如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AC，DF⊥AB,垂足分别为E,F,
且DE=DF求证: △ABC是等腰三角形.
例：已知：P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE ⊥OB，D，E分别是垂足，
且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上，请说明理由。
小结：角平分线的又一个性质：（判定一个点是否在一个角的平分线上的方法）
角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
基础训练：1、填空题：
（1）如图1，已知AB⊥AC，AC⊥CD，垂足分别是A，C，AD=BC。由此可判定全等的两个三角形是△ 和△ 。
（2）如图2，已知BD⊥AE于B，C是BD上一点，且BC=BE，要使Rt△ABC≌Rt△DBE，应补充的条件是∠A=∠D或 或 或 。
（3）如图3，在△ABC中，AD⊥BC于D，AD与BE相交于H，且BH=AC，DH=DC，那么∠ABC= 度。
（4）如图4，点P是∠BAC内一点，且P到AC，AB的距离PE=PF，则△PEA≌△PFA的理由是 。
2、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A、一条直角边和一个锐角分别相等 B、两条直角边对应相等
C、斜边和一条直角边对应相等 D、斜边和一个锐角对应相等
3、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BD，AE⊥CE，且AD=AE，BD和CE交于点O，请说明OB=OC的理由。
4、如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上一点，∠1=∠2，AE=BC。
请你说明∠DEC=90°的理由。
5、如图，AD=BC，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE=BF。请你说明（1）∠DAE=∠BCF；（2）AB∥CD成立的理由。
拓展思考：
如图，A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD。请回答下列问题：（1）BD平分EF；（2）若将DEC的边EC沿AC方向移动变为图2时其余条件不变，上述结论是否成立，请说明理由。
A
B
C
D
E
图2
A
B
C
D
E
H
图3
A
B
C
E
F
P
图4
A
B
C
D
O
图1
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
1
2
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
E
F
G2.3 等腰三角形的判定
（一）复习提问
1、什么是等腰三角形？它有哪些性质？
2、根据等腰三角形的定义，如果一个三角形的两条边相等，那么就可判定这个三角形是等腰三角形。除此外，还有其它判定方法吗？今天我们就要学习等腰三角形的判定。
（二）引入新课
等腰三角形判定定理的证明。
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
已知：ΔABC中，∠B =∠C.
求证：AB = AC.
练习：如图,D是AC上的一点. (1) 若∠A=∠ABD,则_____=______
(2) 若BC=CD,则∠_____=∠______
（三）例题教学
例1某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，他选择河流北岸上一棵树（B点）为目标，然后在这棵树的正南方南岸A点插一小旗作标志，沿南偏西60度方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30度，这时，地质专家测得AC的长度就可知河流宽度AB的长。这个方法正确吗？请说明理由。
说明线段相等的方法:
1、说明线段所在的两个三角形全等。2、说明线段所对的两个角相等。
例2 如图，BD是等腰三角形ABC的底边AC上的高，DE∥BC，交AB于点E.判断ΔBDE是不是等腰三角形，并说明理由。
练习（1）已知：OD平分∠AOB，ED∥OB，求证：EO=ED。
（2）已知：OD平分∠AOB，EO=ED。求证ED∥OB。
（3）已知：ED∥OB，EO=ED。求证：OD平分∠AOB。
例3已知如图，BC=3，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OE∥AB，
OF∥AC，则三角形OEF的周长为 .
