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平方根
题型一 概念,叫法和表达
1．“9的平方根”这句话用数学符号表示为（ ）
A． B．± C． D．±
【答案】B
【详解】
解：∵
∴“9的平方根”这句话用数学符号表示为：，
故选B．
2．“﹣3是9的一个平方根”可以表示为（ ）
A．＝3 B．（﹣3）2＝﹣9 C．﹣3×3＝﹣9 D．（﹣3）2＝9
【答案】D
【详解】
﹣3是9的一个平方根，
（﹣3）2＝9
故选D
3．“49的平方根是”的表达式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：“49的平方根是”表示为：．
故选A．
4．下列各等式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：A．，该项计算错误；
B．，该项计算错误；
C．负数没有平方根，∴无意义，该项计算错误；
D．，该项计算正确；
故选：D．
5．“的平方根是”，用式子来表示就是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：“的平方根是”，用式子来表示就是，
故选：A．
6．以下语句及写成式子正确的是（ ）
A．7是49的算术平方根，即＝±7 B．7是（﹣7）2的平方根，即＝7
C．±7是49的平方根，即±＝7 D．±7是49的平方根，即±＝±7
【答案】D
【详解】
解：A、7是49的算术平方根，即=7，故本选项错误；
B、7是（-7）2的算术平方根，即=7，故本选项错误；
C、±7是49的平方根，即±=±7，故本选项错误；
D、±7是49的平方根，即±=±7，故本选项正确．
故选：D．
7．“的平方根是±”用数学式表示为（ ）
A． =± B．= C．±=± D．-=-
【答案】C
【详解】
根据平方根的定义可得：
∵,
∴的平方根表示为±=±.
故选C.
8．下列说法不正确的是( )
A．的平方根是 B．的平方根是
C．的算术平方根是 D．是的一个平方根
【答案】B
【详解】
解：A、的平方根是，故此选项正确；
B、的平方根是，故此选项不正确；
C、的算术平方根是，故此选项正确；
D、是的一个平方根，故此选项正确；
故选择：B
9．“的平方根是”，用式子来表示就是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：∵的平方根是，
∴用式子来表示就是：；
故选：A．
10．下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：A、，所以本选项计算错误，不符合题意；
B、，所以本选项计算正确，符合题意；
C、，所以本选项计算错误，不符合题意；
D、，所以本选项计算错误，不符合题意．
故选：B．
题型二 求一个数平方根的平方根
1．的平方根是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【详解】
解：，
∵，
∴4的平方根是，
故选D．
2．下列语句中正确的是（ ）
A．的平方根是±4 B．任何数都有两个平方根
C．∵a的平方是a2，∴a2的平方根是a D．﹣1是1的平方根
【答案】D
【详解】
解：A、，4的平方根是±2，故选项不符合题意；
B、正数都有两个平方根，负数没有平方根，0的平方根是0，故选项不符合题意；
C、∵a的平方是a2，∴a2的平方根是±|a|，故选项不符合题意；
D、-1是1的平方根，故选项符合题意．
故选：D．
3．的平方根等于（ ）
A．±3 B．﹣3 C．±9 D．9
【答案】A
【详解】
解：＝9，9的平方根是±3，
故选：A．
4．表示的意义是（ ）
A．25的立方根 B．25的平方根 C．25的算术平方根 D．5的算术平方根
【答案】C
【详解】
解：表示25的算术平方根.
故选：C.
