2.5 逆命题与逆定理 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
2.5逆命题和逆定理
浙教版 八年级上
新知导入
对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题.
命题的概念：
命题：“平行四边形的对角线互相平分”
条件是__________________________，
结论是_____________________ .
命题：“对角线互相平分的四边形是平行四边形” 条件是__________________________________，结论是__________________________.
条件和结论，它的一般形式是“如果……，那么……”
命题的结构：
有一个四边形是平行四边形
它的对角线互相平分
有一个四边形的对角线互相平分
这个四边形是平行四边形
新知导入
思考：
命题有真有假.
正确的命题是真命题，错误的命题是假命题.
“飞机是会飞的交通工具”
“会飞的交通工具是飞机”
这两个命题有什么不同？它们都是真命题吗？
第一个命题的条件是第二个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命题的条件
探究思考
假
a＝b
a2＝b2
(4)如果a2＝b2，那么a＝b.
真
a2＝b2
a＝b
(3)如果a＝b，那么a2＝b2.
真
两直线平行
同位角相等
(2)同位角相等，两直线平行
真
同位角相等
两直线平行
(1)两直线平行，同位角相等
真假
结论
条件
填表并思考：命题(1)和命题(2)，命题(3)和命题(4)的条件和结论有什么关系？
(1)的条件是(2)的结论，(2)的结论是(1)的条件；(3)的条件是(4)的结论，(4)的结论是(3)的条件
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.
我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.
上表中，命题(1)与命题(2)，命题(3)与命题(4)都是互逆命题.
每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题是否一定为真命题？
不一定
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫互逆定理.
知识讲解
下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请写出它的逆定理．
(1) 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；
(2) 成轴对称的两个图形是全等图形；
(3) 等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线互相重合．
解：(1) 有逆定理．如果两个三角形全等，那么这两个三
角形对应的两边及其夹角相等
(2) 无逆定理
(3) 有逆定理．若一个三角形的一个角的平分线与这个
角所对边上的高线互相重合，则这个三角形是等腰
三角形.
做一做
例题讲解
例1：说出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端
点的距离相等”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.
解:　这个定理的逆命题是: 到一条线段两个端点距离相等的
点，在这条线段的垂直平分线上．
P
A
B
已知：AB是一条线段，P是一点，且PA＝PB
求证：点P在线段AB的垂直平分线上
(2) 当点P不在 线段AB上时，作PC⊥AB于点O.
O
C
证明：(1) 当点P在线段AB上，结论显然成立；
∵PA=PB，PO⊥AB，
∴OA=OB(等腰三角形三线合一)
下面给出证明
∴PC是AB的垂直平分线.
∴点P在线段AB的垂直平行线上
可见，线段垂直平分线性质定理的逆定理是真命题.
线段垂直平分线性质定理的逆定理：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
例题讲解
例2：写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题，
判断这个命题的真假，并给出证明.
解：逆命题是 “ 如果两个三角形的面积相等，那么这两个
三角形全等”.
这个逆命题是假命题. 举反例如下：
如图，在△ABC和△ABE中，CD，EF分别是△ABC和△ABE的AB边上的高线，且CD=EF，则△ABC和△ABE的面积相等，但显然它们不全等. 所以这个逆命题是假命题.
C
D
A
E
B
F
当堂练习
定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是______，这个命题正确吗？若正确，请你证明这个命题，若不正确请说明理由．
逆命题是“三角形一边上的中线是这边的一半的话，那么这个三角形是直角三角形”
这个命题是正确的．
已知：△ABC中，D是AC的中点，BD=AD，BD=DC．
求证：△ABC是直角三角形．
A
C
D
B
证明：∵BD=AD，
∴∠A=∠ABD，
∵BD=DC，
∴∠C=∠DBC，
∵∠A+∠C+∠ABD+∠DBC=180°，
∴2(∠A+∠C)=180°，
解得∠A+∠C=90°，
∴∠ABC=90°．
即△ABC是直角三角形．
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A
C
D
B
课堂小结
这节课我们学习了：
1. 逆命题、逆定理的定义.
2. 互逆命题的定义.
3. 线段的垂直平分线性质定理的逆定理的证明以及运用.
课堂练习
(1)下列命题的逆命题是真命题的有( )
①四边形是多边形；②两直线平行，同旁内角互补；
③若ab=0，则a=0或b=0；④三角形中等角对等边．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
(1) 其逆命题是：多边形是四边形，错误；
(2) 其逆命题是：如果同旁内角互补，则两直线平行，正确；
(3) 其逆命题是：若a=0或b=0，则ab=0，正确；
(4) 其逆命题是：三角形中等边对等角，正确．
所以真命题的有三个．
故选C．
C
1. 选择题
课堂练习
A. 任何命题都有逆命题，正确，故本选项错误；
B. 任何定理不一定都有逆定理，故本选项正确；
C. 真命题的逆命题不一定为真，正确，故本选项错误；
D. 任何命题都是由条件和结论构成的，正确，故本选项错误．
故选B．
(2) 下列说法错误的是( )
A. 任何命题都有逆命题
B. 任何定理都有逆定理
C. 真命题的逆命题不一定为真
D. 任何命题都是由条件和结论构成的
B
课堂练习
(3) 对于以下说法：①如果一个命题是真命题，那么它的逆命题不一定是真命题；②每个定理都有逆定理；③基本事实是通过推理判断为正确的命题；④“同位角相等”是定理．其中正确的说法有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
A
课堂练习
2. 写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举反例说明．
(1) 两直线平行，同位角相等；
(2) 垂直于同一条直线的两直线平行；
(3) 相等的角是内错角；
(4) 有一个角是60°的三角形是等边三角形．
解：同位角相等，两直线平行；真命题
解：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一
条直线；真命题
解：内错角相等；假命题，举反例略
解：等边三角形有一个角是60°；真命题
课堂练习
3. 写出符合下列条件的一个原命题
(1) 原命题和逆命题都是真命题；
(2) 原命题是假命题，但逆命题是真命题；
(3) 原命题是真命题，但逆命题是假命题；
(4) 原命题和逆命题都是假命题；
答案不唯一
(1) 若x=0或x =1，则x ( x -1)=0
(2) 若x ( x -1)=0，则x=0
(3) 若x=0，则x ( x -1)=0
(4) 若x=0，则x-1=0
4. 说出命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题，并判断逆命题的真假. 若逆命题是真命题，请加以证明；若逆命题是假命题，请举出反例．
逆命题是：如果一个三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形.
此逆命题是真命题证明如下：
已知：如图，在ABC中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，且BE=CF
求证：AB=AC.
证明：∵S△ABC= AB · CF= AC·BE，而BE=CF，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形.
A
C
B
F
E
5. 写出命题“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角的角平分线所夹的锐角是45°“的逆命题，并证明这个命题是真命题．
逆命题是：如果一个三角形的两个角的角平分线所夹的锐角是45°，那么这个三角是直角三角形．
已知：如图，△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，交AC于E，
AD是∠CAB的角平分线，交BC于D，BE和AD相交
于O点，且∠EOA=45°．
求证：△ABC是直角三角形
A
B
C
D
E
O
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证明：∵BE是∠ABC的角平分线，AD是∠CAB的角平分线，
∴∠OAB= ∠CAB，∠OBA= ∠CBA，
∴ ∠OAB+∠OBA= (∠CAB+∠CBA)，
∴180°-∠AOB= (180-∠C)，
∴∠AOB=90°+ ∠C
又∵∠EOA=45°，
∴∠AOB=135°=90°+ ∠C ，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形.
A
B
C
D
E
O
作业布置
作业本
课本作业题3.4.5
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