例4已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，仿照图①，请你再设计两种不同的分法，将△ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形．
探究活动
（1）已知：如图a，AB=AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作EF∥BC交AB于E,交AC于F,则图中有几个等腰三角形
（2）如图b,AB=AC,BF 平分∠ABC交AC于F，CE平分∠ACB交AB于E，BF和BE交于点D，且EF∥BC，则图中有几个等腰三角形
（3）等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过A作EF∥BC交CD延长线于E,交BD延长线于F,则图中有几个等腰三角形 （自己画图）
（4）如图c,若将第(1)题中的AB=AC去掉,其他条件不变,情况会如何 还可证出哪些线段的和差关系
练习
1、已知AB=AC，D是AB上一点，DE垂直BC于E，ED的延长线交CA的延长线于F，那么三角形ADF是等腰三角形吗？为什么？
2、.已知，等腰三角形AOB中，点C在OA上，点E.D在OB上，且AB=AD,CD平行AB,CE平行AD,问：三角形CDE是否为等腰三角形？为什么？
2.4 等边三角形
复习引入：
1、回顾等腰三角形定义、性质。
2、一般情况下腰与底有何关系？若三边相等又如何？
新课教学：
等边三角形定义：三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形
等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形
合作学习
用直尺和圆规作一个边长是3cm的等边三角形ABC
讨论：(1)在△ABC中，∠A、∠B、∠C存在什么关系？
(2)任选一个角(如∠A),作出它的角平分线,再作出该角所对的边的高线、中线，试问这些线有何特征？
(3)等边三角形有几条对称轴？这些对称轴有何特点
(4)除了定义以外,什么条件下也可以得到等边三角形
(学生分组讨论,教师提示从角、边去考虑)
例题分析：
例1、如图，等边三角形ABC中，三条内角
平分线AD、BE、CF相交于点O。
(1)△AOB,△BOC,△AOC有何关系？并说明理由
(2)求∠AOB，∠BOC，∠AOC的度数，将△ABC
绕点O旋转，问要旋转多少度就能和原来的三角形重合（只要求说出一个旋转度数）？
例2、已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，
且AD=BE=CF。请你说明△DEF是正三角形。
练习:如图，D、E、F分别是等边三角形ABC的边AB、BC、AC上的点，且DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB,则△DEF为等边三角形，请说明理由。
例3、图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
（1）如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；
（2）如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．
基础训练：1、填空题：
（1）等边三角形的三条边都 ，三个内角都 ，且每个内角都等于 。
（2）等边三角形有 条对称轴。
（3）等边三角形的 、 、 互相重合。
（4）如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，如果∠ABE=40°，
那么∠CBD= 度。
如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，
且CE=CD，请说明DB=DE的理由。
4、若a、b、c为△ABC的三边，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，请说明△ABC是等边三角形。
5、已知：如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，
且A，E，D三点在一直线上。请你说明DA-DB=DC。
拓展思考：
1、如图，P是正△ABC内的一点，且PB=6，若将△PBC绕点B旋转到
△P′BA，则∠PBP′的度数是 。PP′＝ 。
2、如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形。
A
B
C
A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E2.2等腰三角形的性质
一．创设情境，自然引入
1. 叫做等腰三角形；等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是 。
二．交流互动，探求新知
1．等腰三角形的性质
合作学习：如图2－5，在等腰三角形ABC中，AB＝AC,AD平分∠BAC，交BC于D，
（1）根据我们已经获得的等腰三角形是轴对称图形，图2-5中等腰三角形ABC的对称轴是什么？将△ABD作关于直线AD的轴对称变换，所得的像是什么？
（2）根据轴对称变换的性质：轴对称变换不改变图形的形状和大小.找出图中的全等三角形，以及所有相等的线段和相等的角.
（3）你有什么发现？能得出等腰三角形的哪些性质？
结论：1、
2、
3．用几何语言表述为：
在△ABC中，如图，∵AB＝AC ∴ （在一个三角形中等边对等角）
在△ABC中，如图
（1）∵AB＝AC ，∠1＝∠2
∴ （等腰三角形三线合一）
（2）∵AB＝AC，BD＝DC
∴
（3）∵AB＝AC，AD⊥BC
∴
4．例题学习
例1 如图2-6,在△ABC中，AB＝AC, ∠A＝50°,求∠B，∠C的度数.
变式练习1:已知：在△ABC中，AB ＝AC，∠B ＝50°， 求∠A 和 ∠C的度数。
变式练习2:已知：等腰三角形的一个内角为 50 °， 求另两个角的度数.
练一练：
1、 如图，在△ABC中，AB＝AC，外角∠ACD＝100°，则∠B＝ 度。
2、 已知等腰三角形的一个底角为30 °，求它的顶角的度数。
3、 等腰三角形的顶角是底角的2倍，求各个内角的度数。
例2 已知线段a，h（如图2-7）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.
三．合作探究，强化能力.
探究1：已知在△ABC中，AB＝AC，直线AE交BC于点D，O是AE上一动点但不与A重合，且OB＝OC，试猜想AE与BC的关系，并说明你的猜想的理由.
猜想：AE⊥BC，BD＝CD
探究2：等腰三角形两底角的平分线大小关系。
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别是两底角的平分线。
猜想：BD＝CE.
解：
变式练习1: 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别是两腰的中线。
猜想：BD＝CE.
变式练习2：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别是两腰的高线。
猜想：BD＝CE.
基础训练：
1、填空题：
（1）等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。
（2）等腰三角形有一个角是120°，那么其他两个角的度数是 和 。
(3)等腰三角形有一个角是50度，则另两个角是___ ___________度.
(4)等腰三角形的底角不可能是___ 角.
