中小学教育资源及组卷应用平台
5.5一次函数的应用（2）
教案
课题
5.5一次函数的应用（2）
单元
第五单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
了解一次函数与二元一次方程组的关系；2.能运用一次函数与二元一次方程组的关系解决方程组求解，不等式的求解等问题．
重点
综合运用一次函数的表达式和图象等解决简单实际问题．
难点
沟通数学模型(包括函数表达式和图象)与实际问题情境之间的对应关系，是本节教学的难点．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
看图，根据下图写出方程组的解
____________。用一次函数的图象解二元一次方程组的方法称为二元一次方程组的图象解法
思考自议
用具体题目导入，让学生明白用图象解决问题的思路。
讲授图象交点和函数解的关系。
讲授新课
提炼概念
我们知道在日常生活和生产实践中有不少问题的数量关系可以用一次函数来刻画。比如说行程问题，如果速度是常量，则路程与时间成一次函数关系。三、典例精讲例2:小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见面。上午7:00，小聪乘电动汽车从“古刹”出发，沿景区公路去“飞瀑”，车速为30km/h。小慧也于上午7:00从“塔林”出发，骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑”，车速为20km/h。（1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸“？（2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”还有多少km？解：设经过t时，小聪与小慧离“古刹”的路程分别为S1、S2，由题意得：S1=30t，
S2=20t+10将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上，观察图象，得（1）两条直线S1=30t，
S2=20t+10的交点坐标为（1，30）所以当小聪追上小慧时，S=30km，即离“古刹”30km，小于35km，也就是说，他们还没有到草甸（2）如图，当小聪到达飞瀑时，即s1=45km，此时s2=40km。所以小慧离飞瀑还有45-40=5（km）上例（1）题中，两条直线的交点坐标（1,30）应同时满足两条直线的表达式，即是二元一次方程组
s=
30t
s=
20t+10
的解将二元一次方程组转化为两个一次函数，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么这个交点的坐标就是这个二元一次方程组的解。
学会数形结合，利用一次函数图象解决实际问题。
作图时得出的交点，由于作图与观察的误差会导致结果的误差，因此在画图时一定要力求准确，以减少观察的误差，同时也可以由图象中推出：当两函数图象无交点时，则意味着相应的方程组无解；当两函数图象重合时，则意味着相应的方程组有无数组解．
课堂检测
四、巩固训练1.已知一次函数y＝kx＋b和y＝mx＋n的图象交于点P，则根据图象可得不等式组0＜mx＋n＜kx＋b的解集是
(
)
A．－3＜x＜－1
B．0＜x＜－1
C．－3＜x＜0
D．x＞31.A2.已知一次函数y＝3x＋b和y＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得方程组的解是_________.3.一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示．则下列结论：
（1）摩托车比汽车晚到1h；
（2）A，B两地的路程为20km；
（3）摩托车的速度为45km/h，汽车的速度为60km/h；
（4）汽车出发1小时后与摩托车相遇，此时距B地40千米；
（5）相遇前摩托车的速度比汽车的速度快．
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个分析图象可知
（1）4-3=1，摩托车比汽车晚到1h，正确；
（2）因为汽车和摩托车分别从A，B两地去同一城市，从y轴上可看出A，B两地的路程为20km，正确；
（3）摩托车的速度为（180-20）÷4=40km/h，汽车的速度为180÷3=60km/h，故（3）错误；
（4）根据汽车出发1小时后行驶60km，摩托车1小时后行驶40km，加上20km，则两车行驶的距离相等，此时距B地40千米；
故正确；
（5）根据图形可得出两车是匀速行驶，相遇前摩托车的速度比汽车的速度快，错误．
故正确的有3个．
故选：B．4.A、B两地相距828Km,如图是一列慢车和一列快车沿相同的路线从A地到B地所行驶的路程y(Km)和行驶是时间x(h)的变化图象。根据图象回答下列问题：（1）慢车比快车早出发
小时。（2）快车比慢车早
小时达到B地。（3）你能很快求出表示快车、慢车在行驶过程中的路程y与时间x之间的函数关系式。（4）快车出发多长时间才追上慢车？（1）2
（2）4（3）y快=69x-138
y慢=46x(4)解方程组解得：x=6
5.某商场要印刷商品宣传材料，甲印刷厂的收费标准是：每份材料收1元印制费，另收1
500元制版费；乙印刷厂的收费标准是：每份材料收2.5元印制费，不收制版费.（1）分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的关系式.（2）在同一直角坐标系中画出它们的图象.（3）根据图象回答下列问题：印制800份宣传材料时，选择哪一家印刷厂比较合算？商场计划花费3
000元用于印刷宣传材料，找哪一家印刷厂能印制宣传材料多一些？5.解
（1）两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的关系式分别为：
y甲=1
500+x
y乙=2.5x（3）当x=800时，
y甲=1
500+x=2
300
y乙=2.5x=2
000
当y=3
000时，
y甲=1
500+x=3
000，得x=1
500
y乙=2.5x=3
000，得x=1
200
通过做对应的题目，来让学生更深刻理解本节知识.