题型三 平方根的化解
5．下列说法正确的个数有（）
①的算术平方根是3
②±是的平方根
③=±
④=0.2
⑤0.1是0.01的一个平方根
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】
解：，3的算术平方根是，①错误
的平方根是±，②正确
，③错误
，④错误
0.1是0.01的一个平方根，⑤正确
故答案为B．
6．的平方根是（ ）
A． B．9 C． D．81
【答案】C
【详解】
解：∵，
∴的平方根是．
故选C．
7．下列说法中正确的有（ ）
①只有正数才有平方根．②-2是4的平方根．③的平方根是．④的算术平方根是a．⑤的平方根是-6．⑥．
A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个
【答案】A
【详解】
解：①∵正数和0都有平方根，故错误；②∵(-2)2=4，∴-2是4的平方根，正确；③=4的平方根是±2，故错误；④当a≥0时，的算术平方根是a，故错误；⑤=36的平方根是±6，故错误；⑥，故错误．
∴只有②是正确的，
故选A．
8．在下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：A、，故此选项不合题意；
B、，故此选项不合题意；
C、，二次根式无意义，故此选项不合题意；
D、，故此选项符合题意．
故选：D．
9．一个正整数的平方根为±m，则比这个正整数大5的数的算术平方根是（ ）
A．m+5 B． C．m2+5 D．
【答案】D
【详解】
解：根据题意得：这个正数为m2，
则比这个数大5的数的算术平方根是，
故选：D．
题型四 平方根的意义
10．下列说法正确的是（ ）
A．若，则可取一切实数 B．当时，才有意义
C．若，则 D．5的平方根是
【答案】C
【详解】
解：选项A中等式成立的条件是a为非负数，故A错误；
选项B中根式有意义的条件是被开方数为非负数，因此应当有，故B错误；
选项C中，因为，，有，故C正确；
选项D中，5的平方根是，故D错误；
故选：C．
11．下列判断中，错误的有（ ）
（1）有立方根的数必有平方根
（2）有平方根的数必有立方根
（3）零的平方根、立方根、算术平方根都是零
（4）不论a是什么实数，必有意义．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【详解】
（1）有立方根的数必有平方根，负数有立方根但没有平方根，错误；（2）有平方根的数必有立方根，正确；（3）零的平方根、立方根、算术平方根都是零，正确，（4）不论a是什么实数，必有意义，正确，故选A．
12．下列说法中，正确的有( )
①只有正数才有平方根；②a一定有立方根；③没意义；④＝－；⑤只有正数才有立方根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
试题分析：①0也有平方根，故此项错误；
②因为任何实数都有立方根，所以对于任意一个实数a一定有立方根，故此项正确；
③当a≤0时，有意义，故此项错误；
④根据负数的立方根是负数可知此项正确；
⑤负数和0也有立方根，故此项错误．
所以正确的有2个．
故选B．
13．下列二次根式，无论x取什么值都有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：，当时，二次根式有意义，故此选项不合题意；
，当时，二次根式有意义，故此选项不合题意；
，当时，二次根式有意义，故此选项不合题意；
无论取什么值，二次根式都有意义，故此选项符合题意．
故选：D．
14．要使式子有意义，则a的取值范围是___．
【答案】a≥﹣3且a≠±1．
【详解】
解：由题意，得a+3≥0且a2﹣1≠0．
解得a≥﹣3且a≠±1
故答案是：a≥﹣3且a≠±1．
题型五 平方根的应用
1．已知，则的平方根是（ ）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】C
【详解】
解：由题意得，x﹣3≥0，3﹣x≥0，
解得：x＝3，
则y＝1，
∴x+y＝4，
∵4的平方根是±2，
∴x+y的平方根是±2，
故选：C．
2．已知3a+1和5是正数b的两个平方根，则a+b的值是（ ）
A．23 B．25 C．27 D．30
【答案】A
【详解】
解：∵3a+1和5是正数b的两个平方根，
∴b＝52＝25，3a+1+5＝0．
∴b＝25，a＝﹣2．
∴a+b＝﹣2+25＝23．
故选A．
3．若+|y+7|+（z﹣7）2＝0，则的平方根为（ ）
A．±2 B．4 C．2 D．±4
【答案】A
【详解】
解：∵，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴的平方根为．
故选：A．
4．若，，则所有可能的值为（ ）
A．8 B．8或2 C．8或 D．或
【答案】D
【详解】
解：∵，
∴a=±5，
∵，
∴b=±3，
当a=5，b=3时，；
当a=5，b=-3时，；
当a=-5，b=3时，；
当a=-5，b=-3时，；
故选：D．
5．已知，，且，则代数式的值为（ ）
A．-1或-7 B．1或-7 C．1或7 D．或
【答案】C
【详解】
解，，
，
，
或，
或，
故选C．
6．已知，则的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：根据题意得，b-4=0，a-1=0，
解得a=1，b=4，
所以，=，
∴的平方根是，
故选：A．
7．如果一个自然数的算术平方根是，那么下一个自然数的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：∵一个自然数的算术平方根是x，
∴这个自然数为x2，
∴与这个自然数相邻的下一个自然数为x2+1，
∴与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是，
故选：D．
8．若实数x，y满足|x﹣3|+＝0，则（x+y）3的平方根为（ ）
A．4 B．8 C．±4 D．±8
【答案】D
【详解】
解：由题意得：
|x﹣3|+＝0，
，解得，
，
的平方根为 ；
故选：D．
9．若一个正数的平方根是与，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【详解】
解：一个正数的平方根2m 5与4m 9
∴2m 5+4m 9=0
解得m=
故选A.
