中小学教育资源及组卷应用平台
1.1 锐角三角函数（1）
课题 1.1 锐角三角函数（1） 单元 第一单元 学科 数学 年级 九年级下册
学习目标 1.理解锐角三角函数的概念，并能将三角函数表示为 两条线段的比；2．了解直角三角形中的两个锐角三角函数值之间的关 系；3．了解直角三角形中的边与三角函数值的关系．
重点 锐角的正弦、 余弦、 正切和锐角三角函数的概念.
难点 无论从函数的意义还是表示锐角三角函数符号， 以及函数中以角为自变量， 都有别于已学过的一次函数和二次函数，其概念比较抽象，是本节教学的难点.
教学过程
导入新课 【引入思考】议一议 想一想 1．作一个30°的∠A（如图），在角的边上任意取一点B，作BC⊥AC于点C．计算，，的值，并将所得的结果与你的同伴所得的结果作比较．2.如图，B，B1是∠α一边上的任意两点，作BC⊥AC于点C，B1C1⊥AC1于点C1．判断比值与，与，与是否相等，并说明理由．合作探究总结
新知讲解 提炼概念 定义：典例精讲 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3．求∠A的正弦、余弦和正切．如图，在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝2，BC＝3．求：（1）sinA，cosB．（2）cosA，sinB．（3）观察（1）（2）中的计算结果，你发现了什么？请说明理由．
课堂练习 巩固训练1、如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）A、 B、 C、 2 D、 2、在△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，BC=4，则AC为（ ）A、4tan50° B、4tan40° C、4sin50° D、4sin40°3、 如图，∠α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上， 另一边OA上有一点P(b，4)，若sin α＝ ，则b＝ ________．4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB︰BC＝1︰2，求tanB，sinB，cosB．5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点 D，BC=3，AC=4，求sin∠DCB的值. 答案引入思考 结论：在直角三角形中，当∠A=30°时，比值 , ,都是一个确定的值，与点B在角 的边上的位置无关. 总结：对于锐角α的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是唯一确定的. 比值叫做∠α的正弦，记做sinα 比值叫做∠α的余弦，记做cosα 比值叫做∠α的正切，记做tanα 锐角α的正弦、余弦、正切统称为∠α的三角函数 提炼概念对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的。典例精讲 例1 解：如图1-6，在Rt△ABC中，AB=5， BC=3.思考：解：（1）∵AC=2，BC=3，∴AB= = =∴sinA = cosB = （2）同理可得：cosA = sinA = （3）发现一个秘密：sinA= = cosB,cosA = = sinB巩固训练1. D2.B34.5.解：在Rt△ABC中， ∵CD⊥AB， ∴∠DCB+∠B=90°， ∵∠A+∠B=90°， ∴∠A=∠DCB，
课堂小结 小求锐角的三角函数值的三种方法：1．在直角三角形里，确定各个边，根据定义直接求出．2．利用相似、全等等关系，寻找与所求角相等的角 (若该角的三角函数值知道或者易求)．3．利用互余的两个角间的特殊关系求． 1、锐角三角函数的定义： 2、sinA，cosA，tanA，是一个完整的符号，表示∠A的三角函数,习惯省去“∠”号； 3、sinA，cosA，tanA， 是一个比值.注意比的顺序， 且sinA，cosA，tanA，均﹥0，无单位. 4、sinA，cosA，tanA， 的大小只与∠A的大小有关， 而与直角三角形的边长无关. 5、角相等，则三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
1.1 锐角三角函数（1）
课题 1.1 锐角三角函数（1） 单元 第一单元 学科 数学 年级 九年级（下）
学习目标 1.理解锐角三角函数的概念，并能将三角函数表示为 两条线段的比；2．了解直角三角形中的两个锐角三角函数值之间的关 系；3．了解直角三角形中的边与三角函数值的关系．
重点 锐角的正弦、 余弦、 正切和锐角三角函数的概念.
难点 无论从函数的意义还是表示锐角三角函数符号， 以及函数中以角为自变量， 都有别于已学过的一次函数和二次函数，其概念比较抽象，是本节教学的难点.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题两个物体在倾斜角不同的斜面上向上运动相同的距离，它们上升的高度相同吗？1.作一个30°的∠A（图1-2），在角的边上任意取一点B，作BC⊥AC于点C.计算, , 的值，并将所得的结果与你的同伴所得的结果作比较.AB=150米，BC=75米 AB=200米，BC=100米 AB=a米，BC=米 当AB=150米，BC=75米时AC=当AB=200米，BC=100米时，AC=当AB=a米，BC=米时，AC= 结论：在直角三角形中，当∠A=30°时，比值 , ,都是一个确定的值，与点B在角 的边上的位置无关. 思考：若改变角度为600 时，与300 时比值变了吗？(1)直角三角形AB1C1和直角三角形ABC有什么关系 (2)和, 和,和 有什么关系 (3)如果改变B在梯子上的位置， (2)中的关系还存在吗？ 总结：对于锐角α的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是唯一确定的. 比值叫做∠α的正弦，记做sinα 比值叫做∠α的余弦，记做cosα 比值叫做∠α的正切，记做tanα 锐角α的正弦、余弦、正切统称为∠α的三角函数 思考自议求一个锐角的三角函数值，关键是理解其意义，不需要求直角三角形各边之长，只知道它们的比值，同样可求出其他三角函数值． 知道比值往往设比值，即用k表示各边之长，这种转化的思想要掌握．
讲授新课 提炼概念对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的。三、典例精讲例1：如图1-6，在Rt△ABC中，∠C=Rt，AB=5，BC=3. 求∠A的正弦、余弦和正切. 解：如图1-6，在Rt△ABC中，AB=5， BC=3. 思考：如图,在Rt△ABC中，∠C=Rt∠.AC=2，BC=3.求（1）sinA，cosB .（2）cosA，sinB.（3）观察（1）（2）中的计算结果，你发现了什么？请说明理由解：（1）∵AC=2，BC=3，∴AB= = =∴sinA = cosB = （2）同理可得：cosA = sinA = （3）发现一个秘密：sinA= = cosB,cosA = = sinB 运用三角函数的定义解题是在直角三角形中进行的，因此通常先运用勾股定理求未知边，从而求三角函数值． 在求三角函数值的过程中，体会数形结合的思想方 法．
