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5.3一次
函数（2）
教案
课题
5.3一次
函数（2）
单元
第五单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
1.会用待定系数法求一次函数的解析式．2.会通过已知自变量的值求相应一次函数的值，已知一次函数的值求相应自变量的值解决一些简单的实际问题．
重点
用待定系数法求一次函数的表达式.
难点
待定系数法的过程比较复杂，是本节教学的难点．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
1、正比例函数的解析式是什么？y=kx
（k为常数，且k≠0）
2、一次函数的解析式是什么？y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）当b=0时，一次函数y=kx+b就变形为正比例函数y=kx
思考自议
总结求待定系数法求一次函数表达式的步骤
回顾旧知，为新课奠定基础
讲授新课
提炼概念
用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：1、设：所求的一次函数解析式为y=kx+b；其中k,b是待确定的常数，k≠02、列：把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入y=kx+b，得到关于k、b的二元一次方程组；3、解：解方程组，求得k、b；4、写：把k、b的值代入y=kx+b
，写出一次函数解析式。三、典例精讲例
3
已知y是x的一次函数，当x=3时，
y=1；x=-2时，
y=-14
，求这个一次函数的关系式。解：因为y是x的一次函数，所以可以设所求表达式为y=kx+b（k≠0）将x=3，y=1和x=-2，y=-14分别代入上式，得：
1=3k+b
-14=-2k+b解这个方程组，得
k=3
b=-8所以所求的一次函数表达式为y=3x-8例2：某地区从1995年底开始，沙漠面积几乎每年以相同的速度增长。据有关报道，到2001年底，该地区的沙漠面积己从1998年底的100.6万公倾扩展到101.2万公倾。（1）可选用什么数学方法来描述该地区的沙漠面积的变化？（2）如果该地区的沙漠化得不到治理，那么到2020年底，该地区的沙漠面积将增加到多少万公倾？解:(1)设从1995年底该地区的沙漠面积为b公顷，沙漠面积的增长速度为k万公顷/年，经过x年沙漠的面积增加到y万公顷.由题意，得y=k
x
+
b，且当x＝3时，y=100.6；当x＝6时，y=101.2。把它们分别代入y=k
x
+
b，得100.6=3k+b101.2=6k+b解这个方程组，得k=0.2b=100这样该地区沙漠面积的变化就由一次函数y=0.2x+100来进行描述。(2)
把
x
=
25
代入
y=0.2x+100，
得
y=0.2
╳25+100=105（万公顷）。
可见，如果该地区的沙漠化得不到治理，按相同的增长速度，那么2020年底，该地区的沙漠面积将增加到105万公顷。
用待定系数法求一次函数解析式可归纳为“一设，二列，三解，四还原”．一设：设出一次函数解析式为y＝kx＋b；二列：根据已知两对对应值列出方程组；三解：解这个方程组可求得k，b的值；四还原：将已求得的k，b的值再代入y＝kx＋b中，从而得到一次函数的解析式．
求函数解析式，一般先确定函数类型，再找出问题中的对应数据代入函数解析式的一般形式，求出其中的未知系数即可．
课堂检测
四、巩固训练1.已知y是x的一次函数，下表中列出了部分对应值，则m等于( )x－101y1m－1A．－1
B．0
C．0.5
D．2B2. 已知y是x的一次函数，且当x＝－4时，y＝9；当x＝6时，y＝－1.求：
(1)这个一次函数的解析式，自变量x的取值范围；
(2)当y<1时，自变量x的取值范围．解：(1)设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b，
∵当x＝－4时，y＝9；当x＝6时，y＝－1，∴解得∴所求一次函数的解析式为y＝－x＋5，自变量x的取值范围是全体实数；当y<1时，－x＋5<1，∴x>4.3.两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：
(1)求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y(cm)与饭碗数x(个)之间的一次函数解析式；
(2)把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？解：(1)设饭碗的高度与饭碗数之的函数关系为y＝kx＋b(k≠0)，
由图可知，当x＝4时，y＝10.5；当x＝7时，y＝15，
把它们分别代入上式，得解得k＝1.5，b＝4.5.