10．若实数，满足关系式和，则点有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【详解】
两式相加得2a=4
解得a=2.
∴
解得b=±1，
∴可以为（2，-1）或（2,1）
故选B.
同步练习
1．下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
A.，故该选项计算正确，符合题意，
B.，故该选项计算错误，不符合题意，
C.，故该选项计算错误，不符合题意，
D.，故该选项计算错误，不符合题意．
故选：A．
2．若，则a的值为（ ）．
A．20 B．200 C．2000 D．0.02
【答案】B
【详解】
解：∵，1.414×10＝14.14，
∴2×100＝a，
∴a＝200．
故选：B．
3．已知a、b满足，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】
解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故选：．
4．已知，字母a、b满足＝0，则+++…+的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：∵＝0，，
∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，
解得：a＝1，b＝2，
则原式＝，
=，
=，
=．
故选：D．
5．已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（ ）
A．﹣485.8 B．﹣48.58 C．﹣153.6 D．﹣1536
【答案】A
【详解】
解：236000是由23.6小数点向右移动4位得到，则﹣＝﹣485.8；
故选：A．
6．一个正方形的面积为29，则它的边长应在（ ）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
【答案】C
【详解】
解：∵正方形的面积为29，
∴它的边长为，
而＜＜，
5＜＜6．
故选：C．
7．将尺寸如图的4块完全相同的长方形薄木块（厚度忽略不计）进行拼摆，恰好可以不重叠地摆放在如图的甲、乙两个方框内．已知小木块的宽为2，图甲中阴影部分面积为19，则图乙中AD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：设木块的长为x，
根据题意，知：（x-2）2=19，
则，
∴或（舍去）
则，
故选：C．
8．已知|a|＝5，＝7，则a b的值为（ ）
A．2或12 B．2或 12 C．±2或±12 D． 2或 12
【答案】C
【详解】
解：∵|a|=5，=7，
∴a=±5，b=±7，
当a=5，b=7时，a-b=5-7=-2，
当a=5，b=-7时，a-b=5-（-7）=12，
当a=-5，b=7时，a-b=（-5）-7=-12，
当a=-5，b=-7时，a-b=（-5）-（-7）=2，
综上所述，a+b的值是±2或±12．
故选：C．
9．一个自然数的一个平方根是，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
根据题意，平方根为a是数a2，则与它相邻的下一个自然数是a2+1，所以它的平方根是，故此题选择D.
10．一个正数a的平方根是2x﹣3与5﹣x，则这个正数a的值是（ ）
A．25 B．49 C．64 D．81
【答案】B
【详解】
解：由正数的两个平方根互为相反数可得
（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，
解得x＝﹣2，
所以5﹣x＝5﹣（﹣2）＝7，
所以a＝72＝49．
故答案为B．
11．若与互为相反数，则________．
【答案】2．
【详解】
解：由题意得：，
则：a 1＝0，b＋1＝0，
解得：a＝1，b＝ 1，
则1＋1＝2，
故答案为：2．
12．求下列等式中的x；
（1）若，则______；（2）若，则______；
（3）若，则______；（4）若，则______．
【答案】
【详解】
（1）∵
∴
故答案为：
（2）∵
∴
故答案为：
（3）∵
∴
故答案为：
（4）∵
∴
故答案为：
13．一列有规律的数：．．．．，则第36个数是___．
【答案】．
【详解】
解：根据题意，这列数可化为：，，，……
∴第n个数是，
当时，；
故答案为：．
14．若，其中，均为整数，则符合题意的有序数对的组数是______．
【答案】5
【分析】
由绝对值和算术平方根的非负性，求出a、b所有的可能值，即可得到答案．
【详解】
解：∵，且，均为整数，
又∵，，
∴可分为以下几种情况：
①，，
解得：，；
②，，
解得：或，；
③，
解得：或，；
∴符合题意的有序数对共由5组；
故答案为：5．
15．如图所示为一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵的规律，第7行倒数第二个数是_____.
