第一章 二次函数单元测试题（含解析）
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浙教版2021年九年级（上）第一章《二次函数》专题训练
满分：120分
测试时间：120分钟
一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．下列函数中是二次函数的是
A．
B．
C．
D．
2．二次函数有
A．最大值
B．最小值
C．最大值7
D．最小值7
3．二次函数的顶点是
A．
B．
C．
D．
4．已知抛物线，则下列说法，错误的是
A．开口方向向下
B．顶点坐标是
C．对称轴是直线
D．当时，随的增大而减小
5．如图，二次函数使得的的取值范围是
A．或
B．
C．或
D．
6．二次函数，，是常数，且中的与的部分对应值如表所示，则下列结论中，正确的个数有
0
1
3
3
5
3
（1）；（2）当时，；（3）当时，的值随值的增大而增大；
（4）方程有两个不相等是实数根．
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
7．如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论中，其中正确的结论的个数是
①；②；③；④一元二次方程有两个不等实数根．
A．1
B．2
C．3
D．4
8．已知二次函数，当时，，则的值是
A．3
B．4
C．6
D．7
9．已知二次函数的图象交轴于，两点．若其图象上有且只有，，三点满足，则的值是
A．1
B．
C．2
D．4
10．将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，的值为
A．或
B．或
C．或
D．或
二．填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11．若是二次函数，则 ．
12．已知、是二次函数图象上的两个点，则与的大小关系为
．
13．若二次函数的图象与轴有两个不相同的交点，则的取值范围是
．
14．在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园，则矩形花园的最大面积为
．
15．已知抛物线，点在抛物线上，则的最大值是
．
16．已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而减小，且时，的最大值为7，则的值为
．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．（6分）已知二次函数的图象经过点，．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）请你判断点是否在这个二次函数的图象上？
18．（6分）已知二次函数的图象经过点，．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在图中画出该函数的图象．
19．（6分）抛物线．
（1）
用配方法求顶点坐标，
对称轴；
（2）取何值时，随的增大而减小？
（3）取何值时，；取何值时，；取何值时，．
20．（8分）2019年春节期间某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于68元，经市场调查，每天的销售量（千克）与每千克售价（元满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价（元千克）
50
55
60
销售量（千克）
100
90
80
（1）则与之间的函数表达式
．
（2）设这种商品每天的利润为（元，求与之间的函数表达式，并求出当售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？（利润收入成本）
21．（8分）如图，抛物线与轴相交于，两点，其中顶点为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若该抛物线与轴的交点为，求的面积．
22．（10分）如图，已知女排球场的长度为18米，位于球场中线处的球网的高度2.24米，一队员站在点处发球，排球从点的正上方2米的点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点的水平距离为6米时，到达最高点，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）若排球运行的最大高度为2.8米，求排球飞行的高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由；
（3）若李明同学发球要想过网，又使排球不会出界（排球压线属于没出界）求二次函数中二次项系数的最大值．
23．（10分）如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；并写出抛物线的顶点坐标．
（2）抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（12分）已知，抛物线与轴交点为和点，与轴交点为，直线与抛物线的交点为点和点．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）如图，点为抛物线上一动点（不与、重合），当点在直线下方时，过点作轴交于点，求的最大值；
（3）点为抛物线上一动点（不与、重合），为直线上一动点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．解：二次函数的解析式为，
．，自变量的最高次数是二次，是二次函数；
．，自变量的最高次数是一次，不是二次函数；
，自变量的的次数为次，不是二次函数；
，自变量的的次数为次，不是二次函数．
故选：．