（5）△ABC中，∠A=∠B=2∠C，那么∠C= 。
（6）在等腰三角形中，设底角为x°，顶角为y°，则用含x的代数式表示y，得y= ；用含y的代数式表示x，得x= 。
2、选择题：
（1）等腰三角形的一个外角为140°，那么底角等于（ ）
A、40° B、100° C、70° D、40°或70°
（2）等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ）
A、顶角 B、底角 C、顶角的一半 D、底角的一半
（3）在等腰三角形ABC中，∠A与∠B度数之比为5∶2，则∠A的度数是（ ）
A、100° B、75° C、150° D、75°或100°
（4）等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则“①AD⊥BC，②BD=DC，
③∠B=∠C，④∠BAD=∠CAD”中，结论正确的个数是（ ）
A、4 B、3 C、2 D、1
3、如图，已知△ABC中，D在BC上，AB=AD=DC，∠C=20°，求∠BAD。
4、如图，已知△ABC中，点D、E在BC上，
AB=AC，AD=AE。请说明BD=CE的理由。
5、如图，在等腰三角形ABC中AB=AC，D为BC的中点，则点D到AB，AC的距离相等.请说明理由.
拓展思考：
1、如图所示，已知下列两个三角形，思考怎样把每个三角形只剪一次，将它分成两个等腰三角形？试一试，你一定会成功的。
2、已知等腰三角形的一个内角是40°，则它的一条腰上的高与底边的夹角的度数
是 度。
3、如图，点C、E和点B、D、F分别在∠GAH的两边上，
且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=12°，则∠GEF= 度．
4、如图，在△C中，如果，且，∠A44°，那么∠EDF的度数是（ ）
5、三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出几何图形，B、C、E在同一条直线上，连接DC．
（1）请找出图2中全等三角形，并给予证明（说明：结论不得含有未标字母）；
（2）猜想BC与CD之间位置关系，并证明你结论．
100°
A
B C D
A
B
C
D
A
B
C
D
E
A
F
E
D
C
B
100 °
20 °
60 °
120°
20 °
40 °2.6 探索勾股定理（1）
（一）、做一做 通过学生主动合作学习来发现勾股定理。
（1）、让学生尽量准确地作出三个直角三角形，两直角边长分别为3cm和4cm，6cm和8cm，5cm和12cm，并根据测量结果，完成下列表格：
a b c
3 4
6 8
5 12
（2）、猜想：如果a、b为直角三角形的两条直角边长， c为斜边长，那么
用文字表示：
（3）、验证：给定四个全等的直角三角形纸片,假设三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c。你们能用这四个三角形纸片，围出一个正方形吗
将4个这样的直角三角形纸片按下图放置。
1、中间小正方形的边长和面积分别为多少？（用 a,b 表示）
2、大正方形的面积可以看成哪几个图形面积相加得到？
3、据（2）可以写出怎样一个关系式？
（二）用一用
例1、已知△ABC中，∠C=90°，AB=c, BC=a, AC=b,
如果a=2,b=1求c；
如果a=15,c=17求b；
练一练：
1.已知△ABC中, ∠C=Rt∠,BC=a,AC=b,AB=c
若 a= , b= , 求c; (2)若c=34, a:b=8:15, 求a, b.
例2、用刻度尺和圆规作一条线段，使它的长度为cm。
练习：利用作直角三角形，在数轴上表示。
例3、如图，是一个长方形零件，根据所给尺寸（单位：mm），求两孔中心A、B之间的距离。
探究：
1、如图，在△ABC中，AB=AC。已知AB=17，BC=16。
(1)求BC边上的中线AD的长。
(2)求△ABC的面积。
(3)过点B作BE⊥AC，垂足为E，求BE的长。
2、如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=1，∠DAB=30°，∠ABC=60°，四边形ABCD的面积为5，求AD的长。
3、已知直角三角形的两边长为3和4 ，求第三边的长。
2.6 勾股定理的逆定理（2）
复习回顾，导入新课
勾股定理体现了直角三角形的三边关系：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。把这个定理反过来说：如果一个三角形有两边平方和等于第三边的平方，这个三角形一定是直角三角形吗？
大家一起来分组做个实验，第一组的同学在本子上画一个边长为3cm,4cm,5cm的三角形，第二组的同学每人画一个边长为5cm，12cm，13cm的三角形，第三组的同学每人画一个边长为8cm，15cm，17cm的三角形，第四组的同学拿着三角板或量角器分别到一，二，三组来抽查，看看他们画出的三角形大概是什么形状呢？能不能得出一个公认的结论呢？
实验讨论，新课教学
1．归纳结论：
勾股定理的逆定理： 。
例1、根据下列条件，分别判断a,b,c为边的三角形是不是直角三角形
（1）a=7,b=24,c=25; (2) a=,b=1,c=
1、根据下列条件，判断下面以a、b、c 为边的三角形是不是直角三角形
(1) a=5，b=7，c=8
(2)
(3) a=3n，b=4n，c=5n (n是正整数)
(4) a: b: c=5:12:13
(5) a= b=1 c=
例2、如图在△ABC中AB=4,BC=2,BD=1,CD= 判断下列结论是否正确，并说明理由
(1) CD ⊥AB; (2) AC⊥BC
例3、已知的三边分别为a,b,c且a=,b=2mn,c=(m>n,m,n是正整数)，是直角三角形吗？说明理由。
基础训练：1、填空题：
（1）如果三角形中 等于 ，那么这个三角形是直角三角形，
所对的角是直角。
（2）在△ABC中，已知AB=40，BC=41，AC=9，则∠BAC= 度。
2、选择题：
（1）边长分别是下列各组数的三角形中，能组成直角三角形的是（ ）
A、5，10，13． B、5，7，8。 C、7，24，25。 D、8，25，27。
（2）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
b2=a2-c2 B、∠C=∠A-∠B
C、∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 D、a∶b∶c=12∶13∶5
3、根据三角形的三边a，b，c的长，判断三角形是不是直角三角形：
（1）a=11，b=60，c=61； （2）a=，b=1，c=；
