1.4二次函数的应用 分类提升训练 2021-2022学年浙教版九年级数学上册（word版含答案）

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《1.4二次函数的应用》分类提升训练（附答案）
一．抛物线与x轴的交点
1．抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是　
　．
2．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是　
　．
3．如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为　
　．
4．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣12，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为　
　．
二．图象法求一元二次方程的近似根
5．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（b、t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是
　
　．
三．二次函数与不等式（组）
6．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（2，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是（　　）
A．x＜﹣1
B．x＞2
C．﹣1＜x＜2
D．x＜﹣1或x＞2
四．根据实际问题列二次函数关系式
7．记某商品销售单价为x元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为y元，且y是关于x的二次函数．已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时，他每月均可获得销售利润1800元；当商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则y与x的函数关系式是（　　）
A．y＝﹣（x﹣60）2+1825
B．y＝﹣2（x﹣60）2+1850
C．y＝﹣（x﹣65）2+1900
D．y＝﹣2（x﹣65）2+2000
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a+b＝5，则Rt△ABC的面积S关于边长c的函数关系式为（　　）
A．S＝
B．S＝
C．S＝
D．S＝
9．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（　　）
A．y＝﹣x2+50x
B．y＝﹣x2+24x
C．y＝﹣x2+25x
D．y＝﹣x2+26x
10．矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2，1），一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y＝x2，再次平移透明纸，使这个点于点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（　　）
A．y＝x2﹣8x+14
B．y＝x2+8x+14
C．y＝x2+4x+3
D．y＝x2﹣4x+3
11．某工厂今年一月份生产防疫护目镜的产量是20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第一季度防疫护目镜的产量y（万件）与x之间的关系应表示为　
　．
12．某体育用品商店购进一批滑板，每块滑板利润为30元，一星期可卖出80块．商家决定降价促销，根据市场调查，每降价1元，则一星期可多卖出4块．设每块滑板降价x元，商店一星期销售这种滑板的利润是y元，则y与x之间的函数表达式为　
　．
13．如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为　
　．
14．某厂生产某种零件，该厂为鼓励销售商订货，提供了如下信息：
①每个零件的成本价为40元；
②若订购量不超过100个，出厂价为60元；若订购量超过100个时，每多订1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元；
③实际出厂单价不能低于51元．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当一次订购量为　
　个时，零件的实际出厂单价降为51元．
（2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出P与x的函数表达式．
（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂价﹣成本）．
五．二次函数的应用
15．竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（　　）
A．23.5m
B．22.5m
C．21.5m
D．20.5m
16．已知关于x的二次三项式（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m的值恒为正，则m的取值范围是（　　）
A．且m≠
B．m＞﹣1
C．﹣1＜m＜
D．＜m＜1
17．如图1，剪刀式升降平台由三个边长为4m的菱形和两个腰长为4m的等腰三角形组成，其中，AM∥A0N，B，B0在AM和A0N上可以滑动，A1、C1、B0始终在同一条直线上．
（1）这种升降平台设计原理利用了四边形的　
　性质；
（2）如图2是一个抛物线型的拱状建筑物，其底部最大跨度为8米，顶部的最大高度为24米．如图3，当该平台在完成挂横幅作业时，其顶部A，M两点恰好同时抵住抛物线，且AM＝8米，则此时∠B1的度数为　
　．
18．如图是一座截面边缘为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l为4米，则当水面下降1米时，水面宽度增加　
　米．
19．为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为60m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则BC长为　
　时，能围成的矩形区域ABCD的面积最大．
20．某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试营销，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象．图中的折线ODE表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．
（1）第26天的日销售量是　
　件，日销售利润是　
　元．
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）日销售利润不低于600元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？
