中小学教育资源及组卷应用平台
1.3 解直角三角形（1）
课题 1.3 解直角三角形（1） 单元 第一单元 学科 数学 年级 九年级（下）
学习目标 1．经历运用锐角三角函数、勾股定理等知识解决在直角三角形中， 由已知的一些边、角，求出另一些边角的问题的过程．了解解直角三角形的概念．2．会运用锐角三角函数、勾股定理等知识解直角三角形，以及解决与直角三角形有关的简单实际问题．
重点 本节教学的重点是运用三角函数解直角三角形的方法．
难点 解直角三角形的过程中，由已知条件求某条边或某个角的方法，以及求这些边、角的顺序往往不唯一，如何让学生学会选择较优的方法和求解顺序，是本节教学的难点．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝30°，a＝1，你能说出其他的边、角么？解：∠B＝60°，b＝，c＝2．【概念】在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形．引入的目的是为了跟学生说明解直角三角形的结果，并且让学生了解到，只知道角的度数是不能够解直角三角形的，必须要有边的参与． 思考自议跟学生说明解直角三角形的结果，并且让学生了解到，只知道角的度数是不能够解直角三角形的，必须要有边的参与． 运用锐角三角函数、勾股定理等知识解决在直角三角形中， 由已知的一些边、角，求出另一些边角的问题的过程．了解解直角三角形的概念．
讲授新课 提炼概念【归纳】解直角三角形，已知元素可分为下面两种情况：1．已知两条边；2．已知一条边和一个锐角（或锐角的某个三角函数）．三、典例精讲【例1】如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A＝50°，AB＝3．求∠B和a，b（边长精确到0.1）．解：在Rt△ACB中，∠B＝90°－50°＝40°．∵sinA＝，∴a＝AB×sinA＝3×sin50°≈2.3．∵cosA＝，∴b＝AB×cosA＝3×cos50°≈1.9．【归纳】解直角三角形，已知元素可分为下面两种情况：1．已知两条边；2．已知一条边和一个锐角（或锐角的某个三角函数）．例2是解直角三角形的解题过程示范，进一步巩固锐角三角函数的知识，要注意引导学生分析已知条件，选择合适的求角和边的方法，教学时可先让学生，自主选择求∠B和a，b的方法，然后进行，交流比较．（1）求∠B可以按课本的方法根据直角三角形的两个锐角互余求的，也可以再求出边长a，b后通过计算∠B的正切值，在用计算器求角得到．不过后者求解过程比较复杂，并且得到的是近似值，因此，若已知一角，根据“直角三角形的两锐角互余”的方法求另一个角比较合理．【例2】如图是某市“平改坡”工程中一种坡屋顶设计，已知平顶屋面的宽度BC为10m，坡屋顶的设计高度AD为3.5m，请求斜面钢条AB的长度和坡角的度数．（长度精确到0.1m，角度精确到1°）解：由题意得AB＝AC，AD⊥BC，则BD＝BC＝×10＝5m．在Rt△ABD中，AB＝＝≈6.1（m）tanB＝＝＝0.7，则∠B≈35°．答：斜面钢条的长度约为6.1米，坡角约为35度．此例说明现实生活中遇到的在直角三角形中有已知一些边、角求另一些边、角的问题．为叙述方便，课本给出了“解直角三角形”的名称，学生只需了解即可，不需要背、记概念，讲解例1时，要把重点放在如何求坡角的思路上，先求出此坡角的正切值，然后用计算器求出∠α的度数． 引导学生分析已知条件，选择合适的求角和边的方法，教学时可先让学生，自主选择求∠B和a，b的方法，然后进行，交流比较． 在讲解例题的基础上，引导学生在归纳小结，同时培养学生养成解体后反思总结的习惯，提高解决问题的能力．
课堂检测 四、巩固训练1.在Rt△ABC中，∠C=90°， , ，则∠A=（ ）A．90° B．60° C．45° D．30°1.B2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝2，a＝3，解这个直角三角形．解：在Rt△ABC中，c＝ a＝3，∴∵∴∠A＝60°.∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.3.问题;台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的着地点A到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平面AC的夹角为40°，你知道这棵大树有多高吗？（参考数据sin40°≈0.643;cos40°≈0.766;tan40°≈0.839）解:4.已知，在△ABC中,∠B=45°,AC=4, , 求BC的值.解;第一种情况;过A点作 BC边上的高AD,交BC延长线于D,∵AC=4,∴在RtΔADC中，根据勾股定理得：第二种情况; 过A点作 BC边上的高AD, 交BC于D,∵AC=4,∴在RtΔADC中，根据勾股定理得：
