(共19张PPT)
二次函数y=a(x-h) +k的图象和性质
华东师大版
九年级下册
问题：说说抛物线
y
=
ax2
的平移规律.
y=ax2
y=ax2+k
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
新课导入
函数
的图象与函数
的图象有什么关系？
函数
的图象与函数
的图象有什么关系？
函数
的图象与函数
的图象有什么关系？
试
一
试
填写下表：
上
向上
直线x=2
（2，0）
向上
直线x=2
（2，1）
画出函数
的图象.
你能发现
有哪些性质？
你能说出函数
y
=
a(x-h)2
+
k
（a、h、k
是常数，a
≠
0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
a>0
a<0
图象
h<0
h>0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
当xh时，y随x增大而减小.
当xh时，y随x增大而增大.
向上
向下
直线x=h
直线x=h
（h,k）
x=h时，y最小值=k
x=h时，y最大值=k
（h,k）
做
一
做
（1）画出
的图象，
并将它与函数
的图象
作比较.
（2）说出函数
的图象与函数
的图象之间的关系，由此进一步说明函数
的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
的图象：
开口向下，对称轴是
x
=
1，顶点坐标是（1,2）.
练
习
1.已知函数
,
和
.
（1）在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象；
【选自教材P16
练习
第1题】
（2）说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
（3）讨论函数
的性质.
（2）
函数
的图象开口向上，对称轴是
y
轴，顶点坐标是（0,0）.
函数
的图象开口向上，对称轴是直线
x
=
-2，顶点坐标是（-2,2）.
函数
的图象开口向上，对称轴是直线
x
=
-2，顶点坐标是（-2,-3）.
（3）
函数
：
当x>-2时，函数y的值随x的增大而增大；
当x<-2时，函数y的值随x增大而减小；
当x=-2时，函数
y
取最小值
-3.
【选自教材P16
练习
第2题】
2.
试说明：分别通过怎样的平移，
可以由抛物线
得到抛物线
和抛物线
？如果要得到
抛物线
，那么
应该将抛物线
作怎样的平移？
【选自教材P16
练习
第3题】
3.
试说出函数
y=a（x
-h）2+k（a、k是常数，a≠0）的图象的开口
方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表：
y=a(x-h)2+k
开口方向
对称轴
顶点坐标
a>0
a<0
向上
向下
直线x=h
（h，k）
【选自教材P16
练习
第4题】
4.
不画出图象，直接说出函数
y
=
-3x2-6x
+
8
的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.（提示：将
-3x2-6x
+
8
配方，把函数关系式化为y
=
a(x-h)2
+
k的形式）
解：
y
=
-3x2-6x
+
8
配方，得
y
=
-3(x+1)2+11，所以函数
y
=
-3x2-6x
+
8
的图象开口向下，对称轴是直线
x=-1，顶点坐标是（-1,11）.
课堂小结
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位
y=ax2
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+k
向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位
向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位
向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位
向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位
向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业(共20张PPT)
二次函数y=a(x-h) 的图象和性质
华东师大版
九年级下册
二次函数
y
=
ax2
+c
的图象和性质:
a的符号
a>0
a<0
图象
c>0
c<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0，c）
（0，c）
x=0时，y最小值=c
x=0时，y最大值=c
函数
y
=
ax2
+
c
的图象，可以由函数
y
=
ax2
的图象上下平移所得，那么函数
的图象，是否也可以由函数
平移而得呢？
在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数
和
的图象。
列表：
2
0
2
8
8
2
0
2
描点、连线，画出这两个函数的图象
.
探
索
根据所画出的图象，说出这两个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表：
向上
y
轴
（0,0）
向上
直线x=2
（2,0）
概
括
函数
的图象可以看作是将函数
的图象向____平移____个单位得到的.
右
2
你可以由函数
的性质，得到函数
的性质吗？
当
x____时，函数值
y
随
x
的增大而减小；当
x____时，函数值
y
随
x的增大而增大；当
x____时，函数取得最____值，y
=_____.
<2
>2
=2
小
0
做
一
做
在同一直角坐标系中画出二次函数
与函数
的图象，比较它们的联系和区别.说出函数
的图象可以看成是由函数
的图象经过怎样的平移得到的.
讨论函数
的性质.