∴一次函数的解析式是y＝1.5x＋4.5(x是正整数)；
(2)当x＝4＋7＝11时，y＝1.5×11＋4.5＝21(cm)．
即把这两摞饭碗整齐地摆一摞时，这摞饭碗的高度是21
cm.4.某酒厂每天生产A，B两种品牌的白酒共600瓶，A，B两种品牌的白酒每瓶的成本和利润如下表：设每天生产A种品牌白酒x瓶，每天获利y元．（1）请写出y关于x的函数关系式；（2）如果该酒厂每天至少投入成本26400元，那么每天至少获利多少元？解：（1）A种品牌白酒x瓶，则B种品牌白酒（600-x）瓶，依题意，得y=20x+15（600-x）=5x+9000；（2）A种品牌白酒x瓶，则B种品牌白酒（600-x）瓶，依题意，得50x+35（600-x）≥26400，解得x≥360，∴每天至少获利y=5x+9000=10800．
及时练习，巩固所学.
通过做对应的题目，来让学生更深刻理解本节知识.
课堂小结
本节课你学到了什么 本节课主要学习了怎样确定一次函数的表达式，在确定一次函数的表达式时可以用待定系数法，即先设出解析式，再根据题目条件（根据图象、表格或具体问题）求出k，b的值，从而确定函数解析式。其步骤如下：（1）设函数表达式；（2）根据已知条件列出有关k，b的方程；（3）解方程，求k，b；（4）把k，b代回表达式中，写出表达式．
帮助学生梳理本课知识点.
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5.3一次
函数（2）
浙教版
八年级上
新知导入
情境引入
形如y=kx+b(k不为零）的函数,
称y是x的一次函数.
形如y=kx
(k不为零）的函数,
称y是x的正比例函数
y=kx+b
y=kx
b=0
待确定
代
回归
待定系数法
如何确定正比例函数的表达式
例3
已知y是x的一次函数，当x=3时，y=1;当x=-2时，y=-14.
求这个一次函数的表达式.
待确定
代
回归
待定系数法
如何确定一次函数的表达式？
解
因为y是x的一次函数，所以可设所求表达式为y=kx＋b(k≠0)
例3
已知y是x的一次函数，当x=3时，y=1;当x=-2时，y=-14.
求这个一次函数的表达式.
将x=3,y=1和x=-2,y=-14分别代入上式，得
1=3k+b，
-14=-2k+b.
解这个方程组，得k=3；b=-8.
所以所求的一次函数表达式为y=3x-8.
典例精讲
想一想：怎样确定一次函数的表达式？
通过例题，我们可发现，对于已知函数的种类时，我们可以设这个函数的解析式，利用已知条件，通过列方程组的方法，来求k，b的值。这种方法称为待定系数法。
提炼概念
想一想：用待定系数法确定一次函数的步骤是什么？
1.设所求的一次函数表达式为y=kx+b，其中k，b是待确定的常数，k≠0.
2.把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入y=kx+b，得到关于k，b的二元一次方程组.
3.解这个关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值.
4.把求得的k，b的值代入y=kx＋b，就得到所求的一次函数表达式.
新知讲解
例4
从1995年底开始，某地区的沙漠面积几乎每年以相同的速度增长。据有关报道，到2001年底，该地区的沙漠面积已从1998年底的100.6万公顷扩大到101.2万公顷。
（1）可选用什么数学方法来描述该地区的沙漠面积的变化？
（2）如果该地区的沙漠化得不到治理，按相同的增长速度，那么到2020年底，该地区的沙漠面积将增加到多少万公顷？
思考回答下面问题：
正比例函数，一次函数。
常量：
沙漠面积几乎每年以相同的速度增长。1995年底的沙漠面积。变量：
沙漠面积随着时间的变化而不断扩大。
kx
①
我们已经学习了哪些描述量的变化的方法？
②
所给问题中有哪些量？哪些是常量？哪些是变量？
③
如果沙漠面积的增长速度为k万公顷/年，那么经x年增加了多少万公顷？
④如果1995年底该地区的沙漠面积为b万公顷，经x年该地区的沙漠面积增加到y万公顷。y与x之间是哪一类函数关系式？
⑤求y关于x的函数解析式，只要求出哪两个常数的值。
思考回答下面问题：
∵
y=kx+b ∴
是一次函数关系式。
k，b
⑥根据题设条件，能否建立关于k，b的二元一次方程组？怎样建立？
思考回答下面问题：
当x＝3时，y=100.6
；当x＝6时，y=101.2
。
把这两对自变量和函数的对应值分别代入y=kx+b，得
100.6=3k+b
101.2=6k+b
解这个方程组，得
k=0.2
k=100
这样该地区沙漠面积的变化就由一次函数y=0.2x+100来进行描述。
（2）如果该地区的沙漠化得不到治理，按相同的增长速度，那么到2020年底，该地区的沙漠面积将增加到多少万公顷？
解：把x=25代入y=0.2x+100，得
y=0.2╳25+100=105（万公顷）。
可见，如果该地区的沙漠化得不到治理，那么到2020年底，该地区的沙漠面积将增加到105万公顷。
归纳概念
y=kx
y=kx+b
知道两对x,y值,可确定k,
b.