课堂检测 四、巩固训练1、如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）A、 B、 C、 2 D、 1. D2、在△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，BC=4，则AC为（ ）A、4tan50° B、4tan40° C、4sin50° D、4sin40°2.B3、 如图，∠α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上， 另一边OA上有一点P(b，4)，若sin α＝ ，则b＝ ________．34. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB︰BC＝1︰2，求tanB，sinB，cosB．5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点 D，BC=3，AC=4，求sin∠DCB的值. 解：在Rt△ABC中， ∵CD⊥AB， ∴∠DCB+∠B=90°， ∵∠A+∠B=90°， ∴∠A=∠DCB，
课堂小结 求锐角的三角函数值的三种方法：1．在直角三角形里，确定各个边，根据定义直接求出．2．利用相似、全等等关系，寻找与所求角相等的角 (若该角的三角函数值知道或者易求)．3．利用互余的两个角间的特殊关系求． 1、锐角三角函数的定义： 2、sinA，cosA，tanA，是一个完整的符号，表示∠A的三角函数,习惯省去“∠”号； 3、sinA，cosA，tanA， 是一个比值.注意比的顺序， 且sinA，cosA，tanA，均﹥0，无单位. 4、sinA，cosA，tanA， 的大小只与∠A的大小有关， 而与直角三角形的边长无关. 5、角相等，则三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共22张PPT)
浙教版 九年级上
1.1 锐角三角函数（1）
新知导入
情境引入
两个物体在倾斜角不同的斜面上向上运动相同的距离，它们上升的高度相同吗？
新知导入
合作学习
B
B
Ｂ
B
C
B
B
B
B
a米
200米
B
150米
C
A
30°
N
M
AB=150米，
AB=200米，
AB=a米，
BC=75米；
BC=100米；
BC= a米.
思考：在上述过程中，哪些量是保持不变的？
结论:
比值
是一个确定的值.
与点B在角的边上的位置无关.
B
C
B
C
A
30°
N
M
B
探索一
B1
C1
C
B
探索二
A
(1)若改变角度为600 时，与300 时比值变了吗？
(2) 和 , 和 ,
和 有什么关系
=
=
=
合作学习
B1
C1
C
B
探索二
(1)直角三角形AB1C1和直角三角 形ABC有什么关系
(2) 和 , 和 ,
和 有什么关系
相似
=
=
=
A
提炼概念
角度不变，比值不变
角度改变，比值改变
角度
比值
比值随着角度的变化而变化
∵∠A=∠A,∠BCA=∠
∴△ABC∽
∴ =
A
C
B
函数值(y)
自变量(x)
对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的。
比较发现“角度改变，比值改变”。.
这几个比值都是锐角∠A的函数，记作sin A、cos A、tan A，即
sin A=
cos A=
tan A=
分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的三角函数.
1、sinA 不是一个角 2、sinA不是 sin与A的乘积
3、 sinA 是一个比值 4、sinA 没有单位
做一做
如图， ∠C=90°，CD⊥AB.
在上图中，若BD=6，CD=12.求cos A的值.
┍
┌
A
C
B
D
典例精讲
新知讲解
A
B
C
例1 如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，
求∠A、∠B的正弦、余弦和正切.
AC=5，BC=3.
观察以上计算结果,你发现了什么
解: 在Rt△ABC中
∵
∴
∴
5
3
4
由于∠A+∠B=90°
如图,在Rt△ABC中，∠C=Rt∠.AC=2，BC=3.求
（1）sinA，cosB .
（2）cosA，sinB.
（3）观察（1）（2）中的计算结果，你发现了什么？请说明理由
A
C
∴sinA = ,
解：（1）∵AC=2，BC=3，
∴AB= = =
cosB = ,
B
A
B
C
解：（2）同理可得：
sinA = ,
cosA = ,
A
B
C
解：（3）发现一个秘密：
cosA = = sinB
sinA= = cosB,
课堂练习
1、如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）
A、 B、 C、 2 D、
D
2、在△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，BC=4，则AC为（ ）
A、4tan50° B、4tan40° C、4sin50° D、4sin40°
B
3. 如图，∠α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，
另一边OA上有一点P(b，4)，若sin α＝ ，则b＝
________．
3
4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB︰BC＝1︰2，求tanB，sinB，cosB．
课堂练习
5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点
D，BC=3，AC=4，求sin∠DCB的值.
解：在Rt△ABC中，
∵CD⊥AB， ∴∠DCB+∠B=90°，
∵∠A+∠B=90°， ∴∠A=∠DCB，
课堂总结
同角三角函数间的关系：
sin 2A＋cos 2A＝ __1__(0°<∠A<90°)．
∠A+∠B=90°
4.求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
求锐角的三角函数值的三种方法：
1．在直角三角形里，确定各个边，根据定义直接求出．
2．利用相似、全等等关系，寻找与所求角相等的角
(若该角的三角函数值知道或者易求)．
3．利用互余的两个角间的特殊关系求．
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
