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1.1 锐角三角函数（2）
课题 1.1 锐角三角函数（2） 单元 第一单元 学科 数学 年级 九年级下册
学习目标 1.掌握特殊角的三角函数值，并能进行计算；2．能运用特殊三角函数值解决实际问题；3．理解并掌握同角的三角函数关系．
重点 30°，45°和60°角的三角函数值，以及综合运用这些特殊锐角的三角函数值和勾股定理等知识解决含有特殊锐角的直角三角形的计算问题．
难点 例3的问题比较综合，解决时需要相像、构造直角三角形，是本节教学的难点．
教学过程
导入新课 【引入思考】1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1．求∠A的正弦、余弦和正切．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，斜边AB＝2．求：（1）BC，AC的长；（2）∠A，∠B的正弦、余弦和正切．
新知讲解 提炼概念 典例精讲 【例2】求下列各式的值：（1）2sin30°－3cos60°．（2）cos245°＋tan60°·sin60°．（3）cos30°－sin45°＋tan45°·cos60°．【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，∠BAC＝120°．求BC的长和△ABC的面积．
课堂练习 巩固训练1．计算5sin 30°＋2cos 245°－tan 260°的值是 ( )2．Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则sin B的值为 ( )A. B.C. D.3.求下列各式的值：(1)1－2sin 30°cos 30°；(2)3tan 30°－tan 45 °＋2sin 60°；(3)＋.4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，求∠A，∠B的度数．5．救援人员在地平面的A点，用生命探测仪测得正下方B点有生命迹象，救援队在与A点同一水平面外的C点沿着CB方向挖掘，已知∠ACB＝30°，AC＝5米，若挖掘的速度为2米/小时，几小时后到达B点？答案引入思考解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝BC＝1，∴AB＝，∴sin∠A＝＝＝，cos∠A＝＝＝，tan∠A＝＝1．2.解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，斜边AB＝2，∴BC＝1，AC＝．（2）sin∠A＝＝，cos∠A＝＝，tan∠A＝＝．sin∠B＝＝，cos∠B＝＝，tan∠B＝＝．提炼概念典例精讲 例2解：（1）原式＝2×－3×＝－．（2）原式＝＋×＝2．（3）原式＝×－×＋1×＝1．此例中首次出现了三角函数的平方（cos245°）的书写方法，教学时要明确它的含义，并进行书写示范．例3解：如图，作AD⊥BC．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝60°．∵sin∠BAD＝，∴BD＝ABsin∠BAD＝8×sin60°＝8×＝4（cm）．∴BC＝2BD＝8（cm）．而cos∠BAD＝，∴AD＝ABcos∠BAD＝8cos60°＝8×＝4（cm）．∴S△ABC＝BC·AD＝×8×4＝16（cm2）．巩固训练1.B2. A3.4.解： ∵∠C＝90°，BC＝，AC＝，∴tan A＝＝＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°.5.解：在△ABC中，cos 30°＝，∴BC＝＝，∴÷2＝.答：小时后到达B点．
课堂小结 小
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浙教版 九年级上
1.1 锐角三角函数（2）
新知导入
情境引入
锐角三角函数的定义:
在 中，
∠A的余弦 :
∠A的正弦：
锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的三角函数。
脑中有“图”，心中有“式”
∠A的正切：
b
a
AC
BC
A的邻边
A的对边
tanA
=
=
=
新知导入
合作学习
(1)sin300等于多少
┌
┌
300
600
450
450
(2)cos300等于多少
(3)tan300等于多少
请与同伴交流你是怎么想的 又是怎么做的
如图,观察一副三角板:
它们其中有几个锐角 分别是多少度
合作学习
A
B
C
30°
1
2
(4)sin450,sin600等于多少
(5)cos450,cos600等于多少
(6)tan450,tan600等于多少
┌
┌
300
600
450
450
α 30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα
提炼概念
特殊角的三角函数值表
锐角α
三角函数 30 45 60
正弦sinα
余弦cosα
正切tanα
这张表还可以看出许多知识之间的内在联系
提炼概念
三角函数的单调性(增减性） :
观察特殊角的三角函数表，发现规律：
当 时,
α的正弦值随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小;
α的余弦值随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大;
α的正切值随着角度的增大而增大， 随着角度的减小而减小。
巧记特殊锐角三角函数值的方法：
1. 三角板记忆法：借助如图所示的三角板记忆．
特点记忆法：30°，45°，60°角的正弦值记为
余弦值相反，正切值记为
3. 口诀记忆法：1，2，3；3，2，1；3，9，27；弦比2，
切比3，分子根号别忘添．
典例精讲
新知讲解
(1)2sin 30°- 3cos 60°
解：
例1 求下列各式的值：
(2)cos245°+tan 60° sin 60°.
(3) cos 30°- sin 45°+tan 45° cos 60°.