待确定
待确定
待确定
解一元一次方程
待定系数法
解二元一次方程组
知道一对x,y值,可确定k.
课堂练习
1.已知y是x的一次函数，下表中列出了部分对应值，则m等于( )
A．－1
B．0
C．0.5
D．2
x
－1
0
1
y
1
m
－1
B
2. 已知y是x的一次函数，且当x＝－4时，y＝9；
当x＝6时，y＝－1.求：
(1)这个一次函数的解析式，自变量x的取值范围；
(2)当y<1时，自变量x的取值范围．
解：(1)设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b，
∵当x＝－4时，y＝9；当x＝6时，y＝－1，
(2)当y<1时，－x＋5<1，∴x>4.
4.已知y＋2与x－1成正比例，且当x＝3时，y＝4.
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当y＝1时，求x的值．
解：(1)设y＋2＝k(x－1)(k≠0)，
把x＝3，y＝4代入，得4＋2＝k(3－1)，
解得k＝3.
则y与x之间的函数表达式是y＋2＝3(x－1)，即y＝3x－5.
(2)当y＝1时，3x－5＝1，解得x＝2.
3.两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：
(1)求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y(cm)与饭碗数x(个)之间的一次函数解析式；
(2)把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？
解：(1)设饭碗的高度与饭碗数之的函数关系为y＝kx＋b(k≠0)，
由图可知，当x＝4时，y＝10.5；当x＝7时，y＝15，
解得k＝1.5，b＝4.5.
∴一次函数的解析式是y＝1.5x＋4.5(x是正整数)；
(2)当x＝4＋7＝11时，y＝1.5×11＋4.5＝21(cm)．
即把这两摞饭碗整齐地摆一摞时，这摞饭碗的高度是21
cm.
4.某酒厂每天生产A，B两种品牌的白酒共600瓶，A，B两种品牌的白酒每瓶的成本和利润如下表：
设每天生产A种品牌白酒x瓶，每天获利y元．
（1）请写出y关于x的函数关系式；
（2）如果该酒厂每天至少投入成本26400元，那么每天至少获利多少元？
A
B
成本（元/瓶）
50
35
利润（元/瓶）
20
15
解：（1）A种品牌白酒x瓶，则B种品牌白酒（600-x）瓶，
依题意，得
y=20x+15（600-x）=5x+9000；
（2）A种品牌白酒x瓶，则B种品牌白酒（600-x）瓶，依题意，
得50x+35（600-x）≥26400，解得x≥360，
∴每天至少获利y=5x+9000=10800．
课堂总结
1、设：所求的一次函数解析式为y=kx+b；
2、列：依已知列出关于k、b的方程组；
3、解：解方程组，求得k、b；
4、写：把k、b的值代入y=kx+b
，写出
一次函数解析式。
求一次函数表达式的一般步骤是怎样的呢？
y=kx+b
知道两对x,y值,可确定k,
b.
待确定
待确定
解二元一次方程组
我们把这种方法称为:用待定系数法求函数的解析式.
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5.3一次
函数（2）
学案
课题
5.3一次
函数（2）
单元
第五单元
学科
数学
年级
八年级上册
学习目标
1.会用待定系数法求一次函数的解析式．2.会通过已知自变量的值求相应一次函数的值，已知一次函数的值求相应自变量的值解决一些简单的实际问题．
重点
用待定系数法求一次函数的表达式.