4、如图，已知一个四边形的四条边AB，BC，CD和DA的长分别是3，4，13和12，其中∠B=90°，求这个四边形的面积。
变式：若零件的形状及边长如图（2）所示,你还能求面积吗
5、补充练习：
如下图中分别以三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则是直角三角形吗？
a
b
c
A
B
160
90
40
40
A
B
C
D
D
A
C
B
A
B
C
D
图（2）
A
B
C
D
3
12
13
4
A
B
C
a
b
c
S1
S2
S3
A
C
a
b
c
S1
S2
S3
B
A
B
C
a
b
c
S1
S2
S3等腰三角形与直角三角形 姓名
【课前热身】
1．等腰三角形的一个角为50°，那么它的一个底角为______．
2. 在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC＝_____°．
3．在△ABC中，AB＝AC，D为AC边上一点，且BD＝BC＝AD．则∠A等于（ ）
A．30° B．36° C．45° D．72°
（第2题） （第3题） （第4题）
4．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40 的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西10 的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（ ）
A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里
5、在Rt△ABC中，∠C=90°， ①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=________。
6、直角三角形ABC中的斜边c=10,直角边a=6,则斜边上的中线是____________.
7、如果的三边长满足关系式，则
=________，=________，=________，的形状是______________.
8、若直角三角形两直角边长分别为5和12，求其斜边上的高为______________.。
9、若直角三角形的三边分别为x，6，8，求x的值。
10、已知：等边三角形 ABC的边长为6cm，求一边上的高和三角形的面积。
11、等腰三角形ABC的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为多少？
【知识点复习】一．等腰三角形的性质与判定：
1. 等腰三角形的两底角__________；2. 有两个角相等的三角形是_________．
3. 等腰三角形底边上的______，底边上的________，顶角的_______，三线合一；
二．等边三角形的性质与判定：
1. 等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；
2. 三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的_______三角形是等边三角形．
三．直角三角形的性质与判定：
1. 直角三角形两锐角________． 2. 直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________．
3. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的______．；
4. 勾股定理：_________________________________________．
5. 勾股定理的逆定理：_________________________________________________．
【典例精析】
如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分。求这个三角形的腰长及底边长．
例2 、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶到车速检测仪A的正前方30米C处，过了2秒后行驶到B处，此时测得小汽车与车速成检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？
【基础演练】
1．已知等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为____________．度．
2．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为____．
3．如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔
（图中 点Ａ处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是____________．
4．如图，已知在直角三角形中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D．
⑴ 若∠BAC=30°，求证：AD=BD；
⑵ 若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．
5．如图，小明用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为4米，DE为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米）
6、如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上的一点。
（1）求证：△ACE ≌△BCD （2）求证：
7、如图，ADBC中，∠A=∠B=90度，E是AB上一点，且AE=BC，∠1=∠2
Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？请说明理由。
△CDE是不是直角三角形？请说明理由。
8、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与EF交于F，若BF=AC，那么∠ABC等于（ ）
A．45° B．48° C．50° D．60°
9、如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD，
（1）求证：△BCE≌△DCF;
（2）若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求AC的长。
D
A
B
C
E
F