2．解：二次函数中，，
二次函数，当时有最大值，
故选：．
3．解：二次函数，
该函数的顶点坐标为，
故选：．
4．解：、抛物线，，抛物线开口向下，此选项正确；
、抛物线顶点坐标是，此选项正确；
、抛物线对称轴，此选项正确．
、抛物线的对称轴为，开口向下，当时，随的增大而增大，此选项错误；
故选：．
5．解：由图象可知，
该函数的对称轴是直线，与轴交于点，
故时的的取值范围是，
故选：．
6．解：（1）由图表中数据可得出：时，，所以二次函数开口向下，，故正确；
（2）又时，，所以，当时，，故正确；
（3）二次函数的对称轴为直线，
当时，的值随值的增大而减小，故错误；
（4），，为常数．且的图象与轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标，
方程，
时，即是求的值，
由图象可知：有两个不相等的实数根，故正确；
故选：．
7．解：补图：由题可知，抛物线与的另一个交点应该在和之间，
①当时，①正确；
②对称轴，则，则，②错误；
③题目中只有顶点坐标出现字母，则一定跟顶点坐标的纵坐标有关，由顶点纵坐标，化简得，③正确；
④选项④的题意是抛物线与直线有两个交点，如图可知④正确；
综上所述，正确的结论为①③④，
故选：．
8．解：二次函数，
该函数的对称轴是直线，函数图象开口向上，当时取得最小值，
当时，，当时，，当时，，
，
故选：．
9．解：二次函数的图象上有且只有，，三点满足，
三点中必有一点在二次函数的顶点上，
，
二次函数的图象的顶点坐标为，
令，则，
解得或，
与轴的交点为，，
，
．
故选：．
10．解：二次函数解析式为，
抛物线的顶点坐标为，
当时，，解得，，
则抛物线与轴的交点为，，
把抛物线图象轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标，
如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，
，解得；
当直线与抛物线相切时，直线与该新图象恰好有三个公共点，
即有相等的实数解，整理得，△，解得，
所以的值为或，
故选：．
二．填空题（共6小题）
11．解：由是二次函数，得
，
解得．
故答案为：．
12．解：将，代入二次函数得：
，
，
，
故答案为：．
13．解：由题意得：△
解得：，
故答案为：．
14．解：设：，则，
，
此函数的对称轴为：，
，故函数有最大值，
当时，函数取得最大值，
则：，
故：答案是144．
15．解：点在抛物线上，
，
，
当时，有最大值4．
故答案为：4．
16．解：二次函数，
该函数的对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，且时，的最大值为7，
，当时，，
，
解得，，（舍去），
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
17．解：（1）由题意得，，解得，，
则二次函数的解析式为；
（2）当时，，
点在这个二次函数的图象上．
18．解：（1）依题意，得，解得，
所求二次函数的解析式为：；
（2）
该抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
列表：
0
1
2
3
4
0
1
0
描点画图得到的图象．
19．解：
（1），
顶点坐标为，对称轴为直线；
（2），抛物线开口向下，
对称轴为直线，
当时，随的增大而减小；
（3）
令，即，解得或
3
，抛物线开口向下，
当或时，；
当时，；
当或时，．
20．解：（1）设，
将、代入，得：，
解得：，
；
（2）
，
当时，取得最大值为1792，
答：售价为68元时获得最大利润，最大利润是1792元．
21．解：（1）抛物线与轴相交于，两点，
．
解得：．
故该抛物线解析式为；
（2）由抛物线解析式，可得，．
如图，过点作轴于点，交直线于，则点的横坐标是．
直线经过点，，
直线的解析式是．
把代入，得．
则．
．
．
22．解：（1）由排球运行的最大高度为28米，则顶点的坐标点为，则设抛物线的解析式为
点坐标为，点在抛物线上
解得
则排球飞行的高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的函数关系式：
（2）当时，
当时，，故这次发球可以过网且不出边界
（3）设抛物线的解析式为：，
将点代入得：，即
此时抛物线的解析式为
根据题意，不过边界时有：，解得
要使网球过网：，解得
故李明同学发球要想过网，又使排球不会出界（排球压线属于没出界）二次函数中二次项系数的最大值为
23．解：（1）二次函数的图象经过点，，
，
解得：，
抛物线解析式为；
，
顶点坐标为．
（2）抛物线上存在点，使，如图，
①当点是抛物线上与点对称的点时，则有，
点关于对称轴直线的对称点坐标为，
，
②当直线时，则有，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
直线的解析式中一次项系数为，
设与平行的直线的解析式为，
将代入，得：，
解得：，
直线的解析式为，
联立抛物线解析式得：，
解得：，（舍去），
．
综上所述，，．
24．解：（1）将点、的坐标代入抛物线表达式得，解得：，
故抛物线的表达式为：①，
将点的坐标代入直线的表达式得：，解得：，
故直线的表达式为：②；
（2）设点的坐标为，
点的纵坐标与点的纵坐标相同，
将点的纵坐标代入得：，
解得：，
故点，，
则，
，故有最大值，当时，的最大值为；
（3）设点，则③，点，
①当为边时，
点向右平移2个单位得到，同样点向右平移2个单位得到，
即且④，
联立③④并解得：（舍去）或1或，
故点的坐标为或，或，；
②当为对角线时，
由中点公式得：且⑤，
联立③⑤并解得：（舍去）或1，故点；
综上，点的坐标为或，或，．
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精品试卷·第