六．二次函数综合题（共5小题）
21．如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（　　）
A．B．C．D．
22．边长为1的正方形OA1B1C1的顶点A1在X轴的正半轴上，如图将正方形OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC，使点B恰好落在函数y＝ax2（a＜0）的图象上，则a的值为
　
　．
23．如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为（　　）
A．﹣3
B．﹣1
C．1
D．3
24．已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x的对称轴为直线x＝2，顶点为A．点P为抛物线对称轴上一点，连接OA、OP．当OA⊥OP时，P点坐标为　
　．
25．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧抛物线上找一点P，使得P、D、C构成以PC为底边的等腰三角形，求出点P的坐标及此时四边形PBCD的面积．
参考答案
一．抛物线与x轴的交点
1．解：∵抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，
∴△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得k≤，
又∵k﹣1≠0，
∴k≠1，
∴k的取值范围是k≤且k≠1；
故答案为：k≤且k≠1．
2．解：由图象可得，
该抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣1，0），
故抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
故当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．
3．解：当y＝0时，x2+5x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，则A（﹣4，0），B（﹣1，0），
当x＝0时，y＝x2+5x+4＝4，则C（0，4），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣4，0），C（0，4）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y＝x+4，
设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），则Q（t，t2+5t+4），
∴PQ＝t+4﹣（t2+5t+4）
＝﹣t2﹣4t
＝﹣（t+2）2+4，
∴当t＝﹣2时，PQ有最大值，最大值为4．
故答案为4．
4．解：如图：连接CM，
当y＝0时y＝x2﹣4x﹣12＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
∴AB＝8，
又∵M为AB的中点，
∴M（2，0），
∴OM＝2，CM＝4，
∴CO＝2，
当x＝0时y＝﹣12，所以OD＝12，
∴CD＝12+2，
故答案为12+2．
二．图象法求一元二次方程的近似根
5．解：对称轴为直线x＝﹣＝1，
解得b＝﹣2，
所以，二次函数解析式为y＝x2﹣2x，
y＝（x﹣1）2﹣1，
x＝﹣1时，y＝1+2＝3，
x＝4时，y＝16﹣2×4＝8，
∵x2+bx﹣t＝0相当于y＝x2+bx与直线y＝t的交点的横坐标，
∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解．
故答案为：﹣1≤t＜8．
三．二次函数与不等式（组）
6．解：观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞2时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的上方，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜﹣1或x＞2．
故选：D．
四．根据实际问题列二次函数关系式
7．解：设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c，
∵当x＝55，75，80时，y＝1800，1800，1550，
∴，
解得，
∴y与x的函数关系式是y＝﹣2x2+260x﹣6450＝﹣2（x﹣65）2+2000，
故选：D．
8．解：∵∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，
∴a2+b2＝c2，
∵Rt△ABC的面积S，
∴S＝ab，
∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+b2+2ab＝25，
∴c2+4S＝25，
∴S＝．
故选：A．
9．解：设饲养室长为xm，占地面积为ym2，
则y关于x的函数表达式是：y＝x （50+2﹣x）＝﹣x2+26x．
故选：D．
10．解：∵矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，
∴矩形ABCD关于坐标原点对称，
∵A点C点是对角线上的两个点，
∴A点、C点关于坐标原点对称，
∴C点坐标为（﹣2，﹣1）；
∴透明纸由A点平移至C点，抛物线向左平移了4个单位，向下平移了2个单位；
∵透明纸经过A点时，函数表达式为y＝x2，
∴透明纸经过C点时，函数表达式为y＝（x+4）2﹣2＝x2+8x+14
故选：B．
11．解：y与x之间的关系应表示为：y＝20+20（x+1）+20（x+1）2．
故答案为：y＝20+20（x+1）+20（x+1）2．
12．解：设每块滑板降价x元，商店一星期销售这种滑板的利润是y元，
则y与x之间的函数表达式为：
y＝（30﹣x）（80+4x）
＝﹣4x2+40x+2400．
故答案为：y＝﹣4x2+40x+2400．
13．解：设y＝a（x﹣20）2+16，
因为抛物线过（0，0），
所以代入得：
400a+16＝0，
解得a＝﹣，
故此抛物线的函数关系式为：
y＝﹣（x﹣20）2+16．
故答案为：y＝﹣（x﹣20）2+16．
14．解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x个，则x＝100+＝550，
根据实际出厂单价不能低于51元，
因此，当一次订购量为大于等于550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．
故答案为：≥550；
（2）当0＜x≤100时，P＝60
当100＜x＜550时，P＝60﹣0.02（x﹣100）＝62﹣
当x≥550时，P＝51
所以P＝；
（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，
则L＝（P﹣40）x＝