课堂练习
1．计算5sin 30°＋2cos 245°－tan 260°的值是 ( )
B
A
3.求下列各式的值：
(1)1－2sin 30°cos 30°；
(2)3tan 30°－tan 45 °＋2sin 60°；
【解析】 关键是把相应的特殊角的三角函数值代入式子中进行计算．
课堂练习
5．救援人员在地平面的A点，用生命探测仪测得正下方B点有生命迹象，救援队在与A点同一水平面外的C点沿着CB方向挖掘，已知∠ACB＝30°，AC＝5米，若挖掘的速度为2米/小时，几小时后到达B点？
课堂总结
巧记特殊锐角三角函数值的方法：
1. 三角板记忆法：借助如图所示的三角板记忆．
特点记忆法：30°，45°，60°角的正弦值记为
余弦值相反，正切值记为
3. 口诀记忆法：1，2，3；3，2，1；3，9，27；弦比2，
切比3，分子根号别忘添．
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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1.1 锐角三角函数（2）
课题 1.1 锐角三角函数（2） 单元 第一单元 学科 数学 年级 九年级（下）
学习目标 1.掌握特殊角的三角函数值，并能进行计算； 2．能运用特殊三角函数值解决实际问题； 3．理解并掌握同角的三角函数关系．
重点 30°，45°和60°角的三角函数值，以及综合运用这些特殊锐角的三角函数值和勾股定理等知识解决含有特殊锐角的直角三角形的计算问题．
难点 例3的问题比较综合，解决时需要相像、构造直角三角形，是本节教学的难点．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1．求∠A的正弦、余弦和正切．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝BC＝1，∴AB＝，∴sin∠A＝＝＝，cos∠A＝＝＝，tan∠A＝＝1．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，斜边AB＝2．求：（1）BC，AC的长；（2）∠A，∠B的正弦、余弦和正切．解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，斜边AB＝2，∴BC＝1，AC＝．（2）sin∠A＝＝，cos∠A＝＝，tan∠A＝＝．sin∠B＝＝，cos∠B＝＝，tan∠B＝＝．本节课是在上节课已建立三角函数概念的基础上进一步探求特殊角的三角函数值，教学时应引导学生回顾“直角三角形的两个锐角互余”、直角三角形三边之间的关系（勾股定理），以及“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”等知识，引导学生根据锐角三角函数的定义自主探求30°，45°和60°角的三角函数值． 思考自议引导学生根据锐角三角函数的定义自主探求30°，45°和60°角的三角函数值． 在已知直角三角形一边和另一个元素时可以用三角函数求出其他的元素．
讲授新课 提炼概念三个特殊角的三角函数值的应用较为广泛，以表格的形式要求学生自己进行归纳．教学时可引导学生分另观察30°，45°和60°角的正弦值，余弦值及正切值之间的差别、联系，以及其间蕴含的规律．如30°，45°和60°角的正弦值由小大到，分母均为2，分子依次为1，，；而余弦函数值则正好相反．30°，45°和60°角的正切值也由小到大，30°和60°的正切值分别是和，互为倒数．其实，掌握了含30°角和含45°角两种直角三角形的三边之比，也就掌握了所有特殊角的三角形函数值，无需死记硬背．三、典例精讲【例2】求下列各式的值：（1）2sin30°－3cos60°．（2）cos245°＋tan60°·sin60°．（3）cos30°－sin45°＋tan45°·cos60°．解：（1）原式＝2×－3×＝－．（2）原式＝＋×＝2．（3）原式＝×－×＋1×＝1．此例中首次出现了三角函数的平方（cos245°）的书写方法，教学时要明确它的含义，并进行书写示范． 【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，∠BAC＝120°．求BC的长和△ABC的面积．解：如图，作AD⊥BC．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝60°．∵sin∠BAD＝，∴BD＝ABsin∠BAD＝8×sin60°＝8×＝4（cm）．∴BC＝2BD＝8（cm）．而cos∠BAD＝，∴AD＝ABcos∠BAD＝8cos60°＝8×＝4（cm）．∴S△ABC＝BC·AD＝×8×4＝16（cm2）．例3是用特殊角的三角函数值解决与直角三角形有关的问题，目的是让学生熟练掌握在直角三角形中锐角三角函数与三边的关系，以及这些关系的变式．如sin∠BADBD＝AB·sin∠BADAB＝． (1)利用三角函数的定义先求角的函数值，再利用特殊角的三角函数值求角度．(2)当∠A，∠B为锐角时，∠A，∠B的三角函数值是由∠A，∠B的角度而唯一确定． 将特殊角的三角函数值代入式子中，按题目要求的运算顺序计算．运算时，要灵活运用公式使运算简便．
课堂检测 四、巩固训练1．计算5sin 30°＋2cos 245°－tan 260°的值是 ( )1.B2．Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则sin B的值为 ( )A. B.C. D.2. A3.求下列各式的值：(1)1－2sin 30°cos 30°；(2)3tan 30°－tan 45 °＋2sin 60°；(3)＋.【解析】 关键是把相应的特殊角的三角函数值代入式子中进行计算．4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，求∠A，∠B的度数．解： ∵∠C＝90°，BC＝，AC＝，∴tan A＝＝＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°.5．救援人员在地平面的A点，用生命探测仪测得正下方B点有生命迹象，救援队在与A点同一水平面外的C点沿着CB方向挖掘，已知∠ACB＝30°，AC＝5米，若挖掘的速度为2米/小时，几小时后到达B点？解：在△ABC中，cos 30°＝，∴BC＝＝，∴÷2＝.答：小时后到达B点．
课堂小结
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