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浙教版2021年九年级（上）第一章《二次函数》专题训练
满分：120分
测试时间：120分钟
一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．下列函数中是二次函数的是
A．
B．
C．
D．
2．二次函数有
A．最大值
B．最小值
C．最大值7
D．最小值7
3．二次函数的顶点是
A．
B．
C．
D．
4．已知抛物线，则下列说法，错误的是
A．开口方向向下
B．顶点坐标是
C．对称轴是直线
D．当时，随的增大而减小
5．如图，二次函数使得的的取值范围是
A．或
B．
C．或
D．
6．二次函数，，是常数，且中的与的部分对应值如表所示，则下列结论中，正确的个数有
0
1
3
3
5
3
（1）；（2）当时，；（3）当时，的值随值的增大而增大；
（4）方程有两个不相等是实数根．
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
7．如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论中，其中正确的结论的个数是
①；②；③；④一元二次方程有两个不等实数根．
A．1
B．2
C．3
D．4
8．已知二次函数，当时，，则的值是
A．3
B．4
C．6
D．7
9．已知二次函数的图象交轴于，两点．若其图象上有且只有，，三点满足，则的值是
A．1
B．
C．2
D．4
10．将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，的值为
A．或
B．或
C．或
D．或
二．填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11．若是二次函数，则 ．
12．已知、是二次函数图象上的两个点，则与的大小关系为
．
13．若二次函数的图象与轴有两个不相同的交点，则的取值范围是
．
14．在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园，则矩形花园的最大面积为
．
15．已知抛物线，点在抛物线上，则的最大值是
．
16．已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而减小，且时，的最大值为7，则的值为
．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．（6分）已知二次函数的图象经过点，．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）请你判断点是否在这个二次函数的图象上？
18．（6分）已知二次函数的图象经过点，．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在图中画出该函数的图象．
19．（6分）抛物线．
（1）
用配方法求顶点坐标，
对称轴；
（2）取何值时，随的增大而减小？
（3）取何值时，；取何值时，；取何值时，．
20．（8分）2019年春节期间某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于68元，经市场调查，每天的销售量（千克）与每千克售价（元满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价（元千克）
50
55
60
销售量（千克）
100
90
80
（1）则与之间的函数表达式
．
（2）设这种商品每天的利润为（元，求与之间的函数表达式，并求出当售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？（利润收入成本）
21．（8分）如图，抛物线与轴相交于，两点，其中顶点为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若该抛物线与轴的交点为，求的面积．
22．（10分）如图，已知女排球场的长度为18米，位于球场中线处的球网的高度2.24米，一队员站在点处发球，排球从点的正上方2米的点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点的水平距离为6米时，到达最高点，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）若排球运行的最大高度为2.8米，求排球飞行的高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由；
（3）若李明同学发球要想过网，又使排球不会出界（排球压线属于没出界）求二次函数中二次项系数的最大值．
23．（10分）如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；并写出抛物线的顶点坐标．
（2）抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（12分）已知，抛物线与轴交点为和点，与轴交点为，直线与抛物线的交点为点和点．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）如图，点为抛物线上一动点（不与、重合），当点在直线下方时，过点作轴交于点，求的最大值；
（3）点为抛物线上一动点（不与、重合），为直线上一动点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．解：二次函数的解析式为，
．，自变量的最高次数是二次，是二次函数；
．，自变量的最高次数是一次，不是二次函数；
，自变量的的次数为次，不是二次函数；
，自变量的的次数为次，不是二次函数．
故选：．
2．解：二次函数中，，