课堂小结
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共21张PPT)
浙教版 九年级上
1.3 解直角三角形（1）
新知导入
情境引入
解直角三角形
1.两锐角之间的关系:
2.三边之间的关系:
3.边角之间的关系
∠A+∠B=900
a2+b2=c2
C
A
B
新知导入
合作学习
问：在三角形中共有几个元素？
问：直角三角形ABC中，∠ C=90°，a、b、c 、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
答：1.三个角，三条边，共六个元素。
2.(1)三边之间关系：a2 +b2 =c2 (勾股定理)
(2)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
思考：在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝30°，a＝1，你能说出其他的边、角么？
解：∠B＝60°，b＝，c＝2．
正弦函数：
余弦函数：
正切函数：
(3)边角之间的关系
提炼概念
在直角三角形中，由已知的一些边、角求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形。
定义：
在直角三角形中，已知几个元素就可以求出其它元素呢？
典例精讲
新知讲解
例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠A=500，AB=3，求a，b 和∠B 。（边长精确到0.1）
解：Rt△ABC中
∠B=900-∠A=400
∴a=AB×sinA=3×sin500≈2.3
∴b=AB×cosA=3×cos500≈1.9
提醒：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除，取原避中.
例2、如图是某市“平改坡”工程中一种坡屋顶设计，已知平顶屋面的宽度L为10m，坡屋顶的设计高度h为3.5m，求斜面钢条a的长度和坡角a。（长度精确到0.1米，角度精确到1°）
解:
在Rt△ABD中,
a＝ ( )2+(h)2
l
2
＝ 52+3.52 ≈6.1(m).
h
L
a
A
Ｂ
Ｃ
Ｄ
α
∵tanα＝ ＝0.7,
3.5
5
∴α≈350.
答:斜面钢条a的长度约为6.1米,坡角约为350.
归纳概念
在直角三角形中，已知几个元素就可以求出其它元素呢？
解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角。
a,b
∠A，a
∠A，b
∠A，c
∠A
∠B
C
∠B
b
c
∠B
a
c
∠B
a
b
已知
可求
关系式
你发现已知量中哪一种量是必须具备的？
解直角三角形可分成
哪几类？
课堂练习
1.在Rt△ABC中，∠C=90°， , ，
则∠A=（ ）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
B
课堂练习
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝2，a＝3，解这个直角三角形．
已知斜边和一条直角边的长，可以先利用勾股定理
求出另一条直角边的长，再利用正弦或余弦求角的度数．
在Rt△ABC中，c＝ a＝3，
∴
∵
∴∠A＝60°.
∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
解：
3.问题;台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的着地点A到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平面AC的夹角为40°，你知道这棵大树有多高吗？（参考数据sin40°≈0.643;cos40°≈0.766;tan40°≈0.839）
A
C
B
40°
解:
尝试画出符合题意的图，画出的是直角三角形吗？如果不是要考虑
4.已知，在△ABC中,∠B=45°,AC=4,
, 求BC的值.
构造直角三角形
分析：本题无图，对于无图一般要考虑
分类讨论
4.已知，在△ABC中,∠B=45°,AC=4,
, 求BC的值.