即时练习，巩固所学
课堂小结
这节课我们学习了：1.一次函数的应用2.将二元一次方程组转化为两个一次函数，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么这个交点的坐标就是这个二元一次方程组的解。
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
5.5一次函数的应用（2）
学案
课题
5.5一次函数的应用（2）
单元
第五单元
学科
数学
年级
八年级上册
学习目标
了解一次函数与二元一次方程组的关系；2.能运用一次函数与二元一次方程组的关系解决方程组求解，不等式的求解等问题．
重点
综合运用一次函数的表达式和图象等解决简单实际问题．
难点
沟通数学模型(包括函数表达式和图象)与实际问题情境之间的对应关系，是本节教学的难点．
教学过程
导入新课
【引入思考】
看图，根据下图写出方程组的解
____________。用一次函数的图象解二元一次方程组的方法称为二元一次方程组的图象解法我们知道在日常生活和生产实践中有不少问题的数量关系可以用一次函数来刻画。比如说行程问题，如果速度是常量，则路程与时间成一次函数关系。
新知讲解
提炼概念
我们知道在日常生活和生产实践中有不少问题的数量关系可以用一次函数来刻画。比如说行程问题，如果速度是常量，则路程与时间成一次函数关系。典例精讲
例2
小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见面，上午7：00，小聪乘电动汽车从“古刹”出发，沿景区公路去“飞瀑”，车速为30km/h，小慧也于上午7：00从“塔林”出发，骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑”，车速为20km/h。（1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸”？（2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”还有多少千米？【小组讨论】思考以下几个问题：1.涉及几个一次函数关系？2.各个函数关系中，包含哪些常量，哪些变量？3.小聪和小慧出发的时刻是否相同？出发的地点呢？4.如果这两个一次函数都用t表示自变量，那么t=0的实际意义是什么 如果分别用s1,
s2表示小聪与小慧的行驶的路程，那么当t=0时，s1,
s2分别是多少？S1=30t，
S2=20t+10将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上两条直线s=30t，s=20t+10的交点坐标为__________，所以当小聪追上小慧时，s=30
km，即离古刹30km，小于35
km，也就是说，他们还没到草甸.（2）当小聪到达“飞瀑”时，即S1=_____km，此时S2=_____km。所以小慧离“飞瀑”还有_____________________上例第(1)题中，两条直线的交点坐标(1，30)应同时满足两条直线的表达式，即是二元一次方程组S=30t与S=20t+10的解.由此可见，我们可以用两个一次函数的图象，通过观察确定两条直线的交点的坐标值，求出由两个一次函数式组成的方程组的解(注意，这样得到的解可能是近似解).反之，也可以通过解由两个一次函数式组成的二元一次方程组来求得两个一次函数图象交点的坐标.思考：用解析法如何求得这两个问题的结果？
课堂练习
巩固训练
1.已知一次函数y＝kx＋b和y＝mx＋n的图象交于点P，则根据图象可得不等式组0＜mx＋n＜kx＋b的解集是
(
)
A．－3＜x＜－1
B．0＜x＜－1
C．－3＜x＜0
D．x＞3
2.已知一次函数y＝3x＋b和y＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得方程组的解是_________.3.一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示．则下列结论：
（1）摩托车比汽车晚到1h；
（2）A，B两地的路程为20km；
（3）摩托车的速度为45km/h，汽车的速度为60km/h；
（4）汽车出发1小时后与摩托车相遇，此时距B地40千米；
（5）相遇前摩托车的速度比汽车的速度快．
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个A、B两地相距828Km,如图是一列慢车和一列快车沿相同的路线从A地到B地所行驶的路程y(Km)和行驶是时间x(h)的变化图象。根据图象回答下列问题：（1）慢车比快车早出发
小时。（2）快车比慢车早
小时达到B地。（3）你能很快求出表示快车、慢车在行驶过程中的路程y与时间x之间的函数关系式。（4）快车出发多长时间才追上慢车？
5.某商场要印刷商品宣传材料，甲印刷厂的收费标准是：每份材料收1元印制费，另收1
500元制版费；乙印刷厂的收费标准是：每份材料收2.5元印制费，不收制版费.（1）分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的关系式.（2）在同一直角坐标系中画出它们的图象.（3）根据图象回答下列问题：印制800份宣传材料时，选择哪一家印刷厂比较合算？商场计划花费3
000元用于印刷宣传材料，找哪一家印刷厂能印制宣传材料多一些？答案【引入思考】提炼概念典例精讲