当x＝500时，L＝22×500﹣＝6000（元）；当x＝1000时，L＝（51﹣40）×1000＝11000（元），
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．
五．二次函数的应用
15．解：由题意可得，
h＝﹣5t2+20t+1.5＝﹣5（t﹣2）2+21.5，
因为a＝﹣5＜0，
故当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5，
故选：C．
16．解：设y＝（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m，
∵二次三项式（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m的值恒为正，
∴（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m＞0且2m﹣1≠0，
∴在函数y＝（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m中，m+1＞0且△＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m+1） m＜0且2m﹣1≠0，
解得，m＞且m≠，
故选：A．
17．解：（1）这种升降平台设计原理利用了四边形的具有不稳定性．
故答案为：不稳定性；
（2）以地面为x轴，顶部所在垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
设y＝ax2+24，
∵点（4，0）在该抛物线上，
∴0＝a×（4）2+24，
解得，a＝，
∴y＝﹣x2+24，
当x＝﹣4时，y＝﹣×（﹣4）2+24＝16，
∴菱形竖直的对角线长为16÷4＝4，
又∵菱形的边长为4，42+42＝（4）2，
∴∠B1＝90°，
故答案为：90°．
18．解：建立平面直角坐标系如图：
则抛物线顶点C坐标为（0，2），
设抛物线解析式y＝ax2+2，
将A点坐标（﹣2，0）代入，可得：0＝4a+2，
解得：a＝﹣，
故抛物线解析式为y＝﹣x2+2，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，
也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，
将y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±，
所以水面宽度为2米，
故水面宽度增加了（2﹣4）米，
故答案为：（2﹣4）．
19．解：如图，
∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE
面积的2倍，
∴AE＝2BE，
设
BC＝x（m），BE＝FC＝a（m），则AE＝HG＝DF＝2a（m），
∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝60（m），即
8a+2x＝60，
∴a＝﹣x+，3a＝﹣x+，
∴矩形区域
ABCD
的面积
S＝（﹣x+）x＝﹣x2+x，
∵a＝﹣x+
∴x＜30，
则
S＝﹣x2+x
（0＜x＜30）
∵二次项系数为﹣＜0
∴当x＝﹣＝15（m）时，S
有最大值，最大值为：﹣×152+×15＝（m2）
故答案为：15m．
20．解：（1）340﹣（26﹣22）×5＝320（件），
320×（8﹣6）＝640（元）．
故答案为：320；640；
（2）设线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝kx，
将（17，340）代入y＝kx中，
340＝17k，解得：k＝20，
∴线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝20x．
根据题意得：线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y＝340﹣5（x﹣22）＝﹣5x+450．
联立两线段所表示的函数关系式成方程组，
得，解得：，
∴交点D的坐标为（18，360），
∴y与x之间的函数关系式为y＝；
（3）当0≤x≤18时，根据题意得：（8﹣6）×20x≥600，
解得：x≥15；
当18＜x≤30时，根据题意得：（8﹣6）×（﹣5x+450）≥600，
解得：x≤30．
∴15≤x≤30．
30﹣15+1＝16（天），
∴日销售利润不低于600元的天数共有16天．
∵点D的坐标为（18，360），
∴日最大销售量为360件，
360×2＝720（元），
∴试销售期间，日销售最大利润是720元．
六．二次函数综合题
21．解：设正方形的边长为m，则m＞0，
∵AE＝x，
∴DH＝x，
∴AH＝m﹣x，
∵EH2＝AE2+AH2，
∴y＝x2+（m﹣x）2，
y＝x2+x2﹣2mx+m2，
y＝2x2﹣2mx+m2，
＝2[（x﹣m）2+]，
＝2（x﹣m）2+m2，
∴y与x的函数图象是A．
故选：A．
22．解：连接OB，
∵旋转75°，
∴x轴正半轴与OA的夹角为75°，
∵∠AOB＝45°，
∴OB与x轴正半轴夹角为75°﹣45°＝30°，
过B作BD⊥x轴于D，
∵BC＝OC＝1，∴OB＝，
∴BD＝，
∴OD＝，
∴B（，），
把B点坐标代入y＝ax2中得：，
解之得：a＝．
23．解：根据题意知，点B的横坐标的最大值为3，
即可知当对称轴过N点时，点B的横坐标最大，
此时的A点坐标为（﹣1，0），
当可知当对称轴过M点时，点A的横坐标最小，此时的B点坐标为（1，0），
此时A点的坐标最小为（﹣3，0），
故点A的横坐标的最小值为﹣3，
故选：A．
24．解：∵抛物线y＝ax2+x的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴a＝﹣，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x，
∴顶点A的坐标为（2，1），
设对称轴与x轴的交点为E．
如图，在直角三角形AOE和直角三角形POE中，
∵OA⊥OP，
∴∠OAE＝∠EOP，
∵AE＝1，OE＝2，
∴＝，
解得PE＝4，
∴P（2，﹣4），
故答案为：（2，﹣4）．
25．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C
（0，3），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），
∵y＝﹣x2+2x+3与x轴交于另一点B，
∴令y＝0，﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴CD＝＝，
BC＝＝3，
BD＝＝2，
∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形；
（3）如图，
∵P、D、C构成以PC为底边的等腰三角形，
∴点D在PC的垂直平分线上，
∴点C与点P关于对称轴直线x＝1对称，
∴点P的坐标为（2，3），
∵S四边形PBCD＝S△DCP+S△CBP，
∴S四边形PBCD＝×2×（4﹣3）+×2×3＝4