【答案】
【详解】
观察可知，整个数阵从每一行左起第一个数开始，从左到右，从上到下，是连续的正整数的平方根，而每一行的个数依次为2、4、6、8、10…则归纳可知，第7行最后一个数是，则第7行倒数第二个数是.
16．按图中程序计算，若输出的值为9，则输入的数是____________________．
【答案】2或﹣1
【解析】
由题意得(2x-1)2=9,
2x-1=,
所以输入的数可以是2，或者-1.
17．求下列各式中的x值：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）．
【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）或；（5）．
【详解】
解：（1），
移项得：，即：，
解得：x=;
（2）.
开平方得： ，
解得：x=；
（3），
移项得：，即：，
开平方得：，
解得：x=或；
（4），
两边同除以4得：，
开平方得：，
解得：x=或；
（5），
整理得：，即，
开平方得：，
解得：x=．
18．已知的平方根是的平方根是，求的平方根．
【答案】
【详解】
解：∵的平方根是，
∴，
∴．
∵的平方根是，
∴，
则，
解得．
∴，
∵19的平方根为，
∴的平方根为．
19．解决问题：已知是的整数部分，是的小数部分．
（1）求，的值；
（2）求的平方根，提示：．
【答案】（1），；（2）±4
【分析】
(1)先确定在哪两个整数之间，再确定，的值即可；
(2)把，的值代入求出式子的值，再求平方根即可．
【详解】
解:(1)∵，
∴，
∴，
∴，；
(2)，
∴的平方根是：．
20．已知(a-2b+1)++=0,求的值
【答案】6
【解析】
分析：根据平方数和绝对值、二次根式的非负性，列方程求解即可.
详解：因为+++=0,
所以a-2b+1=0 b-3=0 c-2=0
所以a=5 b=3 c=2
所以=6
21．已知a,b为实数，且，求a2005-b2006的值.
【答案】-2
【详解】
试题分析：根据被开方数大于等于0，求出b的取值范围，再根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
试题解析：解：由题意得：1﹣b≥0，∴b≤1，∴原式可化为，由非负数的性质得：1+a=0，1﹣b=0，解得a=﹣1，b=1，∴a2005﹣b2006=（﹣1）2005﹣12006=﹣1﹣1=﹣2．
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3.1 平方根
题型一 概念、叫法和表达
1．“9的平方根”这句话用数学符号表示为（ ）
A． B．± C． D．±
2．“﹣3是9的一个平方根”可以表示为（ ）
A．＝3 B．（﹣3）2＝﹣9 C．﹣3×3＝﹣9 D．（﹣3）2＝9
3．“49的平方根是”的表达式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各等式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．“的平方根是”，用式子来表示就是（ ）
A． B． C． D．
6．以下语句及写成式子正确的是（ ）
A．7是49的算术平方根，即＝±7 B．7是（﹣7）2的平方根，即＝7
C．±7是49的平方根，即±＝7 D．±7是49的平方根，即±＝±7
7．“的平方根是±”用数学式表示为（ ）
A． =± B．= C．±=± D．-=-
8．下列说法不正确的是( )
A．的平方根是 B．的平方根是
C．的算术平方根是 D．是的一个平方根
9．“的平方根是”，用式子来表示就是( )
A． B． C． D．
10．下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型二 求一个数平方根的平方根
1．的平方根是（ ）
A．4 B． C．2 D．
2．下列语句中正确的是（ ）
A．的平方根是±4 B．任何数都有两个平方根
C．∵a的平方是a2，∴a2的平方根是a D．﹣1是1的平方根
3．的平方根等于（ ）
A．±3 B．﹣3 C．±9 D．9
4．表示的意义是（ ）
A．25的立方根 B．25的平方根 C．25的算术平方根 D．5的算术平方根
题型三 平方根的化解
5．下列说法正确的个数有（）
①的算术平方根是3 ②±是的平方根
③=± ④=0.2 ⑤0.1是0.01的一个平方根
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．的平方根是（ ）
A． B．9 C． D．81
7．下列说法中正确的有（ ）
①只有正数才有平方根． ②-2是4的平方根． ③的平方根是．
④的算术平方根是a． ⑤的平方根是-6． ⑥．
A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个