当
x
<
-1
时，函数值
y
随
x
的增大而减小；
当
x
>
-1
时，函数值
y
随
x
的增大而增大；
当
x
=
-1
时，函数取得最小值，y
=0.
思考
在同一直角坐标系中，函数
的图象与函数
的图象有什么关系？试说出函数
的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质.
函数
的图象可以看作是将函数
的图象向____平移____个单位得到的.
左
2
函数
的开口向____，
对称轴是_________，
顶点坐标_______，
下
直线x
=
-2
（-2,0）
讨论函数
的性质.
当
x
<
-2
时，函数值
y
随
x
的增大而增大；
当
x
>
-2
时，函数值
y
随
x
的增大而减小；
当
x
=
-2
时，函数取得最大值，y
=0.
二次函数y
=
a(x-h)2的图象和性质:
a的符号
a>0
a<0
图象
h>0
h<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
当xh时，y随x增大而减小.
当xh时，y随x增大而增大.
向上
向下
直线x=h
直线x=h
（h,0）
x=h时，y最小值=0
x=h时，y最大值=0
（h,0）
练
习
1.已知函数
,
和
.
（1）在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象；
【选自教材P13
练习
第1题】
（2）说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
（3）讨论各个函数的性质.
函数
的图象开口向上，对称轴是
y
轴，顶点坐标是（0,0）.
函数
的图象开口向上，对称轴是直线
x
=
-3，顶点坐标是（-3,0）.
函数
的图象开口向上，对称轴是直线
x
=
3，顶点坐标是（3,0）.
（2）
（3）
函数
：
当x>0时，函数y的值随x的增大而增大；
当x<0时，函数y的值随x增大而减小；
当x=0时，函数y取最小值0.
函数
：
当x>-3时，函数y的值随x的增大而增大；
当x<-3时，函数y的值随x增大而减小；
当x=-3时，函数y取最小值0.
函数
：
当x>3时，函数y的值随x的增大而增大；
当x<3时，函数y的值随x增大而减小；
当x=3时，函数y取最小值0.
【选自教材P13
练习
第2题】
2.
试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线
得到抛物线
和抛物线
？
解：将抛物线
向左平移
3
个单位，可以得到抛物线
；
将抛物线
向右平移
3
个单位，可以得到抛物线
.
【选自教材P14
练习
第3题】
3.
试说出函数
y=a（x
-h）2（a、k是常数，a≠0）的图象的开口
方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表：
y=a(x-h)2
开口方向
对称轴
顶点坐标
a>0
a<0
向上
向下
直线x=h
（h，0）
课堂小结
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
y=ax2
y=a(x-h)2
h>0，向右平移
|h|
个单位
h<0，向左平移
|h|
个单位
a>0，开口向上
a<0，开口向下
对称轴是直线
x=h
顶点坐标（h，0）
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业(共20张PPT)
二次函数最值的应用
华东师大版
九年级下册
1.
通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
新课导入
（1）y
=
6x2
+
12x；
（2）y
=
-4x2
+
8x
-10.
2.以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？说出
两个函数的最大值、最小值分别是多少？
配方，得：y
=
6(x
+
1)2
-6
开口向上，对称轴是直线
x
=
-1，顶点坐标是（-1,
-6）.
配方，得：y
=
-4(x
-
1)2
-6
开口向上，对称轴是直线
x
=
1，顶点坐标是（1,
-6）.
y
=
6x2
+
12x，有最小值，y
=
-6.
y
=
-4x2
+
8x
-10，有最大值，y
=
-6.
新课探究
问题1
用总长为
20
m
的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃.
怎样围才能使花圃的面积最大？
解：设矩形的宽
AB
为
x
m，则矩形的长
BC
为
（20-2x）m，由于x>0，且
20-2x>0，所以0围成的花圃面积
y
与
x
的函数关系式是
y
=
-2x2+20x
(
0
<
x
<
10
)
y
=
-2x2+20x
(
0
<
x
<
10
)
如何求最大值。
配方得，y
=
-2(x
-
5)2
+
50
函数开口向下，顶点坐标是（5,
50）
所以，当x
=
5
时，函数取得最大值，y
=
50.
这时，AB=5（m），BC
=
20-2x
=
10（m）.
花圃面积最大，最大面积为
50
m2.