二次函数，当时有最大值，
故选：．
3．解：二次函数，
该函数的顶点坐标为，
故选：．
4．解：、抛物线，，抛物线开口向下，此选项正确；
、抛物线顶点坐标是，此选项正确；
、抛物线对称轴，此选项正确．
、抛物线的对称轴为，开口向下，当时，随的增大而增大，此选项错误；
故选：．
5．解：由图象可知，
该函数的对称轴是直线，与轴交于点，
故时的的取值范围是，
故选：．
6．解：（1）由图表中数据可得出：时，，所以二次函数开口向下，，故正确；
（2）又时，，所以，当时，，故正确；
（3）二次函数的对称轴为直线，
当时，的值随值的增大而减小，故错误；
（4），，为常数．且的图象与轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标，
方程，
时，即是求的值，
由图象可知：有两个不相等的实数根，故正确；
故选：．
7．解：补图：由题可知，抛物线与的另一个交点应该在和之间，
①当时，①正确；
②对称轴，则，则，②错误；
③题目中只有顶点坐标出现字母，则一定跟顶点坐标的纵坐标有关，由顶点纵坐标，化简得，③正确；
④选项④的题意是抛物线与直线有两个交点，如图可知④正确；
综上所述，正确的结论为①③④，
故选：．
8．解：二次函数，
该函数的对称轴是直线，函数图象开口向上，当时取得最小值，
当时，，当时，，当时，，
，
故选：．
9．解：二次函数的图象上有且只有，，三点满足，
三点中必有一点在二次函数的顶点上，
，
二次函数的图象的顶点坐标为，
令，则，
解得或，
与轴的交点为，，
，
．
故选：．
10．解：二次函数解析式为，
抛物线的顶点坐标为，
当时，，解得，，
则抛物线与轴的交点为，，
把抛物线图象轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标，
如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，
，解得；
当直线与抛物线相切时，直线与该新图象恰好有三个公共点，
即有相等的实数解，整理得，△，解得，
所以的值为或，
故选：．
二．填空题（共6小题）
11．解：由是二次函数，得
，
解得．
故答案为：．
12．解：将，代入二次函数得：
，
，
，
故答案为：．
13．解：由题意得：△
解得：，
故答案为：．
14．解：设：，则，
，
此函数的对称轴为：，
，故函数有最大值，
当时，函数取得最大值，
则：，
故：答案是144．
15．解：点在抛物线上，
，
，
当时，有最大值4．
故答案为：4．
16．解：二次函数，
该函数的对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，且时，的最大值为7，
，当时，，
，
解得，，（舍去），
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
17．解：（1）由题意得，，解得，，
则二次函数的解析式为；
（2）当时，，
点在这个二次函数的图象上．
18．解：（1）依题意，得，解得，
所求二次函数的解析式为：；
（2）
该抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
列表：
0
1
2
3
4
0
1
0
描点画图得到的图象．
19．解：
（1），
顶点坐标为，对称轴为直线；
（2），抛物线开口向下，
对称轴为直线，
当时，随的增大而减小；
（3）
令，即，解得或
3
，抛物线开口向下，
当或时，；
当时，；
当或时，．
20．解：（1）设，
将、代入，得：，
解得：，
；
（2）
，
当时，取得最大值为1792，
答：售价为68元时获得最大利润，最大利润是1792元．
21．解：（1）抛物线与轴相交于，两点，
．
解得：．
故该抛物线解析式为；
（2）由抛物线解析式，可得，．
如图，过点作轴于点，交直线于，则点的横坐标是．
直线经过点，，
直线的解析式是．
把代入，得．
则．
．
．
22．解：（1）由排球运行的最大高度为28米，则顶点的坐标点为，则设抛物线的解析式为
点坐标为，点在抛物线上
解得
则排球飞行的高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的函数关系式：
（2）当时，
当时，，故这次发球可以过网且不出边界
（3）设抛物线的解析式为：，
将点代入得：，即
此时抛物线的解析式为
根据题意，不过边界时有：，解得
要使网球过网：，解得
故李明同学发球要想过网，又使排球不会出界（排球压线属于没出界）二次函数中二次项系数的最大值为
23．解：（1）二次函数的图象经过点，，
，
解得：，
抛物线解析式为；
，
顶点坐标为．
（2）抛物线上存在点，使，如图，
①当点是抛物线上与点对称的点时，则有，
点关于对称轴直线的对称点坐标为，
，
②当直线时，则有，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
直线的解析式中一次项系数为，
设与平行的直线的解析式为，
将代入，得：，
解得：，
直线的解析式为，
联立抛物线解析式得：，
解得：，（舍去），
．
综上所述，，．
24．解：（1）将点、的坐标代入抛物线表达式得，解得：，
故抛物线的表达式为：①，
将点的坐标代入直线的表达式得：，解得：，
故直线的表达式为：②；
（2）设点的坐标为，
点的纵坐标与点的纵坐标相同，
将点的纵坐标代入得：，
解得：，
故点，，
则，
，故有最大值，当时，的最大值为；
（3）设点，则③，点，
①当为边时，
点向右平移2个单位得到，同样点向右平移2个单位得到，
即且④，
联立③④并解得：（舍去）或1或，
故点的坐标为或，或，；
②当为对角线时，
由中点公式得：且⑤，
联立③⑤并解得：（舍去）或1，故点；
综上，点的坐标为或，或，．
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