8．在下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．一个正整数的平方根为±m，则比这个正整数大5的数的算术平方根是（ ）
A．m+5 B． C．m2+5 D．
题型四 平方根的意义
10．下列说法正确的是（ ）
A．若，则可取一切实数 B．当时，才有意义
C．若，则 D．5的平方根是
11．下列判断中，错误的有（ ）
（1）有立方根的数必有平方根 （2）有平方根的数必有立方根
（3）零的平方根、立方根、算术平方根都是零 （4）不论a是什么实数，必有意义．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．下列说法中，正确的有( )
①只有正数才有平方根；②a一定有立方根；③没意义；④＝－；⑤只有正数才有立方根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．下列二次根式，无论x取什么值都有意义的是（ ）
A． B． C． D．
14．要使式子有意义，则a的取值范围是___．
题型五 平方根的应用
1．已知，则的平方根是（ ）
A．2 B．-2 C． D．
2．已知3a+1和5是正数b的两个平方根，则a+b的值是（ ）
A．23 B．25 C．27 D．30
3．若+|y+7|+（z﹣7）2＝0，则的平方根为（ ）
A．±2 B．4 C．2 D．±4
4．若，，则所有可能的值为（ ）
A．8 B．8或2 C．8或 D．或
5．已知，，且，则代数式的值为（ ）
A．-1或-7 B．1或-7 C．1或7 D．或
6．已知，则的平方根是（ ）
A． B． C． D．
7．如果一个自然数的算术平方根是，那么下一个自然数的平方根是（ ）
A． B． C． D．
8．若实数x，y满足|x﹣3|+＝0，则（x+y）3的平方根为（ ）
A．4 B．8 C．±4 D．±8
9．若一个正数的平方根是与，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．
10．若实数，满足关系式和，则点有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
同步练习
1．下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则a的值为（ ）．
A．20 B．200 C．2000 D．0.02
3．已知a、b满足，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知，字母a、b满足＝0，则+++…+的值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（ ）
A．﹣485.8 B．﹣48.58 C．﹣153.6 D．﹣1536
6．一个正方形的面积为29，则它的边长应在（ ）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
7．将尺寸如图的4块完全相同的长方形薄木块（厚度忽略不计）进行拼摆，恰好可以不重叠地摆放在如图的甲、乙两个方框内．已知小木块的宽为2，图甲中阴影部分面积为19，则图乙中AD的长为（ ）
A． B． C． D．
8．已知|a|＝5，＝7，则a b的值为（ ）
A．2或12 B．2或 12 C．±2或±12 D． 2或 12
9．一个自然数的一个平方根是，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（ ）
A． B．
C． D．
10．一个正数a的平方根是2x﹣3与5﹣x，则这个正数a的值是（ ）
A．25 B．49 C．64 D．81
11．若与互为相反数，则________．
12．求下列等式中的x；
（1）若，则______；（2）若，则______；
（3）若，则______；（4）若，则______．
13．一列有规律的数：．．．．，则第36个数是___．
14．若，其中，均为整数，则符合题意的有序数对的组数是______．
15．如图所示为一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵的规律，第7行倒数第二个数是_____.
16．按图中程序计算，若输出的值为9，则输入的数是____________________．
17．求下列各式中的x值：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）．
18．已知的平方根是的平方根是，求的平方根．
19．解决问题：已知是的整数部分，是的小数部分．
（1）求，的值；
（2）求的平方根，提示：．
20．已知(a-2b+1)++=0,求的值
21．已知a,b为实数，且，求a2005-b2006的值.
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