问题2
某商店将每件进价为
8
元的某种商品按每件
10
元出售，一天可售出
100
件.
该店想通过降低售价﹑增加销售量的办法来提高利润.
经过市场调查，发现这种商品每件每降价
0.1
元，每天的销售量可增加
10
件.
将这种商品的售价降低多少时，其每天的销售利润最大？
解：设每件商品降价
x
元（0
≤
x
≤
2），该商品每天的利润为
y
元.
商品每天的利润
y
与
x
的函数关系式是
y
=
(
10-x-8
)(
100
+
100x
)
即
y
=
-100x2
+
100x
+
200
如何求最大值。
y
=
-100x2
+
100x
+
200
（0
≤
x
≤
2）
配方得，
当
x
=
时，函数取得最大值，最大值
y
=
225.
所以将这种商品的售价降低
0.5
元时，能使销售利润最大.
用长为
6
m
的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计）
解：设矩形窗框的宽为
x
m，则高为
m.
这里应有
x
>
0，且
>
0，故
0
<
x
<
2.
矩形窗框的透光面积
y
与
x
之间的函数关系式是
如何求最大值。
配方得，
当
x
=
1，函数取得最大值，最大值
y
=
1.5.
x
=
1，满足
0
<
x
<
2，这时
=
1.5.
因此，所做矩形窗框的宽为
1
m、高为1.5
m时，它的透光面积最大，最大面积是
1.5
m2.
一般地，当
a
>
0
(a
<
0)
时，抛物线
y
=
ax2
+
bx
+
c的顶点有最低（高）点，也就是说，当
x
=
时，二次函数有最小（大）值
。
y
=
ax2
+
bx
+
c
思考归纳求二次函数
最值问题的步骤:
（1）先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；
y
=
ax2
+
bx
+
c
（2）研究自变量的取值范围;
（3）研究所得的函数;
（4）检验
x
的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值;
（5）解决提出的实际问题.
试
一
试
（1）如图，要搭建一个矩形的自行车棚，一边靠墙，另外三边围栏材料的总长为
60
m，怎样围才能使车棚的面积最大？
解：设矩形车棚的宽为
x
m，则长为60-2x
m.
x
x
60-2x
这里应有
x
>
0，且60-2x
>
0，故
0矩形车棚面积
y
与
x
之间的函数关系式是
y
=
x
·(
60-2x
)
y
=
x
·(
60-2x
)
x
x
60-2x
(
0
<
x
<
30
)
配方得，
y
=
-2
(x
-
15
)2
+
450
当
x
=
15，函数取得最大值，最大值
y
=
450.
x
=
15，满足
0
<
x
<
30，
因此，围成矩形车棚的宽为
15
m，长为
30
m
时，它的面积最大，最大面积是
450
m2.
（2）在（1）中,如果可利用的墙壁长为
25
m，怎样围才能使车棚的面积最大？
x
x
60-2x
y
=
x
·(
60-2x
)
解：设矩形车棚的宽为
x
m，则长为60-2x
m.
这里应有
x
>
0，且60-2x
>
0，且
60-2x
≤
25，故
17.5
≤
x
<
30.
=
-2
(x
-
15
)2
+
450
当
x
=
17.5，函数取得最大值，最大值
y
=
437.5
.
因此，围成矩形车棚的宽为
17.5
m，长为
25
m
时，它的面积最大，最大面积是
437.5
m2.
练
习
1.求下列函数的最大值或最小值：
【选自教材P20
练习
第1题】
解：
，
当
时，函数
y
取最小值为
，
无最大值.
解：y
=
1-2x
-
x2
=
-(x
+
1)2
+
2，
当x
=
-1
时，函数
y
取最大值为
2
，
无最小值.
解：
，
当
时，函数
y
取最小值为
，
无最大值.
解：y
=
100
-
5x2
的最大值为
100，无最小值.
解：y
=
-6x2
+12x
=
-6(x
-
1)2
+
6
当x
=
1
时，函数
y
取得最大值为6，
无最小值.
解：
，
当
时，函数
y
取最小值为
，
无最大值.
2.有一根长为
40
cm
的铁丝,把它弯成一个矩形框.当矩形框的长、
宽各是多少时，矩形的面积最大 最大面积是多少
【选自教材P20
练习
第2题】
解：设长为
x
cm，则宽为
cm.