解：设经过t时，小聪与小慧离“古刹”的路程分别为S1、S2，由题意得：S1=30t，
S2=20t+10将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上，观察图象，得（1）两条直线S1=30t，
S2=20t+10的交点坐标为（1，30）所以当小聪追上小慧时，S=30km，即离“古刹”30km，小于35km，也就是说，他们还没有到草甸（2）如图，当小聪到达飞瀑时，即s1=45km，此时s2=40km。所以小慧离飞瀑还有45-40=5（km）上例（1）题中，两条直线的交点坐标（1,30）应同时满足两条直线的表达式，即是二元一次方程组
s=
30t
s=
20t+10
的解将二元一次方程组转化为两个一次函数，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么这个交点的坐标就是这个二元一次方程组的解。巩固训练1.A2.3.分析图象可知
（1）4-3=1，摩托车比汽车晚到1h，正确；
（2）因为汽车和摩托车分别从A，B两地去同一城市，从y轴上可看出A，B两地的路程为20km，正确；
（3）摩托车的速度为（180-20）÷4=40km/h，汽车的速度为180÷3=60km/h，故（3）错误；
（4）根据汽车出发1小时后行驶60km，摩托车1小时后行驶40km，加上20km，则两车行驶的距离相等，此时距B地40千米；
故正确；
（5）根据图形可得出两车是匀速行驶，相遇前摩托车的速度比汽车的速度快，错误．
故正确的有3个．
故选：B．（1）2（2）4（3）y快=69x-138
y慢=46x(4)解方程组解得：x=65.解
（1）两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的关系式分别为：
y甲=1
500+x
y乙=2.5x（3）当x=800时，
y甲=1
500+x=2
300
y乙=2.5x=2
000
当y=3
000时，
y甲=1
500+x=3
000，得x=1
500
y乙=2.5x=3
000，得x=1
200
课堂小结
这节课我们学习了：1.一次函数的应用2.将二元一次方程组转化为两个一次函数，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么这个交点的坐标就是这个二元一次方程组的解。
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共26张PPT)
5.5一次函数的应用（2）
浙教版
八年级上
新知导入
情境引入
一次函数y=2x-5和y=-x+1
1、先在平面直角坐标系中画出y=2x-5和y=-x+1的图象.
这两条直线相交于
点，交点坐标是
.
一
（
2，-1）
2、解方程组
2x-y=5
x+y=1
这个方程组的解为：
x=2
y=-1
你能得到什么结论 你能说明这一结论的正确性吗
探索一：
P(1,1)
y=-x+2
3、如图，根据写出方程组
的解
。
用一次函数的图象解二元一次方程组的方法称为二元一次方程组的图象解法.
探索二：
我们知道在日常生活和生产实践中有不少问题的数量关系可以用一次函数来刻画。比如说行程问题，如果速度是常量，则路程与时间成一次函数关系。
提炼概念
典例精讲
例2
小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见面，上午7：00,小聪乘电动汽车从“古刹”出发，沿景区公路去“飞瀑”，车速为30km/h，小慧也于上午7：00从“塔林”出发，骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑”，车速为20km/h.
（1）当小聪追上小慧时，他们是否
已经过了“草甸”？
（2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧
离“飞瀑”还有多少千米？
【小组讨论】思考以下几个问题：
1.涉及几个一次函数关系？
2.各个函数关系中，包含哪些常量，哪些变量？
3.小聪和小慧出发的时刻是否相同？出发的地点呢？
4.如果这两个一次函数都用t表示自变量，那么t=0的实际意义是什么 如果分别用s1,
s2表示小聪与小慧的行驶的路程，那么当t=0时，s1,
s2分别是多少？
解：设经过t时，小聪与小慧离“古刹”的路程分别为S1、S2，由题意得：S1=30t，
S2=20t+10
将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上
5
t（时）
S（km）
10
20
30
40
50
60
15
25
35
45
55
0.25
0
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
S1=30t
S2=20t+10
5
t（时）
S（km）
10
20
30
40
50
60
15
25
35
45
55
0.25
0
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
S1=30t
S2=20t+10
（1）两条直线s=30t，s=20t+10的交点坐标为__________，所以当小聪追上小慧时，s=30
km，即离古刹30km，小于35
km，也就是说，他们还没到草甸.