难点
待定系数法的过程比较复杂，是本节教学的难点．
教学过程
导入新课
【引入思考】
什么是正比例函数和一次函数？
新知讲解
提炼概念
用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：1、设：所求的一次函数解析式为y=kx+b；其中k,b是待确定的常数，k≠02、列：把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入y=kx+b，得到关于k、b的二元一次方程组；3、解：解方程组，求得k、b；4、写：把k、b的值代入y=kx+b
，写出一次函数解析式。典例精讲
例3
已知y是x的一次函数，当x=3时，y=1;当x=-2时，y=-14.求这个一次函数的表达式.想一想：确定一次函数的表达式需要几个条件？_____________________________________________________________________想一想：怎样确定一次函数的表达式呢？待定系数法：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________想一想：用待定系数法确定一次函数的步骤是什么？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________例4：某地区从1995年底开始，沙漠面积几乎每年以相同的速度增长。据有关报道，到2001年底，该地区的沙漠面积己从1998年底的100.6万公倾扩展到101.2万公倾。（1）可选用什么数学方法来描述该地区的沙漠面积的变化？（2）如果该地区的沙漠化得不到治理，那么到2020年底，该地区的沙漠面积将增加到多少万公倾？思考回答下面问题：①
我们已经学习了哪些描述量的变化的方法？②
所给问题中有哪些量？哪些是常量？哪些是变量？③
如果沙漠面积的增长速度为k万公顷/年，那么经x年增加了多少万公顷？④如果1995年底该地区的沙漠面积为b万公顷，经x年该地区的沙漠面积增加到y万公顷。y与x之间是哪一类函数关系式？⑤求y关于x的函数解析式，只要求出哪两个常数的值。⑥根据题设条件，能否建立关于k，b的二元一次方程组？怎样建立？
课堂练习
巩固训练1.已知y是x的一次函数，下表中列出了部分对应值，则m等于( )x－101y1m－1A．－1
B．0
C．0.5
D．22. 已知y是x的一次函数，且当x＝－4时，y＝9；当x＝6时，y＝－1.求：
(1)这个一次函数的解析式，自变量x的取值范围；
(2)当y<1时，自变量x的取值范围．3.两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：
(1)求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y(cm)与饭碗数x(个)之间的一次函数解析式；
(2)把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？
4.某酒厂每天生产A，B两种品牌的白酒共600瓶，A，B两种品牌的白酒每瓶的成本和利润如下表：设每天生产A种品牌白酒x瓶，每天获利y元．（1）请写出y关于x的函数关系式；（2）如果该酒厂每天至少投入成本26400元，那么每天至少获利多少元？答案【引入思考】1、y=kx
（k为常数，且k≠0）
2、y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）当b=0时，一次函数y=kx+b就变形为正比例函数y=kx提炼概念典例精讲
例3
解：因为y是x的一次函数，所以可以设所求表达式为y=kx+b（k≠0）将x=3，y=1和x=-2，y=-14分别代入上式，得：
1=3k+b
-14=-2k+b解这个方程组，得
k=3
b=-8所以所求的一次函数表达式为y=3x-8例4
解:(1)设从1995年底该地区的沙漠面积为b公顷，沙漠面积的增长速度为k万公顷/年，经过x年沙漠的面积增加到y万公顷.由题意，得y=k
x
+
b，且当x＝3时，y=100.6；当x＝6时，y=101.2。把它们分别代入y=k
x
+
b，得100.6=3k+b101.2=6k+b解这个方程组，得k=0.2b=100这样该地区沙漠面积的变化就由一次函数y=0.2x+100来进行描述。(2)
把
x
=
25
代入
y=0.2x+100，
得
y=0.2
╳25+100=105（万公顷）。
可见，如果该地区的沙漠化得不到治理，按相同的增长速度，那么2020年底，该地区的沙漠面积将增加到105万公顷。巩固训练B2.解：(1)设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b，
∵当x＝－4时，y＝9；当x＝6时，y＝－1，∴解得∴所求一次函数的解析式为y＝－x＋5，自变量x的取值范围是全体实数；当y<1时，－x＋5<1，∴x>4.3.解：(1)设饭碗的高度与饭碗数之的函数关系为y＝kx＋b(k≠0)，
由图可知，当x＝4时，y＝10.5；当x＝7时，y＝15，
把它们分别代入上式，得解得k＝1.5，b＝4.5.
∴一次函数的解析式是y＝1.5x＋4.5(x是正整数)；
(2)当x＝4＋7＝11时，y＝1.5×11＋4.5＝21(cm)．
即把这两摞饭碗整齐地摆一摞时，这摞饭碗的高度是21
cm.4.解：（1）A种品牌白酒x瓶，则B种品牌白酒（600-x）瓶，依题意，得y=20x+15（600-x）=5x+9000；（2）A种品牌白酒x瓶，则B种品牌白酒（600-x）瓶，依题意，得50x+35（600-x）≥26400，解得x≥360，∴每天至少获利y=5x+9000=10800．
课堂小结
本节课你学到了什么 本节课主要学习了怎样确定一次函数的表达式，在确定一次函数的表达式时可以用待定系数法，即先设出解析式，再根据题目条件（根据图象、表格或具体问题）求出k，b的值，从而确定函数解析式。其步骤如下：（1）设函数表达式；（2）根据已知条件列出有关k，b的方程；（3）解方程，求k，b；（4）把k，b代回表达式中，写出表达式．
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