所以矩形的面积
S
=
x·
=
-x2
+
20x
=
-(x-10)2
+
100.
当
x
=
10
时，S
最大为
100
cm2.
答：当长、宽都是
10
cm，即为正方形时，弯成的矩形框的面积最大，最大面积是
100
cm2.
【选自教材P20
练习
第3题】
3.已知两个正数的和是
60,它们的积最大是多少 （提示:设其中
的一个正数为
x，将它们的积表示为
x
的函数)
解：设其中一个正数为
x，则另一个正数为
60-x.
所以它们的积
y
=
x(60-x)
=
-x2
+
60x
=
-(x-30)2
+
900.
当
x
=
30
时，它们的积最大，最大积为
900.
课堂小结
求二次函数
最值问题的步骤:
（1）先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；
y
=
ax2
+
bx
+
c
（2）研究自变量的取值范围;
（3）研究所得的函数;
（4）检验
x
的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值;
（5）解决提出的实际问题.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业(共19张PPT)
二次函数
y
=
ax +c
的图象和性质
华东师大版
九年级下册
新课导入
问题:说说二次函数y=ax2的图象的特征.
2
6
8
y
4
y=ax2
-8
-4
-2
-6
O
-2
2
x
4
-4
（1）抛物线y=ax2的对称轴是
，顶点是
.
y轴
原点
（2）当a>0时，抛物线的开口
，顶点是抛物线的
;
向上
最低点
当a<0时，抛物线的开口
，顶点是抛物线的
;
向下
最高点
|a|越大，抛物线的开口
.
越小
那么y=ax2+c
呢？
二次函数y
=
ax2
+c的图象的画法
例2
在同一直角坐标系中，画出二次函数
y
=
x2
，
y
=
x2
+1
的图象。
解：先列表：
然后描点画图：
y
=
x2
y
=
x2+1
观察所画图象，有什么异同？
它们的开口方向、对称轴、顶点坐标是什么？
y
=
x2
y
=
x2+1
y
=
x2
抛物线
:
开口_____，对称轴是_____，
顶点坐标_______.
y
=
x2
抛物线
+1
:
开口_____，对称轴是_____，
顶点坐标_______.
向上
y轴
（0,0）
向上
y轴
（0,1）
y
=
x2
y
=
x2+1
当自变量
x
取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？
反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？
y
=
x2
y
=
x2+1
观察图象可发现：
把抛物线
向____平移___个
单位就得到抛物线
.
y
=
x2
y
=
x2+1
上
1
y
=
x2
y
=
x2+1
你能由函数
的性质，得到函数
的一些性质吗？
当
x____时，函数值
y
随
x
的增大而减小；当
x____时，函数值
y
随
x的增大而增大；当
x____时，函数取得最____值，y
=_____.
y
=
x2
y
=
x2+1
<0
>0
=0
小
1
完成下表：
函数
y
=
ax2+c（a>0）
c>0
c<0
图例
开口方向
对称轴
最值
顶点坐标
函数性质
向上
向上
y轴
y轴
最小值
最小值
（0，c）
（0，c）
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
先在同一平面直角坐标系中画出函数
与函数
的图象，再作比较，指出它们的联系与区别.
函数
的图象可以看成是由函数
的图象经过怎样的平移得到的？试说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质.
思
考
在同一平面直角坐标系中，函数
的图象与函数
的图象有什么关系？
你能说出函数
的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？这个函数有哪些性质？
开口向下
对称轴是
y
轴
顶点坐标（0,2）
当x<0时，y
随
x
增大而增大；
当x>0时，y
随
x
增大而减小.
练
习
1.已知函数
和
.
（1）在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象；
【选自教材P10
练习
第1题】
（2）说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
开口方向都是向下
对称轴都是
y
轴
的顶点坐标是（0,0）
的顶点坐标是（0,-2）
【选自教材P10
练习
第2题】
2.
试说明：通过怎样的平移，可以由抛物线
得到抛物线
？如果要得到抛物线
，应将抛物线
作怎样的平移？试说出函数
的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
向下平移2个单位
向上平移4个单位
函数
的图象开口向下，对称轴是
y
轴、顶点坐标是（0,4）.