（1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸”？
(1，30)
(1，30)
（2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”还有多少千米？
（2）当小聪到达“飞瀑”时，
即S1=_____km，此时S2=_____km。
所以小慧离“飞瀑”还有
______________________
45
40
45－40=5（km）
5
t（时）
S（km）
10
20
30
40
50
60
15
25
35
45
55
0.25
0
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
S1=30t
S2=20t+10
上例第(1)题中，两条直线的交点坐标(1，30)应同时满足两条直线的
表达式，即是二元一次方程组
的解.
由此可见，我们可以用两个一次函数的图象，通过观察确定两条直线的交点的坐标值，求出由两个一次函数式组成的方程组的解(注意，这样得到的解可能是近似解).
反之，也可以通过解由两个一次函数式组成的二元一次方程组来求得两个一次函数图象交点的坐标.
上例第(1)题中，两条直线的交点坐标(1，30)应同时满足两条直线的
表达式，即是二元一次方程组
的解.
由此可见，我们可以用两个一次函数的图象，通过观察确定两条直线的交点的坐标值，求出由两个一次函数式组成的方程组的解(注意，这样得到的解可能是近似解).
反之，也可以通过解由两个一次函数式组成的二元一次方程组来求得两个一次函数图象交点的坐标.
S=30t
S=20t+10
思考：用解析法如何求得这两个问题的结果？
只要把两条解析式联列成方程组，求出方程组的解，即为两条直线交点坐标。
归纳概念
（1）一次函数与二元一次方程组可以相互转化，从形式到内容都是完美的统一。
（2）将二元一次方程组转化为两个一次函数，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么这个交点的坐标就是这个二元一次方程组的解。
1.已知一次函数y＝kx＋b和y＝mx＋n的图象交于点P，则根据图象可得不等式组0＜mx＋n＜kx＋b的解集是
(
)
A．－3＜x＜－1
B．0＜x＜－1
C．－3＜x＜0
D．x＞3
A
课堂练习
2.已知一次函数y＝3x＋b和y＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象.
课堂练习
3.一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示．则下列结论：
（1）摩托车比汽车晚到1h；
（2）A，B两地的路程为20km；
（3）摩托车的速度为45km/h，汽车的速度为60km/h；
（4）汽车出发1小时后与摩托车相遇，此时距B地40千米；
（5）相遇前摩托车的速度比汽车的速度快．
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
B
分析图象可知
（1）4-3=1，摩托车比汽车晚到1h，正确；
（2）因为汽车和摩托车分别从A，B两地去同一城市，从y轴上可看出A，B两地的路程为20km，正确；
（3）摩托车的速度为（180-20）÷4=40km/h，汽车的速度为180÷3=60km/h，故（3）错误；
（4）根据汽车出发1小时后行驶60km，摩托车1小时后行驶40km，加上20km，则两车行驶的距离相等，此时距B地40千米；故正确；
（5）根据图形可得出两车是匀速行驶，相遇前摩托车的速度比汽车的速度快，错误．
故正确的有3个．
故选：B．
4.A、B两地相距828Km,如图是一列慢车和一列快车沿相同的路线从A地到B地所行驶的路程y(Km)和行驶是时间x(h)的变化图象。
根据图象回答下列问题：
（1）慢车比快车早出发
小时。
（2）快车比慢车早
小时达到B地。
（3）你能很快求出表示快车、慢车在行驶过程中的路程y与时间x之间的函数关系式。
（4）快车出发多长时间才追上慢车？
（3）y快=69x-138
y慢=46x
(4)解方程组
2
4
5.某商场要印刷商品宣传材料，甲印刷厂的收费标准是：每份材料收1元印制费，另收1
500元制版费；乙印刷厂的收费标准是：每份材料收2.5元印制费，不收制版费.
（1）分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的关系式.
（2）在同一直角坐标系中画出它们的图象.
（3）根据图象回答下列问题：印制800份宣传材料时，选择哪一家印刷厂比较合算？商场计划花费3
000元用于印刷宣传材料，找哪一家印刷厂能印制宣传材料多一些？
解
（1）两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的关系式分别为：
y甲=1
500+x
y乙=2.5x
（3）当x=800时，
y甲=1
500+x=2
300
y乙=2.5x=2
000
当y=3
000时，
y甲=1
500+x=3
000，得x=1
500
y乙=2.5x=3
000，得x=1
200
O
x(份)
y(元)
500
1
000
1
500
2
000
1
500
2
500
3
500
4
500
5
500
y甲=1
500+x
y乙=2.5x
（2）
课堂总结
知识小结
1.综合运用一次函数的表达式和图象解决简单的实际问题；
2.直角坐标系中两条直线(不平行于坐标轴)的交点坐标与由两条直线的函数表达式所组成的二元一次方程组的解之间的关系.
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