解;第一种情况;
过A点作 BC边上的高AD,交BC延长线于D,
∵AC=4,
∴在RtΔADC中，根据勾股定理得：
2.已知，在△ABC中,∠B=45°,AC=4,
, 求BC的值.
解：第二种情况; 过A点作 BC边上的高AD, 交BC于D,
∵AC=4,
∴在RtΔADC中，根据勾股定理得：
课堂总结
1，定义：解直角三角形
解直角三角形中，有下面两种情况：
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角.
2，直角三角形中的五个元素之间关系：
3，解直角三角形中的几个注意:
（1）有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除，取原避中。
（2）数形结合，利于分析。
（4）实际问题数学化.(数学建模思想)
（3）构造直角三角形.
的边角关系
直角三角形
解直角三角形
解直角三角形
实际应用
知一边一锐角解直角三角形
知两边解直角三角形
添设辅助线解直角三角形
知斜边一锐角解直角三角形
知一直角边一锐角解直角三角形
知两直角边解直角三角形
知一斜边一直角解直角三角形
直接抽象出直角三角形
抽象出图形，再添设辅助线求解
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
1.3 解直角三角形（1）
课题 1.3 解直角三角形（1） 单元 第一单元 学科 数学 年级 九年级下册
学习目标 1．经历运用锐角三角函数、勾股定理等知识解决在直角三角形中， 由已知的一些边、角，求出另一些边角的问题的过程．了解解直角三角形的概念．2．会运用锐角三角函数、勾股定理等知识解直角三角形，以及解决与直角三角形有关的简单实际问题．
重点 本节教学的重点是运用三角函数解直角三角形的方法．
难点 解直角三角形的过程中，由已知条件求某条边或某个角的方法，以及求这些边、角的顺序往往不唯一，如何让学生学会选择较优的方法和求解顺序，是本节教学的难点．
教学过程
导入新课 【引入思考】在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，通过添加条件，你能说出其他的边、角么？
新知讲解 提炼概念 典例精讲 【例1】如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A＝50°，AB＝3．求∠B和a，b（边长精确到0.1）．【例2】如图是某市“平改坡”工程中一种坡屋顶设计，已知平顶屋面的宽度BC为10m，坡屋顶的设计高度AD为3.5m，请求斜面钢条AB的长度和坡角的度数．（长度精确到0.1m，角度精确到1°）
课堂练习 巩固训练 1.在Rt△ABC中，∠C=90°， , ，则∠A=（ ）A．90° B．60° C．45° D．30°2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝2，a＝3，解这个直角三角形．3.问题;台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的着地点A到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平面AC的夹角为40°，你知道这棵大树有多高吗？（参考数据sin40°≈0.643;cos40°≈0.766;tan40°≈0.839）4.已知，在△ABC中,∠B=45°,AC=4, , 求BC的值.答案引入思考解：∠B＝60°，b＝，c＝2．【概念】在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形．提炼概念【归纳】解直角三角形，已知元素可分为下面两种情况：1．已知两条边；2．已知一条边和一个锐角（或锐角的某个三角函数）．典例精讲 例1 解：在Rt△ACB中，∠B＝90°－50°＝40°．∵sinA＝，∴a＝AB×sinA＝3×sin50°≈2.3．∵cosA＝，∴b＝AB×cosA＝3×cos50°≈1.9．例2 解：由题意得AB＝AC，AD⊥BC，则BD＝BC＝×10＝5m．在Rt△ABD中，AB＝＝≈6.1（m）tanB＝＝＝0.7，则∠B≈35°．答：斜面钢条的长度约为6.1米，坡角约为35度．巩固训练1.B2.解：在Rt△ABC中，c＝ a＝3，∴∵∴∠A＝60°.∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.3.:4.解;第一种情况;过A点作 BC边上的高AD,交BC延长线于D,∵AC=4,∴在RtΔADC中，根据勾股定理得：第二种情况; 过A点作 BC边上的高AD, 交BC于D,∵AC=4,∴在RtΔADC中，根据勾股定理得：
课堂小结 小
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