【选自教材P11
练习
第3题】
3.
试说出函数
y=ax2（a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、
对称轴和顶点坐标，并填写下表：
y=ax2+k
开口方向
对称轴
顶点坐标
a>0
a<0
向上
向下
y
轴
（0，k）
课堂小结
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
y=ax2
y=ax2+c
c>0，向上平移
|c|
个单位
c<0，向下平移
|c|
个单位
a>0，开口向上
a<0，开口向下
对称轴是
y
轴
顶点坐标（0，c）
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业(共19张PPT)
二次函数
y
=
ax +bx+c
的图象和性质
华东师大版
九年级下册
问题:
说说画二次函数y=a(x-h)2+k的图象的要点是什么？
新课导入
例如
开口方向：
对称轴：
顶点：
向下
x
=
-2
(-2，2)
怎么画二次函数y=ax2+bx+c的图象
画出函数
的图象并说明这个函数具有哪些性质？
因为
，
所以函数即为
因此这个函数的图象开口向下，对称轴为直线
x
=
1，顶点坐标为（1，-2）.
先配方，将函数关系式化为
y=a(x-h)2+k的形式.
列表：
由图象可知，这个函数具有如下性质：
当
x
<
1
时，函数值
y
随
x
的增大而增大；
当
x
>
1
时，函数值
y
随
x
的增大而减小；
当x
=
1
时，函数取得最大值，最大值
y
=
-2.
做
一
做
（1）试按照上面的方法，画出函数
的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质？
解：将函数
配方得，
x
…
1
2
3
4
5
6
7
…
y
…
…
列表：
描点，连线.
（2）通过配方，说出函数
y
=
-2x2
+
8x
-8
的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.这个函数有最大值
还是最小值？这个值是什么？
解：将函数
配方得，
y
=
-2x2
+
8x
-8
y
=
-2(x-2)2
开口向下
对称轴是直线
x
=
2
顶点坐标是（2,0）
函数有最大值，y
=
0.
思
考
对于任意一个二次函数
y
=
ax2
+
bx
+
c（a
≠
0），如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？
y
=
ax2
+
bx
+
c（a
≠
0）
二次函数
y
=
ax2
+
bx
+
c
(a
≠
0)
通过配方可以转化成
y
=
a(x
-h)2
+
k
形式.
y=ax2+bx+c
二次函数的顶点式
对称轴为
。
二次函数的一般表达式
因此，抛物线的对称轴是
，顶点是
。
y
O
x
（a>0）
y
O
x
（a<0）
二次函数y=ax2+bx+c的图象：
增减性？
最小值
最大值
练
习
1.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标：
【选自教材P18
练习
第1题】
开口向上，对称轴是直线
x
=
-3，顶点坐标是（-3,4）.
开口向下，对称轴是直线
x
=
1，顶点坐标是（1,-2）.
开口向上，对称轴是直线
x
=
-3，顶点坐标是（-3,-2）.
开口向下，对称轴是直线
x
=
1，顶点坐标是（1,0.6）.
【选自教材P18
练习
第2题】
2.
通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（1）y
=
2x2
+
4x
；
（2）y
=
-2x2
-
3x
；
（3）y
=
-3x2
+
6x
-7；
配方得，y
=
2(x
+
1)2
-2
开口向上，对称轴是直线
x
=
-1，顶点坐标是（-1,-2）.
配方得，
开口向上，对称轴是直线
，
顶点坐标是
.
配方得，y
=
-3(x
-1)2
-4
开口向下，对称轴是直线
x
=
1，顶点坐标是（1,-4）.
配方得，
开口向下，对称轴是直线
x
=
4
，
顶点坐标是
（4，13）.
【选自教材P18
练习
第3题】
3.先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画出图象：
解：开口向下，
对称轴是直线
x
=
1，
顶点坐标是（1,4）.
解：开口向上，
对称轴是直线
x
=
-2，
顶点坐标是（-2,-5）.
解：开口向下，
对称轴是直线
x
=
-3，
顶点坐标是（-3,4）.
解：开口向上，
对称轴是直线
x
=
2，
顶点坐标是（2,3）.
课堂小结
二次函数
y=ax2+bx+c
的图象特征与系数
a,b,c及b2-4ac
的符号之间的关系:
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
